【名师点睛】高中数学好题速递400题(第101—150题,word版,含答案解析)

1．在ABC ?和AEF ?中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =

，CA ，若

2AB AE AC AF += ，则EF 与BC

的夹角余弦值为 。

解法一：2AB AE AC AF +=

，则()()

2AB AB BE AC AB BF +++=

()

22AB AB BE AC AB AC BF +++=

因为21AB =

，11AB AC ==- ，BE BF =- 所以()

112BF AC AB +--=

所以2BF BC =

所以16cos 22θ?=，所以2cos 3

θ=

解法二：设,,AE x AF y CF z ===

则222

1

14122x x x +-

??

+= 2223

2904

x y z +-+=

又因为AB 为AEF ?中线，所以()

222242AB EF AE AF +=+ ，即225

2

x y +=

所以21324

z =

在CBF ?中，113632244cos 13262

θ+

-=

=?? 2．一个口袋里装着一个红球、一个黄球、一个蓝球、一个白球，这些小球除了颜色之外，没有区别，从中一次性摸出2个球。若摸得红球记3分，摸得黄球记2分，摸得蓝球记1分，摸得白球得0分，则得分和至少为4分的概率是 。 解：得分和至少为4分的情况为摸出红和黄或摸出红和蓝，故24213

P C ==

1．将正方形的四个角（四个全等的小等腰直角三角形）分别沿其底边向同侧折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形的12条棱所在的直线中，共有异面直线 对。

解：可以将空间图形放回正方体内，问题就转化为8条侧面对角线与底面4条棱所在直线组成几对异面直线。

以对角线BE 为一条，共有,,AH GD FC 三条对角线异面，共有38

122

?=对 还有,AD CD 两条底边棱异面，共有2816?=对 所以共有28对。

2．某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；俄方有5艘军舰，2架飞机。从中俄两方中各选2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个单位，所有的飞机和军舰都是不同的），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 种．

解：11211243552412060180C C C C C C +=+=

好题速递103

1．正ABC ?，3DE =

，DF =，90EDF ∠= ，则满足条件的正ABC ?边长的最大值是 ．

2sin

sin 3

3BD πθ=

??- ???

，解得24sin 3BD πθ??

=-

??? 3sin

sin 3

6CD π

πθ=

??+ ?

?

?

，解得6CD πθ?

?=+ ??

?

所以11

4sin cos 22BC BD CD θθθθ??=+=+++???????

()5sin θθθφ=+=+

故max BC =2．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且仅有两个偶数相邻，则这样的六位数共有 个． 解：288个

1．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且()f x 在区间(),0-∞上单调递增，()10f -=。设

()2cos sin 2g x x m x m =+-，集合()|0,,02M m x g x π????

=?∈

，集合

()|0,,02N m x f g x π????

=?∈??

，则M N = 。 解析：易得()()110f f =-=，，所以()01f x x

=?∈<-<

所以()|0,,12M N m x g x π????

=?∈<-????????

即0,2x π??

?∈????

，()2cos sin 21g x x m x m =+-<-恒成立

即21sin sin 210x m x m -+-+<，即2sin sin 220x m x m -+-> 令[]sin 0,1t x =∈，则2220t mt m -+->对[]0,1t ∈恒成立

所以2max

22t m t ??

-> ?-??

令[]21,2t s -=∈，所以(

)2

22222422442s t s s s t s s s ----+-?

?===-+≤- ?-?

?

所以{|4M N m m =>-

2．有四名志愿者到三个景点服务，每个景点至少1名大学生，则甲乙两名志愿者被分到不同景点的情况有 种．

解：211

312

4213322

2

36630C C C A C A A -=-=

好题速递105

1．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面

11CDD C 的距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，HP

的最小值是 。

【解析】依题意知点P 到点F 的距离与点直线1CC 的距离相等，所以点P 的轨迹是以F 为焦点，1CC

为准线的抛物线。

作1HQ BB ⊥于Q ，则PQ 最小时2HP 最小。

再由解析几何可得min PQ 2HP 最小值为22

，即min HP 2．某教师一天上3个班级的课，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有 种．

解：33393332474A A A --=

好题速递106

1

．在平面直角坐标系中有两点(

(,A B -，以原点为圆心，以()0r r >为半径作圆，与射

线()0y x =<交于点M ，与x 轴正半轴交于点N ，则当r 变化时，

AM BN +的最小值为 。

解：设(),,02r

M N r ?- ??

