思科数学【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第05讲 子集教案
第5讲 子集
本讲内容有子集、子集的个数、集合的划分及子集的应用。
设a 表示任意元素，B A ,表示两个集合。若B a A a ∈?∈ ，则B A ? ，
即集合A 是集合B 的子集。规定空集是任何集合的子集。
子集是由原集合中的部分元素构成。对于由n 个元素组成的集合，它的每一个子集中元
素的构成，都是对这n 个元素进行选择的结果。由于对每一个元素的选择都有两种可能（选
上或不选），因此，对这n 个元素共有n 2种不同选择结果，即由n 个元素组成的集合共有n 2
个不同子集。其中，不同的非空子集有12
-n 个，不同的真子集有n 2个。 A 类例题
例1 求集合}03|{2=++-∈=a ax x R x M 的子集的个数。
分析 欲求集合M 的子集的个数，可先求出集合M 的元素的个数。
解 由032=++-a ax x
，得)6)(2(1242-+=--=?x x a a 。 当62>- 或时，? 当62<< -a 时，?>?0 原方程有两个不等的实数解。 所以，当62>- 或时，集合φ=M ，有1个子集； 当62=-=a a 或时，集合}{0x M =，有2个子集； 当62<< -a 时，集合},{21x x M =，有4个子集‘ 例2 求满足},,,,{},{e d c b a P b a ??的集合P 的个数。 分析 本题要求的是集合},,,,{e d c b a 中，必定含有元素b a ,的子集的个数，只要 求出集合},,{e d c 的子集数。 解 由集合},,{e d c 的子集数为823=，得所求集合P 的个数为8。 例 3 已知集合}7,6,5,4,3,2{=A ，对A X ?，定义)(X S 为X 中所有元素之和。求全体)(X S 的总和S 。 分析 要求出全体)(X S 的总和S ，只要求出每个元素出现的次数。 解 由集合元素的互异性，得集合A 中某个元素在总合S 中出现的次数，就是集合A 中含有该元素的子集数。所以， 全体)(X S 的总和86402)765432(5=?+++++=S 。 情景再现 1．设集合}14|),{(2+-==x x y y x A ，}12|),{(-==x y y x B 。 求集合B A 的子集的个数。 2．若数集},4,2,1{},2,1{}1,{2a a a ??，则a 的值是_____。（1998 年 第九届“希望杯”高一） 3．设非空集合}7,6,5,4,3,2,1{?A ，且当A a ∈ 时，必有A a ∈-8，问：这样的A 共有多少个？ B 类例题 例4 在某次竞选中，各个政党共作出p 种不同的诺言)0(>p ，任何两个政党都 至少有一种公共诺言，但没有两党作出完全相同的诺言。试证明，政党的数目不多于12 -p 个。 （1972年加拿大数学竞赛） 分析 这是一道有实际背景的问题。首先应选择适当的数学模型刻画这一问题。由题 意，将“诺言”作为元素，运用集合进行分析和研究。 证明 将p 种不同的诺言构成集合A ，则每一个政党所作的诺言构成的集合是集合 A 的子集。因而政党数应不大于集合A 的子集数。 又任何两个政党都至少有一种公共诺言，所以任何两个政党所对应的子集不可能是一 对互补的子集。故政党数122 2-=≤p p 。 例5 证明：任意一个有限集的全部子集可以这样排列顺序，使得任何两个相邻的子 集仅相差一个元素。 （1972年波兰数学奥林匹克） 分析 本题可采用构造方法进行证明，即对任意一个有限集的全部子集给出一个排列 方法，满足题设的要求。为此，可从特殊情况入手进行探索。 若有限集元素的个数1=n 时，子集数为2，可排列为}{,1a φ； 当2=n 时，子集数为22，可排列为}{},,{},{,2211a a a a φ； 当3=n 时，子集数为23 ，可排列为 }; {},,{},,,{},,{},{},,{},{,331321322211a a a a a a a a a a a a φ 每增加1个元素，子集数增加1倍。将原来已排列好的所有子集分别增加一个新元素， 得到又一列排列好的子集。再将排列好的子集倒序后，接排在原来已排好的子集列后面，得 到符合条件的新的子集列。 证明 设有限集的元素个数为n 。 当1=n 时，子集数为2，全部子集可排列为:}{,1a φ； 当2=n 时，子集数为22，全部子集可排列为:}{},,{},{,2211a a a a φ； 当3=n 时，子集数为23 ，全部子集可排列为: }; {},,{},,,{},,{},{},,{},{,331321322211a a a a a a a a a a a a φ 若k n =时，子集数为2k ，全部子集可排列为:k A A A 221,,, ,且任何两个相邻的子集 仅相差一个元素。 当1+=k n 即增加一个元素1+k a 时，按下面的方法可得由1+k 个元素组成的 有限集的全部子集的一个排列， ,,,,221k A A A 1112121,,,A a A a A a k k k k k +-++。 因为k A A A 221,,, 共2k 个子集中任何两个相邻的子集仅相差一个元素，所以， 1112121,,,A a A a A a k k k k k +-++共2k 个子集中任何两个相邻的子集也仅 相差一个元素。又k A 2与k A a k 21 +也相差一个元素，因此，上述由1+k 个元素组成 的有限集的全部子集的一个排列是符合条件的排列。 由此，我们得到对任意一个有限集的全部子集的符合条件的排列方法，即原命题得证。 例6设M A N n n n M ?∈≤≤=,},19951|{，且当A x ∈时， A x ?15。求||A 的最大值。 （1995年全国高中数学联赛） 分析 由题意，x 与x 15不能同属于集合A 。按照集合A 的这一本质特征，构造具 有最多元素的集合A 。 解 由133]151995[=，又x 与x 15不能同属于集合A ，得 A N n n n A ?∈≤≤=},1995134|{1。 由8]15 133[=， 得集合},1339|{2N n n n A ∈≤≤=已不可能与集合1A 同为集合A 的子集。