浙江大学1998-2008量子力学

浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：（10分）

（1） 写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。

（2） 求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。（利用玻尔-索末菲量子化条件

求，设外磁场强度为B

）

第二题：（20分）

（1） 若一质量为μ的粒子在一维势场0,0(),,0

x a

V x x a x ≤≤?=?

∞>

级。

（2） 若某一时刻加上了形如sin

x

e a

ω，（1e ）的势场，求其基态能级至二级修正（ω

为一已知常数）。

（3） 若势能()V x 变成22

1,0

()2,

0x x V x x μω?>?=??∞

第三题：（20分）

氢原子处于基态，其波函数形如r

a

ce

ψ-=，a 为玻尔半径，c 为归一化系数。

（1） 利用归一化条件，求出c 的形式。

（2） 设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径r 。 （3） 求出势能及动能在基态时的平均值。

（4） 用何种定理可把?V

<>及?T <>联系起来？

第四题：（15分）

一转子，其哈密顿量222????222y x z x y z

L L L H

I I I =++，转子的轨道角动量量子数是1， （1） 试在角动量表象中求出角动量分量?x L ，?y

L ，?z L 的形式； （2） 求出?H

的本征值。

第五题：（20分）

若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化00,

0,0t t E e t τ

ε-≤??=?>?? ，τ为大于零

的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。（设?H

'为微扰哈密顿，(

)805100,210

?3

t

a e H

e τε-'=?；

（当0t >）()

100,211

?0H ±'=）

。

第六题：（15分）

（1） 用玻恩近似法，求粒子处于势场0()r a

V x V e

-=-，（0a >）中散射的微分散射截面。

（设粒子的约化质量为μ）。

（2） 从该问题中，讨论玻恩近似成立的条件。

浙江大学1999年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：（10分）

（1）试求出100ev 的自由电子及能量为0.1ev 、质量为1克的质点的德布罗意波长。 (19

1 1.610

ev J -=?,346.610h J s -=??)

（2）证明一个自由运动的微观粒子对应的德布罗意群速度g v ，即为其运动速度v 。

第二题：（10分）

（1）证明定态中几率流密度与 时间无关。

（2）求一维无限深势阱中运动的粒子在第n 个能级时的几率流密度。

第三题：（15分）

（粒子处于一维势阱0,

0(),00,x V x U x a x a ∞

=-≤≤??>?

（取的恒定常量）中运动，

（1）画出势能()V x 的示意图，设粒子质量为μ，

（2）求解运动粒子的能级E 。（00U E -<<）(写出E 所满足的方程)

第四题：（10分）

一维谐振子，其势能为2

1()2

V x kx =，（k 为常量）。若该谐振子又受一恒力F 作用，试求其本证能量及能量本证函数。该振子的质量为μ。

第五题：（20分）

（1）写出线性、厄米算符的定义。

（2）判断下列算符中，哪一个是线性厄米算符？

a.1

?F x

?=-? , b.2

???x F ap bx =+, (,a b 为恒定实常数) c.?

3

?iA F e =， ?A 为线性厄米算符，i 为虚宗量。 （3）证明厄米算符对应有实得本证值。

（4）若算符?B 、?C 为厄米算符，??????[,]0B C BC CB +=-=,若在,b c 分别为?B 、?C 的本证值，证明： ①0bc =,②若2

?1C

=，则c 必取1c =±。

第六题：（20分）

设哈密顿算符在能量表象中形如(0)

1(0)2

(0)30

?0E a H E b a b

E ?? ?=

? ??

?

，其中(0)1E 、(0)2E 、(0)3E 远大于a 或b 为实数，试

（1）写出未微挠哈密顿量0

?H 与微挠哈密顿量?H '的合理形式。 （2）证明?H 为厄米算符（(0)1E 、(0)2E 、(0)3

E 全为厄米算符本证值）。 （3）若()

()

()

000123E E E <<，用微扰论起初其本征能量（至二级）。 （4）若()

()

()

000123E E E <=，试求其本征能量（至一级）。

第七题：（15分）

用玻恩近似计算粒子（质量为μ）被形如()()V r B r δ=

的势场散射时的微分散射截面，并说明其特点。（B 为常数）

浙江大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：（20分）

（1）下列说法哪个是正确的？对不正确的说法给予修正。 a.量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系。 b.电子是粒子，又是波。 c.电子是粒子，不是波。 d.电子是波，还是粒子。

（2）a.厄米算符的定义是什么？算符d

x

dx

是否厄米？ b.等式?

