类型之二几何类型的综合题

类型之二几何类型的综合题

几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的．

例1.（·龙岩市）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C.

（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）设点D的坐标为（-2，4），试求MC的长及直线DC的解析式.

【解析】此题考查圆的切线的判定方法及一次函数解析式的判定，(1)切线的判定要从定义上去判定:过半径的外端,且垂直于半径的直线为圆的切线,所以此题要连接OM,然后证明OM⊥DC,这里平行线对角的转化起到了关键的作用；(2)MC的长借助于勾股定理建立方程而求出,要求直线DC的解析式需要再求

出点C的坐标根据MC的长即可以求出点C的坐标（A 10

3

E A，0）,从而求出直线DC的解析式.

【答案】（1）答：直线DC与⊙O相切于点M. 证明如下：连OM，∵DO∥MB，

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

∵OB=OM ， ∴∠1=∠3. ∴∠2=∠4.

在△DAO 与△DMO 中，24AO OM DO DO =??

∠=∠∠??=?

∴△DAO ≌△DMO. ∴∠OMD=∠OAD.

由于FA ⊥x 轴于点A ，∴∠OAD=90°. ∴∠OMD=90°.即OM ⊥DC. ∴DC 切⊙O 于M.

（2）解：由D （－2，4）知OA=2（即⊙O 的半径），AD=4. 由（1）知DM=AD=4，由△OMC ∽△DAC ， 知A

MC AC E A=A OM AD E A=A 24E A=A 1

2

E A ，∴AC=2MC. 在Rt △ACD 中，CD=MC+4.

由勾股定理，有(2MC)2+42=(MC+4)2，解得MC=A 8

3E A 或MC=0（不合，舍去）.

∴MC 的长为A 83E A ，∴点C （A 10

3E A ，0）.

设直线DC 的解析式为y=kx+b.

则有?????+-=+=.b k b k 243

100解得???

????=-=.b k 254

3 ∴直线DC 的解析式为y=－A 34E Ax+A 5

2E A.

例2(·益阳)△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上.

Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；

Ⅱ.探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱ

．．b．的两个问

．．．．

．．．．a．和Ⅱ

题中选择一个你喜欢的问题解答

．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．.．如果两题都解，只以Ⅱ

．．．．．．．．．．a．的解答记分

Ⅱa.小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出

正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和

E点，再画正方形DEFG就容易了.设△ABC的边长为2，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化).

Ⅱb.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形.具体作法是：

①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC于F；

③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，

GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由.

习题

1.(2011浙江湖州，10，3)如图，已知A 、B 是反比例面数k

y x

(k >0,x >0)图象上的两点，BC ∥x 轴,交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ．过P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．设四边形0MPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为

4．（·嘉兴市）如图，直角坐标系中，已知两点(00)(20)O A ，，，，点B 在第一象限且OAB △为正三角形，OAB △的外接圆交y 轴的正半轴于点C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D ． （1）求B C ，两点的坐标； （2）求直线CD 的函数解析式；

（3）设E F ，分别是线段AB AD ，上的两个动点，且EF 平分四边形ABCD 的周长． 试探究：AEF △的最大面积？

1、（2011年浙江省杭州市模拟23）（本小题满分10分）

几何模型：

条件：如下左图，A 、B 是直线l 同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P ，使PA PB +的值最小．方法：作点A 关于直线l 的对称点A '，连结A B '交l 于点P ，则PA PB A B '+=的值最小（不必证明）． 模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连结BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连结ED 交AC 于P ，则P B P E +的最小值是___________；

（2）如图2，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；

（3）如图3，45AOB ∠=°，P 是AOB ∠内一点，10PO =，Q R 、分别是OA OB 、上的动点，求PQR △周长的最小值． 答案：（本小题10分）

（1） ………………2分

（2）延长AO 交⊙o 于点D ，连接CD 交OB 于P 则PA=PD ，PA+PC=PC+PD=CD

连接ＡＣ，∵ＡＤ为直径，∴∠ACD＝９０°，ＡＤ＝４ ∵∠AOC＝６０°，∴∠ADC＝３０°……4分 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ＣＤ＝cos30°?AD=