故187********|| =-≤A 。 设},81|{3N n n n A ∈≤≤= ，经检验，31A A 是满足条件的集合，且 1870||31=A A 。所以，||A 的最大值为1870。 情景再现 4．在一次IMO 竞赛中，k 个领队共使用n 种不同语言。如果任何两个领队至少使用一 种共同语言，但没有任何两个领队使用的语言完全相同。求证：12-≤n k 。 5．已知},,{321a a a B A = ，当B A ≠时，),(B A 与),(A B 视为不同的对， 则这样的),(B A 对的个数有____________个。 （1993年全国高中数学联赛） 6．设集合A 是整数集Z 的子集，其中的元素有正整数，也有负整数，且若A b a ∈,（允 许b a =），则A b a ∈+，求证：若A b a ∈,，则 A b a ∈-。 C 类例题 例7 对},,2,1{n 及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和” ：对每一个子集按照递减的次序重新排列，然后从最大的数开始交替的减或加后继的数（例如， }9,6,4,2,1{的“交替和”是}5{;612469=+-+-的“交替和”是5）。对 7=n ，求所有这些“交替和”的总和。 （第1届美国数学邀 请赛） 分析 求所有这些“交替和”的总和的关键，在于每一个数字在“交替和”中出现的 次数及符号。 解 对集合},,2,1{n 的全部子集分为两类：含元素n 的子集共有12 -n 个，不含元素n 的子集也有12-n 个。 将含元素n 的子集},,,,{21k a a a n 与不含元素n 的子集},,,{21k a a a 相对应，得这两个子集的“交替和”恒为n 。 所以，所有这些“交替和”的总和为n n ?-12。当7=n 时， “交替和”的总和为448276=?。 例8 已知集合S 中有10个元素，每个元素都是两位数。求证：一定可以从S 中取出两个无公共元素的子集，使两个子集的元素和相等。 (1972年14届IMO) 分析 本题要求的是从集合S 的子集中，找到两个元素和相等的子集。这两个子集即使有公共元素，只要同时除去公共元素就可以满足题意。 证明 由集合S 中每个元素都是两位数，故它们的总和不超过1000。而集合S 共有1024210=个子集。由抽屉原理，得集合S 的子集中至少有两个子集的和相等。若这两个子集有公共元素，只要同时从这两个子集中同时除去公共元素，得到两个无公共元素的子集，且使两个子集的元素和相等。即命题得证。 情景再现 7．设集合},101|{N n n n M ∈≤≤=。现对M 的任意一个非空子集X ，令X a 表示X 中最大数与最小数之和，那么，所有这样的X a 的算术平均值为___________。 8．由前n 2个正整数组成的集合},21|{*∈≤≤∈=N n n m N m M ，从中任取1+n 个元素组成M 的子集A ，求证：集合A 中必有两个数,,j i a a 使得A a a j i ∈+，或者i j a a 2=。 习题5 1． 若}12,3,2{|}1|,2{2-+?+a a a ，试确定a 的值。 2．已知集合}, 101|{N n n n A ∈≤≤=，}5,4,3,2,1{=B ，若C 是A 的子集，且φ≠C B ，则子集C 有多少个？ 3．若},121|{N m m n N n A ∈-≤≤∈?，且A a ∈时，必有A a m ∈-2，求证：这样的子集共有12-m 个。 4．已知集合},,1|{N n k k n n X ∈≤≤=，对,X A ? 将A 中所有元素的和记为)(A S ，将X 分为互不相交的两个子集 B A ,且X B A = ，若)(2)(B S A S =，求k 的所有值。 5．矩形城市的道路非常规则，恰好东西向、南北向的道路分别有n m ,条。一位妇女住在城市的西南角，工作在东北角。她每天步行去工作。如果每个交叉路口不得经过两次，证明她所能选取的路线数目 ),(n m f 不大于mn 2。 （第9届加拿大数学竞赛） 6．已知集合},101|{N n n n ∈≤≤，求满足至少含有两个元素且任意两个元素的差的绝对值大于1的子集的个数。 （1996年上海爱朋思杯赛） 7． 设集合},1001|{N x x x A ∈≤≤?且对任意的A y x ∈,，必有y x ≠2，则子集A 所含元素个数的最大值为___________________. (1991年河南省集训题) 8．已知集合},,,{.}19971|{21k a a a A n N n S =≤≤∈=是S 的子集，且具有下述性质：“A 中任意两个不同元素的和不能被117整除。”试确定k 的最大值并证明你的结论。（1997年全国高中数学联赛） 答案 情景再现 1． 解 0261 21422=+-????-=+-=x x x y x x y 由028836>=-=? ，得2||=B A 。 所以，集合B A 的子集的个数为4。 2． 解 由题意，1042==?==?=a a a a a a 或或。经检验， a 的值是0或4。 3． 解 由题意，1与7，2与6，3与5中每一对数必须在同一个集合A 内。因此， 所求集合A 的个数等同于以1与7，2与6，3与5及4为元素的集合的非空子集 的个数。所以，这样的A 共有1512 4=-（个）。 4． 略证 设n 种不同语言构成集合P ，则任何一个领队对应于集合P 中不互补的 非空子集。所以， 122 2-=≤n n k 。 5． 解由集合B A ,都是B A 的子集，B A ≠且},,{321a a a B A = 。当 φ=A 时，B 有1种取法；当A 为一元集时，B 有2种取法；当A 为二元集时，B 有4种取法；当A 为三元集时，B 有7种取法。故不同的),(B A 对有 26743231=+?+?+（个）。 6． 证明 设集合A 中，最小的正整数为x ，最大的负整数为y 。 由,,A y A x ∈∈ 则A y x ∈+。又x y x y <+<，则y x +不可能是非 零整数（否则，与y x ,分别是集合A 中最小的正整数和最大的负整数矛盾），即x y y x -=?=+0。 由题意，易得*)(N n A nx A x ∈∈?∈。 综上，},|{Z n nx a a A A x ∈==?