对称性在积分中的应用

华北水利水电学院数学实践报告

华北水利水电学院对称性在积分中的应用

学院：环境与市政工程学院

专业：建筑环境与设备工程

班级：2010108

成员：王永辉 201010804

朱虹光 201010810

余维召 201010811

对称性在积分中的应用

积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计算更加便捷.

积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续

定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -?∈,则D 关于直线a x =对称，对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ?)2,(y b x -

),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然

当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）

定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈?),(a x a y --，则D 关于a x y +=对称，称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈?),(x a y a --

D

∈，则D 关于直线z y ±=对称）

1、 二重积分的对称性定理

定理1：设有界闭区域12D D D = ,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么

（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则(,)Di

f x y d σ??0=

（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则D

f(x,y)d σ

??

=2(,)Di

f x y d σ??1(=i ，)2

注释：设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续

（ⅰ）若D 关于y 轴对称，则

??

?????

??=D

D x y x f d y x f y x f d y x f !

),(),(2),(,0),(为偶函数

关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y x

（ii ）若D 关于x 轴对称，则

??

?????

??=D

D y y x f d y x f y x f d y x f 2

),(),(2),(,0),(为偶函数

关于变量，如果关于变量为奇函数如果σσ

其中2D 是D 的上半部分：2D =}0|),{(≥∈y D y x

定理2：设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续且),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则????=D

D d y x f d y x f 3

),(4),(σσ

其中3D 是D 的第一象限的部分：3D =}0,0|),{(≥≥∈y x D y x 定理3：则设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则

??

???????

??=--=-=--=D

D D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 1

2)

,(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ

其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y x 例1：计算??D

xydxdy ，其中D 由下列双纽线围成：

(1) )(2)(22222y x y x -=+ (2)

xy y x 2)(2

2

2

=+

解：（1）由于)(2)(22222y x y x -=+围成的区域关于x 轴y 轴均对称，而被积函数xy 关于x （或y 轴）为奇函数

则有??D

xydxdy 0=

（2）由)(2)(22222y x y x -=+围成的区域对称于原点，而被积函数xy 是关于

x ,y 的偶函数

则有??D

xydxdy =2

??1

D xydxdy

由极坐标知θsin

,cos r y r x ==，代入xy y x 2)(222=+

得θ2sin =r 且由xy 0>，知02sin 2

12>θr 则2

0πθ≤

≤于是??D

xydxdy 6

1cos 2sin 220

sin 0

3

=

??

dr r d θθθπ

θ

定理4：设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则

D

f(x,y)d σ??

=

(,)D

f y x d σ??

例2：设函数f(x)在]1,0[上的正值连续函数 证明：()()1()

()()

2

D

af x bf y dxdy a b f x f y +=

++??

，其中b a,为常数，1}y x,0|y){(x,D ≤≤=

证明：∵积分区域D 关于x y =对称

∴(,)(,)D

D

f x y d f y x d σσ=

????

设()()()()D

af x bf y I dxdy

f x f y +=

+??

由函数关于两个变量

()()()()

D

af x bf y I dxdy

f x f y +=

+??

，以上两式相,得

2()D

I a b dxdy a b =+=+??，从而

1()2

I a b =

+

一般地，有以下定理：

定理5：设有界闭区域12D D D = ，1D 与2D 关于直线0:=++c by ax L 对称， 函数),(y x f 在D 上连续，那么：

（ⅰ）若),(y x f 是关于直线L 的奇函数，则(,)D

f x y d σ??0=

（ⅱ）若),(y x f 是关于直线L 的偶函数，则(,)D

f x y d σ=??2(,)D i

f x y d σ??1(=i ，)2

2、三重积分的对称性定理

定理6：设空间有界闭区域12Ω=ΩΩ ，1Ω与2Ω关于xoy 坐标面对称，函数

),,(z y x f 在Ω上连续，那么：

（ⅰ）若),,(z y x f 是关于z 的奇函数，则(,,)f x y z dv Ω

???=0

（ⅱ）若),,(z y x f 是关于z 的偶函数，则：(,,)f x y z dv Ω

???=2

???

