调和级数的发散及其应用[1]

将调和级数中分母含有数字9的项去掉,所得的级数必收敛

证明：将调和级数中分母含有数字9的项去掉，所得的级数必收敛！ 求出一个级数(不特别的)收敛值. 从没做过这样的题(一般证一致收敛)-----(求一般项1/N^2的级数和值倒是见过) 楼主的题目以前做过,不过方法忘了.现在证明方法比较偏,如下: 只要证明第K项级数小于1/k*[ln(k)]^2 即分母大于k*[ln(k)]^2就可以了! (要得分,最好是:分母大于k^2, 一样证明) 很明显分母中不出现9 等价于9进制(很重要). 所以9进制数的表示法,k可表示为:k=n'0 * 9^0 + n'1 * 9^1 + .... +n'i * 9^i (n'i 为自然数) 而第K项数值的分母记为m: m = n'0 * 10^0 + n'1 * 10^1 + .... +n'i * 10^i 当K足够大时候有 m/k >{(10/9)^(i-1)> k*[ln(k)]^2/k= [ln(k)]^2 } (后面那个不等式,左边增长速度快右边[很重要].而去掉有限项对级数收敛性无影响) 所以m>k*[ln(k)]^2. 由于级数1/k*[ln(k)]^2 收敛,所以的命题得求证! 我也来解解，大家看错没错。谢谢！！ r1=一位数倒数的和， r2=二位数倒数的和， ...... rn=n位数倒数的和 ...... n位数中不含9的项共有8*（9的n-1次方） n位数倒数大于1/99.....99，小于1/100......00. 所以 rn小于8*（9的n-1次方）*1/100......00=8*[（9/10）的n-1次方] 原级数=r1+r2+....+rn+.... 很容易看出收敛的。 如果我的方法没错的话， 题目可以改成这样的。 证明：将调和级数中分母含有数字n的项去掉，所得的级数必收敛！

数项级数敛散性判别法。(总结)

华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日

摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。

调和级数的逼近函数

函数分布及解码 这里讨论的基本上是调和级数。 （1）素数分布具有一定规律，但是它的分布规律就是没有相同点，我们即便是找到一些局部的规律性，但是它依然不能应用到全部，在寻找规律时，我们一般都采用函数逼近法去解码，但是即便是解码成功，它的余函数一样不可以描述它。以下是素数分布的逼近解码函数: n n n ()ln()0.56152ln(ln()) P n n P P ε=+- 以上解码函数是8879503以内所有素数归纳出来

的，随着素数的增加，逼近函数可能还会有一些微小的变动。这是目前最为接近的中值逼近解码函数。余函数是素数分布的本身，是无法描述的，但是我们通过解码，了解到它具有波动性，和周期性。。。。。 (2)自然数倒数和 ()()1 11ln 21lim ln 2+ln 2+2222n o n c n n k α→∞-==∑ ()()011ln 21lim ln 21+ln 21+21 222n j n c n n k α→∞+=+=++∑ln 20.05796575782920672 o c α-=≈- ln 20.635181422730742 j c α+=≈ c ≈0.577215664901532860606512090082402431042159335是欧拉-马歇罗尼常数 ()1 11lim ln 2+22n o n n k α→∞=∑ ()j 111lim ln 2+1+2+1 2n n n k α→∞=∑ 以上是极限状态下得函数取值，但是实际中我们并不能达到极限状态，对于有限区间如何取值，我们就需要对函数解码，以下是自然

数倒数在有限范围内的解码函数。。。。 ()5.6 1.22911 1.017()ln(2ln(1ln(ln(1.445ln 2))))0.0172n 6ln 2()ln(20.1)n n n F n n n c n k n ε-+==+++++++-++∑解码函数比原函数偏大，函数在n=1 时误差为-0.0382064988721671，n （2,7）时误差为0.0257360642441862~0.0106247817461118，n>=7时误差为 0.00942087240133116左右，n>=70 时0.000998481033276377左右n 特别大时逐渐时趋于0。误差就是余函数ε（n ）的取值。解码逼近函数比原函数稍偏小，误差最大区间是1~7之间。