所以

AM BN +=

问题等价于点

((,E F 与x 轴上的点(),0P r 连线段长的和最短

作('5,E

，则''EP FP E P FP E F +=+≥= 当且仅当3r =时，取得最小值。

2．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 （用数值作答）．

解：121

413393

52234

425

C C C C =

好题速递107

1．在ABC ?中，22AC AB =

=，BC ，P 是ABC ?内部一点，且满足

PBC PCA PAB

S S S PA PB PB PC PC PA

???==??? ，则PA PB PC ++= 。 解：由PBC PCA PAB

S S S PA PB PB PC PC PA

???==???

得 tan tan tan APC BPC APB ∠=∠=∠

又360APC BPC APB ∠+∠+∠= 故120APC BPC APB ∠=∠=∠=

设BCP θ∠=，则60PCB θ∠=- ，30ABP θ∠=+ ，

30PAB θ∠=-

故在PBC ?

中由正弦定理得BP ，

()60sin120CP θ-=

在PBA ?中由正弦定理得()sin 30sin120BP θ-=

，()sin 30sin120AP θ+=

()sin 30sin120θ-=

，解得tan θ=

所以sin θθ=

=所以PA PB PC ++=

(

)(

)sin 3060sin120sin120θθ+-=

2．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 。

解：255

521

6

C A ?=

好题速递108

1．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +≤，则

21

3x y x y

++-的最小值为 。 解：令3x y a +=，x y b -=，则0a b >>，4a b +≤

(

)(

212112112133334b a a b x y x y a b a b a b a b a b a b +????+=+=++=++≥+≥ ? ?+-+++???

?

当且仅当4,a b a +==

，即84a b =-=

，即1,3x y ==-时取得等号。

选题理由：在解决不等式问题时，如果出现分母里的字母较多较复杂时，不妨考虑先换元使得分母简单，更容易看清题目考查的本质。这里其实是以往我们非常熟悉的一次和与倒数和的不等式应用，只是将等式转化为不等式，注重考查了等号能否取到的问题。 同类题：已知正数,a b 满足()()23239a b --=，则

14

11

a b +

--的最小值为 。 解：令1a x -=，1b y -=，则()()21219x y --=，所以41212x y x x +??

=

> ?-??

故

14141368114

a b x y x x +=+=-+--+ 问题转化为分式函数求值域的问题。 易得当45x =

，即9,95a b ==时，min 1

47114

a b ??+= ?--?? 2．从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k ，另一个数小于k (其中k ∈{5, 6, 7, 8, 9})的概率是

5

2

，则k = ． 解：11

1102

1025

k k

C C C --=，解得7k =

好题速递109

1．在直角坐标系xOy 中，若直线1y kx =+与曲线11

y x x x x

=+--有四个交点，则实数k 的取值范围是 。

解：11y x x x x =+--是偶函数，故只需画出0x >时的图象，()()

[)2,0,12,1,x x f x x x

?∈?

=?∈+∞??，再

关于y 轴对称作出整个图象 易求得1y kx =+与2

y x

=相切时， 斜率18

k =-

故由图可知110,,88

k k k ===-时，恰有四个交点。

选题理由：遇到一个未知函数时，一定要充分利用奇偶性和单调性画出函数图象。考试中遇到的函数图象往往是几段能画的图象拼接而成，画好图象是解决函数问题的王道！ 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周五、周六、周日三天中任选一天参加公益活动，则每天都有同学参加公益活动的概率是_________。

解：211

3

4213224

4

39

C C C A A =

1．设()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，恒有()()2

f x f x x +-=成立，

()()22

x g x f x =-，若()y f x =在(],0-∞上单调递增，且()()222f a f a a --≥-，则a

的取值范围是 。

解：令()()2

2

x g x f x =-，得()()0g x g x -+=

又因为()y f x =在(],0-∞上单调递增，故()y g x =在(],0-∞上也单调递增， 又()g x 是奇函数，故()y g x =在R 上单调递增，

()()()()2

2

22222022a a f a f a a f a f a -??

