matlab_拉普拉斯变换
实验六 拉普拉斯变换及其逆变换
一、目的
(1)掌握连续系统及信号拉普拉斯变换概念
(2)掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法 (3)掌握利用MATLAB 求解拉普拉斯逆变换的方法
二、拉普拉斯变换曲面图的绘制
连续时间信号)(t f 的拉普拉斯变换定义为:
?+∞
-=0)()(dt e t f s F st (6-1)
其中ωσj s +=,若以σ为横坐标(实轴),ωj 为纵坐标(虚轴),复变量s 就构成了一个复平面,称为s 平面。
显然,)(s F 是复变量s 的复函数,为了便于理解和分析)(s F 随s 的变化规律,可以将)(s F 写成:
)()()(s j e s F s F ?= (6-2)
其中,)(s F 称为复信号)(s F 的模,而)(s ?则为)(s F 的幅角。
从三维几何空间的角度来看,)(s F 和)(s ?对应着复平面上的两个平面,如果能绘出它们的三维曲面图,就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换)(s F 随复变量s 的变化规律。
上述过程可以利用MATLAB 的三维绘图功能实现。现在考虑如何利用MATLAB 来绘制s 平面的有限区域上连续信号)(t f 的拉普拉斯变换)(s F 的曲面图,现以简单的阶跃信号)(t u 为例说明实现过程。
我们知道,对于阶跃信号)()(t u t f =,其拉普拉斯变换为s
s F 1
)(=。首先,利用两
个向量来确定绘制曲面图的s 平面的横、纵坐标的范围。例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为:
x1=-0.2:0.03:0.2; y1=-0.2:0.03:0.2;
然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s ,并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域,对应的MATLAB 命令如下:
[x,y]=meshgrid(x1,y1); s=x+i*y;
上述命令产生的矩阵s 包含了复平面2.02.0<<-σ, 2.02.0<<-ωj 范围内以时间间隔0.03取样的所有样点。
最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值,即可用函数mesh()绘出其曲面图,对应命令为:
fs=abs(1./s); mesh(x,y,fs); surf(x,y,fs);
title('单位阶跃信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);
axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]); rotate3d;
执行上述命令后,绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图6-1所示。
例6-1:已知连续时间信号)()sin()(t u t t f =,求出该信号的拉普拉斯变换,并利用MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。 解:该信号的拉普拉斯变换为:
1
1
)(2+=s s F
利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信号拉普拉斯变换的曲面图,实现过程如下: %绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序 clf;
a=-0.5:0.08:0.5;
b=-1.99:0.08:1.99;
图6-1 阶跃信号拉普拉斯变换曲面图
图6-2 单边正弦信号拉氏变换曲面图
[a,b]=meshgrid(a,b);
d=ones(size(a)); c=a+i*b;
%确定绘制曲面图的复平面区域
c=c.*c; c=c+d; c=1./c; c=abs(c); %计算拉普拉斯变换的样值 mesh(a,b,c); %绘制曲面图
surf(a,b,c);
axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);
title('单边正弦信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);
上述程序运行结果如图6-2所示。
二、由拉普拉斯曲面图观察频域与复频域的关系
如果信号)(t f 的拉普拉斯变换)(s F 的极点均位于s 平面左半平面,则信号)(t f 的傅立叶变换)(ωj F 与)(s F 存在如下关系:
ωωj s s F j F ==)()( (6-3)
即在信号的拉普拉斯变换)(s F 中令0=σ,就可得到信号的傅立叶变换。从三维几何空间角度来看,信号)(t f 的傅立叶变换)(ωj F 就是其拉普拉斯变换曲面图中虚轴所对应的曲线。可以通过将)(s F 曲面图在虚轴上进行剖面来直观的观察信号拉普拉斯变换与其傅立叶变换的对应关系。
例6-2:试利用MATLAB 绘制信号)()sin()(t u t e t f t -=的拉普拉斯变换的曲面图,观察曲面图在虚轴剖面上的曲线,并将其与信号傅立叶变换)(ωj F 绘制的幅度频谱相比较。 解:根据拉普拉斯变换和傅立叶变换定义和性质,可求得该信号的拉普拉斯变换和傅立叶变换如下:
1)1(1)(2++=s s F 1
)1(1
)(2
++=ωωj j F 利用前面介绍的方法绘制拉普拉斯变换曲面图。为了更好地观察曲面图在虚轴剖面上的曲线,定义绘制曲面图的S 平面实轴范围从0开始,并用view 函数来调整观察视角。实现命令如下:
clf;
a=-0:0.1:5;
b=-20:0.1:20; [a,b]=meshgrid(a,b); c=a+i*b; %确定绘图区域 c=1./((c+1).*(c+1)+1); c=abs(c); %计算拉普拉斯变换 mesh(a,b,c); %绘制曲面图 surf(a,b,c);
view(-60,20) %调整观察视角 axis([-0,5,-20,20,0,0.5]);
title('拉普拉斯变换(S 域像函数)'); colormap(hsv);
上述程序绘制的拉普拉斯变换的曲面如图6-3所示。从该曲面图可以明显地观察到)(s F 在虚轴剖面上曲线变化情况。
