2014届高考数学(理)一轮复习教案第一章集合与常用逻辑用语第2讲 命题及其关系、充要条件(苏教版)
第2讲命题及其关系、充要条件
对应学生
用书P4
考点梳理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
【助学·微博】
一个考情解读
本节内容是高考的必考内容，主要以本节知识为工具考查函数、立体几何、解析几何等有关内容，以填空形式出现，难度不大，属容易题．主要考查：①命题真假的判定；②四种命题的转化及真假之间的关系；③充分条件与必要条件的判断．
从逆否命题谈等价转换
由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．
考点自测
1．(2012·南通调研)命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．
解析否命题为“若实数a满足a＞2，则a2≥4”，是真命题．
答案真
2．(2012·镇江调研)“x＞1”是“x2＞x”的________条件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分又不必要”)．
解析由x2＞x，得x＜0或x＞1，因此由x2＞x推不出x＞1，但由x＞1可推出x2＞x，所以“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．
答案充分不必要
3．(2012·盐城调研)已知a，b，c是非零实数，则“a，b，c成等比数列”是“b ＝ac”的________条件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)．
解析当a，b，c成等比数列时，b＝±ac，而对于非零实数，若b＝ac，则a，b，c成等比数列．
答案必要不充分
4．(2012·深圳调研)已知x，y，z∈R，则“lg y为lg x，lg z的等差中项”是“y 是x，z的等比中项”的________条件．
解析由2lg y＝lg x＋lg z，可得y2＝xz，反之，若x＝－1，y＝2，z＝－4，则有y2＝xz，但lg x，lg z无意义．所以应填充分不必要条件．
答案充分不必要
5．(2012·衡阳模拟)已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(a x＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的________条件．
解析f(x)＝(a x＋b)2＝a2x2＋2a·b x＋b2为偶函数?a·b＝0?a⊥b.
答案充要
对应学生
用书P4
考向一四种命题及其真假判断
【例1】(2012·南京三模)已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________．
①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题．
解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，则m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确．反之，若m≤1，则f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故填④.
答案④
[方法总结] 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．
【训练1】(2013·广州联考)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．
①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”等价．
解析对于①，若log2a>0＝log21，则a>1，所以函数f(x)＝log a x在其定义域内是增函数，因此①是假命题，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b?M”与命题“若b∈M，则a?M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的有②④. 答案②④
考向二充分、必要条件和充要条件的判断
【例2】(2012·南京二模)下列四个命题：①“?x∈R，x2－x＋1≤0”的否定；
②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是“sin
A >12”的充分不必要条件；④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．
其中真命题的序号是________．
解析 “?x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“?x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，①是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题是“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，
②是真命题；在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的必要不充分条件，③是
假命题．函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数的充要条件是“φ＝k π2(k ∈Z )．”④是假
命题，所以真命题是①②.
答案 ①②
[方法总结] 判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p .
【训练2】 (2013·宁波模拟)给出下列命题：
①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；
②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；
④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件．
其中真命题的序号是________．
解析 对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应两条直线垂直，反之，这两条直线垂直时，
不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，
若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin
B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.
答案 ①④
考向三 充要条件的应用
【例3】 (2012·无锡一中调研)已知函数f (x )＝ax －bx 2(a >0)．
(1)当b >0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；
(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明 (1)由题意知bx 2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，
∴Δ＝a 2－4b ≤0，又a >0，b >0，∴a ≤2b .
(2)①先证充分性：∵b >1，a ≥b －1，∴对任意x ∈[0,1]，
有ax －bx 2≥(b －1)x －bx 2＝b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1，
即ax －bx 2≥－1；∵b >1，a ≤2b ，∴对任意x ∈[0,1]，
有ax －bx 2≤2bx －bx 2＝－(bx －1)2＋1≤1，
即ax －bx 2≤1，∴|f (x )|≤1成立，充分性得证；
②再证必要性：∵对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1，
∴f (1)≥－1，即a ≥b －1；
∵对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1，而b >1，
∴f ? ??
??1b ≤1，即a ≤2b ，必要性得证． 由①②可知，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1成立的充要条件是b －1≤a ≤2b .
[方法总结] (1)涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．
(2)①p 的充分不必要条件为q ，等价于p ?q ，p ?/ q ；②p 的必要不充分条件为q ，等价于p ?q ，p ?/ q .
【训练3】 已知p ：?
?????1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且﹁p 是﹁q
的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．
解 法一 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，
∴﹁q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}，
由?