Ω1

),,(dv z y x f

同时，若Ω关于yox 坐标面对称，),,(z y x f 关于奇函数或偶函数；或者若Ω关于

xoz 坐标面对称),,(z y x f 关于y 为奇函数或偶函数，同样也有类似结论.

例7：求下列曲面所界的均匀物体的重心坐标

2

2

2

x

y

z

a

b

c

+

+

，c z =

解： 若令cos ,sin ,x ar y br z z θθ===，则质量为

200

3

z

c

c abc M ab dz

d rdr ππθ==

??

?

设重心坐标为0x ,0y ,o z 由对称性知000==y x ，而

o z =2

200

3

3.

.

4

4

z

c

c abc c dz

d rdr abc

ππθπ=

??

?

于是，重心为点（0,0,

34

c ）

※曲线积分的对称性

1、第一型曲线积分的对称性定理

定理7：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x （或y ）轴对称，函数),(y x f 在L 上连续，那么：

（ⅰ）若),(y x f 是关于y (或x )的奇函数，则(,)f x y ds ?0=

（ⅱ）若),(y x f 是关于y (或x )的偶函数，则(,)f x y ds ?=2(,)i

f x y ds ?1(i =,)2

注：设平面分段光滑曲线L 关于y 轴对称，则

1

0,(,)(,)(,),(,)L

L f x y f x y ds f x y ds f x y x ??=?

???

?如果关于变量x 为奇函数

2如果关于变量为偶函数

其中1L 是L 的右半段：1L =}0|),{(≥∈x D y x

定理8：设平面内光滑曲线12L L L =+,1L 与2L 关于x 轴对称且方向相反，函数

),(y x p 在L 上连续，那么：

（ⅰ）若),(y x p 是关于x 的偶函数，则(,)p x y dx ?0=

（ⅱ）若),(y x p 是关于y 的奇函数，则(,)2(,)i

p x y dx p x y dx =??1(i =,)2

例4：求曲线积分[]2

2

()

cos(2)sin(2)x

y c

e xy dx xy dy -++?，其中c 是单位圆周22

1x y +=，

方向为逆时针方向

解： ∵曲线积分c 可分为上,下两个对称的部分，在对称点),(y x 与),(y x -上， 函数2

2

()

cos(2)x

y e xy dx -+大小相同，但投影元素dx 在上半圆为负，下半圆为正

∴2

2

()

cos(2)x

y e xy dx -+在对称的两个半圆上大小相等，符号相反

故2

2

()

cos(2)x

y c

e xy dx -+?0=

类似可知2

2

()

sin(2)x

y c

e xy dy -+?0=

因此[]2

2

()

cos(2)sin(2)x

y c

e xy dx xy dy -++?0=

定理9：设L 是xoy 平面上关于直线a x =对称的一条曲线弧 （ⅰ）若),(y x f =),2(y x a f --,则(,)L

f x y ds ?0=

（ⅱ）若),(y x f =),2(y x a f -,则(,)L

f x y ds ?=21

(,)L f x y ds ?})|),{((1a x L y x L ≤∈=

例5：计算3

(2)L

I y y x ds

=

+-?

，其中L 是曲线22(2)4x y -+=所围成的回路

解： ∵L 关于轴及直线2=x 对称 ∴3

(2)(2)2L

L

L

I y y ds x ds ds

=

+-

-+

?

?

?

设),(y x f =32y y + 则),(y x f =),(y x f -

设 ),(y x g =2-x

则),2(y x f --=2-x =),(y x f 即2

00I ++=l

d s ?=8π

2、第二类曲线积分的对称性定理

定理1：对于第二类曲线积分还需考虑投影元素的符号.当积分方向与坐标正方向之间的夹角小于

2

π时，投影元素为正，否则为负.就(,)p x y dx ?而言，考察(,)p x y dx 在

对称点上的符号

定理2：若积分曲线T 关于x ,y ,z 具轮换对称性，则

(,,)(,,)(,,)t

t t

p x y z dz p y z x dy p z x y dx

==

?