利用MATLAB 绘制该信号的傅立叶变换幅频曲线命令如下: w=-20:0.1:20;
%确定频率范围 Fw=1./((i*w+1).*(i*w+1)+1); %计算傅里叶变换 plot(w,abs(Fw)) %绘制信号振幅频谱曲线 title('傅里叶变换(振幅频谱曲线)') xlabel('频率w')
运行结果如图6-4所示。通过图6-3和图6-4对比可直观地观察到拉普拉斯变换与傅立叶变换的对应关系。
图6-3 指数衰减正弦信号拉氏变换曲面图 图6-4 指数衰减正弦信号傅氏变换曲幅频图
三、拉普拉斯变换零极点分布对曲面图的影响
从单位阶跃信号和单边正弦信号的拉普拉斯变换曲面图可以看出,曲面图中均有突出的尖峰,仔细观察便可得出,这些峰值点在S 平面的对应点就是信号拉普拉斯变换的极点位置。
我们再来看拉普拉斯变换零极点对曲面图的影响,考虑如下信号:
)
10)(5()
3)(3(2)(2+-+-=
s s s s s F 该信号的零点为32,1±=z ,极点为1623.32,1j p ±=,53=p 。利用如下MATLAB 命令绘制出的曲面图如图6-5所示。
clf;
a=-6:0.48:6; b=-6:0.48:6;
[a,b]=meshgrid(a,b); c=a+i*b;
d=2*(c-3).*(c+3); e=(c.*c+10).*(c-5); c=d./e; c=abs(c); mesh(a,b,c); surf(a,b,c);
axis([-6,6,-6,6,0,4.5]);
title('拉普拉斯变换曲面图'); colormap(hsv); view(-25,30)
从图6-5可明显看出,曲面在1623.3j s ±=和5=s 处有三个峰点,对应着拉普拉斯变换的极点位置,而在3±=s 处有两个谷点,对应着拉普拉斯变换的零点位置。因此,信号的拉普拉斯变换的零极点位置,决定了其拉氏变换曲面图的峰点和谷点位置。
四、连续系统零极点图的绘制
图6-5 拉氏变换零极点分布曲面图
线性时不变系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述:
∑∑===M
j j j N
i i i
t f b t y
a 0
)(0
)
()()( (6-4)
其中,)(t y 为系统输出信号,)(t f 为输入信号。
将上式两边进行拉普拉斯变换,则该系统的系统函数为:
)
()
()
()
()(0
0s A s B s
a s
b s F s Y s H N
i i
i
M
j j
j
=
==
∑∑== (6-5) 将式(6-5)因式分解后有:
∏∏==--=N
i i
M
j j
p s z s C
s H 0
0)
()()( (6-6)
其中C 为常数j z 为系统的零点,i p 为系统的极点。
可见,若连续系统函数的零极点已知,系统函数便可确定下来。即系统函数)(s H 的零极点分布完全决定了系统的特性。
因此,在连续系统的分析中,系统函数的零极点分布具有非常重要的意义。通过对系统函数零极点的分析,我们可以分析连续系统以下几方面的特性:
● 系统冲激响应)(t h 的时域特性; ● 判断系统的稳定性;
● 分析系统的频率特性)(ωj H (幅频响应和相频响应)。
通过系统函数零极点分布来分析系统特性,首先就要求出系统函数的零极点,然后绘制系统零极点图。下面介绍如何利用MATLAB 实现这一过程。
设连续系统的系统函数为:
)
()
()(s A s B s H =
则系统函数的零极点位置可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来求得,调用函数roots()的命令格式为:
p=roots(A)
其中A 为待求根的关于s 的多项式的系数构成的行向量,返回向量p 则是包含该多项式所有根位置的列向量。如多项式为:
43)(2++=s s s A
则求该多项式根的MATLAB 命令为: A=[1 3 4]; p=roots(A) 运行结果为: p =
-1.5000 + 1.3229i -1.5000 - 1.3229i 需要注意的是,系数向量A 的元素一定要由多项式最高次幂开始直到常熟项,缺项要用0补齐。如多项式为:
423)(246-+++=s s s s s A
则表示该多项式的系数向量为:
A=[1 0 3 0 2 1 -4];
用roots()函数求得系统函数)(s H 的零极点后,就可以绘制零极点图,下面是求连续系统的系统函数零极点,并绘制其零极点图的MATLAB 实用函数sjdt()。
function [p,q]=sjdt(A,B)
%绘制连续系统零极点图程序 %A:系统函数分母多项式系数向量 %B:系统函数分子多项式系数向量
%p:函数返回的系统函数极点位置行向量 %q:函数返回的系统函数零点位置行向量
p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B);; %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量 q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x; %确定横坐标范围 clf hold on
axis([-x x -y y]); %确定坐标轴显示范围 axis('square')
plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴 plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴 plot(real(p),imag(p),'x') %画极点 plot(real(q),imag(q),'o') %画零点 title('连续系统零极点图') %标注标题 text(0.2,x-0.2,'虚轴') text(y-0.2,0.2,'实轴')
例6-3:已知连续系统的系统函数如下,试用MATLAB 绘出系统零极点图。
1
2324
)(2
342++-+-=s s s s s s F 解:MATLAB 处理命令如下: a=[1 2 -3 2 1];
b=[1 0 -4]; sjdt(a,b)
运行结果如图6-6所示。
五、拉普拉斯逆变换及MATLAB 实现
连续信号)(t f 的拉普拉斯变换具有如下一般形式:
∑∑====
L
i i
i
K
j j
j
s
d s c s D s C s F 1
1)
()
()(
若L K ≥,则)(s F 可以分解为有理多项式与真分式之和,即