?????1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴﹁p ：B ＝{x |x >10或x <－2}．
∵﹁p 是綈q 的必要而不充分条件．
∴A B ，∴??? m >0，1－m <－2，
1＋m ≥10，或??? m >0，1－m ≤－2，1＋m >10
即m ≥9或m >9.∴m ≥9.
故实数m 的取值范围是[9，＋∞)．
法二 ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，
∴p 是q 的充分而不必要条件，
由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ，
∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，
由?
?????1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．∵p 是q 的充分而不必要条件，
∴P Q ，∴??? m >0，1－m <－2，
1＋m ≥10或??? m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，
即m ≥9或m >9，∴m ≥9.
故实数m 的取值范围是[9，＋∞)．
对应学生用书P6
热点突破2 充分条件与必要条件的判断方法
高考对命题的考查，充要条件的判断是重点，至多出现一道填空题．判断充分
条件与必要条件的方法有三种，即
(1)定义法：即先对命题“若p ，则q ”与“若q ，则p ”进行真假判断，再下结论，其中p 是q 的什么条件，只有四种：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件．
(2)集合法：当要判断的命题与方程的根、不等式的解答有关，或描述的对象可以用集合表示时，可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断．
(3)等价法：在判断綈q 与綈p 之间的关系时，可由原命题与其逆否命题的等价性转化为判断p 与q 的关系．
一、用定义法判断充要条件
【示例1】 (2011·湖北卷改编)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的________条件．
[审题与转化] 第一步：条件p ：φ(a ，b )＝0，即a 2＋b 2＝a ＋b ，结论q ：a 与b 互补．
第二步：a 2＋b 2＝a ＋b ?a ≥0，b ≥0，且ab ＝0.
[规范解答] 第三步：φ(a ，b )＝0?a 2＋b 2＝a ＋b ?a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab ???? ab ＝0，a ＋b ≥0????
ab ＝0，a ≥0，b ≥0
?a 与b 互补，故填充要条件． [反思与回顾] 第四步：常以方程、不等式、函数等代数知识及几何知识为载体考查；从能力上主要考查推理判断能力和论证能力．
二、用集合法判断充要条件
【示例2】 (2012·山东卷改编)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件．
[审题与转化] 第一步：“a >0且a ≠1”是大前提．设f (x )＝a x 是R 上的减函数时a 的取值集合为A ，g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数时a 的取值集合为B ，下面只要判断集合A 与B 的包含关系即可．
第二步：函数f (x )＝a x 在R 上是减函数的充要条件是p ：00且a >0，a ≠1，即
0 [规范解答] 第三步：因为A B，所以p是q充分不必要的条件． [反思与回顾] 第四步：用集合法判断充要条件较为直观，但适用范围有一定的限制． 高考经典题组训练 1．(2012·北京卷改编)设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”________条件． 解析a＝0时，a＋b i可能为实数0；若a＋b i是纯虚数，则必有a＝0.所以“a ＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”必要不充分的条件． 答案必要不充分 2．(2012·陕西卷改编)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋b i为 纯虚数”的________条件． 解析由ab＝0，得a＝0或b＝0，推不出a＋b i＝a－b i是纯虚数，反之成立．所 以“ab＝0”是“复数a＋b i为纯虚数”的必要不充分的条件． 答案必要不充分 3．(2012·天津卷改编)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的________条件． 解析若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．所以“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分不必要条件． 答案充分不必要 4．(2012·安徽卷改编)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件． 解析由α⊥β，α∩β＝m，b?β，b⊥m，可得b⊥α.又b?α，所以b⊥a.反之，举反例可知不成立． 所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件． 答案充分不必要 5．(2012·重庆卷改编)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期的周期 函数．则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的________条件． 解析由条件可得f(x)在[－1,0]上为减函数．当x∈[3,4]时，x－4∈[－1,0]，f(x)＝f(x－4)，所以f(x)在[3,4]上是减函数． 反之，当x∈[3,4]时，f(x)是减函数，由x－4∈[－1,0]，f(x)＝f(x－4)，所以f(x)在[－1,0]上是减函数．于是由f(x)是偶函数知f(x)在[0,1]上是增函数． 答案充要 对应学生 用书P245 分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分) 一、填空题(每小题5分，共30分) 1．命题“若x 2<2，则|x |<2”的逆否命题是________． 解析 “若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”． 答案 若|x |≥ 2，则x 2≥2 2．(2012·南通、扬州、泰州三市调研)对于定义在R 上的函数f (x )，给出三个命题： ①若f (－2)＝f (2)，则f (x )为偶函数；②若f (－2)≠f (2)，则f (x )不是偶函数；③若f (－2)＝f (2)，则f (x )一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________． 解析 ①设f (x )＝x (x 2－4)，则f (－2)＝f (2)，但f (x )是奇函数；②正确；③设f (x )＝0(x ∈R )，则f (－2)＝f (2)＝0，f (x )是奇函数．