交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数 (1)

交错级数的实质是无穷项n到2n的调和级数 摘要交错级数1-1/2+1/3-1 /4+1/5-1/6+....+[(-1)^(n-1)]/n=ln2= 1/（n+1）+....+1/（2n-1）, 这一科学成果是依据调和级数的数频理论得出的，它揭示了交错级数与调和级数的一种联系。这一数频理论的原理是等式或等价，有别与经典的近似理论。它是数学发展的未来趋势。 关键词交错级数；调和级数；数频公式；无穷大；ln2; 欧拉系数 1.调和级数的数频公式 先来研究调和级数的直接数频公式，这是没有先例的，尽管之前有一些间接的，但都不是依据等式得来的，不足为凭。 n ≥3，设S3=1＋1／2＋1／3, 1／2*S3＝1／2＋1／4＋1／6，(1) 1/2* S3=S3-1/２*S3=（１＋１／２＋１／３）－（１／２＋１／４＋１／６） ＝１＋１／３－（１／４＋１／６）＝１／２＋１／４＋１／６﹙2﹚﹙1﹚＝﹙2﹚, 可得交错级数数列， ∴１－１／２＋１／３＝２﹙１／４＋１／６﹚＝１／２＋１／３； 再设Ｓ５＝１＋１／２＋１／３＋１／４＋１／５， １／２*S5=1／2＋1／4＋1／6＋1／8＋1／10=S5-1／2*S5 , ﹙3﹚S5-1／2*S5=﹙1＋1／2＋1／3＋1／4＋／5﹚－﹙1／2＋1／4＋1／6＋1／8＋／10﹚ =1＋1／3＋1／5－﹙1／6＋／8＋1／10﹚, ﹙4﹚∵﹙3﹚=﹙4﹚, ∴1＋1／3＋1／5-﹙1／6＋1／8＋1／10﹚＝1／2＋1／4＋1／6+1／8＋1／10 , 可得交错级数数列，1－1／2＋1／3－1／4＋1／5＝2﹙1／6＋1／8＋1／10﹚。 再设S7=1＋1／2＋1／3＋1／4＋1／5＋1／6＋1／7, 1／2*S7=1／2＋1／4＋1／6＋1／8＋1／10＋1／12＋1／14,＝S7－1／2*S7, 可得1－1／2＋1／3－1／4＋1／5－1／6＋1／＝1／4＋1／5＋1／6＋1／7 ; 同理可得交错级数数列1－1／2＋1／3－1／4＋1／5－1／6＋1／7－1／8＋1／9 =1／5＋1／6＋1／7＋1／8＋1／ 9；.. ...................................... 当n为奇数时，n→∞, 1－1／2＋1／3－1／4＋······＋1／﹙2n－1﹚ ＝1／﹙n+1﹚＋1／﹙n＋2﹚＋.....＋1／﹙2n－1﹚; (5) 当n为偶数时, n→∞, ∑［﹙－1﹚^﹙n－1﹚]*﹙1／2n﹚＝∑[﹙－1﹚^﹙n-1﹚]*[1／﹙2n－1﹚] －1／2n ＝1－1／2＋1／3－1／4＋……＋1／﹙2n－1﹚－1／2n, ＝1／﹙n＋1﹚＋1／﹙n＋2﹚＋....＋1／﹙2n－1﹚－1／2n. ﹙6﹚ 以上﹙5﹚、﹙6﹚公式就是调和级数的数频公式。 这一数频公式首次突破了调和级数没有直接的完整的公式的表达的历史空白，突破了调和级数至今只有近似的理论向完整理论转变的局限，无疑，这奠定了数频理论的正确的发展基础。 如果在假设的条件下，认可欧拉的结论是正确的，即早在1665年，牛顿在他的《流数法》中推导出第一个幂级数， ln﹙1+x﹚=1 －x2／2＋x3／3-……+[﹙-1﹚^﹙n-1﹚]*﹙ｘ＾ｎ）／ｎ］ 欧拉在1734年利用牛顿的成果，首先获得了 1－1/2＋1／3－1／4＋……＋［﹙－１﹚^﹙n－1﹚］／ｎ＝ln2; n→∞. ﹙７﹚

