使用反距离权重内插法绘制中国1990年代肿瘤分布地图
·现场调查·使用反距离权重内插法绘制中国1990年代
肿瘤分布地图
曲宸绪 姜勇 武燕萍 邹小农 乔友林
【摘要】 目的 绘制中国1990年代死因回顾1/10人口抽样调查肿瘤分布地图,展示中国1990
年代肿瘤的地理分布和区域性集中趋势。方法 利用1990年代的全国死因抽样调查数据,根据中国
1964年人口年龄分布计算标准化死亡率,以中国1990年代数字地图为背景,在Arcview软件支持下,
利用反距离权重内插法(I DW)预测非采样地区的死亡率数值,绘制肿瘤死亡分布地图。结果 现已
完成全国1990年代肿瘤分布地图绘制,与填充法相比,IDW所绘地图死亡率分布边续且过渡平滑,
显示出肿瘤地区分布特点。结论 利用IDW根据抽样区域数据预测其他区域数据,可以实现用抽样
数据绘制全国肿瘤分布地图,结果仍可以较为准确地反映出肿瘤分布规律。
【关键词】 肿瘤;地理信息系统;反距离权重内插法
Study on the development of a cho ropleth atlas on cancer mo rtality using the inverse distance weight
interpolation in the1990's QU Chen-x u,JI ANG Y ong,WU Y an-ping,Z OU Xiao-nong,QI AO
Y ou-lin.Department of Epidemiology,Cancer Institute and Cancer Hospital Chinese Academy of
Medical Science,Peking Union Medical College,Beijing100021,China
Corresponding author:QI AO Y ou-lin,Email:qiaoy@public.bta.ne https://www.360docs.net/doc/c91439585.html,
【Abstract】 Objective To draw a cho ro chromatic atlas of mo rtality on China Cancer Database in
o rder to display the geo graphical distributio n of selected diseases in China and to identify its demog raphic
and disease-specific pa tterns in the1990's.Methods T he source of data w as from nationwide cause-of-
death surveys conducted in the1990's.S tandardized ra tes w ere computed by direct method using the
population age distribution in1964as the standard of weig hts.Inverse distance weight(I DW)was applied
as the method of interpola tio n with the help of Arcview system to draw a choropleth map o f cancer
mo rtality.Results T he IDW maps of camcer mo rtality shows a contious and smooth variation,especially
compared with maps draw n by filling method.C onclusion With the application of inv erse distance w eight
interpo lation,it seemed feasible to draw continuous map of cancer o n sampling data.
【Key words】 Carcinoma;Geographic info rmation sy stem;Inverse distance w eight
卫生部全国肿瘤防治办公室1973-1975年曾进行一次“全国人口三年肿瘤死亡回顾调查”,并根据调查数据用填充法绘制了《中华人民共和国恶性肿瘤地图集》,该地图集首次揭示了国内肿瘤的分布规律,推动和促进了以后几十年肿瘤流行病学研究,对我国肿瘤防治工作具有重要意义。1990-1992年,国家又组织了一次全国性的死亡回顾调查,目的是评测经过近20年人民生活水平明显提高情况下,
基金项目:科技部专项课题基金资助项目(2000DEB30104)
作者单位:100021北京,中国医学科学院肿瘤医院/肿瘤研究所流行病研究室
通讯作者:乔友林,Email:qiaoy@https://www.360docs.net/doc/c91439585.html, 国内肿瘤的分布规律和特点,考虑项目经费原因及成本效益,回顾调查按1/10人口比例随机抽样进行。因为是抽样数据,空间分析(spatial analysis)法没有得到推广,所以一直未绘制出我国1990年代的肿瘤分布地图集。本文主要论述利用空间分析技术,绘制我国1990年代肿瘤分布地图,完善肿瘤死因资料,为肿瘤危害的评估和防治提供更多依据。
资料与方法
1.死亡率数据:采用卫生部全国肿瘤防治办公室1990-1992年所组织的全国人口死亡原因抽样调查数据,共涉及除台湾、西藏、青海和新疆以外的27个省、自治区、直辖市随机样本地区人群,共调查
263个县(市),按我国1964年人口分布计算各肿瘤的年龄别标化死亡率。
2.中国数字地图:采用“美国国际地球科学信息网络中心”(CIESIN )所发布的1990年7月1日中国省级和县级行政区域1∶106地理数据,由美国哥伦比亚大学社会经济数据与应用中心、中国测绘科学研究院及华盛顿大学“中国时空计划”协作开发。
3.反距离权重内插法(inverse distance weight ,IDW ):基本公式
F (x ,y )=∑n
i =1Wifi
Wi =Hi
-p
∑n
j =1
Hj -p
Hi =(x -xi )2+(y -yi )
