湖北省武汉市汉铁高中2014-2015学年高二下学期3月月考数学试卷(新疆班)

湖北省武汉市汉铁高中2014-2015学年高二下学期3月月考数学试卷(新疆班)

一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)

1.命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是()

A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0 B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0

C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0 D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0

2.命题甲:x≠2或y≠3;命题乙:x+y≠5,则甲是乙的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.若“0<x<1是“(x﹣a)[x﹣(a+2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A.[﹣1,0]B.(﹣1,0)C.(﹣∞,0]∪[1,+∞)D.(﹣∞,﹣1]∪[0,+∞)

4.已知=(3,﹣2,﹣3),=(﹣1,x﹣1,1),且与的夹角为钝角,则x的取值范围是()

A.(﹣2,+∞)B.(﹣2,)∪(,+∞)C.(﹣∞,﹣2) D.(,+∞)

5.下列说法正确的是()

A.x≥3是x>5的充分而不必要条件

B.若¬p?¬q,则p是q的充分条件

C.x≠±1是|x|≠1的充要条件

D.一个四边形是矩形的充分条件是:它是平行四边形

6.已知命题p:对任意的x∈R,有2x<3x;命题q:存在x∈R,使x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是()

A.非p且q B.p且q C.p且非q D.非p且非q

7.已知=(﹣3,2,5),=(1,x,﹣1),且?=2,则x的值是()

A.6B.5C.4D.3

8.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足,,,则△BCD 是()

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定

9.已知空间四边形OABC,M、N分别是对边OA、BC的中点,点G在MN上,且,

=,=,=,=x+y+z,则x的值为()

A.B.C.D.

10.棱长为2的正四面体ABCD在空间直角坐标系中移动,但保持点A、B分别在x轴、y

轴上移动,则棱CD的中点E到坐标原点O的最远距离为()

A.M B.N C.+1 D.+1

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡相应位置.)

11.命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是.

12.若=(2,﹣3,),=(1,0,0),则<?>=.

13.已知空间四点A(0,1,0),B(1,0,),C(0,0,1),D(1,1,),则异面直线AB,CD所成的角的余弦值为.

14.设p:|2x+1|<m(m>0),,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为.

15.如图所示,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,N为BC中点,则等于.

三、解答题(本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.)16.p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,q:实数x满足

(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;

(2)?p是?q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

17.已知命题p:不等式a2﹣5a﹣3≥3;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a≤0,若?p且q是真命题,求a的取值范围集合.

18.直三棱柱ABC﹣A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.

19.如图,已知ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体.设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,试求α、β、γ的值.

20.已知空间三点A(﹣2,0,2),B(﹣1,1,2),C(﹣3,0,4),设=,=.(1)求和的夹角的余弦值;

(2)若向量k+与k﹣2互相垂直,求实数k的值.

21.下列三个不等式:

①>1;

②(a﹣3)x2+(a﹣2)x﹣1>0;

③a>x2+.

若其中至多有两个不等式的解集为空集,求实数a的取值范围.

湖北省武汉市汉铁高中2014-2015学年高二下学期3月月考数学试卷(新疆班)

一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)

1.命题“若a2+b2=0,则a=0且b=0”的逆否命题是()

A.若a2+b2≠0,则a≠0且b≠0 B.若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0

C.若a=0且b=0,则a2+b2≠0 D.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0

考点:四种命题.

专题:常规题型.

分析:若原命题是“若p,则q”,则逆否命题是“若非q,则非p”也就是将命题的条件与结论都否定,再进行互换.由此分别将“a2+b2=0”、“a=0且b=0”否定,得到否命题,再将其改成逆命题,就不难得出正确答案.

解答:解:∵原命题是若a2+b2=0,则“a=0且b=0”

∴否命题是“若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0”

从而得到逆否命题是“若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”

故选D

点评:本题考查了原命题与逆否命题之间的关系,属于基础题.解题时应该注意含有逻辑词的条件的否定:“p且q”的否定是“非p或非q”.

2.命题甲:x≠2或y≠3;命题乙:x+y≠5,则甲是乙的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

考点:充要条件.

分析:我们可先判断x≠2或y≠3时,x+y≠5是否成立,再判断x+y≠5时,x≠2或y≠3是否成立,再根据充要条件的定义即可得到结论.

解答:解:若x≠2或y≠3时,如x=1,y=4,

则x+y=5,即x+y≠5不成立,

故命题甲:x≠2或y≠3?命题乙:x+y≠5为假命题;

若x=2,y=3成立,则x+y=5一定成立,

即x=2,y=3?x+y=5为真命题

根据互为逆否命题真假性相同

故命题乙:x+y≠5?命题甲:x≠2或y≠3也为真命题

故甲是乙的必要非充分条件

故选:B

点评:本题考查的知识点是充要条件的定义,我们先判断p?q与q?p的真假,再根据充要条件的定义给出结论是解答本题的关键.