∑∑==+=+
=+=N
i i
i
M
j j
j
s
a s
b s P s A s B s P s R s P s F 1
1)()
()
()()()()(
其中,)(s P 是关于s 的多项式,其逆变换可直接求得(冲激信号及其各阶导数),)(s R 为
关于s 的有理真分式,即满足N M <。以下进讨论N M <的情况。
设连续信号)(t f 的拉普拉斯变换为)(s F ,则
∏=-==N
i i
p s s B s A s B s F 1
)
()
()()()( 在满足N M <情况下,有以下几种情况:
(1)极点均为单重情况下,可对其直接进行部分分式展开得:
N
N p s r
p s r p s r s F -++-+-= 2211)(
其中,),,2,1()()(N i s F p s r i p s i i =-==称为有理函数)(s F 的留数。则)(s F 的拉普拉斯逆
变换为:
)()(1
t u e r t f N
i t i p i ∑==
(2)有k 重极点,设为1p ,则部分分式展开为
)
()
()()()()(111112111s D s E p s K p s K p s K s F k k k +-++-+-=-
i K 1可用下式求得
[]1
11
11)()()!1(1p s k
i i i s F p s ds d i K =----= 则)(s F 的拉普拉斯逆变换为:
)()()!()(2
11t u e r t u e t j k K t f N i t i p i k
j t
i p j k j ∑∑==-+-=
(3)有共轭极点
图6-6 系统零极点图
N N t f p s r
p s r p s r p s r s F -++-+-+-=
32)
(22211)( 设)(s F 有一对共轭极点βαj p ±-=2,1,则
θj p s e r s F p s r 1111)()(=-==
*
12r r =
由共轭极点所决定的两项复指数信号可以合并成一项,故有
)()cos(2)(12t u t e r t f t θβα+=-
从以上分析可以看出,只要求出)(s F 部分分式展开的系数(留数)i r ,就可直接求出)(s F 的逆变换)(t f 。
上述求解过程,可以利用MATLAB 的residue()函数来实现。令A 和B 分别为)(s F 的分子和分母多项式构成的系数向量,则函数:
[r,p,k]=residue(B,A)
将产生三个向量r 、p 和k ,其中p 为包含)(s F 所有极点的列向量,r 为包含)(s F 部分分式展开系数i r 的列向量,k 为包含)(s F 部分分式展开的多项式的系数行向量,若N M <,则k 为空。
例6-4:已知连续信号的拉普拉斯变换为:
s
s s s F 44
2)(3++=
试用MATLAB 求其拉普拉斯逆变换)(t f 。 解:MATLAB 命令如下:
a=[1 0 4 0]; b=[2 4];
[r,p,k]=residue(b,a) 运行结果: r =
-0.5000 - 0.5000i -0.5000 + 0.5000i 1.0000 p =
0 + 2.0000i 0 - 2.0000i 0 k = []
由上述结果可以看出,)(s F 有三个极点22,1j p ±=,03=p ,为了求得共轭极点对应的信号分量,可用abs()和angle()分别求出部分分式展开系数的模和幅角,命令如下:
abs(r) ans =
0.7071 0.7071 1.0000 angle(r)/pi ans =
-0.7500
0.7500 0
由上述结果可得)()]4
3
2cos(21[)(t u t t f π-+=。
例6-5:求下式函数的逆变换
3
)
1(2
)(+-=s s s s F 解:MATLAB 程序如下:
a=[1 3 3 1 0]; b=[1 -2];
[r,p,k]=residue(b,a) 运行结果: r =
2.0000 2.0000
3.0000 -2.0000 p =
-1.0000 -1.0000 -1.0000 0 k = []
则s
s s s s F 2)1(3)1(2)1(2)(3
2-+++++=,对应的逆变换为)(]2)2223[()(2t u e t t t f t
-++=-。 六、实验内容
1、求解下述信号的拉普拉斯变换,并利用MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图:
(1))()2cos()(t u t t f = (2))()sin()(2t u t e t f t -=
2、已知连续时间信号)()(3t u e t f t -=,试求出该信号的拉普拉斯变换)(s F 和傅立叶变换
)(ωj F ,用MATLAB 绘出拉普拉斯变换曲面图)(s F 及幅频曲线)(ωj F ,观察曲面图在
虚轴上的剖面图,并将其与幅频曲线相比较,分析频域与复频域的对应关系。
3、已知信号的拉普拉斯变换如下所示,试用MATLAB 绘制曲面图,观察拉普拉斯变换零极点分布对曲面图的影响。
(1))3)(2()
4)(1()(++++=s s s s s s F
(2)4
4
)(22+-=s s s F
4、试用MATLAB 求下列信号的拉普拉斯逆变换
(1)s
s s s s s F 654
5)(2
32++++= (2)1
221
)(23+++=s s s s F
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法,而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中,直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3)164.1(? 