CUSO4.5H2O原创 关于调和级数收敛的误解

关于调和级数收敛的误解 作者：CUSO4.5H2O 有一篇文章，证明了调和级数收敛。。。。 当然不会两种情况啊！又收敛又发散。。。 作为计算系的学生，俺来算了一把。。。。。 这个归纳法实在有点模糊。。。。 关键在 再次用到这种归纳。。。这也算归纳啊。。。。。。 首先，看到这个（3），我们很明显知道（3）中包含了子列通项是sum 1/(9+10n) ,它本身和sum 1/n 这个级数是同阶的。也是发散的。 这里却证明了收敛。。作者怎么证的呢。。。再仔细一看。。用的是正项级数的比较法。 从而可以知道了： 那么。要不就是前面证明的（1）的收敛证明错了，要不就是这里的定理用错了，即“限制在分母都是n位的时候，所有分母含9的分数之和小于分母不含9的分数之和”这个论断是错的。

不废话了。直接验证： Matlab程序如下。我们验证8位 function [ output_args ] = a( input_args ) clc sum=0; sum9=0; %% N=8; a=power(10,N-1); b=power(10,N)-1; %%下面的是从a到b开始加。含9的分数和加到sum9里面，不含9的分数和加到sum里面 for n=a:b disp((n-a)/(b-a)) i=n; F=0; %%F ±íê?o?9ó?·? while i>0 temp=mod(i,10); if temp==9 F=1; end i=(i-temp)/10; end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% if F==0 %%2?o?9μ?oí sum=sum+1/n; % disp(n) else sum9=sum9+1/n; end

调和级数发散性的多种证明方法

邯郸学院本科毕业论文 高昌 摘要调和级数是数学分析中一个典型的正项发散级数，证明它发散性的方法有很多．本文主要给出了证明调和级数发散的11种比较常见的方法．笔者将搜集到的证明调和级数发散的方法进行了进一步的整理，使之成为一套具有简单逻辑性的体系．根据各种方法的特点，笔者把这些方法分别归在了比较类、柯西类、积分类和级数和为无穷大类四个大类下．在每个大类下都有两个到四个不同的证明方法．为了方便将各种方法放在一起进行比较，笔者在对各种方法进行整理时，对原来有些方法的书写和步骤都有所改动，呈现形式与原证不同． 关键词调和级数发散性判别收敛 Proofs of the divergency of harmonic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou Xijuan Abstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proof method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the original

调和级数、三种排序算法

调和级数 由于调和级数发散（证明见本条目“发散性”一节），即n趋于无穷大时级数也趋于无穷大，所以这个比值也必定在某个时刻超过1；也就是说，蠕虫最终一定会到达橡皮筋另一头。然而，在这个时刻的n的值极其之大，约为e100，超过1040（1后面有40个零）。这也说明了，尽管调和级数确确实实是发散的，但它发散的速度非常慢。 另一个例子：假设你有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，你可以把它们叠在一起，并使得每个骨牌都突出其下方骨牌外一定长度，最终使得最上层的骨牌完全在最底层骨牌以外甚至更远。违反直觉的是，只要你的骨牌足够多，你就可以使最上层的骨牌可以离最底层骨牌无穷远。[2][3]一个较简单的证明如下： 三种排序算法 快速排序是由东尼·霍尔所发展的一种排序算法。在平均状况下，排序n个项目要Ο(n log n)次比较。在最坏状况下则需要Ο(n2)次比较，但这种状况并不常见。事实上，快速排序通常明显比其他Ο(n log n) 算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在大部分的架构上很有效率地被实作出来，且在大部分真实世界的资料，可以决定设计的选择，减少所需时间的二次方项之可能性。 步骤为： 1.从数列中挑出一个元素，称为 "基准"（pivot），