所以②正确． 答案 ② 3．(2012·南京二模)下列命题是假命题的是________(填序号)． ①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”； ②若0 ③互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的直线； ④“x >2”是“3x ＋1 －1≤0”的充分不必要条件． 解析 ①正确；②由0 ②正确；③射影可能是点，③不正确；④由 3x ＋1 －1≤0，得x <－1或x ≥2，所以④正确． 答案 ③ 4．(2013·菏泽市测试)已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“? ????12a ??12b ”的________条件． 解析 log 3a >log 3b ?a >b >0?? ????12a ??12b ， 但? ????12a ??12b ?a >b ，不一定有a >b >0. 答案 充分不必要 5．(2013·莱芜市检测)在锐角△ABC 中，“A ＝π3”是“sin A ＝32”成立的 ________条件． 解析 因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝π3?sin A ＝32. 答案 充要 6．(2013·山东省实验中学测试)设p ：x 2 －x －20＞0，q ：1－x 2 |x |－2＜0，则p 是q 的________条件． 解析 p ：x 2－x －20＞0?x ＜－4或x ＞5. q ：1－x 2 |x |－2＜0???? 1－x 2＜0，|x |－2＞0或??? 1－x 2＞0，|x |－2＜0?x ＜－2或－1＜x ＜1或x ＞2，则p ?q ，q /?p ，p 是q 的充分不必要的条件． 答案 充分不必要 二、解答题(每小题15分，共30分) 7．(2012·南京第一次调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． 证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3. 证明 因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1·2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)·4n －1. 因为a n ＝??? a 1，n ＝1，S n －S n －1 ，n ≥2， 所以a n ＝??? a 1，n ＝1，3(a 1＋1)· 4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n ＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4， 即3(a 1＋1) a 1＝4，解得a 1＝3. 8．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )． 问：这个命题的逆命题是否成立，并给出证明． 解 逆命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0”． 该命题是真命题，证明如下： 法一 (利用原命题的逆命题与否命题等价证明)： 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， 因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a ) 因此f (a )＋f (b ) 因为原命题的逆命题与它的否命题等价，所以该命题正确． 法二 (用反证法给出证明)： 假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上的增函数， 所以f (a ) 因此f (a )＋f (b ) 这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，该命题正确． 分层训练B 级 创新能力提升 1．设A ＝??????x ??? x －1x －2<0，B ＝???? ??x ??? x －a x －a 2－1<0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 解析 A ＝{x |1 因为q 是p 的必要条件，所以p ?q ，A ?B ， 从而有a ≤1且a 2＋1≥2，解得a ≤－1或a ＝1， 所以a 的取值范围是{1}∪{a |a ≤－1}． 答案 {1}∪{a |a ≤－1} 2．关于x 的方程x 2－(2a －1)x ＋a 2－2＝0至少有一个非负实根的充要条件的 a 的取值范围是________． 解析 设方程的两根分别为x 1，x 2，当有一个非负实根时，x 1x 2＝a 2－2≤0，即－2≤a ≤2；当有两个非负实根时，??? Δ＝(2a －1)2－4(a 2－2)≥0，x 1＋x 2＝2a －1＞0， x 1x 2＝a 2－2≥0? ????? 4a ≤9，a ＞12， a ≤－2或a ≥ 2. 即2≤a ≤94.综上，得－2≤a ≤94. 答案 ???? ??－2，94 3．(2012·盐城三模)若三条抛物线y ＝x 2＋4ax －4a ＋3，y ＝x 2＋(a －1)x ＋a 2，y ＝x 2＋2ax －2a 中至少有一条与x 轴有公共点，则a 的取值范围是________________． 解析 假设这三条抛物线与x 轴均无公共点，则 ??? Δ1＝(4a )2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0， Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得－32 记A ＝? ?? ??－32，－1，则所求a 的范围是 ?R A ＝? ?? ??－∞，－32∪[－1，＋∞)． 答案 ? ?? ??－∞，－32∪[－1，＋∞) 4．使得关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件的a 的取值范围是________． 解析 当a ＝0时，原方程变形为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根，当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1， 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a ， 当有一负实根时，????? a ≤1，1a ＜0?a ＜0， 有两个负实根时，????? a ≤1，－2a ＜0，?0＜a ≤1.1a ＞0 综上所述，a ≤1. 答案 (－∞，1] 5．已知a ＞0，设p ：不等式x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为?，q ：不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ，如果p 和q 有且仅有一个正确，求a 的取值范围． 解 “x 2＋2ax ＋a ＜0的解集为?”等价于“x 2＋2ax ＋a ≥0的解集为R ”，所以当p 成立，Δ＝4a 2－4a ≤0，解得0≤a ≤1. 