??

=1

3

(,,)(,,)(,,)t

p x y z dz p y z x dy p z x y dx ++?

定理3：设L 是xoy 平面上关于a x =对称的一条光滑曲线弧，12L L L =+，任意

),(y x ∈L ,有),2(y x a -∈2L ，且1L ，2L 在y 轴投影方向相反，则

（ⅰ）若θ),(y x =-θ),2(y x a -,则(,)L x y dy θ?0=

（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)L

x y dy θ?=2

(,)L

x y dy θ?

定理3中，若1L ，2L 在x 轴投影方向相同，其他条件不变，则有 （ⅰ）若p ),(y x =-p ),2(y x a -,则(,)L p x y dx ?0=

（ⅱ）若θ),(y x =θ),2(y x a -,则(,)L

p x y dx ?=2

1

(,)L p x y dx ?

例：计算I =|2|sin

(2)(1)L

L

x x y dx

-+

--??

,其中抛物线2(2)x -上从)1,1(A 到

)1,3(B 的一段弧

解：I =|2|sin

(2)(1)L

L

x x y dx

-+

--??

=12I I +

因为关于2=x 对称

θ),4(y x =|2|-x sin

θ),(y x

由定理3有)1)(2(),4(---=-y x y x p =),(y x p -

所以2I =0，即12I I I =+0=

※曲面积分的对称性

定义1：若?)(),,(321N n R D x x x x p n n n ∈?∈?????有),,(1211111-+??i x x x x x x p n

)2,1(n i D n

?=∈成立，则称n

D 关于),,(321n x x x x p ?????具有轮换对称性.

定义2：若函数),,(321n x x x x F ?????),,(321n x x x x F ?????≡)2,1(n i X ??????=，则称函数),,(321n x x x x F ?????关于函数n x x x x ?????321,,具有轮换对称性. 1、第一类曲面积分对称性定理

定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上被积函数的绝对值相等{即光滑曲面S 关于xoy (或yoz ,或zox )坐标面对称}，则有

（ⅰ）(,,)s

f x y z ds ??0=,在对称点上),,(z y x f 取相反的符号{即),,(z y x f 关于z

(或x ,或y )的奇函数}

（ⅱ）(,,)s

f x y z ds ??=2(,,)s

f x y z ds ??，在对称点上),,(z y x f 取相同的符号{即

),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶函数}

推论1：若光滑曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+,且关于原点对称， 则

（ⅰ）(,,)s

f x y z ds ??0=，为关于z (或x ,或y )的奇函数

（ⅱ）(,,)s

f x y z ds ??=81

(,,)s f x y z ds ??,),,(z y x f 为关于z (或x ,或y )的偶

函数

例1：计算下列面积的曲面积分，()x y z ds ∑

++??，其中∑为球面2222x y z a ++=上

z h ≥)0(a h <<的部分

解： 利用对称性知xds yds ∑

∑

=

????

0=

设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z ds ∑

++??=zds ∑

??

=Dxy

??

=a

Dxy

dxdy ??

=22()a a h π-

例2:计算曲面积分x ∑

??,其中2222:x y z a ∑++=

解： 令22221:x y z a ∑++=，0,0,0x a y a z a ≤≤≤≤≤≤ 则 2221:,0,0D x y a x a y a +≤≤≤≤≤

ds ==

∑关于原点对称，解被积函数),,(z y x f =x

为关于),,(z y x 的

偶函数

由推论1.1x ∑

??=8

x

∑

??

=a

88

1

D x dsdy

??

??=1

89cos 8D d r a θθ

dr

r d a a

??

=200

9

cos 8π

θ

θ

=a

810

11

7!!7.108!!264

a

a ππ= 定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：

(,,)(,,)(,,)f x y z ds f y z x ds f z x y ds ∑

∑

∑

==??

????