3.若“0<x<1是“(x﹣a)[x﹣(a+2)]≤0”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是()A.[﹣1,0]B.(﹣1,0)C.(﹣∞,0]∪[1,+∞)D.(﹣∞,﹣1]∪[0,+∞)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题:简易逻辑.

分析:先求出不等式的等价条件,根据充分不必要条件的定义进行判断即可.

解答:解:由(x﹣a)[x﹣(a+2)]≤0得a≤x≤a+2,

要使“0<x<1”是“(x﹣a)[x﹣(a+2)]≤0”的充分不必要条件,

则,

∴﹣1≤a≤0,

故选:A.

点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据不等式之间的关系是解决本题的关键.

4.已知=(3,﹣2,﹣3),=(﹣1,x﹣1,1),且与的夹角为钝角,则x的取值范围是()

A.(﹣2,+∞)B.(﹣2,)∪(,+∞)C.(﹣∞,﹣2) D.(,+∞)

考点:空间向量的夹角与距离求解公式.

专题:计算题.

分析:根据两个向量的夹角是钝角,则两个向量的夹角的余弦小于零,从而得到两个向量的数量积小于零,用坐标形式表示向量的数量积,解不等式,得到变量的范围.

解答:解:∵与的夹角为钝角,

∴cos<,><0.且与不共线

∴?<0.且(3,﹣2,﹣3)≠λ(﹣1,x﹣1,1)

∴﹣3﹣2(x﹣1)﹣3<0.且x≠

∴x的取值范围是(﹣2,)∪(,+∞).

故选B.

点评:两个向量的数量积是一个数量,它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积,结果可正、可负、可以为零,其符号由夹角的余弦值确定.

5.下列说法正确的是()

A.x≥3是x>5的充分而不必要条件

B.若¬p?¬q,则p是q的充分条件

C.x≠±1是|x|≠1的充要条件

D.一个四边形是矩形的充分条件是:它是平行四边形

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题:简易逻辑.

分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解答:解:A.x≥3是x>5的必要不充分条件,故A错误,

B.若¬p?¬q,则q?p,即p是q的必要条件,故B错误,

C.x≠±1是|x|≠1的充要条件,故C正确,

D.若四边形是平行四边形,则四边形不一定是矩形,故个四边形是矩形的充分条件是:它是平行四边形,错误,

故选:C

点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础.

6.已知命题p:对任意的x∈R,有2x<3x;命题q:存在x∈R,使x3=1﹣x2,则下列命题中为真命题的是()

A.非p且q B.p且q C.p且非q D.非p且非q

考点:复合命题的真假.

专题:函数的性质及应用;简易逻辑.

分析:不等式2x<3x等价于,显然该不等式不能恒成立,从而知道命题p为假

命题,可令f(x)=x3+x2﹣1,容易判断该函数存在零点,从而得出存在x∈R,x3=1﹣x2成立,这便可判断命题q为真命题,这样便可根据p且q,非p,非q的真假和p,q真假的关系找出正确选项.

解答:解:由2x<3x得:;

当x≤0时,,即不恒成立;

∴命题p为假命题;

令f(x)=x3+x2﹣1,则f(0)=﹣1,f(1)=1;

∴f(x)在(0,1)之间有零点;

即存在实数x∈R,使f(x)=0,即使x3=1﹣x2;

∴命题q为真命题;

∴非p为真命题,非p且q为真命题;

p且q为假命题;

非q为假命题,p且非q为假命题;

非p且非q为假命题;

∴A正确.

故选A.

点评:考查不等式的性质,指数函数的值域,熟悉指数函数的图象,真假命题的概念,以及函数零点和对应方程解的关系,判断函数是否存在零点的方法,p且q,非p的真假和p,q 真假的关系.

7.已知=(﹣3,2,5),=(1,x,﹣1),且?=2,则x的值是()

A.6B.5C.4D.3

考点:空间向量的数量积运算.

专题:空间向量及应用.

分析:由题意可得?=﹣3×1+2x+5×(﹣1)=2,解方程可得.

解答:解:∵=(﹣3,2,5),=(1,x,﹣1),

∴?=﹣3×1+2x+5×(﹣1)=2,

解得x=5

故选:B

点评:本题考查空间向量数量积的运算,属基础题.

8.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足,,,则△BCD

是()

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不确定

考点:数量积表示两个向量的夹角.

专题:计算题.

分析:判断三角形的形状有两种基本的方法①看三角形的角②看三角形的边.本题可用向量的夹角来判断三角形的角.

解答:解:

∵=,

∴故∠B是锐角,

同理∠D,∠C都是锐角,故△BCD是锐角三角形,

故选C.