是很复杂的,而引用对数后,可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表,就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法,而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义,若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内 收敛,则此积分就确定了一个参量为P 的函数,记作()F P ,即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= 0)()( (12.1) 称(12.1)式为函数()f t 的拉氏变换式,用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为() f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换(或称为()F P 象原函数) ,记作 )()]([1t f P F L =-,即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义,在这里做两点说明: (1)在定义中,只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便,以后总假定在0t <时,()0f t =。 (2)在较为深入的讨论中,拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见,本章我们把P 作为实数来讨论,这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 (3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数,它是一种积分变换。一般来说,在科学技术中遇到的函数,它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = (0t ≥,a 为常数)的拉氏变换。 解:00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++= =----ΛΛ (m n >) 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -,m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数;n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中,Sn 2S 1S ,,,Λ是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== 0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) s s ()s s ()s s () s (B s F n 1 r r 1 ---= +Λ = n n i i 1 r 1 r 1 1 1 r 1 1 r r 1 r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -+ +-++-+-++-+-++--ΛΛΛ 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: )s (F )s s (lim c r 1 s s r 1 -=→ )]s (F )s s ([ds d lim c r 1 s s 1 r 1 -=→- M )s (F )s s (ds d lim !j 1c r 1 ) j () j (s s j r 1 -=→- )s (F )s s (ds d lim )!1r (1c r 1 ) 1r () 1r (s s 1 1 --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1s F L t f -= ?? ? ???-+ +-++-+-++-+-=++---n n i i 1 r 1 r 1 1 1 r 1 1 r r 1 r 1 s s c s s c s s c )s s (c ) s s (c )s s (c L ΛΛΛ t s n 1 r i i t s 1 2 2 r 1 r 1 r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+?? ? ???+++-+-=Λ (F-6)
典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换
成绩评定表
课程设计任务书
目录 1.Matlab介绍.............. 错误!未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)
1.Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件;它起源于矩阵运算,现已发展成一种高度集成的计算机语言;它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境,以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进,MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面: 1)数学计算; 2)新算法研究开发; 3)建模、仿真及样机开发; 4)数据分析、探索及可视化; 5)科技与工程的图形功能; 6)友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大,适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算,复数运算,高次方程求根,插值与数值微商运算,数值积分运算,常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等,即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算,均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数(称为M文件),既有常用的基本库函数,又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时,这些库函数都可以被直接调用。无疑,这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵,所以在MATLAB环境下,数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且,MATLAB7.0界面友好,用户使用方便。首先,MATLAB具有友好的用户
拉普拉斯变换公式总结
拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习,学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念:熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型,并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 (1) 定义 单边拉普拉斯变换: 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换: 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? (2) 定义域
若0σσ>时,lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛,积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在,即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 (1) 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时,则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ (2) 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 (3) 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=,则(1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1)(0)()f f t dt ---∞=? (4) 延时性 若[()]()f t F s ζ=,则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= (5) s 域平移 若[()]()f t F s ζ=,则[()]()at f t e F s a ζ-=+ (6) 尺度变换
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表 1. 表A-1 拉氏变换的基本性质 1 L [ af ( t )] aF ( s ) 齐次性 线性定理L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s ) 叠加性 L [ df ( t ) ]sF ( s ) f ( 0 ) L [ d dt 2 f ( t ) dt 2 ] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f (0 ) L d n f ( t ) n dt n s n F ( s ) s n k f ( k 1 ) ( 0 ) k 1 f ( k 1 ) ( t ) d k 1 f dt ( t ) k 1 2 微分定理一般形式 初始条件为0 时L [ d n f ( t ) dt n ] s n F ( s ) L[ f (t )dt ] F ( s) s [ f (t )dt ]t 0 s [ 2 L[ f ( t)( dt ) ] 2 F ( s) s 2 f (t) d t ]t 0 s [ 2 f (t )(dt ) ]t 0 s 共n个共n个 L[ f (t)(dt )n ] F ( s) s n n k 1 s 1 n k 1 [ f (t)(dt ) n ] t 0 一般形式 共n个 3 积分定理 初始条件为0 时L[ f ( t)( dt) n ] F ( s) s n Ts 4 延迟定理(或称t 域平移定理) L[ f (t T)1(t T )] e F ( s) 精品资料
精品资料 5 衰减定理(或称 s 域平移定理) L[ f (t )e at ] F ( s a) 6 终值定理 lim f ( t ) lim t s sF ( s) lim f (t ) lim sF(s) 7 初值定理 t 0 s 8 卷积定理 t L[ f 1( t ) f 2 ( ) d ] t L[ f 1( t ) f 2 ( t ) d ] F 1 (s) F 2 ( s ) 2. 表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序号 拉氏变换 F(s) 时间函数 f(t) Z 变 换 F(z) 1 1 δ(t) 1 1 2 1 e Ts T ( t) (t nT ) z n 0 z 1 1 1(t ) z s z 1 1 4 s 2 t Tz ( z 1)2 1 t 5 s 3 2 T 2 z(z 1) 2( z 1) 1 t n 6 n 1 lim ( 1) z n ( aT ) s n! a 0 n! a z e 1 7 s a e at z z e 1 at Tze 8 ( s a) 2 te a at ( z e (1 e aT ) 2 aT ) z 9 s(s a) 1 e (z 1)( z 2 3 n ) 3 n aT aT e aT
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其逆变换 表 Newly compiled on November 23, 2020
拉普拉斯变换及其反变换表 2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 n 1n n n 0 11m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- (m n >) 式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -,m 1m 10b ,b ,b ,b - 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F 式中,Sn 2S 1S ,,, 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: 或 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 =n n i i 1r 1r 111 r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: 原函数)(t f 为 t s n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+??????+++-+-= (F-6)