2.重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准 值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分割结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分割（partition）操作。 3.递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子 数列排序。 递回的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递回下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。 快速排序的最直接竞争者是堆排序（Heapsort）。堆排序通常比快速排序稍微慢，但是最坏情况的执行时间总是O(n log n)。快速排序是经常比较快，除了introsort变化版本外，仍然有最坏情况效能的机会。如果事先知道堆排序将会是需要使用的，那么直接地使用堆排序比等待 introsort 再切换到它还要快。堆排序也拥有重要的特点，仅使用固定额外的空间（堆排序是原地排序），而即使是最佳的快速排序变化版本也需要Θ(log n)的空间。然而，堆排序需要有效率的随机存取才能变成可行。 快速排序也与归并排序（Mergesort）竞争，这是另外一种递回排序算法，但有坏情况O(n log n)执行时间的优势。不像快速排序或堆排序，归并排序是一个稳定排序，且可以轻易地被采用在链表（linked list）和储存在慢速存取媒体上像是磁盘储存或网络连接储存的非常巨大数列。尽管快速排序可以被重新改写使用在炼串行上，但是它通常会因为无法随机存取而导致差的基准选择。归并排序的主要缺点，是在最佳情况下需要Ω(n)额外的空间。

关于调和级数的发散性的几种简单证明

关于调和级数∑∞ =1 1n n 的发散性的几种简单证明 摘 要：本文主要介绍几种新的方法来证明∑ ∞ =1 1n n 的发散 关键词：∑ ∞ =1 1n n 、发散、证明 中图分类号：O221.2 on Several Simply Methods Proof of The Divergency of ∑ ∞ =1 1n n Yue chunhong College of Mathematics and Computer science, Chongqing Normal university , Chongqing 400047 Abstract : Several new methods to prove to reconcile the divergent sense in this paper Key words : ∑ ∞ =1 1n n ; pivergency; proof 1 引言 调和级数∑ ∞ =1 1n n 在级数中扮演着重要的角色，它通常作为去判断另外一个级数的发散的标准，许多级数的 证明都与它有关。因此，对调和级数的敛散性的研究是非常重要的，尤其对它的证明更是极其重要的。它的发散性的证明在教材和一些参考书中都有所证明。许多的人都在力求寻找新的证明方法。本文在文献[5]中的相关结论下,给出了5种新的证明方法。在通过教材与文献的中相关的内容的启发，得出了另外几种证明方法。 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 预备知识 下面先给出证明中要用到的相关定理: 定理2.1[] 1 正项级数的基本定理： 若正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到+∞。

关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)

n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1） 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛， 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛， 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞

关于调和级数既发散又收敛的悖论的说明

调和级数悖论的剖析 ——与张慧老师商榷 蒋晓云1罗国湘2 （1桂林师专数学与计算机科学系广西桂林541001； 2桂林航天工业高等专科学校广西桂林541004） 【摘要】张慧老师在文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的级数，并认为这一悖论的发现是数学理论上的一个突破。经过剖析发现文献[1]中调和级数收敛性证明是错误的。 【关键词】调和级数；收敛性；归纳法。 大家都知道费马是一位声望极高的数学家，他在研究了由公式给出的自然122+=n n F 数（后人称为费马数），发现都是素数，他曾65537,257,17,5,343210=====F F F F F 猜想：对任意一个自然数n ，费马数都是素数。然而，十八世纪的瑞士数学家欧拉却发n F 现。大数学家费马的错误告诉我们：单纯的枚举归纳法和直觉可能会67004176415×=F 欺骗我们，从而导致错误。 文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的无穷级数，如果这一调和级数∑∞ =11n n 悖论真正成立的话，微积分就又得要另起炉灶。其实文献[1]中调和级数的收敛性证明又是直觉导致的错误，笔者对文献[1]的证明过程进行了剖析： 调和级数中去掉分母中含有9的项，剩余项构成的新级数：∑∞ =11n n 88 1801281201181101812111+++++++++++++=∑L L L L L u （1）L L L L L +++++++++++888 180818011800110811001文献[1]先证明（1）是（绝对）收敛的，这是很多文献已发现的一个事实（如文献[2]）。文献[1]再考虑调和级数 分母中含有9的项组成的新级数∑∞=11n n 199 119111901189111911091991901891291191911+++++++++++++++=∑L L L L v （2）L L L L ++++++++++999 128912911290128912091由于（2）中分母为一位数的各项之和的小于级数（1）中分母为一位数的各项之和；9 1（2）中分母为两位数的各项之和小于（1）中分母为两位数99 1901891291191++++++L L