∈。 若A b a ∈,，则 A x n m b a nx b mx a ∈-=-?==)(,,。即原命 题得证。 7． 略解 集合M 中元素k ，以最大数出现的次数等于集合 }11|{-≤≤∈k n N n 的非空子集数12-k ，以最小数出现的次数等于集合 }101|{≤≤+∈n k N n 的非空子集数k -102。所以，所求的平均值为 )]22(10)22(2)22(1[121 0989010+?+++?++?- 11)]222)(101[(121 9010=++++-= 。 8． 略证 设子集},,,{121+=n a a a A ，且n a a a n 2121 ≤<<<+ 。 作差，得 n i a a b i n i ,,2,1,1 =-=+，且n a b b b n n 2121≤<<<<+ 。 于是 n a a a b b b n n 2,,,,,,,11 2121≤≤+ , 由抽屉原理，必有 ()A a a a a a a j i a b n j i j i n j i ∈=+?=-?≠=++11； 或 )(21j n i i i a a a a b ==?=+。即原命题得证。 习题5 1． 略解 ;423|1|-==?=+a a a 或 3112|1|2-==?-+=+a a a a a 或。 经检验，a 的值为4-或2。 2． 解 1 由集合A 的子集中除去不含集合B 中元素的子集，得子集C 共有 99222510=-（个） 。 解2 子集C 的元素是由集合}10,9,8,7,6{的任意一个子集中的元素，与集合B 的任意一个非空子集中的元素组成。所求的子集C 共有992)12(255=-?（个）。 3． 证明 由题意，1与12-m ，2与 ,22-m 中每一对数必须在同一个集合A 内。 因此，所求集合A 的个数等同于以1与12-m ，2与 ,22-m 及m 为元素的集合的非空子集的个数。所以，这样的A 共有12 -m （个）。 4． 略解 由题意，)1(61)(31) (+==k k X S B S 。 因而，1+k k 或是3的倍数。 若m k 3=，集合A 取集合X 中形如233-m m 或的元素构成，集合B 取集 合X 中形如 13-m 的元素构成，则集合B A ,满足题设要求； 若13-=m k ，集合A 取集合X 中形如133-m m 或的元素构成，集合B 取集合X 中形如23-m 的元素构成，则集合B A ,满足题设要求。 所以，所求k 的值为)(133N m m m ∈-或。 5． 略证 设mn 条道路构成集合P 。这位妇女的每条路线对应于集合P 的一个子集。 所以，他所能选取的路线数),(n m f 不大于集合P 的子集数，即有mn n m f 2),(≤。 6． 略解 设k a 表示集合},1|{N n k n n A k ∈≤≤=满足题设条件的子集数。考察集合},21|{2N n k n n A k ∈+≤≤=+满足题设条件的子集构成。它的满足 条件的子集可分为两类：一类不含元素2+k ，即集合1+k A 中满足条件的子集，应有1+k a 个；另一类含元素2+k ，此类子集或者是集合k A 中满足条件的子集有k a 个，或者是}2,{,,}2,2{,}2,1{+++k k k k 等有k 个。因此， .12 N k k a a a k k k ∈++=++ 易知， })3,1({,13=a ， })4,2{},4,1{},3,1({,34=a ， 由上式可依次推得， .133,,14,71065===a a a 7． 略解 由 ,6]2 12[,12]225[,25]250[,50]2100[==== 构造满足条件且元素最多的子集： }100,52,51{}25,,14,13{}6,5,4{}1{ [ 共有元素67个。 8． 略解 将1997按除以117的不同余数分为117类：[0]，[1]，,,]2[ [116] （[n ]表示除以117的余数为n ）. 由8171171997+?=，得]8[],2[],1[ 每类各18个元素，其余各类各17 个元素。 由题意，余数之和为117的两类不能同在一个子集内，从而构造含元素最多的子集：取]58[,,]2[,]1[ 类的所有元素及[0]类的一个元素构成集合A ，此时共有元素995 个。即k 的最大值为995。 2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -=． 7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? ． （1）求证：1()2 A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数． 11．设,,, abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值． 高中数学竞赛校本课程 一、课程目标 数学是研究空间形式和数量关系的学科，也是研究模式与秩序的一门学科。数学本身的特点决定了它作为科学基础的地位，中学数学的内容与其中蕴含的数学思想方法，尤其是通过数学学习培养的思考问题、解决问题的数学能力将在更深一层次的科学研究中大有作为。 1、夯实学生数学基础，使学生熟练掌握各种数学基本技能；全面提高学生演绎推理、直觉猜想、归纳抽象、体系构建、算法设计等诸多方面的能力，并在此基础上培养学生学习新的数学知识的能力，数学地提出、分析、解决问题的能力，数学表达与交流的能力；发展学生数学应用意识与数学创新意识。 2、努力扩展学生的数学视野，全面渗透研究性学习，激发学生学习数学的兴趣，使学生能欣赏数学的美学魅力，认识数学的价值，崇尚数学的思考，培养从事科学研究的精神与方法。 3、多角度衔接高等教育，大胆引入现代数学基本理念，为学生继续从事高深科学领域的学习奠定所必需的数学基础。 二、课程设计理念与课程内容特色 本课程始终围绕学生群体设计，从他们的学习与发展的实际学情为基本出发点。课程的内容的选择是严格的，它具有鲜明的针对性，能体现数学教学的特点。本课程设计向要突现以下几点： 1、注重发展学生的数学综合能力 “学以致用”，数学知识的学习必须进入运用的层次，接受实践的考验。20世纪下半叶以来，数学的最大发展是应用，这也对数学教学产生了深刻的影响。