2式中,n :某一区域内样本点的数目;fi :区域i 的观测值;Wi :被赋与的权重;(x ,y )预测点的座标;(x i ,yi )样本点的座标;Hi :预测点与样本点的距
离;p :方次参数,一个正实数,用来调整权重与距离的关系,通常取2。
IDW 是一种加权平均内插法,该方法认为任何一个观测值都对邻近的区域有影响,且影响的大小随距离的增大而减小。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次,较近的数据点被给定一个较高的权重份额,对于一个较小的方次,权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时,配给的权重是一个分数,所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时,该观测点被给予一个实际为1.0的权重,所有其他观测点被给予一个几乎为0.0的权重。
4.方法:在Arcview 3.2软件中,利用其空间运算功能,计算全国各县的中心点(center );以点数据形式输入各地区1990年代各肿瘤死亡率,建立点矢量图,并按百分位数法分为6等级进行着色;应用空间分析(spatial analysis 2.0a )模块的空间预测功能,以临近6个点为基础,利用IDW 建立我国1990年代全国肿瘤死因分布失量图;绘制等高线、图例等,导出肿瘤分布地图;利用空间分析模块的山体阴影功能,绘制IDW 图层的山体阴影(hillshade ),将肿瘤死亡分布失量图的着色方法更换为山体阴影,绘制全国肿瘤死因分布三维分布图。
结 果
现以我国1990年代男性食管肿瘤及鼻咽肿瘤为例说明IDW 制图结果。我国的食管癌有明显的
地区分布规律,高发区与低发区发病率和死亡率相差几十倍,按常用的填充法绘制1990年代男性食管癌肿瘤分布地图,由于大部分地区缺少数据,只能得到散在的图斑(图1),尽管可反映出抽样地区的死亡率高低,但很难看出该肿瘤的地区分布规律。采用IDW 绘制的1990年代男性食管癌地区分布预测地图填补了空白区域,高发区、低发区显示完整,地图所示与我国食管癌分布特点基本一致,可清楚看到高发区位于在河南、河北、山西三省交界[1,2],江苏省北部及部分沿海地区[3]
。图3用Z 值表示死亡率的高低,有一定立体感,相比平面的地图更加直观。
鼻咽癌在我国主要集中于广东省,由图4可以看出,广东省抽样地区的鼻咽癌死亡率明显高于其他地区,但高发范围却难以确认,图5、6采用IDW 绘制,借助等高线可较为清晰的看出鼻咽癌高发区域为广东省中部,广西壮族自治区南部及海南省南部次之。
讨 论
流行病学研究中,经常要利用样本预测总体性质,但所用方法一般针对一维属性的数据,对于具有二维或多维空间属性数据的预测,由于所涉及的数学知识在流行病学研究中运用较少,且相关计算量大,并不为多数流行病学研究者所掌握。近年来地理信息系统(GIS )技术的发展带动了一系列相关学科,其中包括空间统计学的发展和成熟,对于空间数据预测现已有多套方案。而且随信息技术的发展,GIS 应用得到推广,为流行病学研究提供了方便的制图及空间分析工具[4],对于流行病学研究者来说,只要具备相关知识,进行空间分析运算已不再困难。
根据邻近区域属性值有较大相似性[5,6],在某一限定空间内利用已知区域属性值推测未知区域属性的过程,在空间分析中称为内插(插值)(interpolation )。内插法常用于将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面,以便与其他空间现象的分布模式进行比较。IDW 是目前一种广泛使用的内插法,运算简便,适用范围广,是一种准确预测的
算法模型,即预测值构成的曲面严格通过每一个观测值构成顶点(图6),在进行复杂的拟合运算前常用来获得对抽样数据的初步印象。另一方面IDW 预测值分布与观测值分布十分接近,我国1990年代男性食管癌死亡率调查值与预测值(除新疆、青海、西藏、台湾四省区)的统计特点,均值、标准差、偏度系数与峰度系数等统计指标十分接近(表1)。由于观测值的随机波动,IDW计算的数据曲面一般不够平滑(smoo th)。其特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的“牛眼”(即与观测点重合的网格预测值和周边值有差异)。图2与图3可以较清楚的看到四川省北部及陕西省与河南省交界处的“牛眼”,不过由于绘制1990年代肿瘤分布地图并不要求准确的预测值,且按一倍标准差分等级着色,所以“牛眼”现象并不突出。除IDW之外,还有几种内插法可以采用,如广域多项式(global poly nomial)制图平滑,克里格(K riging)法能够评估预测值的标准误及可能性大小[7,8],一般参数较多,算法灵活,可根据数据性质及研究目的灵活运用,常作为IDW的后继分析方法。
表1 我国1990年代男性食管癌观测值与观测值统计项目观测值 预测值例数 340 20844
最小值00.08
最大值134.10133.80
均值16.5314.63
标准差19.6114.60
方差384.45213.07
偏度系数2.852.27
峰度系数10.447.16
绘制我国1990年代肿瘤死亡分布地图的目的是揭示全国肿瘤分布规律,理想的肿瘤分布地图应校正随机因素的影响,完整体现高发区与低发区的分布,并且过渡平滑。IDW不足之处在于没有对观测数据的波动性进行校正,尽管数据来源于3年的死因回顾查,相对其他一些短期的流行病学调查来说,时间跨度大,观测值的稳定性较好,但对于人口较少区县及一些相对罕见的肿瘤来说,所受随机因素的影响仍难以忽视[9],而年龄别标化对于这种随机波动没有校正作用。在1990年代的肿瘤分布地图中,偶尔可以发现这种过高或过低的异常值。尽管目前已有多种方法校正异常值,但校正方法的选择一般涉及多种因素,如肿瘤的分布规律、肿瘤的种类及所在地区,一般来说很难找出一种所有人都认为合理的校正方法。IDW本身就包括一定的校正,但由于IDW的权重主要取决于预测点与观测点的距离,涉及的因素较为简单,必然导致一些影响因素被忽视。但总的来说,目前简单与复杂的内插法对预测的总体趋势较为接近,当研究并不追求预测的准确性,如这次绘制的我国1990年代地图,目的在于反映出肿瘤地理分布特征,而不是要利用预测数据进一步分析,这种情况下IDW不失为一种好的方法,制图结果也较为可信。
参 考 文 献
1宋建荣,周有尚.食管癌地理环境因素的流行病学分析.中华流行病学杂志,1992,13∶329-332.