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其反变换表 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = - =][ '- -=-=----=-∑1 1) 1() 1(1 22 2)()() 0()() (0)0()(])([) 0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L )( 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理(或称t 域平移定理) )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理(或称s 域平移定理) )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其逆变 换表 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
拉普拉斯变换及其反变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 n 1n n n 0 11m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- (m n >) 式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -,m 1m 10b ,b ,b ,b - 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F 式中,Sn 2S 1S ,,, 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: 或 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 =n n i i 1r 1r 111 r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: 原函数)(t f 为 t s n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+??????+++-+-= (F-6)
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拉普拉斯变换及其反变换表 精品
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精品 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++= =---- (m n >) 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -,m 1 m 1 b ,b ,b ,b - 都是实常数;n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F 式中,Sn 2S 1S ,,, 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []t s n 1i i n 1 i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质变换及反变换 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
拉普拉斯变换的基本性质、变换及反变换
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110-,m m b b b b ,,,110- 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( (F-1) 式中,n s s s ,,,21 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i -=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c ='=)() ( (F-3) 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(=t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根
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拉普拉斯变换及其反变换表1. 表 A-1 拉氏变换的基本性质 1 齐次性 线性定理 叠加性 2微分定理一般形式 初始条件为0 时L [ af ( t )] aF ( s ) L [ f 1 ( t ) f 2 ( t )] F 1 ( s ) F 2 ( s ) L [ df ( t ) sF ( s ) f ( 0 ) dt ] d 2 f 2 ( t ) L [ dt ] s 2 F ( s ) sf ( 0 ) f (0 ) L d n f n ( t ) s n F ( s ) n s n k f ( k 1 ) ( 0 ) k dt 1 f ( k 1 ) ( t ) d k1 f ( t ) dt k 1 L [ d n f n ( t ) ] s n F ( s ) dt 一般形式3积分定理L[ f (t )dt] F (s) [ f (t )dt]t 0 s s 2 F (s) [ f (t)dt]t 0 [ L[ f (t)( dt) ] s2 s2 共n个 n 共 n个 n F (s) 1 L[ f (t)(dt) ] [ s n k 1 s n k 1 共n个 2 f (t )(dt) ]t 0 f (t)(dt)n ]t 0 初始条件为0 时4延迟定理(或称 t 域平移定理)5衰减定理(或称 s 域平移定理)6终值定理 7初值定理 8卷积定理L[ f ( t)( dt) n ] F ( s) s n L[ f (t T )1(t T )] e Ts F ( s) L[ f (t )e at ] F ( s a) lim f ( t) lim sF ( s) t s 0 lim f (t ) lim sF (s) t 0 s t f1(t ) f2 ( )d ] t L[ L[ f1(t) f2 (t )d ] F1 (s)F2 (s) 0 0