本课程在数学知识的理论应用与实践运用上大大加强，数学的融会贯通与“数学建模”成为主体；加强了数学各分支间的结合，以重要的数学思想方法来贯穿数学学习。 2、重视数学思想与数学方法养成的创新学习理念 传授数学知识不是数学教学的重点，‘授人以鱼，不若授之以渔’。引导学生掌握解决问题的科学的数学思想与数学方法是本课程的核心。课程不完全以知识系统为主线，很多例题与练习是为了凸现其中的蕴含的数学思想方法而设计。本课程试图通过数学思想方法的养成为学生形成正确的，积极主动的学习方式创造有利条件，为学生提供“提出问题，探索研究，实践应用”的空间，帮助学生形成独立思考、自主钻研的习惯，培养学生的自主能力，提高理性的数学思维，养成勇于创新的科学理念。 3、拓展数学视野，形成开放体系，努力增强时代感 由于本课程的学习对象为具备教好的数学基础与学习能力的学生，因此在内容上必须有一定的深度与广度，要能够印发学生的思考，要有新的知识内容与视角，传统的 数学课程内容长期以来已经模式化，可选择性不强，本课程大胆突破高考限制，引入“向量几何”、“矩阵理论”、“概率统计”、“线性规划”、“微积分初步”等现代数学内容，摆脱以往数学课程内容的被动与滞后，是本课程力图突破的一点。此外，本课程通过每个章节设置的“本章阅读”介绍著名数学家、数学趣题、数学发展史以及最新数学进展来拓展学生的视野，提高学习数学兴趣。 三、课程内容与数学计划 高一上学期 第一章.集合与命题 第二章.函数 第三章.不等式 第四章.三角函数 2017年上海市高三数学竞赛（）解答（供参 考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域： ]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 计算可得： 归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2－18a n ＋81 = 0 ； 由求根公式可得：2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得：|3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49， 由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *时，3±= 1+n n a a ， 进而3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9 ，从中任意 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+= 2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 （2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30） 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞，则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1 2121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2, ,2009}A =，集合L A ?， 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤，都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。 10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P 11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的 子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切 第十四章 极限与导数 一、 基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞→，另外)(lim 0 x f x x + →=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类 似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2．极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)± g(x)]=a ±b, 0 lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+ Δx)-f(x 0)).若x y x ??→? lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ，即 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导 的必要条件。若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 第十七章 整数问题 一、常用定义定理 1．整除：设a,b ∈Z,a ≠0，如果存在q ∈Z 使得b=aq ，那么称b 可被a 整除，记作a|b ，且称b 是a 的倍数,a 是b 的约数。b 不能被a 整除，记作a b. 2 带余数除法：设a,b 是两个给定的整数，a ≠0，那么，一定存在唯一一对整数q 与r ，满足b=aq+r,0≤r<|a|，当r=0时a|b 。3．辗转相除法：设u 0,u 1是给定的两个整数，u 1≠0，u 1 u 0,由2可得下面k+1个等式：u 0=q 0u 1+u 2,01且n 为整数，则k a k a a p p p n 2121 ，其中p j (j=1,2,…,k)是质数（或称素数），且在不计次序的意义下，表示是唯一的。 6．