作业maple
一、Maple 程序编写实例
1. 如图中1所示单自由度弹簧质量系统在,质量块质量为m ,当质量块下拉弹簧处于平衡
位置时,静变形为40mm 。求此弹簧质量系统的振动规律。
解:●建模
图1
系统受力:mg,回复力kx 。物体作上下的自由振动运动。
● Maple 程序 > restart: #清零
> eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k* #∑=F x m x ..
(delta[st]+x):
> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项
> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换
delta[st]=m*g/k,eq):
> eq:=expand(eq/m): #展开
> eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq): #代换
> X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统通解
> k:=m*g/delta[st]: #弹簧刚度系数
> omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率
> x[0]:=-delta[st]: #初位移
> v[0]:=0: #初速度
> A:=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2): #振幅
> beta:=-Pi/2: #初相角
> delta[st]:=0.04:g:=9.8: #已知条件
> omega[0]:=eval(omega[0]): #已知条件
> A:=eval(A): #振幅数值
> X:=evalf(X,4); #系统振动规律
:= X -.04000()cos 15.65t
答:此弹簧质量系统的振动规律x=-0.04cos(15.65t)。
2. 一个质量为m 的物体在一根抗弯刚度为EJ ﹑长为l 的简支梁上作自由振动。若此物体在
梁未变形的位置无初速度释放,求系统自由振动的频率。
图2
解:●建模
系统受力:mg,F 。物体作直线运动。
● Maple 程序
> restart: #清零
> eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g- #∑=F x m x
..
k*(delta[st]+x):
> eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项
> eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换
delta[st]=m*g/k,eq):
> eq:=expand(eq/m): #展开
> eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq); #代换
:= eq = + DDx ω02
x 0
> X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统的通解
> k:=m*g/delta[st]: #梁的刚度系数
> omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率
> omega[0]:=subs(delta[st]=(mgl^3)
/(48*E*J),omega[0]); #代换 := ω048
g E J mgl 3 答:系统自由振动的频率为 := ω048g E J mgl
3。 3. 如图3所示一质量为m 、半径为r 的圆柱铁桶, 在半径为R 的圆弧上作无滑动的滚动。
求圆柱铁桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
解:●建模
系统受主动力:mg,F 1,F 2。圆桶运动为定轴转动。 图3
● Maple 程序 > resart: #清零
> J[O1]:=1/2*m*r^2: #圆桶的转动惯量
> v[O1]:=(R-r)*Dtheta: #圆桶中心O 1 线的速度v o1
> omega:=(R-r)*Dtheta/r: #作纯滚动角速度ω
> T:=1/2*m*v[O1]^2+1/2*J[O1]*omega^2: #系统的动能
> V:=m*g*(R-r)*(1-cos(theta)): #系统的势能
> V:=subs(cos(theta)=1-1/2*theta^2,V): #微动时,势能
> theta:=A*sin(omega0*t+beta): #θ的变化规律
> Dtheta:=diff(theta,t): #θ的导数
> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系统的最大动能
> Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系统的最大势能
> eq:=Tmax=Vmax: #机械能守恒
> solve({eq},{omega0}); #解方程
,{} = ω0-() - 6r 6R g - 3r 3R {} = ω0--() - 6r 6R g - 3r 3R 答:圆桶在平衡位置附近作微小振动的固有频率为R r g
R 336r 6-0--=)(ω
4. 如图4所示弹簧质量系统,作水平方向的自由振动,求小车的固有频率。
图4
解:●建模
系统受回复力:Kx 。小车作自由振动。
● Maple 程序
> restart: #清零
> x:=A*sin(omega0*t+beta): #小车运动的变化规律
> Dx:=diff(x,t): #x 的导数
> T:=1/2*m*(Dx)^2: #系统的动能
> V:=1/2*K*x^2: #系统的势能
> Tmax:=subs(cos(omega0*t+beta)=1,T): #系统的最大动能
> Vmax:=subs(sin(omega0*t+beta)=1,V): #系统的最大势能
> eq1:=Tmax=Vmax: #机械能守恒
> solve({eq1},{omega0}); #解方程
,{} = ω0m K m {} = ω0-m K m 答:小车在作往复运动的固有频率为m
K m 0=ω 5. 某精密设备用橡胶隔振器隔振,如图5所示。已知系统的固有频率为3.8Hz 。橡胶隔振
器的相对阻尼系数ζ=0.125。如地面振动的垂直分量是正弦振动,振幅为0.002mm,最大
振动速度为0.1256m/s 。试求设备的振幅。
解:●建模 图5
设备受力:mg,F e 。设备作曲线运动。
● Maple 程序
> restart: #清零
>B:=a*sqrt(((1+(2*zeta*lambda)^2) #振幅
/9(1-lambda^2)^2+(2*lambda*zeta)^2)):
> omega:=v/a: #地面振动频率
> p:=2*Pi*f: #系统振动频率
> lambda:=omega/p: #频率比
> v:=0.1256:a:=0.002: #已知条件
f:=3.8:zeta:=0.125:
> B:=evalf(B,4); #垂直振幅数值
:= B .001342
答:此设备的振幅为1.342mm.