又a ＞0，∴0＜a ≤1 “不等式x ＋|x －2a |＞1的解集为R ”等价于： 法一 函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值大于1. ∵x ＋|x －2a |＝??? 2x －2a ，x ≥2a ，2a ，x ＜2a ， ∴函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上的最小值为2a ， 于是由2a ＞1，得a ＞12 . 法二 |x －2a |＞1－x 恒成立，即y ＝|x －2a |的图象恒在y ＝1－x 图象的上方，如图所示，得 2a ＞1，所以a ＞12. 如果p 正确且q 不正确，则0＜a ≤12；如果p 不正确且q 正确，则a ＞1.∴a 的取值范围是? ?? ??0，12∪(1，＋∞)． 6．已知全集U ＝R ，非空集合 A ＝??????????x |x －2x －(3a ＋1)<0， B ＝ ?????? ????x |x －a 2－2x －a <0. (1)当a ＝12时，求(?U B )∩A ； (2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时， A ＝?????? ????x |x －2x －52<0＝??????x |2 ??x |x －94x －12<0＝??????x |12 ??x |x ≤12或x ≥94. ∴(?U B )∩A ＝???? ??x |94≤x <52. (2)∵a 2＋2>a ，∴B ＝{x |a ①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2 ∵p 是q 的充分条件，∴A ?B . ∴??? a ≤23a ＋1≤a 2＋2 ，即13 ③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1 由A ?B 得??? a ≤3a ＋1a 2＋2≥2 ，∴－12≤a <13. 综上所述，实数a 的取值范围是??????－12，13∪? ?? ??13，3－52. 教学辅导教案 学科： 任课教师： 授课日期： 第一部分：集合的含义 知识梳理 1.元素与集合的概念 （1）把 统称为元素，通常用________________________表示。 （2）把_________________ ___ __叫做集合（简称为集），通常用______ ______表示。 2.集合中元素的特性 （1（2（3 3.集合相等 只要_____________________________________就称这两个集合是相等的。 4、集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类： （1）把不含任何元素的集合叫做空集，记 （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 5.元素与集合之间的关系 （1）如果a是集合A的元素，就说__________________,记作__________________. （2）如果a不是集合A的元素，就说________________,记作__________________. 例题分析 用符号“∈”或“?”填空： (1)1________N,0________N，－3________N，0．5________N，2________N； (2)1________Z,0________Z，－3________Z，0．5________Z，2________Z； (3)1________Q,0________Q，－3________Q，0．5________Q，2________Q； (4)1________R,0________R，－3________R，0．5________R，2________R. 经典例题: 例1：用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程2x x=的所有实数根组成的集合； （3）由1~20以内的所有素数组成的集合. 素数: 例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合： 盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案 §1集合与充要条件 【考点及要求】： 1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义； 2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法； 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】： 1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 2.常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 3.集合的表示方法1 2 3 4.集合间的基本关系：1)相等关系：_________A B B A ???且 2)子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3) 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 5.不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 6.若已知全集U ，集合A U ?，则U C A = . 7.________A A ?=，_________A ??=，__________A A ?=， _________A ??=，_________U A C A ?=，_________U A C A ?=， 8.若A B ?，则____,___A B A B ?=?= 9.若q p ?,则p 是q 的 条件, q 是p 的 条件. 10.若q p ?,且p q ?,则p 是q 的 条件. 【基本训练】： 1.{}a a a ,202-∈，则a 的值等于_________. 2.若全集{}4,3,2,1,0=U ,且{}3,2=A C U ,则A 的真子集有 个. 3.集合{}{}02,12<-=>=x x x B x x A ，则______=?B A . 4.1>x 是x x >2的_____________ 条件. 【典型例题讲练】 例1.已知集合{}{} 03)32(,082222≤-+--=≤--=m m x m x x B x x x A （1） 若[]4,2=?B A ，求实数m 的值； 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1集合的含义与表示 （一）集合的有关概念: ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑶大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷某校2011级新生；⑸血压很高的人； 7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 练：A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A. 8.空集：是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 空集不是无；它是内部没有元素的集合。