高一上学期期末考试《球与其它几何体》练习

球与其它几何体练习

一．选择题（共13小题）

1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）

A．B．16πC．9πD．

2．如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于（）

A．100πB．C．25πD．

3．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A．B． C．2πD．4π

4．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为（）

A．3 B．C．2 D．2

5．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）

A．B．C．D．

6．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）

A．36πB．64πC．144πD．256π

7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）

A．B．C． D．

8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．

9．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）

A．π B．4πC．4πD．6π

10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）

A．πa2B．C．D．5πa2

11．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）

A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2

12．已知三棱锥S﹣ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，

SO⊥底面ABC，，则球的体积与三棱锥体积之比是（）

A．πB．2πC．3πD．4π

13．已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为（）

A． B．4πC． D．

二．填空题（共8小题）

14．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则=．

15．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为．

16．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为2的正方形），则该几何体外接球的体积为．

17．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为．

18．已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA 为半径的球的表面积为．

19．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为．

20．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．

21．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为．

球与其它几何体练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）

1．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）

A．B．16πC．9πD．

【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．

【解答】解：设球的半径为R，则

∵棱锥的高为4，底面边长为2，

∴R2=（4﹣R）2+（）2，

∴R=，

∴球的表面积为4π?（）2=．

故选：A．

2．如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于（）

A．100πB．C．25πD．

【分析】根据几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆判断得几何体为半径等于5的球，利用球的表面积公式计算可得答案．

【解答】解：由几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，得几何体为半径等于5的球，

∴几何体的表面积S=4π×52=100π．

故选：A．

3．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A．B． C．2πD．4π

【分析】画出图形，正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积即可．

【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，

记为O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此时O在PO1的延长线上），

在Rt△AO1O中，R2=1+（R﹣1）2得R=1，∴球的表面积S=4πR2=4π．

故选：D．

4．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为（）

A．3 B．C．2 D．2

【分析】根据正六棱柱和球的对称性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量．【解答】解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则O是O1，O2的中点．设高为2h，则6+h2=9．∴h=，

∴2h=2，

故选：D．

5．将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A﹣BCD，则四面体A﹣BCD的外接球的体积为（）

A．B．C．D．

【分析】折叠后的四面体的外接球的半径，就是长方形ABCD沿对角线AC的一半，求出球的半径即可求出球的表面积．

【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，

∴长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折起二面角，得到四面体A﹣BCD，

则四面体A﹣BCD的外接球的半径，是AC=，

所求球的体积为：×π（）3=．

故选：B

6．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）

A．36πB．64πC．144πD．256π

【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，

故选C．

7．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）

A．B．C． D．

【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．

【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，

则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．

设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，

而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，

解出R=5，

∴根据球的体积公式，该球的体积V===．

故选A．

8．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．

【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．

【解答】解：根据题意作出图形：

设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，

延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．

∵CO1==，

∴OO1=，

∴高SD=2OO1=，

∵△ABC是边长为1的正三角形，

=，

∴S

△ABC

∴V=××=，

故选：A．

9．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（）

A．π B．4πC．4πD．6π

【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．

【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，

所以球的半径为：=．

所以球的体积为：=4π．

故选B．

10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）

A．πa2B．C．D．5πa2

【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心

连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，

故选B．

11．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）

A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2

【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即

球的半径R 满足（2R ）2=6a 2，代入球的表面积公式，S 球=4πR 2，即可得到答案． 【解答】解：根据题意球的半径R 满足 （2R ）2=6a 2， 所以S 球=4πR 2=6πa 2． 故选B

12．已知三棱锥S ﹣ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，

SO ⊥底面ABC ，，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ）

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

【分析】求出三棱锥的体积，再求出球的体积即可． 【解答】解：如图，?AB=2r ，∠ACB=90°，BC=，

∴V 三棱锥=，V 球=

，

∴V 球：V 三棱锥=

．

13．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ：HB=1：2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为（ ） A ．

B ．4π

C ．

D ．

【分析】设球的半径为R ，根据题意知由与球心距离为R 的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．

【解答】解：设球的半径为R ，∵AH ：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R ，

∵α截球O所得截面的面积为π，

∴d=R时，r=1，

故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=

∴球的表面积S=4πR2=．

故选：C．

二．填空题（共8小题）

14．若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则=．【分析】设正四面体ABCD的棱长为a，利用体积分割法计算出内切球半径r=

a，从而得到S2关于a的式子．利用正三角形面积公式，算出正四面体的表面积S1关于a的式子，由此不难得出S1与S2的比值．

【解答】解：设正四面体ABCD的棱长为a，可得

∵等边三角形ABC的高等于a，底面中心将高分为2：1的两段

∴底面中心到顶点的距离为×a=a

可得正四面体ABCD的高为h==a

×a=a3，

∴正四面体ABCD的体积V=×S

△ABC

×r=a3，解得r=a

设正四面体ABCD的内切球半径为r，则4××S

△ABC

∴内切球表面积S2=4πr2=

∵正四面体ABCD的表面积为S1=4×S△ABC=a2，

∴==

故答案为：

15．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，

侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为．

【分析】根据已知，求出侧面ABB1A1的长和宽，代入矩形面积，可得答案．【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，故B1C=2，侧面BCC1B1边长为，

故AB=AC=1，

故侧面ABB1A1的面积S=AB?AA1=1×=，

故答案为：．

16．一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为2的正方形），则该几何体外接球的体积为4．

【分析】将三视图还原成如图的多面体，根据题意可得它的外接球与原正方体是同一个，由此算出外接球的半径R=，结合球的体积公式即可算出该几何体外接球的体积，得到答案．

【解答】解：根据题意，将三视图还原成如图的多面体

∵三视图中的三个四边形都是边长为2的正方形

∴正方体的棱长等于2

∵题中的几何体与正方体有相同的外接球

∴该外接球的直径2R==2，得R=

因此，该几何体外接球的体积为V==4

故答案为：4

17．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，

则该圆锥的体积与球O的体积的比值为．

【分析】设球的半径为r，由已知求出圆锥底面圆的直径为，圆锥的高h=，由此能求出该圆锥的体积与球O的体积的比值．

【解答】解：圆锥与球的截面如图，

设球的半径为r，

则圆锥底面圆的直径为，圆锥底面面积为，

圆锥的高h==，

圆锥的体积V==，

球的体积为，该圆锥的体积与球O的体积的比值为=．

故答案为：．

18．已知正四棱锥O﹣ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA

为半径的球的表面积为24π．

【分析】先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱锥O﹣ABCD的侧棱长OA，最后根据球的表面积公式计算即得．

【解答】解：如图，正四棱锥O﹣ABCD的体积V=sh=（×）×OH=，∴OH=，

在直角三角形OAH中，OA===

所以表面积为4πr2=24π；

故答案为：24π．

19．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，

则棱锥O﹣ABCD的体积为8．

【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．

【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，

所以棱锥O﹣ABCD的体积为：=8．

故答案为：8

20．已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高

与体积较大者的高的比值为．

【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．

【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形

由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，

所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2=2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．

故答案为：

21．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在

同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为

．

【分析】由已知中一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，我们易算出该棱柱底面上棱的长度，及球心到底面的距离，然后计算出球的半径，进而可以得到球的体积．

【解答】解：令球的半径为R，六棱柱的底面边长为a，高为h，

∵六棱柱的体积为，底面周长为3，

即

又∵R=

∴R=1

∴球的体积V==

故答案为：