?

?

?g f g f e e e +?=是否成立？何时成立？

（3）若太阳为一黑体，人所能感受的太阳光能量的最大的波长为0.48m m λμ=，太阳半径

87.010R m =?，太阳质量30210m kg =?，试估算太阳质量由于热辐射而损耗 1%所需要

的时间。（斯特藩常数12245.6710/()W cm k σ=?）

第二题：（20分）

若有一粒子，质量m ，在有限深势阱00,

(),

x a

V x V x a

?≤?=?>??中运动，0V 为某一正常数。 （1） 试推出其能量本征值所满足的方程。

（2） 如何求能量本征值？试作出求解本征值的草图。

（3） 若粒子不作一维运动，而是三维运动，0

0,0(),r a

V r V r a <

个本征能的条件。

第三题：（20分）

（1） 量子力学中，若?H 不显含时间，则力学量?A

为守恒量的定义是什么？守恒量?A 的本征态有何特点？

（2） 本征值简并的概念是如何表述的？一维运动的粒子（势场为()V x ），其能级是否简

并？

（3） 在一维势场()V x 中运动的粒子，其动量?x

P 是否守恒？ （4） 试说出氢原子问题中的量子跃迁的选择定则的内容。

第四题：（25分）

若一二维谐振子哈密顿量为：

???H H H '=+ 22222011???()()22

x y

H p p x y μωμ=+++ ?2H

xy λ'=，（λ为一小量） （1） 用微扰论，求其基态的能量修正（至2

λ项）及第一激发态的能量修正（至λ项） （2） 如何求出非微扰论的本征能量？试求之，并同微扰论的结果比较。 （3） 相干态的定义为：

2

2

n e

n α

α∞

-==，0?H 为一维线性谐振子的哈密顿量，0?n

H n E n =，1

()2

n E n ω=+ ，试证明，相干态是测不准关系取最小值时的状态。

第五题：（15分）

质量为m 的粒子受到势能为2

()a

V r r =

的场的散射（a 为某一正常数），在入射能量极低的条件下，计算其微分散射截面。（球贝塞尔函数sin 2l l x j x

π?

?- ?

??→，x →∞）。

浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：（15分）

（1） 试确定，在3K 温度下，空腔辐射的最大能量密度所对应的光子的波长m λ是多少？ （2） 此时，光子的对应能量为多少？

（3） 光电效应中，如何测定某金属板的脱出功A ？

第二题：（20分）

设氢原子处于状态：211031111(,,)()(,)()(,)2r R r Y r Y ψθ?θ?θ?=

（1） 问测量氢原子的能量，所得的可能值及相应的几率为多少？

（2） 问测量氢原子的角动量平方2

?L

，所得的可能值及相应的几率为多少？ （3） 问测量氢原子的角动量分量?z

L 的可能值及相应的几率为多少？

第三题：（20分）

（1） 一质量为m 的粒子于势场()V x 中运动，,

0()0,0,x V x x a x a ∞

=≤≤??∞>?

求该粒子的能级及对应的本征波函数？

（2） 若一质量为m 的粒子与势场0V >0,

V(x)0,

x a

x a

?≥?=?

（3） 若一质量为m 的粒子于三维势场()V r 中运动，0,0r V(r)0,V a

r a -≤≤?=?

>?

0V 0>，

则若欲得二个束缚能态，其势能值0V 至少应为多少？

第四题：（15分）

（1）何谓厄米算符，试写出其定义，及判断算符?A

x

?

=-?是否厄米？ （2）计算对易子??[,]n X

P 的值？ （3）证明厄米算符有实的本证值？ （4）试说明为何要力学量对应为厄米算符？ 下面二组题（五、六题与七、八题）任选一组解答。

第五题：（15分）

证明对任何束缚态，粒子动量?x p

的平均值为零。

第六题：（15分）

如果氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 表面分布着均匀电荷的小球，计算这种效应对氢原子基态能量的一级修正。（已知0r a ，a 为玻尔半径）

第七题：（15分）

一质量为m 的高能粒子被势场20() 1.125r r

V e e V r r a a

--??

-=?-?

???