点评:本题考查向量的分解,重点是向量的夹角公式,是2015届高考考查的热点问题.9.已知空间四边形OABC,M、N分别是对边OA、BC的中点,点G在MN上,且,

=,=,=,=x+y+z,则x的值为()

A.B.C.D.

考点:平面向量的基本定理及其意义.

专题:平面向量及应用.

分析:如图所示,,=,,,,可得=,与=x+y+z比较,即可得出.

解答:解:如图所示,

,=,,,,

∴=,

=,

与=x+y+z比较,

则x=.

故选:C.

点评:本题考查了向量的三角形与平行四边形法则、向量线性运算、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

10.棱长为2的正四面体ABCD在空间直角坐标系中移动,但保持点A、B分别在x轴、y 轴上移动,则棱CD的中点E到坐标原点O的最远距离为()

A.M B.N C.+1 D.+1

考点:棱柱的结构特征.

分析:固定正四面体ABCD的位置,则原点O在以AB为直径的球面上运动,原点O到直线CD的最近距离为点M到直线CD的距离加上球M的半径,求解即可.

解答:解:如图,

若固定正四面体ABCD的位置,则原点O在以AB为直径的球面上运动,

设AB中点为M,则原点到直线CD的最近距离d等于点M到直线CD的距离加上球M的半径,

∵EB=,MB=1,∴ME=,

则所求距离的最大值为:d=.

故选:D.

点评:本题考查空间想象能力,转化思想的应用,考查分析问题解决问题的能力与计算能力,是中档题.

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡相应位置.)11.命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是存在x∈R,x3﹣x2+1>0.

考点:命题的否定.

专题:简易逻辑.

分析:直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.

解答:解:因为全称命题的否定是特称命题,

所以命题“对任意的x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是:存在x∈R,x3﹣x2+1>0.

故答案为:存在x∈R,x3﹣x2+1>0.

点评:本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系.

12.若=(2,﹣3,),=(1,0,0),则<?>=.

考点:空间向量的夹角与距离求解公式.

专题:计算题;空间向量及应用.

分析:根据向量的坐标运算,求出?以及||、||的值,计算cos<,>即可得与所成的角.

解答:解:∵=(2,﹣3,),=(1,0,0),

∴?=2×1﹣3×0+×0=2,

||==4,

||==1;

∴cos<,>===,

<,>=.

故答案为:.

点评:本题考查了利用空间向量的坐标表示求向量所成的角的计算问题,是基础题目.13.已知空间四点A(0,1,0),B(1,0,),C(0,0,1),D(1,1,),则异面直线AB,CD所成的角的余弦值为.

考点:空间向量的夹角与距离求解公式.

专题:空间向量及应用.

分析:利用向量坐标运算、向量夹角公式即可得出.

解答:解:(1)设==,==.

=1﹣1﹣=﹣,==,==,

∴===﹣,

∴异面直线AB,CD所成的角的余弦值为.

故答案为:.

点评:本题考查了向量坐标运算、向量夹角公式,属于基础题.

14.设p:|2x+1|<m(m>0),,若p是q的充分不必要条件,则实数m的取值范围为(0,2].

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题:探究型.

分析:先化简p,q,利用p是q的充分不必要条件,建立不等式关系进行求解.

解答:解:∵m>0,∴不等式|2x+1|<m等价为﹣m<2x+1<m,解得,即p:.

由,即(x﹣1)(2x﹣1)>0,解得x>1或x<.即q:x>1或x<.

∵p是q的充分不必要条件,

∴,

解得m≤2,

∵m>0,∴0<m≤2,

即实数m的取值范围为(0,2].

故答案为:(0,2].

点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用数形结合是解决此类问题的基本方法注意端点值等号的取舍问题.

15.如图所示,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,N为BC中点,则等于.

考点:向量的三角形法则.

专题:计算题.

分析:画出图形,用、、表示、,从而求出.

解答:解:画出图形,如图:

∵,,,点M在OA上,

且OM=2MA,N为BC的中点,

∴==,

=(+)=+,

∴=﹣=+﹣;

故答案为:.

点评:本题考查了平面向量的线性运算,是基础题.

三、解答题(本大题共6小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演箅步骤.)16.p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,q:实数x满足

(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;

(2)?p是?q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假.

专题:简易逻辑.

分析:(1)若a=1,分别求出p,q成立的等价条件,利用且p∧q为真,求实数x的取值范围;

(2)利用¬p是¬q的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解答:解:(1)由x2﹣4ax+3a2<0,得(x﹣3a)(x﹣a)<0.又a>0,

所以a<x<3a.

当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.

由得

得2<x≤3,

即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.

若p∧q为真,则p真且q真,

所以实数x的取值范围是2<x<3.