6. 一汽车在波形路面上行驶,其模型可以简化为如图6所示的图形。路面的波形可以用函数x l
d y π2sin
=表示,其中振幅mm d 50=,波长m l 8=。汽车的质量kg m 2500=,弹簧的刚度系数为m kN k /300=。忽略阻尼,求汽车以15m/s 匀速前进时,车体的垂直振幅?
解:●建模
汽车受主动力:mg,F e 。汽车作曲线运动。 图6
● Maple 程序
> restart: #清零
> x:=y*t: #汽车匀速行驶位移
> y[1]:=d*sin(2*Pi*x/l): #路面波形方程
> y[1]:=subs(v=(omaga*l)/(2*Pi),y[1]): #代换
> omega:=(2*Pi*v)/l: #位移激振频率
> omega0:=sqrt(k/m): #系统的固有频率
> s:=omega/omega0: #频率比
> etal:=sqrt(1/(1-s^2)^2): #位移传递率
> b:=etal*d: #车体垂直振幅
> k:=300000:m:=2500:l:=8: #已知条件
> d:=0.050:v:=15: #已知条件
:=
b.3184
答:车体的垂直振幅为31.84cm。
7.龙门起重机设计中,为避免在连续启动制动过程中引起的振动,要求每一次由于启动过
程中或制动过程中引起的振动的衰减时间不得过长。有如下规定:起重质量不大于50吨的龙门起重机,在纵向水平振动时,振幅衰减到最大振幅的5%所需的时间应在25~30秒的范围。如图7所示为一15吨的龙门起重机的示意图,在作纵向水平振动时,等效质量m=27.9kg.s2 /cm。水平方向刚度K=2000kg/cm.有实测得到对数减幅=0.10.试计算衰减时间,问是否符合要求。
解:●建模图7
系统受力:mg,F d。物体作上下的自由振动运动。
●Maple程序
> restart: #清零
> T[d]:=((1/f*delta)*Lambda): #衰减时间
> Lambda:=ln(A[1]/A[j+1]): #对数缩减
> Lambda:=subs((A[1] #代换
/A[j+1]=y,Lambda)):
> f:=(1/(2*Pi))*sqrt(K/m): #固有频率
> K:=2000:m:=27.9: #已知条件delta:=0.10:y:=100/5:
f 1.347
:=
> T[d]:=evalf(T[d],4); #衰减时间
.2224
T
:=
d
答:所求的时间为22.24s在所求区间内满足要求,所以是符合要求的。
8.一个均质的细杆质量为m,长为l,如图所示,两个刚度系数皆为k的弹簧对称的作用在轻质细杆上。试求该系统的固有频率和固有振型。
解:●建模图8
已平衡位置为原点,只考虑沿铅垂方向的位移,分别以弹簧的两个支点的位移X1,X2为系统的两个坐标。
细杆受力mg,F e1和F e2。细杆作平面运动。
●Maple程序
> restart: #清零
> J[C]:=m*l^2/12: #均值细杆绕质心
的转动惯量
> F[1]:=k*x[1]: #弹簧恢复力F e1
> F[2]:=k*x[2]: #弹簧恢复力F e2
> x[C]:=(x[1]+x[2])/2: #细杆质心的坐标> phi:=(x[1]-x[2])/d: #细杆绕质心的微
小转动
> DDx[C]:=(DDx[1]+DDx[2])/2: #细杆质心加速度
> DDphi:=(DDx[1]-DDx[2])/d: #细杆绕质心微小
角加速度
> eq1:=m*DDx[C]=-F[1]-F[2]: #细杆的平面运动
微分方程一
> eq2:=J[C]*DDphi=-F[1] #细杆的平面运动
微分方程二
*d/2+F[2]*d/2:
> eq1:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0: #移项
> eq2:=lhs(eq2)-rhs(eq2)=0: #移项
> eq1:=expand(2*eq1/m): #展开
> eq2:=expand(d*eq2/J[C]): #展开
> eq1:=subs(k=m*b/2,eq1): #代换
> eq2:=subs(k=c*(m*l^2)/(6*d^2),eq2): #代换
> x[1]:=A*sin(omega*t+theta): #设解
> x[2]:=B*sin(omega*t+theta): #设解
> DDx[1]:=diff(x[1],t$2): # X1对t的二阶导> DDx[2]:=diff(x[2],t$2): # X2对t的二阶导> eq3:=simplify(eq1/sin(omega*t+theta)): #化简
> eq4:=simplify(eq2/sin(omega*t+theta)): #化简
> eq3:=subs(B=A*nu,eq3): #代换
> eq4:=subs(B=A*nu,eq4): #代换