2钱宇平.流行病学进展.第4卷.北京:人民卫生出版社,1984.
174-298.
3饶克勤,李连弟.中国恶性肿瘤危险因素研究.第1版.北京:中国协和医科大学出版社,2003.235-240.
4Patrick W O,William AY,Elizabeth M.Public health informatics and information s ystem.1st ed.New York:Springer-Verlag,2003.
431-467.
5Harvey JM.Tobler's first law and spatial analys is.Ann Assoc Am Geographers,2004,94∶284-289.
6Kelsall J,Wakefield J.M odelling spatial variation in disease risk:a geostatistical approach.J Am S ta As soc,2002,97∶692-701.
7Carrat F,Valleron AJ.Epidemiologic mapping us ing the“kriging”
method:Application to an influenza-like epidemic in France.Am J Epidemiol,1992,135∶1293-1300.
8Webster R,Oliver M A,M uir KR,et al.Kriging the l ocal risk of a rare dis ease from a register of diagnoses.Geographical Analysis, 1994,26∶168-185.
9Oliver M A,M uir KR,Webster R,et al.A geostatistical approach to the anal ysis of pattern in rare disease.J Public Health M ed,1992, 14∶280-289.
(收稿日期:2005-10-13)
(本文编辑:张林东)
线性插值法计算公式解析 2
线性插值法计算公式解析 ２０11年招标师考试实务真题第16题:某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定,产能指标评标总分值为1０分,产能在1０0吨/日以上的为10分,80吨/日的为5分,60吨/日以下的为0分,中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为9５吨/日,应得( )分。 A、8、65 B.8.75 C、8.８5 D、8、95 分析:该题的考点属线性插值法又称为直线内插法,就是评标办法的一种,很多学员无法理解公式含义,只能靠死记硬背,造成的结果就是很快会遗忘,无法应对考试与工作中遇到的问题,对此本人从理论上进行推导,希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2 图一:适用于某项指标越低得分越高的项目评
二、公式推导 ??对于这个插值法,如何计算与运用呢,我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图,只有图出来了,根据三角函数定义,ｔana=角的对边比上邻边,从图上可以瞧出,∠A就是始终保持不变的,因此,根据三角函数ｔanａ,我们可以得出这样的公式 图一:tanａ=(F1-F2)/(Ｄ2－D1)=(F-Ｆ2)／(Ｄ2-D)＝(Ｆ 1-F)/(D-D1),通过这个公式,我们可以进行多种推算,得出最终图二:适用于某项投标因素指标越高,得分越高的情 形,如生产效率等
公式如下 F=F2＋(F1-F2)*(Ｄ２-Ｄ)/(Ｄ2-Ｄ１) 或者F= F1-(F1-F2)*(Ｄ-D1)/(Ｄ2－D1) 图二:tana=(Ｆ1－Ｆ２)/(D2-D1)=(Ｆ-F2)/ (D-D1)＝(F1-F)/(D2-Ｄ) 通过这个公式我们不难得出公式: F= F2＋(F１-F2)*(D-D１)／(D2-D1) 或者F=Ｆ1-(F1-F2)*(Ｄ2-Ｄ)/(D２-D1) 三:例题解析 例题一:某招标文件规定有效投标报价最高的得３0分,有效投标报价最低的得60分,投标人的报价得分用线性插值法计算,在评审中,评委发现有效的最高报价为３０0万元,有效最低的报价为240万元,某A企业的有效投标报价为28０万元,问她的价格得分为多少 分析,该题属于图一的适用情形,套用公式 计算步骤:F=60+(3０－60)／(300-240)＊(280-24０)=40 例题二:某招标文件规定,水泵工作效率85％的3分,９5%的８分,某投标人的水泵工作效率为9２％,问工作效率指标得多少分？ 分析:此题属于图二的适用情形,套用公式 F=3+(92%-85%)＊(8-3)/(95%-85%)=３+7/2=6、5
监理与相关服务收费标准直线内插法计算
监理与相关服务收费标准直线内插法计算 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
收费基价直线内插法计算公式 说明： 1、X 1、Y 1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值； Y 1、Y 2为对应于X 1、X 2的收费基价；X 为某区段间的插入值；Y 为对应于X 由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以%的收费率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为万元）与1000万元（收费基价为万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 施工监理服务收费基价表 国家发展改革委 建设部 发改价格[2007]670号 Y （收费基价） Y 2 Y Y 1 0 X 1 X X 2 X （计费额）
