【龙门亮剑】2011高三数学一轮理数 第十四章 第一节 导数及其运算(课时提能精练) 全国版
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π
2
附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关
系为 ( )
A ．k 1＞k 2
B ．k 1＜k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定 【解析】 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x ，
k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π
2
＝0，∴k 1＞k 2.
【答案】 A
2．一质点沿直线运动，如果由始点经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3
2
t 2＋2t ，那么速度为零
的时刻是( )
A ．0秒
B ．1秒末
C ．2秒末
D ．1秒末和2秒末
【解析】 ∵s ＝13t 3－3
2
t 2＋2t ，
∴υ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，
令υ＝0得，t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2. 【答案】 D
3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )
【解析】 设二次函数为y ＝ax 2
＋b (a ＜0，b ＞0)，则y ′＝2ax ，又∵a ＜0，故选B. 【答案】 B
4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.9
4
e 2 B ．2e 2 C ．e 2
D.e 22
【解析】 ∵点(2，e 2
)在曲线上，
∴切线的斜率k ＝y ′||x ＝2＝e x
x ＝2＝e 2， ∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)． 即e 2x －y －e 2＝0.
与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，
∴S △＝12×1×e 2＝e 2
2
. 【答案】 D 5．(2010年临沂模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )
A ．1 B. 2
C.
22
D. 3 【解析】 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线 y ＝x 2－ln x 相切， 设P (x 0，x 20－ln x 0)则有
k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1
x 0
.
∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－1
2
(舍去)．
∴P (1,1)，
∴d ＝|1－1－2|1＋1
＝ 2.
【答案】 B
6．(2008年辽宁高考)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾
斜角的取值范围为????0，π
4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.?
???－1，－1
2 B ．[－1,0] C ．[0,1] D.????
12，1 【解析】 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x ＋2， ∴曲线C 在P 点处的切线斜率为2x 0＋2.
又切线倾斜角范围是[0，π
4
]，∴斜率范围是[0,1]，
即0≤2x 0＋2≤1，∴－1≤x 0≤－1
2
.
【答案】 A
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2008年江苏高考)设直线y ＝1
2
x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为
______．
【解析】 y ′＝(ln x )′＝1x ，令1x ＝1
2
得x ＝2，
∴切点为(2，ln2)，代入直线方程y ＝1
2
x ＋b ，
∴ln2＝1
2
×2＋b ，∴b ＝ln2－1.
【答案】 ln2－1
8．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝______. 【解析】 易得切点P (5,3)， ∴f (5)＝3，k ＝－1， 即f ′(5)＝－1.
∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 【答案】 2
9．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )＜f (x )g ′(x )，f (x )＝a x ·g (x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，在有穷数列{f (n )
g (n )
}(n ＝1,2，…，10)中，任意取前k 项相加，则前k 项和大
于15
16
的概率是________． 【解析】 据已知得[f (x )
g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )
＜0，
故a x ＝f (x )
g (x )
为定义域上的减函数，
故0＜a ＜1，从而由f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52?a ＝1
2
，
故易知数列{f (n )g (n )}即{a n }从第五项开始其和大于15
16，
故其概率为610＝3
5.
【答案】 3
5
三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)
10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程． 【解析】 (1)由f (x )＝x 3－3x 得，f ′(x )＝3x 2－3， 过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求直线方程为y ＝－2；
(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3.
又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，
故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 3
0－3x 0＋2
x 0－1
，
又x 30－3x 0＋2x 0－1
＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 2
0－1)·
(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍)或x 0＝－1
2
，
故所求直线的斜率为k ＝3×(14－1)＝－9
4
，
∴y －(－2)＝－9
4
(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.
11．设t ≠0，点P (t,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a ，b ，c .
【解析】 因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(t,0)， 所以f (t )＝0，
即t 3＋at ＝0. 因为t ≠0，所以a ＝－t 2. g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab .
又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线， 所以f ′(t )＝g ′(t )．
而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt . 将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3. 故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.
12．已知定义在正实数集上的函数f (x )＝1
2
x 2＋2ax ，g (x )＝3a 2ln x ＋b ，其中a >0.设两曲线
y ＝f (x )，y ＝g (x )有公共点，且在该点处的切线相同．
(1)用a 表示b ，并求b 的最大值； (2)求证：f (x )≥g (x )(x >0)．
【解析】 (1)设y ＝f (x )与y ＝g (x )(x >0)在公共点(x 0，y 0)处的切线相同，
∵f ′(x )＝x ＋2a ，g ′(x )＝3a 2
x
，
由题意知f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)＝g ′(x 0)．
即?
??
12x 2
0＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋b ，x 0＋2a ＝
3a 2
x 0.
由x 0＋2a ＝3a 2
x 0，得：x 0＝a ，或x 0＝－3a (舍去)．
即有b ＝1
2a 2＋2a 2－3a 2ln a
＝5
2
a 2－3a 2ln a . 令h (t )＝5
2
t 2－3t 2ln t (t >0)，则
h ′(t )＝2t (1－3ln t )，于是
当t (1－3ln t )>0时，即0 3时，h ′(t )>0； 当t (1－3ln t )<0时，即t >e 1 3 时，h ′(t )<0. 故h (t )在(0，e 13)为增函数，在(e 1 3 ，＋∞)为减函数． 于是h (t )在(0，＋∞)的最大值为h (e 13)＝32e 2 3 . (2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x ) ＝1 2 x 2＋2ax －3a 2ln x －b (x >0)， 则F ′(x )＝x ＋2a －3a 2x ＝(x －a )(x ＋3a ) x (x >0)， 故F (x )在(0，a )为减函数，在(a ，＋∞)为增函数， 于是函数F (x )在(0，＋∞)上的最小值是 F (a )＝F (x 0)＝f (x 0)－g (x 0)＝0. 故当x >0时，有f (x )－g (x )≥0， 即当x >0时，f (x )≥g (x )．