常用拉普拉斯变换及反变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 419
2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420
421 3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =????L L (m n >) 式中系数n n a a a a ,,...,,110?,m m b b b b ,,,110?L 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=?=?++?++?+?=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(L L (F-1) 式中,n s s s ,,,21L 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: )()(lim s F s s c i s s i i ?=→ (F-2) 或 i s s i s A s B c =′= )() ( (F-3) 式中,)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 []???????==∑=??n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(=t s n i i i e c ?=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ???= +L = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c ?++?++?+?++?+?++??L L L 11 111 111)()()( 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根;
拉普拉斯变换及其逆变换表
拉普拉斯变换及其逆变 换表 文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
拉普拉斯变换及其反变换表 2.表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3. 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开,然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 n 1n n n 0 11m 1m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==---- (m n >) 式中系数n 1n 10a ,a ,...,a ,a -,m 1m 10b ,b ,b ,b - 都是实常数;n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时,F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2211s s c s s c s s c s s c s s c )s (F 式中,Sn 2S 1S ,,, 是特征方程A(s)=0的根。i c 为待定常数,称为F(s)在i s 处的留数,可按下式计算: 或 式中,)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质,从式(F-1)可求得原函数 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ,F(s)可写为 =n n i i 1r 1r 111 r 11r r 1r s s c s s c s s c )s s (c )s s (c )s s (c -++-++-+-++-+-++-- 式中,1s 为F(s)的r 重根,1+r s ,…, n s 为F(s)的n-r 个单根; 其中,1+r c ,…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算,r c ,1-r c ,…, 1c 则按下式计算: 原函数)(t f 为 t s n 1r i i t s 122r 1r 1r r 1e c e c t c t )!2r (c t )!1r (c ∑+=---+??????+++-+-= (F-6)
双边拉普拉斯变换及反变换
主讲人:陈后金电子信息工程学院
双边拉普拉斯变换及反变换 双边拉普拉斯变换的定义 双边拉普拉斯变换的性质 双边拉普拉斯反变换
双边拉普拉斯(Laplace)变换: 拉普拉斯正变换:()e (d )st t X s x t ∞ --∞ =? j j e 1()d 2πj ()st x s s X t σσ+∞-∞ =?拉普拉斯反变换:
?若x (t )的双边拉普拉斯变换存在,上式积分需收敛。 因此,双边拉普拉斯变换存在的充要条件为: |()e |d |()e |d ,Re() st t x t t x t t C s σσ∞ ∞ ---∞ -∞ ===? ??上式成立的σ的取值范围称为Laplace 变换的收敛域, 简称为ROC (Region Of Convergence)。 ()()e d st X s x t t ∞ --∞ =?
(1)有限长信号 例:试求连续信号的双边拉氏变换及其收敛域。(2)(2)u t u t +--解:Re()s >-∞ 收敛域为s 全平面,即:221(e e )s s s -=-()[(2)(2)]e d st X s u t u t t ∞ --∞ =+--?2 2 2 21e d e |st st t s ----==-?j ω 收敛域σ
(2)右边信号 例:试求连续信号的双边拉氏变换及其收敛域。 2e ()t u t -解:收敛域:2()e ()e d t st X s u t t ∞ ---∞ =?(2)01e |2s t s -+∞=-+12s =+Re()2 s >-j ω -2 收敛域 σ 20 e e d t st t ∞ --=??0