散射，0V 较小，k 为入射波矢。

（1）用哪种方法计算其散射截面较为合理？ （2）试指出在哪些方向上，散射粒子最少？

第八题:(15分)

试写出定态微挠论中对非简并态微扰的能级修正（至二级）

浙江大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：从下面四题中任选三题（15分）

（1）试说明光电效应实验中的“红限”现象，为何光电效应实验中有所谓截止频率的概念？ （2）如何从黑体辐射实验的Planck 公式中推出Stefan 公式？（只要求给出思路）。根据该公式，能否做出什么测温仪器？

（3）你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 （4）你能从固体与分子的比热问题中得出哪些量子力学的概念？

第二题（20分）： 设氢原子处于状态：

2111211031111(,,)()(,)()(,)()(,)44r R r Y R r Y r Y θ?θ?θ?θ?-ψ=

- （1）测量该原子的能量，测得的可能值为多少？相应的几率为多少？

（2）测量该原子的角动量平方2?z

L ，测得的可能值为多少？相应的几率又为多少？ （3）测得的角动量分量z L 的可能值和相应几率为多少？

第三题：（20分）

一质量为m 的粒子处于势场()V x 中运动，若

（1）()0

x a

V x x a

?∞>?=?

≤??则该粒子的本征能量为多少？ （2）()()V x a x δ=，0a <为已知常数，则该粒子的本征能量为多少？特征长度为多少？

（3）0(),

(),

V x x a

V x x a

δ?

∞≥??，00V >，是一个给定的常数，则该粒子满足的方程为何？ （4）能量为E 的平行粒子束，以入射角θ射向平面0x =，在区域0x <，0V =，在区域

0x >，0V V =-。试从量子力学的角度，分析粒子束的反射及折射规律。（用θ及

1

2

01V n E ??

=+ ??

?表示反射几率R 及折射几率D 。

第四题：（15分）

（1） 如何证明一个算符为厄米算符？算符?d

A

i x dx

= 是否为厄米算符？ （2） 若[]??,x x p i = ，计算对易子33

??,x x p ????。

（3） 证明厄米算符对应不同本征值的本征函数相互正交。 （4） 为何物理量要用厄米算符来表示？

下面二组试题（五题、六题与七题、八题），任选一组解答

第五题：（15分）

在一维谐振子问题中，若谐振子的质量为m 相互作用势用22121

()()2

V x m x x e ωω=

++来表示，其中1ω，2ω，e 为一常数。若0?0t x

=<>=，0?0t p =<>=，问其位移x 的平均值与时间的关系为何？

第六题：（15分）

如果有一二能级系统1，2，其相应的能级的能量分别为1E ，2E ，哈密顿算符的有关矩阵元为

1?11H E b =+， 2

?22H E b =+， ??1221H H a == 其中1E ，2E ，a ，b 为已知常数，满足一切近似条件。问：

（1） 若以1，2为零级近似波函数，至一级近似，本征能量为何？ （2） 至二级近似，本征能量为何？

第七题：（15分）

若有一质量为m 的低能粒子被一强势场散射，若散射时的有效质量为μ，势场形式为

,()0,V r a

V r r a

-，a 为一已知常数。问： （1） 使用玻恩近似还是用分波法比较合适？

（2） 试问相移L δ的正弦与散射势能及散射波函数的关系为何？ （3） 求出零级近似下的微分散射截面。

（4） 若不知道势场()V r 的具体形式，能否利用散射实验来确定()V r ？

第八题：（15分）

试证固体物理中常用的Thomas-Reiche-Kuhn 求和规则：

2

2

?()2n

a n

E

E n x

a m

-=∑ ，其中n ，a 为系统的二个任意的能态，n E ，a E 为任意两个能级的能量，m 为粒子的质量。

浙江大学2003年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题（35分）：

1.如果1ψ和2ψ是某一体系含时薛定谔方程的两个解

1）它们的线性迭加12a b ψψψ=+，（a ，b 是常数），是否满足同样的含时薛定谔方程？ 2）若令12ψψψ'=，你认为ψ'是否满足同样的含时薛定谔方程？

2.质量相同的两个粒子分别在宽度不同的两个一维无限深势阱中，试问窄势阱中粒子的基态能量低，还是宽势阱中的基态能量低？

3.1）你是否认识这三个矩阵

0110?? ??? 00i i -?? ??? 1001??

?-??