1(,,)(,,)(,,)3

f x y z ds f y z x ds f z x y ds

∑

∑

∑

=

++??

????

例3：计算曲面积分2z ds ∑

??，其中s 是球面2222x y z a ++=

解：如果按照常规方法来解，计算量比较大，如果利用对称函数的特性，非常简捷

∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性

∴222x ds y ds z ds ∑

∑

∑

==??????

∴2z ds ∑

??=

2

2

2

1

()3x y z ds ∑

++??

=

2

1

1

3

3

a ds ds ∑∑

=

????

2

2

2

14.43

3

a a a ππ=

=

2、第二类曲面积分的对称性定理

利用对称性计算第二类曲面积分同样需要注意投影元素的符号.现以曲面积分

(,,)s

f x y z ds

??

为例来讨论.当曲面指定侧上动点的法线方向与z 轴正向成锐角时，面积

元素ds 在xoy 面上的投影dxdy 为正减钝角时为负.

一般地，有如下定理：

定理1：若积分曲面S 可以分成对称的两部分12S S S =+，在对称点上|f|的值相等，则有

（ⅰ）1

(,,)s f x y z dxdy ??0=，在对称点上fdxdy 取相反的符号

（ⅱ）1

(,,)s f x y z dxdy ??=2

1

(,,)s f x y z dxdy

??

，在对称点上fdxdy 的符号相同,对于积

分1

(,,)s f x y z dydz ??，1

(,,)s f x y z dzdx ??也有类似的结论

定理2：若积分曲面∑关于x ,y ,z 具有轮换对称性，则：

(,,)(,,)(,,)p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy ∑

∑

∑

==??????

=

1

(,,)(,,)(,,)3

p x y z dydz p y z x dzdx p z x y dxdy

∑

++??

例3：计算s

xdydz ydxdy zdxdy ++??，其中S 是球面2222x y z R ++=的外侧

解： ∵球面2222x y z R ++=关于x ,y ,z 具有对称性

∴s

s

s

xdydz ydxdz zdxdy ==??????

先计算s

xdydz ??为此应分别考虑前半球面（记为1S ）及后半球面（记为2S ）上的

曲面部分

1S

的方程为x =

它在oyz 平面上的投影域y D 为圆域222

y z R +≤，因

此，若用1w S 表示前半球面的外侧

则有：1S w

D y

xdydz σ=????

=230

23

R

d r R πθπ=

?

?

对于在后半球面2S 上的曲面积分，由于2S

的方程为：x =后外侧，故关于后半球面外侧（记为2w S ）的曲面积分为：

2S w

xdydz =

??

D y

σ??

=

323

R π

因此S

xdydz =

??3

1243

S w

S w

xdyxz xdydz R π+

=

??

??

3S

S

xdydz ydxdz zdxdy xdyxz ++=????

3343

4

3R R ππ=?=

※小结

应用对称性计算积分时应注意以下几点：

1.必须兼顾被积函数和积分区域两个方面，只有当两个方面面都具有某种对称性是才能利用，如果只有积分区域具有某种对称性，这时根据具体情况，我们可以把被积函数经过恒等变形使之具有某种对称性，在考虑利用上述结论

2.对第二类曲线积分和第二类曲面积分，在利用对称性时，尚需考虑积分路 线的方向和曲面的侧，确定投影元素的符号，需慎重

3.有些问题利用轮换对称性可得到简便的解答

对于重积分，曲线积分，曲面积分等定理的研究，是积分学运用的一个难点.本 文在探讨相关定理的同时，特别是巧妙的运用其对称性的特点，通过具体实例对积分运用的几个重要的定理进行了一些列研究，发现积分区域与被积函数二者均具对称性时，运用上述对称性定理可以极大地简化计算过程，尤其对于第二类曲线积分和第二类曲面积分来说，应用此方法能够 方向和曲面侧的讨论，简化了计算的过程，给积分的运算带来了便捷，.在以后的学习中，只要我们能把对称性这个重要的特点结合在实际中，相信一定会达到了事倍功半的效果.