注:本规定自2007年5月1日起执行，计费额大于1000000万元的,以计费额乘以％的收费率计算收费基价,计费额处于两个数值之间的，采用直线内插法确定施工监理服务收费基价。 监理费计算方法 一、取费基价标准 二、施工阶段监理服务收费（监理费）计算书
（一）公式：施工阶段监理服务收费基准价=施工阶段监理服务收费基价×专业调整系数×工程复杂程度调整系数×高程调整系数（二）计算施工阶段监理服务收费计费额：（以北师大工程为例）本工程预算投资额为2883万元，该工程项目的施工监理服务收费的计算额为2883万元。 （三）计算施工监理服务收费基准价： 1、采用内插法确定施工监理服务收费基价： 计算额收费基价 1000万元万元 2883万元 X万元 3000万元万元 本工程计算为为2883万元的收费基价X计算如下： X=+－/（3000-1000）×（2883-1000）= 2、调整系数计算： 监理费按照《国家发展和改革委员会建设部关于建设工程监理与服务收费管理规定的通知》（发改价格【2007】670号）的规定进行填报。 （1）投标文件中，专业调整系数为；工程复杂程度系数为；高程调整系数为. （2）施工阶段监理服务收费基准价=施工阶段监理服务收费基价×专业调整系数×工程复杂程度调整系数×高程调整系数=×××=（万元）
内插法计算公式
内插法计算公式 1、X1、Y1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y1、Y2为对应于X1、X2的收费基价；X为某区段间的插入值道；Y为对应于X由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费专率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价属。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下：
线性插值法计算公式解析
线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A．8.65 B．8.75 C．8.85 D．8.95 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2
图一：适用于某项指标越低得分越高的项目评 分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的情 形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式 图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，
通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F）/(D2-D)通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分？ 分析：此题属于图二的适用情形，套用公式 F＝3+（92%-85%）*（8-3）/（95%-85%）＝3+7/2＝6.5 （此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容， 供参考，感谢您的配合和支持）
分段线性插值法
《数值分析》实验报告 实验序号：实验五 实验名称: 分段线性插值法 1、 实验目的： 随着插值节点的增加，插值多项式的插值多项式的次数也增加，而对于高次的插值容易带来剧烈的震荡，带来数值的不稳定（Runge 现象）。为了既要增加插值的节点，减小插值的区间，以便更好的逼近插值函数，又要不增加插值多项式的次数以减少误差，可采用分段线性插值。 2、 实验内容： 求一个函数?(x )用来近似函数f (x )，用分段线性插值的方法来求解近似函数?(x )并画出近似函数图像及原函数图像。 设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点b x x x x a n =<<<<=...210和相应的函数值n y y y ,...,,10，求一个插值函数)(x ?，满足以下条件： （1） ),...,2,1,0()(n j y x j j ==?; （2） )(x ?在每一个小区间[1,+j j x x ]上是线性函数。 对于给定函数11-,2511)(2≤≤+= x x x f 。在区间[]11-，上画出f (x )和分段线性插值函数)(x ?的函数图像。 1. 分段线性插值的算法思想： 分段线性插值需要在每个插值节点上构造分段线性插值基函数)(x l j ，然后再 作它们的线性组合。分段线性插值基函数的特点是在对应的插值节点上函数值取 1，其它节点上函数值取0。插值基函数如下： 设在节点a ≤x0 线性插值法计算公式解析 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2 图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式 图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F） /(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分 直线内插法 一、基本原理 在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0,x1,…,xn 上的函数值yi =f(xi)(i=0,1,…,n) ，或者f(x)的函数表达式已知,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。 “直线内插法”又称“数学内插法”，其原理是：若A(x1, y1),B(x2,y2)为两点，则点P （x,y)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为x 在x1, x2之间，从而P 在点A 、B 之间，故称“直线内插法”，数学内插法说明点P 反映的变量遵循直线AB 反映的线性关系。 上述公式易得。A 、B 、P 三点共线，则(y-y1)/(x-x1)＝（y2-y1)/(x2-x1)=直线斜率，变换即得所求y=（y2-y1)* (x-x1)/(x2-x1)+ y1。 二、实际应用 [0，μ+2σ]作为有效报价区间(详见三：正态分布)；假设应标报价依次为P1,P2,…,Pn ，则μ=average(ΣPi)，σ2=Σ（Pi-μ）2/n(i=0,1,…,n)。 （二）、确定Pmin 、Pmax 、M Pmin 。原则上选取有效报价区间(0，μ+2σ]的最低值Pmin 作为最优值，M Pmin=K C （按百分计）。 （三）、计算直线斜率k=(M Pmax-M Pmin)/(Pmax-Pmin)。 （四）、计算P 。（可参见“直线内插法实例演示.xls ”） 价格分 M Pmin(K C ) M P M Pmax 内插法计算公式 内插法计算公式 1、X1、Y1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y1、Y2为对应于X1、X2的收费基价；X为某区段间的插入值道；Y为对应于X由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费专率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价属。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的 折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下： A表示租赁开始日租赁资产的公平价值； R表示每期租金数额； S表示租赁资产估计残值； n表示租期； r表示折现率。 通过简单的试错，找出二个满足上函数的点（a1，b1）（a2，b2）， 线性内插法具体怎么计算？ 内插法：就是在给定的二组数据为直线关系，在其区域之间的值，位于此直线上从而求出，在其区域之间的某一数据。就是二者之间对应的情况下，按内插入法来求出另个数值，如二组数据：Y1，Y2 X1，X2已知：(X1，X2)一组上的某点值，求另一组（Y1，Y2）上的某点对应值。现在要求已知：(X1，X2) )一组上的奌X，求：另一组（Y1，Y2）上的Y点对应值。 公式：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚ 式中：Y——所要求某区间的内插值； Y1、Y2——分别为所要求某区间之间的低值和高值； X1、X2——分别为所要求某区间之间对应的低值和高值。 图集11G101—1第53页中：锚固区的保护层厚度3d时受拉钢筋搭接长度修正系数ζa＝0.8：5d时受拉钢筋搭接长度修正系数ζa＝0.7。 【例1】假设，锚固区的保护层厚度为3.2d。求受拉钢筋搭接长度修正系数ζa？公式：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚ 式中：Y——受拉钢筋锚固长度修正系数内插ζa取值； Y1、Y2——分别受拉钢筋锚固长度修正系数表中的低值ζa＝0.7和高值ζa＝0.8；X1、X2——锚固区的保护层厚度表中的低值3d和高值5d； 解：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚＝0.7＋﹙0.8－0.7﹚÷﹙5d －3d﹚×﹙3.2d－3d﹚＝0.7＋0.05×0.2＝0.71。 答：锚固区的保护层厚度为3.2d。受拉钢筋锚固长度修正系数ζa＝0.71。 【例2】假设，锚固区的保护层厚度为3.4d。求受拉钢筋锚固长度修正系数ζa？解：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚＝0.7＋﹙0.8－0.7﹚÷﹙5d －3d﹚× ﹙3.4d－3d﹚＝0.7＋0.05×0.4＝0.72。 答：锚固区的保护层厚度为3.4d。受拉钢筋锚固长度修正系数ζa＝0.72。 【例3】假设，锚固区的保护层厚度为3.5d。求受拉钢筋锚固长度修正系数ζa？解：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚＝0.7＋﹙0.8－0.7﹚÷﹙5d －3d﹚× ﹙3.5d－3d﹚＝0.7＋0.05×0.5＝0.725。 答：锚固区的保护层厚度为3.5d。受拉钢筋锚固长度修正系数ζa＝0.725。 公式举例仍不太理解怎么办？ 用笨办法吧！ 【例1】假设锚固区的保护层厚度为4d，求锚固长度修正系数ζa的取值？ 一解：锚固区的保护层厚度：（5d＋3d）÷2＝4d 。 锚固长度修正系数ζa：（0.8＋0.7÷2＝0.75。 答：锚固长度修正系数ζa的取值为0.75 。 二解： 保护层厚度：用（高值减低值）5d－3d＝2d 用2d÷20＝0.1d（即把2d分成20份，毎份为0.1d）；（实际操作时，因已知已4d了，可不计算。在算计ζa时可目测，只要除10即可，不必除20，是适应如提保护层厚度为3.1d。故我把它分得细一些。） 锚固长度修正系数ζa：用（高值减低值）0.8－0.7＝0.1 用0.1 ÷20＝0.005（道理同上，跟着保护层厚度差值分）； 四种工程常用的评标办法介绍大国发表于 2006-5-30 17:02:00 四种工程常用的评标办法介绍 合理低价法、最低评标价法、综合评估法、双信封评标法 1、合理低价法 方法简介：评标委员会对通过初步评审和详细评审的投标文件，按其投标价得 分由高到低的顺序，依次推荐前3名投标人为中标候选人（当投标价得分相等时，以投标价较低者优先），招标人可以设定投标控制价上限（取消下限，取消技术评分）。 适用范围：除技术特别复杂的特大桥和长大隧道工程外，采用合理低价法进行 评标。 