在量子力学中他们称为什么？

2）大家知道，??[,]x

p i = 为量子力学中最基本的对易关系（这里?x 和?p 分别是位置算符和动量算符）你是否记得角动量?x L ，?y L ，?z L 之间的对易关系？请写出来！ 3）请算一下?????????,,,,,,?x y z y z x z x y

L L L L L L L L L ????????????++=?

?

?

?

?

?

??????

第二题（20分）：有一个双势阱（与量子前沿问题有关）

0000002()23132

x V x a a x a V x V a x a V a x

∞

-<

这里00V >，试写出各区域内波函数的合理形式以及连接各区域的边界条件（不必具体求解） 第三题（25分）：处在均匀电场中的二维带电谐振子的哈密顿量为

()()2222211?22

x y

H p p m x y eEx m ω=++++（其中电场强度E 为常数） （1）求出其能级。

（2）电场E 的大小会产生什么影响？

第四题（20分）：如果把原子实看作由一个点核和价电子均匀分布在半径为0a 的球内所组成，

那么其散射势可表示为

2

()

ze r

r a

V r r R

r a

?

-<

?

=?

?>

?

其中

2

2

a

R

ze

=，试用玻恩近似求微分截面。

浙江大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题（35分）：

（1）由正则对易关系??[,]x

p i = 导出角动量的三个分量 x L y

z z y

??=-?? y L z x x z ??=-?? z L x y y x ??

=-??

的对易关系。

（2）证明厄米算符的本征值为实数。

（3）什么是量子力学中的守恒量，它们有什么性质。 （4）写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 （5）写出泡利矩阵

0110x σ??

= ???

00y

i i σ-??=

??? 1001z

σ??= ?-??

满足的对易关系。

第二题（30分）：二维谐振子的哈密顿量为22

221211??()()22

x y

H p p m x y m ωω=+++ （1）求出其能级。 （2）给出基态波函数。

（3）如果12ωω=，试求能级的简并度。

第三题（30分）：有一个质量为m 的粒子处在如下势阱中

00

00

()0

x V x V x V a x a b a b x

∞

（这里00V >）

（1）试求其能级与波函数。

（2）问通过调节势阱宽度a ，能否让势阱中的粒子有一定的几率穿透出来。 （3）如果你认为可以，试确定参数a 的取值范围。

第四题（20分）：原子序数较大的原子的最外层电子感受到的原子核和内层电子的总位势可以表示为

22

2()e e V r r r

λ=--，1λ

试求其基态能量。

第五题（20分）：求哈密顿量为121212

x x x y z z

H σσσσλσσ=++的本征值和本征矢量，试分析1α=时有何特点。（提示：泡利矩阵中的下标1，2表示第一个粒子和第二个粒子，因此可

用矩阵的直乘理解，即为1212

x x x x σσσσ=?等等）

第六题（15分）：有一个量子体系，假如你已经知道基态和激发态的波函数分别是0ψ，1ψ，2ψ，3ψ···，对应于0123E E E E <<<···，把两个全同粒子（不考虑它们之间的相互作用）放到该系统。

（1）对于自旋为零的粒子，写出基态与第一激发态的波函数。 （2）对于自旋为12的粒子，写出基态波函数。

浙江大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题：简答题（28分）

（1）写出测不准关系； （2）写出泡利矩阵；

（3）对于2???2y p H L m

α=+，（α为常数），下列力学量中哪些是守恒量？ ?H ，?x p ，?y p ，?z p ，?x L ，?y

L ，?z L ，2?L （4）能级的简并度指的是什么？

第二题：（21分）

（1）电子在二维均匀磁场中运动，(0,0,)B B =

，试写出描写该系统的哈密顿量； （2）现有三种能级21I

n E n

∝

，2II n E n ∝，III

n E n ∝，请分别指出他们对应的是哪些系统。

（3）放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这

与什么量子效应有关？

第三题：（只需选做（A ）、（B ）中一题）（20分）

已知氢原子的基态波函数为0(,,)r a r ψθ?-=

，求

（A ） 势能的平均值2

()e V r r

=-；

（B ） 动能的平均值。

第四题：（21分）

考虑一维阶梯势00

()0

U x V x x >?=?

）从左边入射，试求该阶梯势的反射系数和透射系数。

第五题：（20分）

将质子看作是半径为R 的带电球壳，()e

r R

R

V r e r R

r

?