--≥-?---+

≥ ???

得()()20g a g a --≥

所以()()2g a g a -≥ 所以2a a -≥，得1a ≤

2．已知{}3,2,1,1,2,3,---∈b a 且b a ≠，则复数bi a z +=对应点在第二象限的概率为 。（用最简分数表示）

解：11

3326310

C C A =

好题速递111

1．已知2

1()ln(1),()2x

f x x

g x m ??

=+=- ???

，若[][]120,3,1,2x x ?∈?∈，使得12()()f x g x ≥，

则实数m 的取值范围是 。

解：要使命题成立需满足1min 2min ()()f x g x ≥，函数2()ln(1)f x x =+在[]0,3上是增函数，所以1min

()(0)0f x f ==，函数1()2x

g x m ??

=- ???

在[]1,2上是减函数，所以

2

2min

1()(2)2g x g m ??==- ???，所以2

110,24m m ??

≥-∴≥ ???

。

2．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票： 窗口

走廊

窗口

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。 解：30

1．若实数,x y 满足x y -=-，则x y +的最大值是 。

a =

b =

则()()()2

2

34280,0a b a b -+-=>>，223x y a b +=+- 问题转变求为圆弧上一点到原点的距离的平方减3的最大值

故(2

2235350x y a b +=+-≤+-=+

2．设集合(){}{}1

2

3

6

,,,,|1,0,1,1,2,3,,6i

A x x x x x i =

∈-= ，则集合

A 中满足条件

“123615x x x x ≤++++≤ ”的元素个数为 。（用数字作答） 解：十个字母中有()15k k ≤≤个字母是1±，有6k -个字母是0，

故有()6

1122550066666662221222664C C C C C ?+?++?=+-?-?=L

好题速递113

1．在平面直角坐标系中，定义点()11,P x y 、()22,Q x y 之间的“直角距离”为

()1212,d P Q x x y y =-+-，若(),C x y 到()1,3A 、()6,9B 的“直角距离”相等，其中实

数,x y 满足010,010x y ≤≤≤≤，则所有满足条件的C 的轨迹的长度之和为 ． 解：1369x y x y -+-=-+-

先以y 为分类指标，当910y ≤≤时，166x x -+=-，无解 当03y ≤≤时，166x x --=-，无解 当39y ≤≤时，21261y x x -=---

再以x 为分类指标，若01x ≤≤，则8.5y =，线段长度为1；

若16x ≤≤，则9.5x y +=，线段长度为； 若610x ≤≤，则 3.5y =，线段长度为4；

故C 的轨迹的长度之和为5

2．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有 个。 解：7

1．在平面直角坐标系中，圆22:1O x y +=，圆()2

21:34O x y -+=，过x 轴负半轴上一点

M 作圆O 的切线，与圆O 相切于点A ，与圆1O 分别相交于点,B C ，若AB BC =，则点M 的坐标为 。

解：设(),0,2M m AB CD x -==，连结

11,,OA O C O D ，并作1O D BC ⊥，1OF O D ⊥

1- 在1Rt OO F ?中，有222

11OO OF O F =+ 所以(

))

2

2

931x =+-

解得21516x =

，所以134

O F = 又1MAO OFO ??:，所以

1

1OM OA OO O F

=

，即

1

3

34

m =，所以4m =，所以()4,0M - 2．设m 为正整数，()2m

x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，()21

m x y ++展开式的二项

式系数的最大值为b ，若137a b =，则m = 。

解：1221,m m m m a C b C ++==，所以1

221137m m m m C C ++=

即()()()2!21!137!!1!!

m m m m m m +=+，解得6m =

好题速递115

1．如图，O 为ABC ?的外心，4AB =，2AC =，BAC ∠为钝角，M 是边BC 的中点，则

AM AO

的值为 ．

解：因为()

12

AM AB AC =+

所以()