可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身确实是存在的。 用符号?或者{ }表示。 一集合（§1.1.1 集合） 教学时间 :第一课时 课题:§1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学方法:尝试指导 教具准备:投影片（3张） 教学过程: （I）引入新课 同学们好！首先，我祝贺大家能升入苍梧第一高级中学进行高中学习。下面我想初步了解一下同学们的情况。请来自××中学的同学站起来。依次询问他们的名字，并板书。同样询问来自另一学校学生情况。××同学你为什么不站起来？来自××中学的三位虽然性别不同，年龄有差异，但他们有一个共同的性质——来自××中学。所以，在数学上可以把他们看作为有3个元素的集合（板书课题：集合，并将其姓名用{ }括起来），同样，××中学的二位同学也可看作有2个元素的集合。显然，刚才抽到的××同学如果作为一个元素就不属于上面这两个集合了。同学们！这节课我们将系统地研究集合的一些概念。讲四个问题：（1）集合和元素；（2）集合的分类；（3）集合的表示方法；（4）为什么要学习集合的表示方法？ （II）复习回顾 师生共同回顾初中代数中涉及“集合”提法. （Ⅲ）讲授新课 通过以上实例，教师指出： 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 师：进一步指出： 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 生：例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 师：请同学们另外举出三个例子，并指出其元素. 生：略.（教师给予评议）。 师：一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2 生：在师指导下一一回答上述问题. 师：由以上四个问题可知， 集合元素具有三个特征： （1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 ∈师：元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（?也可表示为）两种。 教学片断与案例 1、综合法和分析法的一个教学片断 师：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的．观察、思考下列证明过程各有什么特点？它们是以怎样的形式使结论获证的？ 引例1已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥ 证明：因为222,0b c bc a +≥>，所以22()2a b c abc +≥， 因为222,0c a ac b +≥>，所以22()2b c a abc +≥. 因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥. 引例2已知,a b R +∈，求证： 2a b +≥ 证明：要证2 a b +≥a b +≥， 只需证0a b +-，只需证20≥ 因为20≥显然成立，所以原不等式成立． 引例3已知0,0,0>>++>++abc ca bc ab c b a .求证： 0,,>c b a 证：设0abc ，∴0 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1.1 同底数幂的乘法 教学目标 1. 理解同底数幂的乘法，会用这一性质进行同底数幂的乘法运算． 2. 体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用． 教学重、难点 同底数幂的乘法运算法则及其应用. 教学过程设计 一、创设问题，激发兴趣 问题 一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算，它工作103 s 可进行多少次运算？ （1） 如何列出算式？ （2） 1015的意义是什么？ （3） 怎样根据乘方的意义进行计算？ 根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1） 5 2222() ?= ； （2）32()a a a ?= ； （3）5 55()m n ?= ． 你能将上面发现的规律推导出来吗？ 教师板演: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：a m ×a n ＝a m+n （m 、n 都是正整数）. 二、知识应用，巩固提高 m n m n a a a +?=（m ，n 都是正整数）表述了两个同底数幂相乘的结果，那么，三个、 四个…多个同底数幂相乘，结果会怎样？ 这一性质可以推广到多个同底数幂相乘的情况：m n p m n p a a a a ++ +???= （m ， n ，p 都是正整数）． 例1(教科书第96页) 三、应用提高、拓展创新 课本96页 练习 m n a a ? m n a a a a +=???（）个 m n a += m a n a a a a a a a =?? ???? ?个个 （）（） 四、归纳小结 （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）同底数幂的乘法的运算性质是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？ 五、布置作业： 习题14.1第1（1）、（2）题 教后反思： 14.1.2 幂的乘方 14.1.3 积的乘方 教学目标 1．理解幂的乘方与积的乘方性质的推导根据． 2．会运用幂的乘方与积的乘方性质进行计算． 3．在类比同底数幂的乘法性质学习幂的乘方与积的乘方性质时，体会三者的联系和区别及类比、归纳的思想方法． 教学重、难点 幂的乘方与积的乘方的性质． 教学过程设计 一、 创设问题，激发兴趣 问题1 有一个边长为a 2 的正方体铁盒，这个铁盒的容积是多少？ 问题2 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空: （1） （2） （3） 3 m m m m a a a a a ??（ ） （）== （m 是正整数）． 在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（a m ）n ＝a mn （m 、n 都是正整数）． 多重乘方可以重复运用上述法则： 二、知识应用，巩固提高 计算 （1）（102）3； （2）（b 5）5； （3）（a n ）3； （4）－（x 2）m ； （5）（y 2）3·y ； （6）2（a 2）6－（a 3）4． 问题4 根据乘方的意义和乘法的运算律，计算：（n 是正整数） 你能发现有何运算规律吗？ 能用文字语言概述你发现的积的乘方运算规律吗？ 2322233333??（ ） （）==； 23222a a a a a ??（ ） （）==； =p m n mnp a a ???? （） 集合教案设计 数学科学之所以被广泛应用．一个重要的原因是数学能运用数学语言将客观事物的数量关系和数学结构表示出来．符号化、形式化是数学的一个显著特点．学习数学的任务之一，就是学习用形式化语言去表述、解释、解决各种问题． 一、教学内容 本章的主要内容是集合的概念、表示方法和集合之间的关系与运算。本章共分两大节。 第一大节，是集合与集合的表示方法。本节首先通过实例，引入集合与集合的元素的概念，接着给出了空集的含义。