注意事项：招标人在出售招标文件时，应同时提供“工程量清单的数据应用软件盘”，“工程量清单的数据应用软件盘”中的格式、工程数量及运算定义等应保证投标人无法修改。 2、最低评价法： 方法简介：由评标委员会推荐通过初步评审和详细评审且评标价最低的前三个 投标人为中标候选人。出现低于正常报价15%以下时，需要证明，否则作废标处理。如果中标，需要增加现金担保。 适用范围：使用世界银行、亚洲开发银行等国际金融组织贷款的项目和工程规 模较小、技术含量较低的工程采用最低评标价法进行评标。 注意事项：建议招标人设立标底，严格控制低价抢标行为，标底应在开标时公布；在签定合同时要特别明确施工人员、设备的进场要求、工程进度要求，以 及违约责任和处理措施。 3、综合评估法 方法简介：评标委员会对所有通过初步评审和详细评审的投标文件的评标价、 财务能力、技术能力、管理水平以及业绩与信誉进行综合评分，按综合评分由 高到低排序，推荐综合评分得分最高的三个投标人为中标候选人。 分有标底方式（标底应在开标时公布，在评标过程中仅作为参考，不能作为决 定废标的直接依据。）和无标底方式（与03范本相同）。 适用范围：本办法仅适用于技术特别复杂的特大桥梁和长大隧道工程。 注意事项：建议招标人设立标底，或设定投标控制价上限。 4、双信封评标法 方法简介：报价、清单与商务、技术标分别密封，分两次开标，先开技术标和商务标，评出前三名，再开报价标（与03范本相同）。 适用范围：适合规模较大、技术比较复杂或特别复杂的工程，但应按照本指导 意见和项目的不同特点，采用合理低价法、最低评标价法或综合评估法。 注意事项：采用本办法评标程序比较复杂、时间较长，但可以消除技术部分和投标报价的 相互影响，更显公平。特别注意技术评标期间的信息保密和报价信封的保管工作。 在工程设计过程中有很多计算采用的系数表都要用到线性插值问题，在一次线性插值中可以在Excel中一次输值得到解决，但二次线性插值(指横纵坐标都要进行插值)在Excel中得二次输值才能得到结果，这个过程很麻烦。所以找一个解决插值问题的方法对于设计人员在设计中会有很大的帮助，会节省很多的时间。 一次线性插值解决工程设计中计算的系数问题，可以在Excel中一次输值得到解决；但二次线性插值就很麻烦。本文解决线性插值的方法是用大型有限元软件ANSYS来进行插值计算。从而减少了很多麻烦，大大节省计算时间。 1.利用ANSYS软件插值用到的主要内容 在ANSYS中可以定义数组参数，数组按照维数可以分为3类：①一维数组：只有1列数据，相当于1个列矢量，可以用于一次线性插值计算。②二维数组：二维阵列数据结构，由行与列组成。每列相当于1个矢量，即二维数组可以看成由多个一维数组即列矢量构成，可以用于二次线性插值计算。③三维数组：三维列数据结构，由行、列和面组成，每个面相当于1个二维数组。可以用多个不同的表格的二次线性插值计算。 ANSYS允许定义3种数组类型，他们分别是：①ARRY 数值型数组：是缺省的数组类型，用于存储整型或实型数据，行、列和面的下标是从l开始的连续整数。②CHAR字符型数组：用于存储字符串的数组，行、列和面的下标是从1开始的连续整数。③TABLE表：用于存储整数或实数，是一种特殊的数值型数组，可以实现在数组元素之问的线性插算法。可以给每一行、列和面定义数组下标，并且下标为实数(而不是连续的整数)，可以根据下标实现数据插值算法。 2.计算示例 下面举个二次线性插值的例子，见表1。 首先利用·DIM命令定义Table表类型数组的格式为：*DIM,Par,Table,IMAX，JMAX，KMAX 其中：Par是数组名；Table是表类型数组；IMAX，JMAX， KMAX分别是数组行、列和面下标的最大值。进行插值计算命令语句为：*DIM，M_TABLE，TABLE，8,5,1 M-TABLE(1，O，1)=O.4，O，5，0.6，O.7，0.8，O.9，1.O !指从第一行开始依次填充第零列数值 M_TABLE(0，l，1)=O.2，O.425，0.438，O.450，O.458，O.467，O.473，O.479 !指从第零行开始依次填充第一列数值 Matlab线性插值 已知离散点上的数据集，即已知在点集X上对应的函数值Y，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。 MATLAB命令：yi=interp1(X, Y, xi, method) 该命令用指定的算法找出一个一元函数，然后以给出xi处的值。xi可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method可以下列方法之一： 'nearest'：最近邻点插值，直接完成计算； 'spline'：三次样条函数插值； 'linear'：线性插值（缺省方式），直接完成计算； 'cubic'：三次函数插值； 对于[min{xi},max{xi}]外的值，MATLAB使用外推的方法计算数值。下面是一个例子：t=1900:10:1990; p=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633]; x=1900:0.01:1990; %使用不同的方法进行一维插值 yi_linear=interp1(t,p,x); %线性插值 yi_spline=interp1(t,p,x,'spline');%三次样条插值 yi_cubic=interp1(t,p,x,'cubic');%三次多项式插值 yi_v5cubic=interp1(t,p,x,'v5cubic');%matlab5中使用的三次多项式插值 %绘制图像对比 %subplot是将多个图画到一个平面上的工具。其中，m表示是图排成m行，n表示图排成n列，也就是整个figure中有n个图是排成一行的，一共m行，如果第一个数字是2就是表示2行图。p是指你现在要把曲线画到figure中哪个图上，最后一个如果是1表示是从左到右第一个位置。 