同余：设m ≠0,若m|(a-b)，即a-b=km ，则称a 与b 模同m 同余，记为a ≡b(modm)，也称b 是a 对模m 的剩余。 7．完全剩余系：一组数y 1,y 2,…,y s 满足：对任意整数a 有且仅有一个y j 是a 对模m 的剩余，即a ≡y j (modm)，则y 1,y 2,…,y s 称为模m 的完全剩余系。 8．Fermat 小定理：若p 为素数，p>a,(a,p)=1，则a p-1≡1(modp)，且对任意整数a,有a p ≡a(modp). 9．若(a,m)=1，则)(m a ≡1(modm), (m)称欧拉函数。 10．（欧拉函数值的计算公式）若k a k a a p p p m 2121 ，则 (m)=.)11(1 k i i p m 11．（孙子定理）设m 1,m 2,…,m k 是k 个两两互质的正整数，则同余组： x ≡b 1(modm 1),x ≡b 2(modm 2),…,x ≡b k (modm k )有唯一解， x ≡'1M M 1b 1+'2M M 2b 2+…+'k M M k b k (modM)， 其中M=m 1m 2m k ；i M =i m M ，i=1,2,…,k ；i i M M '≡1(modm i ),i=1,2,…,k. 二、方法与例题 1．奇偶分析法。 例1 有n 个整数，它们的和为0，乘积为n ，（n>1），求证：4|n 。 2．不等分析法。 例2 试求所有的正整数n ，使方程x 3+y 3+z 3=nx 2y 2z 2有正整数解。 2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数 ()2f x 的解析式为 ． 答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()2 1f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ，得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ． 答案：2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22 1a b +=， ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=，于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 答案：2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=，所以arctan 2arctan 22 x x π -+= ， 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ，则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48． 谈高中数学竞赛辅导 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。笔者就对数学竞赛辅导谈谈自己的见解和做法，旨在抛砖引玉，以求大家共同探讨。 1.培养学生对数学竞赛的直接兴趣 直接兴趣是由于对事物本身或活动本身感到需要而引起的兴趣。在每学期开学第一节课，笔者都不急于讲授新课，而是向学生讲述数学家华罗庚等的故事；讲述数学在各行各业的用途；对其它各个学科有什么帮助；介绍华罗庚杯数学竞赛获奖学生勤奋学习的故事，通过这一系列的例子来激发学生对数学学习的重视和兴趣。 2.合理安排竞赛知识的先后顺序 数学竞赛知识无穷无尽，就高中学生而言也有很多，所以尽可能与教材结合增加学生的理解能力。数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的，类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法。所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证。 3.加强对个别学生的重点辅导 重点辅导是一个非常重要的问题，也是关键问题。学校不可能所有辅导的学生都同等优秀，总会有几个特别出色的，对待他们不可能跟其他同学站在同一角度出发，要求要特别高，在正常的课堂辅导外还要求他们自发学习和预习竞赛书上的所有内容，扩充他们整体的知识面。平常要多点关心他们的学习进度，解决困难问题，合理地梳理各部分的知识。 4.比赛前信心的确立和精神的放松 高中的学生，由于他们生理和心理的原因，在某些大事情面前是比较紧张和害怕的，当遇到一定的困难时就会不知所措，那么在比赛时就比较麻烦了。为了使他们确立信心和放松精神，笔者做了两件事，出一份模拟题；开一个考前座谈会。 5.总结 高中学生数学竞赛辅导。 高中数学教学设计大赛获奖作品汇编 （上部） 目 录 1、集合与函数概念实习作业…………………………………… 2、指数函数的图象及其性质…………………………………… 3、对数的概念………………………………………………… 4、对数函数及其性质（1）…………………………………… 5、对数函数及其性质（2）…………………………………… 6、函数图象及其应用…………………………………… 7、方程的根与函数的零点…………………………………… 8、用二分法求方程的近似解…………………………………… 9、用二分法求方程的近似解…………………………………… 10、直线与平面平行的判定…………………………………… 11、循环结构 ………………………………………………… 12、任意角的三角函数（1）………………………………… 13、任意角的三角函数（2）…………………………………… 14、函数sin()y A x ω?