然后，学习了集合的两种表示方法（列举法和特征性质描述法）。 第二大节，是集合之间的关系与运算。本节首先从观察集合与集合之间元素的关系开始，给出子集、真子集以及集合相等的概念，同时学习了用维恩（Venn）图表示集合。接着，学习了交集、并集以及全集、补集的初步知识。 本章的最后安排了一篇介绍数学文化的阅读材料“聪明在于学习，天才由于积累――自学成才的华罗庚” 。安排这篇阅读材料的主要目的是，培养学生的爱国主义和刻苦学习、勤奋钻研的精神。 二、地位及作用 集合语言是现代数学的基本语言。通过集合语言的学习，有利于学生简明准确地表达学习的数学内容。集合的初步知识是学生学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。 三、教学目标 本章是将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性；帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行表达和交流的能力．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．掌握某些数集的专用符号． 1．理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 3．能在具体情境中，了解全集与空集的含义． 4．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．培养学生从具体到抽象的思维能力．5．理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 组合教学设计（第一课时） 一、教材分析 本节课的教学内容是选修2-3（人教A版）§1.2.2《组合》第一课时．本节内容是两个计数原理及排列知识的延续，也是后续学习二项式定理，研究二项式系数性质及求等可能事件概率的基础，因此本节课在整个章节中起了承上启下的重要作用。本节课主要是借助学生身边的例子，类比排列的知识探究组合的定义、组合数的定义、组合数计算公式及组合数的性质，并从具体情境中体会排列与组合的区别与联系。通过对组合教学的探究，让学生体会类比，从特殊到一般等重要数学思想的应用以及数学来源于生活又服务于生活的课程理念。 二、学情分析 从学生的现有知识水平看，在学习本节前，学生已学习了两个基本计数原理、排列。绝大多数学生能正确运用两个计数原理，能正确理解排列、排列数的概念，能比较熟练地应用排列数公式进行计算。还能遵循先特殊后一般、先取后排、先分类后分步的原则，解决典型的排列问题。因此在本节课教学要借助这些已有的知识，通过观察、分析、类比、归纳，帮助学生理解组合的概念；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力、思考的能力、探究的能力、计算的能力、数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组讨论、合作交流，全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力。 三、设计思想 《组合》是继排列后的又一特殊的计数模型，是计数问题的延续与拓展。本节课我的设计理念是：以问题为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放、民主、和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与积极性。让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中，体验从生活中发现数学，并通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动，在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程。同时注重渗透“特殊与一般”、“分类讨论”、“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”。 四、教学目标 1、知识与技能: 正确理解组合、组合数的概念；会利用排列与组合的关系推导组合数公式；初步掌握组合数的性质； 2、过程与方法: 借助学生生活中熟悉的例子创设问题情境，学生通过对实际问题的探究、思考、对比、分析，初步形成组合、组合数的概念；用类比、归纳的思想得出组合、组合数的概念，并深刻体会组合、排列的区别与联系；通过小组讨论、交流合作、成果展示等活动，才用类比、特殊到一般的思想探究推导组合数公式并能进行简单应用；从组合数的计算中观察、归纳、猜想得到组合数的性质并进行简单的应用。3、情感态度与价值观: 学会用联系的观点看问题，培养良好的个性品质及团队合作意识；让学生充分感受到数学来源于生活又服务于生活，提高应用数学的意识。 五、教学重点：组合的概念、组合数公式、组合数的性质 六、教学难点：组合数公式的推导. 七、教学方法：启发、引导、自主、合作、探究 北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案 1因式分解 【知识与技能】 使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 【过程与方法】 认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 【情感态度】 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【教学重点】 因式分解的概念. 【教学难点】 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法. 一.情景导入，初步认知 下题简便运算怎样进行？ 问题1：736×95+736×5 问题2：-2.67×132+25×2.67+7×2.67 【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫. 二.思考探究，获取新知 问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的 想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除. (2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100 所以993-99能被100整除. 想一想： （1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？ （2）请你说明小明每一步的依据. （3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？ 【教学说明】 老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？ 【归纳结论】 以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除. 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗? 学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a ×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1) ①能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？ ②这样变形是为了达到什么样的目的？ 【教学说明】 经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性. 【归纳结论】 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式. 三.运用新知，深化理解 1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab； 高一数学《集合概念》教案Teaching plan of set concept for senior one mathematics 高一数学《集合概念》教案 前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文档下载后内容可按需编辑修改及打印。 集合的概念 教学目的： （1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义 （3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示 一些简单的集合 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 1.集合是中学数学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代数中用到的有数集、解集等;在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离 不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具这 些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最 开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章 讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑 本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出 集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子 第十四章整式的乘法与因式分解 14．1 整式的乘法 14．1.1 同底数幂的乘法 1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． 重点 正确理解同底数幂的乘法法则． 难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 一、提出问题，创设情境 复习a n的意义： a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数． (出示投影片) 提出问题： (出示投影片) 问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数＝运算速度×工作时间， 所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103. [师]1015×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知 1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018. [师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法． 二、探究新知 1．做一做 (出示投影片) 计算下列各式： (1)25×22； (2)a3·a2； (3)5m·5n.(m，n都是正整数) 你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述． [师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2) ＝27＝25＋2. 因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2. 5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n. [生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？ (1)这三个式子都是底数相同的幂相乘； (2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 (出示投影片) [师生共析] a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m ＋n)个a＝a m＋n 于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． 第章集合与常用逻辑用语 第一节集合 [考纲传真] 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集；在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算． 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系：属于或不属于,分别记为∈和?. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2. 表示 关系 文字语言符号语言记法 基本关系 子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A?x∈B A? B或 B? A 真子集 集合A是集合B的子集,但集合B中至少 有一个元素不属于A A?B,?x0∈B,x0?A A B 或 B A 相等集合A,B的元素完全相同A?B,B?A?A＝B A＝ B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合 A的子集 ?x,x??,??A ? 3.集合的基本运算 表示 运算 文字语言符号语言图形语言记法 交集属于A且属于B的元素组成 的集合 {x|x∈A且x∈B} A∩B 并集属于A或属于B的元素组成 的集合 {x|x∈A或x∈B} A∪B 补集全集U中不属于A的元素组 成的集合 {x|x∈U,x?A} ?U A [常用结论] 1．若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩?U A＝?；A∪?U A＝U；?U(?U A)＝A. [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何集合都至少有两个子集．() (2)已知集合A＝{x|y＝x2},B＝{y|y＝x2},C＝{(x,y)|y＝x2},则A＝B＝C. () (3)若{x2,x}＝{－1,1},则x＝－1. () (4)若A∩B＝A∩C,则B＝C. () [解析](1)错误．空集只有一个子集,就是它本身,故该说法是错误的． (2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域,即A＝(－∞,＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域,即B＝[0,＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A,B,C不相等． (3)正确． (4)错误．