?>??，（其中e 为基本电荷值，0a 为玻

尔半径，0R a ），计算由于质子（即氢原子核）的非点性引起氢原子基态能级的一级修正。

第六题：（选做（A ）、(B)其中一题即可）（20分）

（A ）求一粒子被半径为R 的不可穿透硬球散射的s 波相移。 （B ）试求屏蔽库伦场()r a

Q V r e r

-=

的微分散射截面。 （提示：可直接用中心势散射的玻恩近似公式的化简形式）

2

2

4

4s i n ()

()()m r K r V r d r

K

σθ∞

=?

，其中2sin 2K k θ=。

第七题：（20分）

一个量子点中的单电子能级有两个本征值1ε和2ε，并且都是非简并的。其中12ε<ε，它们相应的单电子空间波函数分别为()f r 和()g r

。试求该量子点中有两个电子时（电子的自旋为12），基态和第一激发态的波函数和能级简并度（假定电子间无相互作用）。

浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题（50分）简答题：

（1）从坐标与动量算符的对易关系（??[,]x

p i = 等）推出角动量算符与动量算符的对易关系。

（2）请用泡利矩阵0110x σ??=

?

??

，00y i i σ-??= ???，1001z

σ??= ?-??定义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系。

（3）量子力学中的可观测量算符为什么应为厄米算符？ （4）你知道量子力学中的哪些效应在经典物理中没有对应。

（5）设n ψ为0

?H 的非简并本征函数，相应的能量本征值为n E ，如果0???H H H '=+，其中?H '可看作微扰。试写出能级的微扰修正公式（写到二级修正）。 （6）什么叫受激辐射，什么叫自发辐射？ （7）写出由两个1

2

自旋态矢构成的总自旋为0的态矢和自旋为1的态矢。

第二题（20分）：

已知氢原子的基态波函数为0(,,)r a r ψθ?-=

，

（1）求氢原子的最可几半径（即径向几率密度取最大值的r 值）。 （2）求氢原子的平均半径（即r 得平均值）。

第三题（20分）：

有一个质量为M 的粒子在宽度为a 的无限深势阱中运动。 （1）求出其能级和波函数。 （2）如果该粒子的自旋为

1

2

，则能级二重简并。加入磁场后Zeeman 效应会让能级分裂，

简并消除。当磁场为某个特殊值时，又会出现简并能级。试求该磁场的值。

第四题（20分）：

试求()

()222221????22

x y c c z

M H

P p x y L M ωω=++++的能级。你觉得能级简并度有什么特点？[提示：二维各向同性谐振子可用极坐标求解，能级为()

21c E n m ρω=++ ，n ρ为径向量子数，m 为磁量子数。]

第五题（20分）：

一个体系的哈密顿量为121212x x x y z z

H σσσσλσσ=++，其中λ为实数，泡利矩阵的下标1，2表示第一个粒子和第二个粒子，用矩阵的直乘理解即为1212

x x x x σσσσ=?等等。 （1）求出其本征值。

（2）对于不同的λ取值范围，写出相应的基态矢量。

第六题（20分：选做（A ）、（B ）、（C ）其中一题即可）：

（A ）用玻恩近似求势场22

0()r x V r V e -=的散射截面。

（B ）用分波法求势场0()r R

V n r R

>?=?

∞≤?散射的s 波相移。

（C ）求一维方势阱0

()x a V x V x a

≥?=?

-

浙江大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目 量子力学

第一题（50分）简答题： （1）写出泡利矩阵的形式。

（2）量子力学中的可观测量算符为什么要求是厄米算符？

（3）放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，你认为这与什么量子效应有关？

（4）试求质量为m 的粒子处在长度为L 的一维盒子（可看成是无限深势阱）中，试求他对盒子壁的压力。

（5）自发辐射和受激辐射的区别是什么？ （6）写出测不准关系，并简要说明其物理含义。 （7）请分别之处下列三种能级对应的是哪些系统， 21I

n E n

∝

，2II n E n ∝，III n E n ∝ （8）0???H H H '=+，设n ψ为0

?H 的能量本征值为n E 的非简并本征函数，如果?H '可看作微扰。试写出能级的微扰论修正公式（写到二级修正）。

第二题（25分）：

有一个质量为m 的粒子处在如下势阱中

00

00

()0

x V x V x V a x a b a b x

∞

（这里00V >） （1） 求能级与波函数。

（2） 你认为通过调节a 和b 中的哪一个参数值可以让势阱中的粒子有一定的概率穿

透出来，为什么？