subplot(2,1,1); plot(t,p,'ko'); hold on; plot(x,yi_linear,'g','LineWidth',1.5);grid on; plot(x,yi_spline,'y','LineWidth',1.5); 收费基价直线内插法计算公式 ) (1121 21X X X X Y Y Y Y -?--+ = 说明： 1、X 1、Y 1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y 1、Y 2为对应于X 1、X 2的收费基价；X 为某区段间的插入值；Y 为对应于X 由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 万元） (22.19)500600(500 10005 .161.305.16=-?--+=Y Y （收费基价） Y 2 Y Y 1 12 X （计费额） 施工监理服务收费基价表 国家发展改革委建设部发改价格[2007]670号 注:本规定自2007年5月1日起执行，计费额大于1000000万元的,以计费额乘以 1.039％的收费率计算收费基价,计费额处于两个数值之间的，采用直线内插法确定施工监理服务收费基价。 监理费计算方法一、取费基价标准 二、施工阶段监理服务收费（监理费）计算书 （一）公式：施工阶段监理服务收费基准价=施工阶段监理服务收费基价×专业调整系数×工程复杂程度调整系数×高程调整系数 （二）计算施工阶段监理服务收费计费额：（以北师大工程为例）本工程预算投资额为2883万元，该工程项目的施工监理服务收费的计算额为2883万元。 （三）计算施工监理服务收费基准价： 1、采用内插法确定施工监理服务收费基价： 计算额收费基价 1000万元30.1万元 2883万元 X万元 3000万元78.1万元 本工程计算为为2883万元的收费基价X计算如下： X=30.1+(78.1－30.1)/（3000-1000）×（2883-1000）=75.292 2、调整系数计算： 监理费按照《国家发展和改革委员会建设部关于建设工程监理与服务收费管理规定的通知》（发改价格【2007】670号）的规定进行填报。 （1）投标文件中，专业调整系数为1.0；工程复杂程度系数为0.85；高程调整系数为1.0. 直线内插法 直线内插法(1张) 是一种使用线性多项式进行曲线拟合的方法，多使用在数量分析和计算机制图方面，是内插法的最简单形式。 两个已知点之间的直线内插法： 如果两已知点（x0,y0）（x1,y1)， 那么 (y-y0)/(x-x0)=(y1-y0)/(x1-x0) 解方程得： y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0) 经过扩展，可以计算n个已知点的情况。 编辑本段实际应用 在实验心理学试验中，求绝对阈限时，通常使用直线内插法。将刺激作为横坐标，以正确判断的百分数作为纵坐标，画出曲线。然后再从纵轴的50%或75%（判断次数百分率）处画出与横轴平行的直线，与曲线相交于a点，从a点向横轴画垂线，垂线与横轴相交处就是两点阈，其值就是绝对阈限。 内插法 报酬率的计算都会涉及到内插法的计算。不过一般要分成这样两种情况： 1.如果某一个投资项目是在投资起点一次投入，经营期内各年现金流量相等，而且是后付年金的情况下，可以先按照年金法确定出内含报酬率的估计值范围，再利用内插法确定内含报酬率 2.如果上述条件不能同时满足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通过多次试误求出内含报酬率的估值范围，再采用内插法确定内含报酬率。 下面举个简单的例子进行说明： 某公司现有一投资方案，资料如下： 初始投资一次投入4000万元，经营期三年，最低报酬率为10%，经营期现金净流量有如下两种情况：（1）每年的现金净流量一致，都是1600万元；（2）每年的现金净流量不一致，第一年为1200万元，第二年为1600万元，第三年为2400万元。 问在这两种情况下，各自的内含报酬率并判断两方案是否可行。 根据（1）的情况，知道投资额在初始点一次投入，且每年的现金流量相等，都等于1600万元，所以应该直接按照年金法计算，则 NPV=1600×(P/A，I，3)－4000 由于内含报酬率是使投资项目净现值等于零时的折现率， 所以令NPV=0 则：1600×(P/A，I，3)－4000=0 (P/A，I，3)=4000÷1600=2.5 查年金现值系数表，确定2.5介于2.5313(对应的折现率i为9%)和2.4869(对应的折现率I 为10％)，可见内含报酬率介于9％和10％之间，根据上述插值法的原理，可设内含报酬率为I, 则根据原公式： (i2-i1)/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1). 内插法 i2 =10%，i1=9%，则这里β表示系数，β2=2.4689，β1=2.5313， 而根据上面的计算得到β等于2.5，所以可以列出如下式子： （10%-9%）/（I-9%）=（2.4689-2.5313）/（2.5-2.5313），解出I等于9.5%，因为企业的最低报酬率为10%，内含报酬率小于10%，所以该方案不可行 根据（2）的情况，不能直接用年金法计算，而是要通过试误来计算。这种方法首先应设定一个折现率i1，再按该折现率将项目计算期的现金流量折为现值，计算出净现值NPV1；如果NPV1＞0，说明设定的折现率i1小于该项目的内含报酬率，此时应提高折现率为i2，并按i2重新计算该投资项目净现值NPV2；如果NPV1<0，说明设定的折现率i1大于该项目的内含报酬率，此时应降低折现率为i2，并按i2重新将项目计算期的现金流量折算为现值，计算净现值NPV2。 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下： A表示租赁开始日租赁资产的公平价值； R表示每期租金数额； S表示租赁资产估计残值； n表示租期； r表示折现率。 