当A＝?时,B,C可为任意集合． [答案](1)×(2)×(3)√(4)× 2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10},a＝22,则下列结论正确的是() A．{a}?A B．a?A C．{a}∈A D．a?A 第一章集合教案 §1.1.1集合的含义与表示 课型：概念形成课 教学目标： （1）知识与技能：了解集合的含义，理解并掌握元素与集合的“属于”关系、集合中元素的三个特性，识 记数学中一些常用的的数集及其记法，能选择自然语言、列举法和描述法表示集合。 （2）过程与方法：从圆、线段的垂直平分线的定义引出“集合”一词，通过探讨一系列的例子形成集合的 概念，举例剖析集合中元素的三个特性，探讨元素与集合的关系，比较用自然语言、列举法和描述法表示集合。 （3）情感态度与价值观：感受集合语言的意义和作用，培养合作交流、勤于思考、积极探讨的精神，发 展用严密谨慎的集合语言描述问题的习惯。 教学重难点： （1）重点：了解集合的含义与表示、集合中元素的特性。 （2）难点：区别集合与元素的概念及其相应的符号，理解集合与元素的关系，表示具体的集合时，如何从列 举法与描述法中做出选择。 教学过程： 【问题1】在初中我们已经学习了圆、线段的垂直 平分线，大家回忆一下教材中是如何对它们进行定义的？ [设计意图]引出“集合”一词。 【问题2】同学们知道什么是集合吗？请大家思考讨论课本第2页的思考题。 [设计意图]探讨并形成集合的含义。 【问题3】请同学们举出认为是集合的例子。 [设计意图]点评学生举出的例子，剖析并强调集合 中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性。 【问题4】同学们知道用什么来表示一个集合，一个元素吗？集合与元素之间有怎样的关系？ [设计意图] 区别表示集合与元素的的符号，介绍集合中一些常用的的数集及其记法。理解集合与元素的关系。 【问题5】“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}，“方程(x- 1)（x+2）=0的所有实数根”组成的集 [设计意图]引出并介绍列举法。 【问题6】例1的讲解。同学们能用列举法表示不等式x-73的解集吗？ 【问题7】例2的讲解。请同学们思考课本第6页 利用投影法巧解数量积 片断教案 （ 人教版 第二章 第四节） 广东实验中学 该片断的教学目的、内容分析： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它既有大小又有方向，是“数”与“形”的统一体，是沟通代数与几何的工具。 数量积是向量这一章的重要内容，它把形转化为数。同时它也是高考的热点内容。考题的设置由求定向量的数量积向动向量数量积的最值或范围转化，难度越来越大。考题多以小题出现，我们希望不仅做对还要做的快，因此，方法的选择是关键。 对于数量积的计算，课本重点介绍了（1）利用定义,cos θ=?（2）建立适当的在直角坐标系后利用2121y y x x +=?去转化。解题时，前者需要知道向量的长度和夹角，有时不能直接用，后者需要知道坐标和准确的运算，而这些往往是命题者设置障碍的关键点。 事实上，数量积具有几何意义，b a ?a b 在θ的乘积。利 用几何意义解题，θ看成一个整体，θ两个未知量的信息用一个未知量“投影”代替，实现了降元的目的，简化运算。这是把数→形的过程，可以揭示变化图形中数量积不变性的本质，形象直观。 可惜，课本和其他资料上对这一部分的介绍篇幅不长，一带而过。学生对这一方法的认识也多数停留在投影的概念和数量积几何意义形式本身，应用投影法解题不多。纵观近几年高考题，如果能合理利用几何意义（投影法）求解数量积，会大大简化运算，提高速度！ 本片段教学的核心，是介绍求数量积还有一个重要方法——投影法。希望学生能理解它的原理并会运用。特别是在处理动向量的数量积时，无论定值还是最值借助投影去转化，形象直观又简化运算。教学中我们先通过一个例题入手，对比三种方法（定义法，坐标法，投影法）求数量积。再由特殊到一般，解决动变量模长变化，夹角θ也变化的条件下求数量积最值的问题，应用投影法更体现其的优越性。最后小结：1投影法的本质；2投影法适用的题型；3选择哪个向量向哪个向量作投影；4注意：投影有正负。 该片断教学的重点和难点： 重点：理解及掌握投影法解数量积，体会此方法的优越性。 难点：掌握投影法适用的题型，把数量积的最值转化成投影的最值。 因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后 辅导教案 学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师 上课时间 年 月 日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时： 课时 教学课题 人教版高一数学必修1第一章集合间的基本关系与运算 同步教案 教学目标 （1）理解集合的子集、真子集的含义； （2）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点与难点 重点：集合的子集、真子集、与及交集并集的运算 难点：空集是任何集合的子集等容易错误的知识点 教学过程 （一）集合间的基本关系 知识梳理 ⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系， 称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：()A B B A ??或 读作：A 包含于B ，或B 包含A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A ?B(或B ?A) 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系： 2.真子集定义：若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集。 记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） 3.集合相等 定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ??且，则A B =。 4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：φ 5.几个重要的结论： ⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ?A 。 ⑵空集是任何非空集合的真子集； ⑶任何一个集合是它本身的子集； ⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。 B A 表示：A B ? 第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.3集合的基本运算 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<高一数学必修一集合教案知识点及练习
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