，即PA+PC 的最小值为

………6分

（3）解：分别作点P 关于OA ，OB 的对称点E ，F ，连接EF 交OA ，OB 于R ，Q ， 则△PRQ 的周长为：EF

∵OP=OE=OF=10,∠FOB=∠POB,∠POA=∠AOE,……8分 ∵∠AOB=45°,∴∠EOF=90°

在Rt△EOF 中，∵OE=OF=10，∴EF=10

，即△PRQ 的周长最小值为10

……10分…

2、(2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)（本小题满分12分）

y

x

5O

1

D

C

B

A

（第24题）

如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为（5，0），顶点D 在⊙O 上运动。 （1）当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时，试证明直线CD 与⊙O 相切； （2）当直线CD 与⊙O 相切时，求OD 所在直线对应的函数关系式；

（3）设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．

3、（2011年北京四中模拟28） 已知一次函数m x y +=

4

3

的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（如图）

，且与反比例函数 x

y 24

=

的图像在第一象限交于点C （4，n ），CD ⊥x 轴于D 。

（1）求m 、n 的值；

（2）如果点P 在x 轴上，并在点A 与点D 之间，点Q 在线段AC 上，且AP =CQ ,那么当 △APQ 与△ADC 相似时，求点Q 的坐标．

答案：解：(1)∵点C （4，n ）在x

y 24

=

的图象上，∴n=6,∴C （4，6）------------1分 ∵点C （4，6）在m x y +=4

3

的图象上，∴m=3---------------------------1分 (2)3

34

y x =

+与x 轴交于点A （-4，0），与y 轴交于点B （0，3）---------2分 设AP=CQ=t ，∵C （4，6），CD ⊥x 轴，∴AD=8,CD=6,∴AC=10,∴AQ=10-t ， ∵△APQ 与△ADC 相似，且∠A=∠A, ∴

AP AD AP AC

AQ AC AQ AD

==

或，即81010t t =-或10108t t =----------2分 ∴409t =

或50

9

t =---------------------------------------------------2分 ∵点Q 在直线334y x =+上，∴设3

(,3)4

Q x x +（-4＜t ＜4）-----1分

作QH ⊥x 轴,则AH=x+4

∵QH//CD,∴

AH AQ AD AC =,即410810

x t +-=-----------1分 当409t =时，401049810

x -

+=，解得：49x =，410(,)93Q --------1分 当509t =时，501049810

x -

+=，解得：49x =-，48(,)93Q ---------1分

1、（北京四中模拟）

如图，矩形纸片ABCD 中，26AB =厘米，18.5BC =厘米，点E 在AD 上，且AE =6厘米，点P 是AB 边上一动点．按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图①）；

A

B O

x

y

A

B C

D

P Q H O

步骤二，过点P 作AB PT ，交MN 所在的直线于点Q ，连结QE （如图②）．

图①图②图③

（I ）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQQE （填“>”、“=”、“<”）；

（II ）如图③所示，将矩形纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： （i ）当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点1Q ，1Q 点的坐标是（，）； （ii ）当PA =6厘米时，PT 与MN 交于点2Q ，2Q 点的坐标是（，）；

（iii ）当PA =a 厘米时，在图③中用尺规作出MN （不要求写作法，要求保留作图痕迹），PT 与

MN 交于点3Q ，3Q 点的坐标是（，）．

备用图备用图

解：（I ）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ=QE （填“>”、“=”、“<”）；

（II ）如图③所示，将矩形纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： （i ）当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点1Q ，1Q 点的坐标是（０，３）； （ii ）当PA=6厘米时，PT 与MN 交于点2Q ，2Q 点的坐标是（６，６）；

（iii ）当PA=a 厘米时，在图③中用尺规作出MN （连结EP ，做中垂线，作图略），