=+的图象………………………… 15、向量的加法及其几何意义……………………………………… 16、平面向量数量积的物理背景及其含义（1）……………… 17、平面向量数量积的物理背景及其含义（2）…………………… 18、正弦定理（1）…………………………………………………… 19、正弦定理（2）…………………………………………………… 20、正弦定理（3）…………………………………………………… 21、余弦定理……………………………………………… 22、等差数列……………………………………………… 23、等差数列的前n项和……………………………………… 24、等比数列的前n项和……………………………………… 25、简单的线性规划问题……………………………………… 26、拋物线及其标准方程……………………………………… 27、圆锥曲线定义的运用……………………………………… 学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射． 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x ， y ∈A ， x ≠y ， 都有f (x )≠f (y )则称之为单射． 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射． 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆 映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1 : A →B ． 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数．A 称为它的定义域，若x ∈A ， y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y 则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象．集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域．通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0，x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1 : A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x ， y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域．例如：函数y = x -11的反函数是y =1-x 1 (x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称． 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数． 定义7 函数的性质． （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1， x 2∈I 并且x 1< x 2，总有 f (x 1) 上海市高中数学竞赛 说明：解答本试题不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分） 1.方程组2 71211x x y x y ++?=??+=??的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动（点A 在点B 的左边）,点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 . 3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r = 4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则 AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C 的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x －1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 . 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组. 7.已知圆C 的方程为x 2+y 2－4x －2y +1=0（圆心为C ）,直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 . 二、解答题： 9.（本题满分为14分）对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x , 使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }. 10. （本题满分为14分）如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且 2019年浙江省高中数学竞赛试卷 说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1． 化简三角有理式x x x x x x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。 22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=( 4422s i n c o s s i n c o s x x x x =++ 。 2． 若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3． 集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或 C. {6,3}x x x <->或 D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-， {}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。 4． 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b . 