2211122211544

AM AO AB AC AO AB AO AC AO

AB AC =+=+=+=

2．袋子中装有大小、材质都相同的2个绿球、3个白球共5个小

球．随机从袋子中一次性摸取2个小球，规定摸到1个绿球得2分、1个白球得1分．问摸

取2个小球的得分之和为几分的概率是最大的？试通过计算给出回答．

解：摸取2个小球的得分之和可能出现2,3,4三种情况，依次记其发生的事件分别为,,A B C ．

A 事件表明摸取的2个小球都为白球，其概率23253

()10

C P A C ==；

B 事件表明摸取的2个小球为1个白球1个绿球，其概率1132256

()10C C P B C ?==

； C 事件表明摸取的2个小球为2个绿球，其概率2

2251

()10

C P C C ==．

通过以上的计算结果可以知道： 摸取2个小球的得分之和为3分的概率是最大的． 评注：注意一下大题的书写方式。

好题速递116

1．已知ABC ?中，角,,A B C 的对边,,a b c 满足()cos c a A C =+，则t a n C 的最大值是 ．

解：()222cos cos 2a c b c a A C a B a ac

+-=+=-=-?

即()22

213

c b a =

-，且B 为钝角，C 为锐角 由余弦定理得(

)222

22

2

2

221423cos 22663

a b b a a b c

a b C ab

ab ab ab +-

-+-+=

=

=≥= 锐角C 在区间0,2π??

???

上递减，故当(

)min cos C =时，则(

)max tan C 2．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．

解：32

7

35180A A -?=

好题速递117

1．已知,αβ为锐角，且()sin cos sin α

αββ

+=，则tan α的最大值是 ． 解法一：()()()()sin sin cos sin cos cos sin sin sin αββαββααβαββββ

?+-?+??+=

==-+

即()tan 2tan αββ+=

()()

()2tan tan tan tan tan 1tan tan 12tan αβββααββαββ

β+-=?+-?=

=

=

??+++

当且仅当tan β=

解法二：由()sin cos sin ααββ+=

得sin cos cos sin sin sin α

αβαββ

-= 即1

cos cos sin sin sin αβαββ??

=+

??

?

即

222sin cos sin cos tan 1sin 2sin cos ββββαβββ=

=≤++

cos ββ=，即tan β= 2．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有

两人选择的项目完全相同的概率是 。

解：

211

33232

33

C C C =

好题速递118

1．已知函数()a

f x x x

=-对任意()0,1x ∈都有()()11f x f x -≥，则实数a 的取值范围是 。

解：这里如果直接代入去解很繁琐，所以进行一次换元有效简化计算。 令12x m =

-，112x m -=+，11,22m ??

∈- ???

则问题转化为11122f m f m ??

??-+≥ ?

???

??对11,22m ??

?∈- ???

恒成立 代入后化简得222213120244a m a m m ???

???-+++-≥ ? ??????

???

所以214a m ≤-对11,22m ???∈- ???恒成立或234a m ≥+对11,22m ??

?∈- ???

恒成立

即1

4

a ≤-或1a ≥

2．在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，

1

5

=

好题速递119

1．在三棱锥S A B C -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠= ，2AC =

，BC

，

SB =，则直线SC 与AB 所成角的余弦值是 。

解：将三棱锥放入到长方体内，

长方体的高SA =

，

AB ，4SC =

，BC

5CD =，

故在DSC ?

中，cos DSC ∠=

=

2．如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”。例如，年份2014的各位数字之和为7，恰为“七巧年”。那么从2000年到2999年中“七巧年”共有 年。 解：21

好题速递120

1．已知1311x y x y ≤+≤??-≤-≤?，则223x y -的最大值为 。

解：设22

22333

x k

x y k y -=?=-，由此可知，k 越大，抛物线顶点越低，由于()()13,,11x y x y x y x y ??≤+≤???

∈???-≤-≤????

