中国民航大学《概率论与数理统计》期末考试试题及答案B[1]

《概率论与数理统计》期末考试试题

一、填空题（每题3分，共15分）

1、已知随机变量X 服从参数为2的泊松（Poisson ）分布，且随机变量22-=X Z ，则()=Z E ____________．

2、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，则()=AB P

3、设二维随机变量()Y X ,的分布列为

若X 与Y 相互独立，则βα、的值分别为 。

4、设 ()()()4, 1, ,0.6D X D Y R X Y ===，则 ()D X Y -=___ _

5、设12,,,n X X X 是取自总体),(2

σμN 的样本，则统计量2

2

1

1

()n i

i X

μσ

=-∑服从__________

分布.

二、选择题（每题3分，共15分）

1. 一盒产品中有a 只正品，b 只次品，有放回地任取两次，第二次取到正品的概率为 【 】 (A) 11

a a

b -+-； (B)

(1)()(1)

a a a

b a b -++-； (C)

a a b

+； (D)

2

a a

b ?? ?+??

.

2、设事件A 与B 互不相容，且()0≠A P ，()0≠B P ，则下面结论正确的是【 】

(A) A 与B 互不相容; (B)()0>A B P ;

(C) ()()()B P A P AB P =; (D)()()A P B A P =.

3、设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布()1,0N 和()1,1N ，则【 】 (A)()210=

≤+Y X P ； (B) ()211=≤+Y X P ； (C)()2

10=

≤-Y X P ； (D)()2

11=

≤-Y X P 。

4、 如果Y X ,满足()Y X D Y X D -=+)(，则必有【 】

（A ）X 与Y 独立；（B ）X 与Y 不相关；（C ）0=DY ；（D ）0=DX

5、设相互独立的两个随机变量X 与Y 具有同一分布律，且X 的分布律为 则随机变量()Y X Z ,max =的分布律为【 】

(A)()()2

11,2

10===

=z P z P ； (B) ()()01,10====z P z P ；

(C) ()()4

3

1,4

10=

==

=z P z P ；(D) ()()4

11,4

30=

==

=z P z P 。

三、解答题（共30分）

1.（本题满分8分）两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品(A)的概率.

2.（本题满分8分）将一枚硬币连掷三次，X 表示三次中出现正面的次数，Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求：（1）（X ，Y ）的联合概率分布；（2）{}X Y P >.

3.（本题满分10分）设随机变量()1,0~N X ，12

+=X Y ，试求随机变量Y 的密度函

数．

四、（8分）设X 的密度函数为),(,21)(∞+-∞∈=

-x e

x f x

① 求X 的数学期望()E X 和方差()D X ；

② 求X 与X 的协方差和相关系数，并讨论X 与X 是否相关？ 五、（本题满分8分）二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

?

?

?>>=+-其他

,

00,0,),()

2(y x Ae

y x f y x

求：（1）系数A ；（2）X ，Y 的边缘密度函数；（3）问X ，Y 是否独立。

六、（本题满分12分） 设总体()2

~σ

μ，N X ，其中μ是已知参数，02

>σ

是未知

参数．()n X X X ，，， 21是从该总体中抽取的一个样本，

⑴. 求未知参数2

σ的极大似然估计量2

?σ

； ⑵. 判断2

?σ

是否为未知参数2

σ的无偏估计．

七、（本题满分8分）设总体()2

,

~σ

μN X ，其中且μ与2

σ

都未知，+∞<<∞-μ，

02

>σ．现从总体X 中抽取容量16=n 的样本观测值()1621x x x ，，， ，算出

75.50316

116

1

==

∑

=i i x x ，()2022.615

1

16

1

2

=-=

∑=i i

x x s ，试在置信水平95.01=-α下，

求μ的置信区间． （已知：()7531.11505.0=t ，()7459.11605.0=t ，()1315.215025.0=t ，()1199.216025.0=t ）

．

八、（本题满分8分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg 且 强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取 25 件作强力试验，算

得 ， 问新产品的强力标准差是否有显著变化 ？ ( 分别

取

和 0.01， 已知

，

）

《概率论与数理统计》期末考试试题参考答案

一、填空题：1、2；2、0.4；3．21,99

αβ=

=

；4、2.6；5、2()n χ

二、选择题：1、C ；2、D ；3、B ；4、B ；5、C

三、1.解：设Bi =“取出的零件由第 i 台加工”)2,1(=i ()A P ()()11B A P B P =()()22B A P B P +97.03

2?=

98.03

1?+

973.0=

2.解：由题意知，X 的可能取值为：0，1，2，3；Y 的可能取值为：1，

3. 且

{}81213,03

=??