发散级数的性质及其应用[设计+开题+综述]

开题报告 数学 关于发散级数的性质及其应用 一．论文的研究意义及其目的 著名数学家abel说过：发散级数是魔鬼的发明。把不管什么样的任何证明建立在发散级数的基础之上都是一种耻辱。利用发散级数人们想要什么结论就可以得到什么结论，而这也是发散级数已经产生了如此多的谬论和悖论的原因。然而数学家在处理象微分方程那样的问题时发现发散级数大有作为。彭加莱在考虑天文问题的过程中更离不了发散级数，力图弄清楚这里面什么东西是有意义的，以及具有何种数学意义，于是在1886年发明了渐近级数的概念。现今，渐近级数在奇异摄动理论、组合数学（包括费曼图）等等领域中的应用取得了巨大的成功。既然发散级数渐近级数这么重要，因此本论文就是要从级数的基本性质引出发散级数，通过发散级数的病态性介绍实用性极强的渐近级数（为渐近级数大部分是发散的）。二．研究的主要内容 1. 级数的概念，级数的发散与收敛 2. 收敛级数与渐近级数 3. 渐近级数的定义以及怎样将函数展开成渐近级数 4. 发散级数的各种意义下的正则求和。比如齐查罗和，阿贝尔和，欧拉和，波雷尔和等渐近级数在计算数值积分，近似计算方面，解分方程的应用。 三．研究的主要方法和手段 结合学习过的数学分析中的级数课程，查阅关于渐近级数的介绍和应用，因为大部分渐近级数是发散的，而渐近级数在数学物理中有大量应用。通过发散级数的求和以及发散级数的一个使用来窥测渐近级数的一个小小的作用，进一步理解渐近级数的定义，并学会对一个函数展开成渐近级数，举出几个渐近级数在数学物理中的应用，加深对渐近级数的理解。四．计划进度 4月1日前写好开题报告，文献综述等 4月6号开始写初稿，并提交老师修改意见 4月27号毕业论文写完 5月份答辩

调和级数发散性的多种证明

调和级数发散性的证明方法 姓名：范璐婵 摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。 关键词：调和级数发散性部分和收敛 Proofs of the divergency of harmonic series Name: Fan Luchan Director: Wang Yingqian Abstract:Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new. Key words:harmonic series; divergency; partial sum; convergency 引言 调和级数 11 n n ∞ = ∑的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在 极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单： 1111111 1 ++++++++ 级数的括号中的数值和都为1 2 ，这样的 1 2 有无穷多个，所以后一个级数是趋向无 穷大的，进而调和级数也是发散的。 后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明。他的证明是以莱布尼茨的收 敛级数1111 1 2612(1) n n +++++= + 为基础的。以下是他的证明。 证明：11 1 22 =-， 111 623 =-， 111 1234 =- ， 111 (1)1 n n n n =- ++