?，如

图所示，当抛物线过点()2,1A 时，max 5k =

2．两个三口（父母及一个小孩）之家共同游览黄山，需乘坐两辆不同的缆车，每辆缆车最多只能乘坐4人，但两个小孩不能单独乘坐同一辆缆车，则不同的乘坐方法共有 种。

解：422332422

6

2263242248C C A C C A C C A +-=

好题速递121

1．在ABC ?中，若()

4AB AC CB -⊥

，则sin A 的最大值为 。

解：()()()

2204445AB AC CB AB AC CA AB AB AC AB AC =-=-+=+-

()2245cos 45cos 45cos AB AC AB AC A AB AC AB AC A AB AC A =+-≥-=-

即4cos 5A ≥

，则3sin 5

A ≤ 2．现有4人去旅游，旅游地点有A 、

B 两个地方可以选择。但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A 地，掷出其他的则去B 地；

（1）求这4个人中恰好有1个人去B 地的概率；

（2）求这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数的概率。

解：依题意，这4个人中，每个人去A 地旅游的概率为1

3，去B 地的人数的概率为23

设“这4个人中恰有k 人去A 地旅游”为事件()0,1,2,3,4i A i =

∴()44

1233i

i

i i P A C -??

??= ?

???

??

（1）这4个人中恰有1人去A 地游戏的概率为()1

3

114

1232

3381

P A C ????== ? ?????

（2）设“这4个人中去A 地的人数大于去B 地的人数”为事件B ，则34B A A = ，3

1

4

34441212133339

P C C ????????=+= ? ? ? ?

????????

好题速递122

1．已知{}1234,,,A x x x x =，()212sin 14x B x R x π+??

=∈-=????

，且1234x x x x +++的最小值

为 。 解：sin

4

x

y π=的周期为8，图象关于点()12,0中心对称，()

1

212y x =

-图象也关于点

()12,0中心对称，故要

1234x x x x +++最小，在y 轴右侧最靠近y 轴的四个点

123441248x x x x +++=?=

2．将3个不相同的黑球和3个相同白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数，数到最末一个球，黑球的个数大于或等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现有效排列的概率为 。

解：“有效数列”要求从后往前数，黑球数目总是大于或等于白球的个数，有如下五种模式 ○○○●●●； ○○●○●●；

○●○○●●；以上三种是后两位都是黑球 ○●○●○●；

○○●●○●；以上两种是后三位黑白黑（罗列要有规律）

故概率为33

336

651

4

A A A = 评注：在求概率的时候所有的相同不同的球一律视为不同，从而保证基本事件等概率。

好题速递123

1．自平面上点O 引两条射线OA ，OB ，点,P Q 分别在射线OA ，OB 上，且2PQ =（点

,P Q 与点O 不重合），且3AOB π

∠=，则PQ PO QP QO PO QO

+

的取值范围是 。

解：设OPQ θ∠=，则23POQ πθ∠=

-，203

π

θ<<

(]

22cos 2cos 322cos cos 2sin 1,236QO PO PQ PO QP QO PO QO PO QO πθθππθθα??- ???+=+??????=+-=+∈ ? ????????

?

2．一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到１个白球的概率是 （用数值作答）．

解：3

1031611

114

C C -=

好题速递124

1．若ABC ?

的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 。

解：由sin 2sin A B C =

得2a c +=

，即c =

(

)

2

22222

1

314cos 22844a b a a b c a b C ab

ab

b a +-

++-==

=?+?-≥

2．用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…,9的9个小正方形（如图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂的颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 。

解：求n (Ω)：

第一步：涂1、5、9，有3种方法； 第二步：涂2、6、3，

类①，2、6同色：涂2、6，有2种(如1涂红，则2、6可黄黄或蓝蓝)， 涂3，有2种(3与2不同色，但可与1同色).故有2?2=4种； 类②，2、6不同色：涂2、6，有2种(如1涂红，则2、6可黄蓝或蓝黄)，

涂3，只有1种(只能与1同色).故有2种； 第二步：涂4、8、7，与涂2、6、3一样，有4+2=6种. 故共有n (Ω)=3?6?6=108. 求n (A )：

把“1、3、5、7、9”看作一块，“2、4、6、8”看作另一块，用3种颜色涂这2块，

∴n (A )=2

36A =，∴()61

10818

P A =

=.

好题速递125

1．设A 是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原

点O 的对称点为B ，若AF BF ⊥，设ABF α∠=且,126ππα??

∈????