?

??===Y X P ，{}8321211,12

1

3

=??

?

????? ??=

==C Y X P ， {}8321211,22

2

3=??? ????? ??===C Y X P ，{}81213,33

=??

?

??===Y X P .

于是，（1）（X ，Y

（2）{}{}8

3,0=

===>Y X P X Y P

3.解：随机变量X 的密度函数为 ()2

2

21

x

e

x f -=

π

()+∞<<∞-x

设随机变量Y 的分布函数为()y F Y ，则有

(){}{}{

}

112

2

-≤=≤+=≤=y X

P y X

P y Y P y F Y

①. 如果01≤-y ，即1≤y ，则有()0=y F Y ； ②. 如果1>y ，则有 (){}

{

}

1112

-≤

≤--

=-≤=y X y P y X P y F Y

?

?

------

=

=

1

2

1

1

2

2

2

2221y x

y y x

dx e

dx e

π

π

即(

)2

2

10

1

x

Y e

dx y F y y -

?>=≤?

?

所以， ()(

)12

10

1

y Y Y y f y F y y --

?>'==?≤?

即 (

)12

10

1

y Y y f y y --

?>=≤?

．

四、解： ① )(X E 021==

-∞

+∞-?dx e x x

)(X D 2

2)]([)(X E X E -=

22

1202

10

2

2

==-=

?

?

∞

+-∞+∞

--dx e

x

dx e

x

x

x

②)()()(),(X E X E X X E X X Cov -=002

1=-=-∞+∞

-?

dx e

x

x x

所以X 与X 不相关. 五、（本题满分10分）

解：（1）由????∞+∞

++-∞+∞-∞+∞-==00)2(),(1dxdy Ae dxdy y x f y x

A dy e

dx e

A y

x

2

10

2=

=?

?

∞+∞+-- 所以2=A

（2）X 的边缘密度函数：?

∞+∞

-=dy y x f x f X ),()(??

?>=-其他,

00

x e x Y 的边缘密度函数：?

∞+∞

-=

dx y x f y f Y ),()(??

?>=-其他,

00 22y e y （3）因)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X ，Y 是独立的 六、解：⑴. 当02

>σ

为未知，而+∞<<∞-μ为已知参数时，似然函数为

()()

()?

?????

--

=∑=-

n

i i

n x L 1

22

2

2

2

21exp 2μσ

πσσ

因而 ()(

)()∑=--

-

=n

i i

x

n L 1

2

2

2

2

212ln 2

ln μσ

πσ

σ

所以

()

()()01

2

12ln 4

1

2

2

2

2

=?

-+

-

=??∑=σ

μσ

σσ

n

i i

x n L

解得()∑=-=

n

i i

x n

1

2

2

1μσ

因此，2

σ的极大似然估计量为()∑=-=

n

i i

X n

1

2

2

1

?μσ

．

⑵. 因为()2

~σμ，N X i ()n i ，，， 21=，

所以

()10~，N X i σ

μ

- ()n i ，，， 21=，

所以 []0=-μi X E ，[]2σμ=-i X D ()n i ，，， 21=， 所以()

[

]()[][]2

2

2

σ

μμμ=-+-=-i i

i X D X

E X E ()n i ，，， 21=

因此，()

()????

??-=∑=n i i

X n

E E 1

22

1?μσ

()()∑=-=

n

i i X E n

1

2

1

μ2

2

1σσ

=?=n n

所以，()∑=-=n

i i

X n

1

2

2

1?μσ

是未知参数2

σ

的无偏估计

七、解：由于正态总体()2

,σ

μN 中期望μ

与方差2σ都未知，所以所求置信区间为

()()???

?

?

?-+

--1,122n t n S

X n t n S

X αα． 由05.0=α，16=n ，得025.02

=α

．查表，得()1315.215025.0=t ．

由样本观测值，得75.50316

1

16

1

==∑=i i

x x ，()2022.615

1

16

1

2

=-=

∑=i i

x x s

所以， ()445.5001315.2162022.675.50312

=?-

=--n t n

s x α，

()055.5071315.216

2022

.675.50312

=?+

=-+

n t n s x α，

因此所求置信区间为()055.507,445.500

八、解：要检验的假设为

：

；

在

时 ，

故在时，拒绝认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大。当时，

故在下接受，认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异。