一道竞赛题的妙解

一道竞赛题的妙解

广西师范大学出版社出版的《奥赛金牌测试题》中有这样一题：

质量为M的正方体木块上叠放着一个质量为m的物体，M浮在液面足够大的水面上，如图所示，当突然拿开m，M上跳到最高时，其底

面恰与水面齐平，由此可知，m和M的关

系为--------------------------------（）

M

A、m=M

B、m=1

2

C、m=2M

D、无法确定

参考答案是这样的：

未撤掉m时，两物重大小等于水对其浮力，撤掉m后，浸在水中M的高度L X逐渐减少为零，即受到水的浮力有渐变过程，对浮力取平均值，应有：

ρL X S g=（M+ m）g

1/2ρL X S g=m g 解得m=M 。

对于这样的解答，初中学生很难理解。我们知道m 撤掉的一瞬间，M所受合力为mg，此时的瞬间加速度为mg/M，接着就开始作加速运动，但在做加速运动时，由于其所受水的浮力逐渐减少，加速度又同时在减少。上升到某一高度处，其合力为零。由于惯性继续上升的过程中，M 将作变减速运动，对这样复杂的运动，就算向初中学生介绍高中动力学的知识，也不能解决问题。有什么好方法吗？我们可以从能量守恒的角度分析，因为M在上升过程中，重力势能增大，到达最高处时动能变零，而部分水要填补到原来M排开水的位置，这部分水的重力势能要减小，由于水面足够大，可把水看作流速很慢，即水的动能看作零，那么M增加的重力势能就等于水减少的重力势能。

设想把它们放在一个底面积为S0的圆柱形容器中如图1，我们设M 的底面积为S，水的密度为ρ

则M排开水的体积为：V排=F浮/ρg=（M+m）g/ρg=（M+m）/ρ

则M浸在水中的深度为：h=（M+m）/ρS

当M的下表面与水面相平时，

水面下降的高度：△h=V排/S0=（M+m）/ρS0，

M上升的高度为（h—△h），

则M增加的势能为：

△E1=Mg（h—△h）=Mg[（M +m）/ρS—（M +m）/ρS0]

图1中，M下底面以下部分的水（即AB以下部分）与图2中一样位置没有变化，所以分析水减少的势能，我们只要分析AB上方的那部分水就可以了，这部分水的体积为V=（S0—S）h，

这部分水的重力为G=ρV g=ρ（S0—S）h g，

图1中这部分水的重心在AB上方h/2处，而图2中它的重心在AB上方（h-△h）/2处，所以从图1到图2，这部分水的重心下降高度为△h/2，所以这部分水减少的势能△E2= ρ（S0—S）hg△h/2

=ρ（S0—S）h g （M +m）/2ρS0

因为△E1=△E2，整理得m=M 。

图1 图2

吴江市桃源中学钮云坤