> eq3:=expand(eq3/A): #展开
> eq4:=expand(eq4/A): #展开
> b:=2*k/m: #方程系数
> c:=(6*k*d^2)/(m*l^2): #方程系数
> solve({eq3,eq4},{nu,omega^2}); #解方程
,{}, = ν-1 = ω26k d 2m l 2{}, = ν1 = ω22k m 答:系统的固有频率m k 21=ω,2
2
26ml kd =ω,对称主振型1111==A B γ和反对称主振型1-2
22==A B γ。
9. 已知:vt l l -=0,求如图10摆的运动方程。
解:●建模 图9
小球作平面运动自由度f=1
取广义坐标φ
● Maple 程序
> restart: #清零
> x[rho]:=l: #初始状态
> x[phi]:=l*phi: #角度为φ时的位移
> x[rho]:=subs(l=l(t),x[rho]): #代换
> x[phi]:=subs(phi=phi(t),x[phi]): #代换
> v[rho]:=diff(x[rho],t): #关于t 的导数
> v[phi]:=diff(x[phi],t): #关于t 的导数
> V:=vector([v[rho],v[phi]]): #表示为矢量
> v[A]:=sqrt(v[rho]^2+v[phi]^2): #任意点A 速度大小
> T:=1/2*m*v[A]^2: #A 点动能 > T:=subs(diff(phi(t),t)=Dphi, #代换
phi(t)=phi,T):
> T:=collect(T,Dphi): #
整理 > T[Dphi]:=diff(T,Dphi): #
φ的导数对T 求导 > T[phi]:=diff(T,Dphi): #
φ的导数对T 求导 > T[Dphi]:=subs(l=l[0]-v*t, #
代换 Dphi=Dphi(t),T[Dphi]): > V:=-m*g*(l[0]-v*t)*cos(phi): #
速度表达式 > Q[phi]:=-diff(V,phi): #
φ对V 的导数 > eq:=diff(T[Dphi],t)-T[phi]-Q[phi]=0:
#微分表达式一般式 > eq:=subs(diff(Dphi(t),t)=DDphi, #
代换后的表达式 Dphi(t)=Dphi,eq):
> eq:=(l[0]-v*t)*DDphi-2*v*Dphi
+g*sin(phi)=0; #
最终形式
答:摆的运动方程为()0)sin(2...
0=+--φ??g v vt l 。
10. 吸引子的仿真。以杜芬方程为例,杜芬方程表示如下:
t A bx ax x c x Ω=+++cos 3.
..
解:●建模
把杜芬方程写成标准形式,令.
x y = := eq = - + () - l 0v t DDphi 2v Dphi g ()sin φ0
??
????????Ω+---==.3...cos t A bx ax cy y y x 求解微分方程
绘制杜芬方程相图
● Maple 程序
> restart: #清零
> with(plots): #
加载绘图库 > de1:=diff(x(t),t)=y(t): #
杜芬方程标准方程一 >de2:=diff(y(t),t)=-a*x(t) #
杜芬方程标准方程二 -b*x(t)^3-c*y(t)+A*cos(Omega*t):
> a:=-1:b:=1:c:=0.15: #
给定参数 A:=0.3:Omega:=1:
> duffing:=dsolve({de1,de2,
y(0)=-0.5,x(0)=-1},{x(t), y(t)},type=numeric,method=lsode): #
求解微分方程 >duffplot:=odeplot(duffing, #
微分方程求解结果绘图 [x(t),y(t)],0..200,numpoints=4000):
> duffplot; #绘制杜芬方程
相图
二、学习Maple后的心得与体会
Maple是一门非常优秀的计算机数学软件,它在我们的工程学习中用途十分的广泛,特别对于我们学振动的学生来说作用是十分的明显。它涉及到我们的单、双以及多自由度,有阻尼,无阻尼的振动分析,计算中的效果是显著地。
通过学习Maple,我不仅学到了一些编程的思想,以及一些模型的建设,而且还更一步加固了理论力学的学习,同时,Maple中的一些英语,还使我学到了许多英语单词。
虽然现在我刚刚学到了Maple的一点皮毛,但已经对我的学习提供了很大的便利。我相信有Maple结合理论力学这条路是正确的而且是光明的,我一定要坚持下去,利用Maple 更好的学习理论力学,而我相信Maple的作用远不止于此,我还要努力学习它的其他的功能,使其能够更好的为我今后的学习工作生活服务。
因而,在此应感谢李老师在这半学年对我们的悉心教诲。