，则双曲线离心率的取值

范围 。

解：设左焦点为'F ，令AF m =，'AF n =，则'BF AF n == 所以2BF AF a -=，即2n m a -= 因为AF BF ⊥，所以OA OB OF c === 所以2224m n c +=

即()()

2

222242m n mn c mn c a -+=?=-

又因为221122sin 22sin 222

ABF AOF S S mn c mn c αα??=?=??= 于是()

2222sin 22c c a α=-得2221

sin 211sin 2e e e αα

=-?=

-

因为,126ππα??

∈????

，所以1sin 22α?∈???

故21

2,41sin 2e α

?=

∈+?-

故1e ?∈?

2．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,

则该两点间的距离为

2的概率是 . 解：25

好题速递126

1．已知函数()2g x x x a x =-+，若存在[]2,3a ∈-，使得函数()y g x at =-有三个零点，则实数t 的取值范围是 。

解：()()()222,2,x a x x a

g x x a x x a

?+-≥?=?-++

若x a ≥，对称轴2

22

a x a a -=≤?≥-时，()g x 在[),a +∞上递增 若x a <，对称轴2

22

a x a a +=

≥?≤时，()g x 在(),a -∞上递增 所以当22a -≤≤时，()g x 在R 上递增，则函数()y g x at =-不可能有三个零点，故只需考虑23a <≤的情况

画出()y g x =的大致图象知，要使得函数()y g x at =-有三个零点，只能()22a g g a +??

> ???

即()2

22,

4a ta a ??+ ?∈ ??

?，即存在23a <≤，使得()222,4a t a ??

+ ?∈ ???

即可 令()

()2

2244244a a a h a a

a +++=

=≥，只要使()max t h a

h a h ??==?? 故25212

t <<

2．如图，沿田字型的路线从A 往N 走，且只能向右或向下走， 随机地选一种走法，则经过点C 的概率是 ． 解：23

A B

C D

E

F

S

N

M

好题速递127

1．已知,a b 是空间相互垂直的单位向量，且3,1,2c c a c b ===

，则c ma nb --

的最小值是 。

解法一：由1,2c a c b == 知c 在a 方向上的投影为1，c 在b

方向上的投影为2，

ma nb + 是在,a b 组成的平面内的任意向量，c ma nb -- 表示空间向量c

的终点到平面上

2

解法二：

()

(

)()()2

2222

2222

2229244124

c ma nb c ma nb

c m a n b c ma nb

m n m n m n --=--=++-+=++--=+-+-≥

2．从集合{}1,1,2,3-中随机选取一个数记为m ，从集合{}1,2,4中随机选取一个数记为n ，则方程22mx ny mn +=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为 ．

解：31

好题速递128

1．已知函数()1221,0

21,0

x x f x x x x -?-≥?=?++

五个不同实根，则m 的值是 。

解：画出()f x 的图象，可知当()1f x =时，有3个根，把()1f x =代入

()()()22120f x m f x m -++=，得0m =或1

2

m =

当0m =时，方程有5个根，当12m =

时，()1f x =或()1

2

f x =，此时有7个根，舍去。 2．袋子中装有大小、材质都相同的2个绿球、3个白球共5个小球．随机从袋子中一次性摸取2个小球，规定摸到1个绿球得2分、1个白球得1分．问摸取2个小球的得分之和为几分的概率是最大的？试通过计算给出回答．

解：摸取2个小球的得分之和可能出现2,3,4三种情况，依次记其发生的事件分别为,,A B C ．………………1分

A 事件表明摸取的2个小球都为白球，其概率23253

()10

C P A C ==；…………2分

B 事件表明摸取的2个小球为1个白球1个绿球，其概率1132256

()10

C C P B C ?==……3分

C 事件表明摸取的2个小球为2个绿球，其概率22251

()10

C P C C ==．……4分

通过以上的计算结果可以知道： 摸取2个小球的得分之和为3分的概率是最大的．………5分

好题速递129

1．已知三棱锥P ABC -的侧面PAC ⊥底面ABC ，侧棱PA AB ⊥，且4P A P C A C

A B =

=

==，如图AB ?平面α，以直线AB 为轴旋转三棱锥，记该三棱锥在

平面α上的俯视图面积为S ，则S 的取值范围是 。 解：因为侧面PAC ⊥底面ABC ，

所以在旋转过程中等边PAC ?在底面上的射影总在侧面PAC 与平面α的交线l

上，且长度范围是????