(2)¬p是¬q的充分不必要条件,即¬p?¬q,且¬q推不出¬p.

即q是p的充分不必要条件,

则,解得1<a≤2,

所以实数a的取值范围是1<a≤2.

点评:本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系,利用逆否命题的等价性将¬p是¬q 的充分不必要条件,转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键,

17.已知命题p:不等式a2﹣5a﹣3≥3;命题q:只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a≤0,若?p且q是真命题,求a的取值范围集合.

考点:复合命题的真假.

专题:简易逻辑.

分析:根据不等式的性质分别求出命题p,q的等价条件,结合复合命题之间的关系进行求解即可.

解答:解:由a2﹣5a﹣3≥3得a2﹣5a﹣6≥0,解得a≥6或a≤﹣1,即p:a≥6或a≤﹣1,¬p:﹣1<a<6,

若只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a≤0,

则判别式△=(2a)2﹣4×11a=0,

即2a2﹣11a=0,解得a=0或a=,

若若?p且q是真命题,则¬p,q都为真命题,

则a=0或a=,

即a的取值范围集合为{,0}.

点评:本题主要考查复合命题之间的应用,根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键.

18.直三棱柱ABC﹣A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.

考点:异面直线及其所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系.

专题:计算题;证明题.

分析:(1)先=a,=b,=c建立一个基底,再用基底表示,,然后计算其数量积,可得答案;

(2)由(1)表示,=||,再用向量的夹角求解.

解答:解:(1)证明:设=a,=b,=c,

根据题意,|a|=|b|=|c|且a?b=b?c=c?a=0,

∴=b+c,=﹣c+b﹣a.

∴?=﹣c2+b2=0.

∴⊥,即CE⊥A′D.

(2)=﹣a+c,∴||=|a|,||=|a|.

?=(﹣a+c)?(b+c)=c2=|a|2,

∴cos<,>==.

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

点评:本题主要考查向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角.

19.如图,已知ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体.设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,试求α、β、γ的值.

考点:空间向量的加减法.

专题:空间向量及应用.

分析:利用向量的三角形法则、线性运算、向量基本定理即可得出.

解答:解:∵=

=

=

=+

=++,

又=α+β+γ,

∴,,γ=.

点评:本题考查了向量的三角形法则、线性运算、向量基本定理,属于基础题.20.已知空间三点A(﹣2,0,2),B(﹣1,1,2),C(﹣3,0,4),设=,=.(1)求和的夹角的余弦值;

(2)若向量k+与k﹣2互相垂直,求实数k的值.

考点:向量的数量积判断向量的共线与垂直.

专题:平面向量及应用.

分析:(1)利用向量的坐标运算和向量的夹角公式即可得出;

(2)利用,可得=0即可解得.解答:解:(1)=(﹣1,1,2)﹣(﹣2,0,2)=(1,1,0).

=(﹣3+2,0﹣0,4﹣2)=(﹣1,0,2).

∴cosθ===﹣.

∴和的夹角的余弦值为﹣.

(2)k+=(k,k,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2),

k﹣2=(k,k,0)﹣(﹣2,0,4)=(k+2,k,﹣4).

∵,

∴=(k﹣1,k,2)?(k+2,k,﹣4)=(k﹣1)(k+2)+k2﹣8=0,

即2k2+k﹣10=0,解得k=﹣或k=2.

点评:本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式、向量垂直与数量积的关系,属于基础题.

21.下列三个不等式:

①>1;

②(a﹣3)x2+(a﹣2)x﹣1>0;

③a>x2+.

若其中至多有两个不等式的解集为空集,求实数a的取值范围.

考点:其他不等式的解法.

专题:计算题;不等式的解法及应用.

分析:分别考虑三个不等式的解集为空集,运用二次不等式的解法和指数函数的单调性,及基本不等式,求出a的范围,再求它们的交集,最后再求补集即可得到.

解答:解:对于①,>1即﹣x2+ax﹣>0,则x2﹣ax+<0,△=a2﹣25,

则不等式的解集为空集,由△≤0,解得﹣5≤a≤5;

对于②,当a=3时,不等式的解集为{x|x>1},不为空集;当a≠3时,

要使不等式(a﹣3)x2+(a﹣2)x﹣1>0的解集为空集,

则a﹣3<0,且(a﹣2)2+4(a﹣3)≤0,解得﹣2.

对于③,由于x2+≥2=2,当且仅当x2=1,即x=±1时取等号.

则有不等式a>x2+的解集为空集时,则有a≤2.

因此当三个不等式的解集空集时,有﹣2.

则要使其中至多有两个不等式的解集为空集,

实数a的取值范围为{a|a<﹣2或a>2}.

点评:本题考查不等式的解法,考查二次不等式和指数不等式,及基本不等式的运用,考查运算能力,属于中档题和易错题.

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