若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ） A ．k r == B ．k r == C ．12k r == D ．1122 k r -±-±==解答．C. P Q Q R P R ==， 第六章 不等式 第一教时 教材：不等式、不等式的综合性质 目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。 过程： 一、引入新课 1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。 2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题 二、几个与不等式有关的名称 （例略） 1．“同向不等式与异向不等式” 2．“绝对不等式与矛盾不等式” 三、不等式的一个等价关系（充要条件） 1．从实数与数轴上的点一一对应谈起 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?x 从而2 2)1(+x >124++x x 小结：步骤：作差—变形—判断—结论 例三 比较大小1． 2 31-和10 解：∵ 232 31+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴ 2 31-<10 2． a b 和m a m b ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差） a b m a m b ++) () (m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时 a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b ２01５年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题（本大题共有8小题,每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共4８分） 1．“a＝2， b=”是“曲线C： 22 22 1(,,0) x y a b R ab a b +=∈≠ 经过点)”的（A)． A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A. 解答:当a =2, b=曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过)；当曲线Ｃ：22 22 1 x y a b += 经过点)时,即有22 21 1 a b +=, 显然2, a b =-=也满足上式。所以“a＝ 2, b=”是“曲线C： 22 22 1 x y a b += 经过点)”的充分不必要条件。 ２.已知一个角大于１20o的三角形的三边长分别为,1,2 m m m ++，则实数m的取值范围为( Ｂ)． Ａ．1 m>B．3 1 2 m < 2016年上海市高三数学竞赛试卷 2016年3月27日上午9：30～11：30 【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上. 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像与函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像与函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的解析式是 ． 2．复数z 满足|z |=1, w=3z 22 2 z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ． 3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 1 2 - (a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ． 6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示） 7. 在空间，四个不共线的向量OA 、OB 、 OC 、OD ,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ． 8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ． 二、解答题（本大题满分60分） 9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ； 求证：五边形A 1B 1C 1D 1E 1中至少有一条边的长度不小于cos 5 π ． 10．（本题满分15分）设p ，q 和r 是素数，且p |qr 1-(p |qr 1-表示qr 1-能被p 整除)，q |rp 1-和r |pq 1-;求pqr 的所有可能的值． 11．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足递推关系111 23 n n n a a +=-+（*n N ∈）; 求所有1a 的值，使{}n a 为单调数列，即{}n a 为递增数列或递减数列. 12．（本题满分15分）已知等边三角形ABC 的边长为5，延长BA 至点P ，使得|AP |=9. D 是线段BC 上一点（包括端点），直线AD 与BPC ?的外接圆交于E 、F 两点，其中|EA |<|ED |. (1)设|BD |=x ,试将|EA |-|DF |表示为关于x 的函数f (x ); (2)求f (x )的最小值. A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 A B C D E F P2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析
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