由已知可推得AB l ⊥

所以min max 8S S ==

2．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是 。 解：

3

11

好题速递130

1．已知非零向量,a b 的夹角为θ

，a b += 1a b -=

，则θ的取值范围是 。

解：由a b += 1a b -=

两式平方相加和相减得222a b += 和1

2

a b =

22221a b a b a b +=≥?≤

1cos cos 2a b θθ=≤ ，得0,3πθ??∈????

2．（1

）()6

0x a ?> ?

的展开式中常数项为240，则()()42x a x a +-的展开式中2x 项的

系数为 。

（2）2015年5月12日，尼泊尔再次发生强烈地震，世界各国纷纷派出搜救队员参与到尼泊尔的抗震救灾中。现要从7名中国籍搜救队员，4名非中国籍搜救队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，求这5名队员中至少有2名非中国籍队员的概率。 解：（1）64-

（2）541

7745

1143

166

C C C C +-=

好题速递131

1．函数()()401x f x x x =

>+，()()()1

,2

g x x a x b a b =---<，若对10x ?>，21x x ?≤，()()21g x f x =，则2a b +的最大值为 。

解：()()()1

,2,21

,2b a x b a b g x x a x b a b x a ?->??

+?

=-≤≤???-

，()()444011x f x x x x ==->++ 若使对10x ?>，21x x ?≤，()()21g x f x =成立首先需使()142b a -≥且()1

02

a b -< 且线段,2a b y x a x b +=-

≤≤与曲线()()401

x

f x x x =>+无交点 由241a b y x x y x +?

=-????=

?+?

得23022a b a b x x ++??-+-= ?

??无正根 （i ）若

3202a b

++

≥，即6a b +≥-时，要求()2

3202a b a b +???=+++≤ ??

?，

解得182a b -≤+≤-，即62a b -≤+≤- （ii ）若6a b +<-时，满足02

a b

+->，恒成立 综上，2a b +≤-

故要使对10x ?>，21x x ?≤，()()21g x f x =成立只需82b a a b a b -≥??

，画出可行域可得

27a b +≤-

2．（1）若复数z 与其共轭复数z 满足z =2z z +=，则5

z z

+= 。

（2）若函数()ln x a

f x x

-=的图象总在()F x a 的取值集合。 解：（1）2

（2）

ln x a

x

-0x >且1x ≠恒成立，

故()

min

,1a x x

x <>或()

min

,01a x x

x ><<

令()g x x x =，……，得1a =

好题速递132

1．已知()22245f x x a a =++-+，若()f x 的最大值是()g a ，则关于a 的不等式()12

log 30g a +<的解集是 。

[]0,1t =∈，则221x t =-

所以()()2

222246246f t t at a a t a a a =-++-+=--+-+ 当0a ≤时，()()2046g a f a a ==-+ 当01a <<时，()()2246g a f a a a ==-+ 当1a ≥时，()()2125g a f a a ==-+

()()

12

log 308g a g a +，解得2a <3a >

2．（1）设R a ?，复数z 满足：2iz a i z -=-且||5z =（其中i 为虚数单位），求a ． （2）已知0x =是函数32()f x x bx cx =++的一个极值点，()f x 图像经过点(3,0)A ．设

()f x 在其图像上不同两点1122(,),(,)P x y Q x y 处的切线分别为12,l l ．当12//l l 时，求证

12x x +为定值．

（1）解：由2iz a i z -=-得21a i z i

+=+(2)(1)(1)(1)a i i i i +-=+-2(2)2a a i

++-=． 再由||5z =得2

2

22252

2

a a

骣骣+-鼢珑+=鼢珑鼢珑桫桫.

解得a =?

（2）解：由32()f x x bx cx =++得2()32f x x bx c '=++． 由0x =是函数()f x 的一个极值点知(0)0f c '==．