通过简单的试错，找出二个满足上函数的点（a1，b1）（a2，b2），然后，利用对函数线性的假设，通过以下比例式求出租赁利率： 内插法应用举例 内插法在财务管理中应用很广泛，如在货币时间价值的计算中，求利率i，求年限n;在债券估价中，求债券的到期收益率；在项目投资决策指标中，求内含报酬率。中级和CPA教材中都没有给出内插法的原理，很多同学都不太理解是怎么一回事。下面我们结合实例来讲讲内插法在财务管理中的应用。 一、在内含报酬率中的计算 内插法在内含报酬率的计算中应用较多。内含报酬率是使投资项目的净现值等于零时的折现率，通过内含报酬率的计算，可以判断该项目是否可行，如果计算出来的内含报酬率高于必要报酬率，则方案可行；如果计算出来的内含报酬率小于必要报酬率，则方案不可行。一般情况下，内含报酬率的计算都会涉及到内插法的计算。不过一般要分成这样两种情况： 1.如果某一个投资项目是在投资起点一次投入，经营期内各年现金流量相等，而且是后付年金的情况下，可以先按照年金法确定出内含报酬率的估计值范围，再利用内插法确定内含报酬率 2.如果上述条件不能同时满足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通过多次试误求出内含报酬率的估值范围，再采用内插法确定内含报酬率。 下面我们举个简单的例子进行说明： 某公司现有一投资方案，资料如下： 初始投资一次投入4000万元，经营期三年，最低报酬率为10%，经营期现金净流量有如下两种情况：（1）每年的现金净流量一致，都是1600万元；（2）每年的现金净流量不一致，第一年为1200万元，第二年为1600万元，第三年为2400万元。 问在这两种情况下，各自的内含报酬率并判断两方案是否可行。 根据（1）的情况，知道投资额在初始点一次投入，且每年的现金流量相等，都等于1600万元，所以应该直接按照年金法计算，则 NPV=1600×(P/A，I，3)－4000 由于内含报酬率是使投资项目净现值等于零时的折现率， 所以令NPV=0 则：1600×(P/A，I，3)－4000=0 (P/A，I，3)=4000÷1600=2.5 袁彩云的C程序 1.eccz #include m=1.0; for(j=k+1;j<=k+1;j++) j=k-1~k+1 if(j!=i) m=m*(x1-x[j])/(x[i]-x[j]); y1=y1+m*y[i]; } return y1; } 2.xxcz #include 线性插值法 线性插值法是指使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值的方法。 如何进行线性插值 假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的值。根据图中所示，我们得到 假设方程两边的值为α，那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到α的值 同样， 这样，在代数上就可以表示成为： y = (1 ? α)y0+ αy1 或者， y = y0 + α(y1? y0) 这样通过α就可以直接得到y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且α也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插—参见外插值。 已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。 线性插值近似法 线性插值经常用于已知函数f在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误线定义为 RT = f(x) ? ρ(x) 其中ρ表示上面定义的线性插值多项式 根据罗尔定理，我们可以证明：如果f有两个连续导数，那么误差范围是 正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。 线性插值法的计算实例 线性插值法是认为现象的变化发展是线性的、均匀的，所以可利用两点式的直线方程式进行线性插值。 两点式的直线方程式为： 即 式中X0,Y0,X1,Y1——已知的统计数据； X——X0,X1之间的任何数据； Y——与X对应的插值数据。 例某地区居民货币收入和消费支出情况如表1所示。试推算该地区居民收入为19．5亿元时，其相应的消费支出是多少? 表1 居民货币收入和消费支出资料(单位：亿元) 解 = 16.9 所以，当该地区居民收入是19．5亿元时，其消费支出是16．9亿元。 线性插值法计算公式解 析 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2 图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式 图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D- D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F）/(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分 分析：此题属于图二的适用情形，套用公式线性插值法计算公式解析
直线内插法
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四种工程常用的评标办法(含直线内插法)
如何在ANSYS中运用插值计算
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监理与相关服务收费标准-直线内插法计算
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线性插值和二次插值的C程序--注解
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