关于级数敛散性的判别[1]重要

专题七关于级数敛散性的判别 无穷级数是《数学分析》的一个重要组成部分,是研究“无穷项相加”的理论,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具.如今,无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域,成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具.同时它也是硕士研究生入学考试的重要考核内容.但是,由于判定级数敛散性的方法和理论太多,学生在短时间内很难把握,这里就对敛散性的判定就一些问题进行解疑,以期对学习者有所帮助. 在18世纪，甚至到今天，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分．除了用于微积分之外，级数的主要应用之一在于计算一些特殊的量，如p和e,以及对数函数和三角函数值.无穷级数也是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数,微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用无穷级数所取得的成功变得越来越多． 级数是一门非常活跃的学科, 这方面的研究工作近年来显得十分活跃,全世界出现的文献数量越来越多,各种国际会议文集更是不少.21世纪的级数将发展成什么样子?这是难以预测和估计的问题:猜想今后二三十年里,级数将会紧紧地伴随着计算机数学同时迅速地向前发展.将会扮演各种“解题机”的重要组成部分.另一方面,级数的理论进展将会深深地受益于别的数学分支,猜想代数学的一些分支、拓扑学的一些方法、概率论方法以及非标准分析方法等都会给级数研究提供有效的新工具,同时也会与级数结合起来,创造出对其他学科有用的新方法,级数的发展还会受到各门应用学科的需要而形成种种带有实际色彩的新方向. 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。级数的收敛问题是级数理论的基本问题,是当今“数学分析”的重要内容.判别数值级数的收敛或发散,是无穷级数的重点．人们已经创造了很多判别级数敛散性的方法，究竟用哪种方法较好呢？一般说来，使用起来较简便的方法，很可能适应的范围较小，而适应范围较大的方法，又往往比较繁难．对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法： (1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散．如果趋于零，则考虑其它方法． (2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了．但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，这时就应考虑其它方法． (3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用达朗贝尔判别法或柯西判别法是否有效．如果无效，再考虑用比较判别法或者其他的判别法．这是因为达朗贝尔判别法与柯西判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大． (4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛．当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数． 问题1：正项级数的判敛法常见的包括哪些？ 答：正项级数的三种常见的判别法： 无穷级数包括数项级数和函数项级数,而正项级数又是常数项级数的一种.关于正项级数敛

关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

去掉调和级数中含有数字9的项

我们知道调和级数是发散的，与类似的变式级数也是发散的，如级数项之和与偶数项之和。但能否去掉部分项使之变为收敛级数？ 这里提供了一种方法，即去掉含有数字9的项，可以得到收敛级数。乍看之下，这题还有点困难，难以下手，本文给出一种证明方法。 证明：容易计算得到，在10^n~10^(n+1)之间，不含有数字9的整数有8*9^n个，对这些项进行放缩求和，可以得到一个大致的范围 8*9^n/10^(n+1)

一步骤的过程中，我发现，在1~10中，符合要求的整数有9个；在1~100中，符合要求的整数有81个；在1~1000中，符合要求的整数有729个……以此类推，在1~10^n 中，符合要求的整数有9^n个，这也是证明开头部分给出的结论。所以数据的利用率为(9/10)^n，随着n的增大，数据的利用率会越来越低。可以想见，当n足够大时，将有越来越少比例的数据参与运算，最终将得到一个稳定的数值。若只对偶数项部分或奇数项部分求和，数据的利用率的极限是1/2，所以仍然是发散级数。所以，要想得到收敛的级数，必要条件是数据的利用率的极限为0。从概率的角度来讲，数字越大，它含有9的概率就越高，它被去掉的概率也就越大。（不知道这样说对不对？）比较遗憾的是，由这种方法确定出来的级数和范围宽度较大，而且级数收敛速度很慢，我在网上看到一个网友说级数最终收敛至22点几。我测试了一下，在1~6666666中，对符合要求的数据求和，得到的结果是13点几，还差得远喽！所以还需要找到一个好的计算方法，这里就不讨论了。 下面提供C程序代码： #include intfun(int n); int main(void) { inti; intnum; printf("input a number:\n"); scanf("%d",&num); for(i=1;i<=num;i++)

与Euler常数有关的高考压轴题

与Euler 常数有关的高考压轴题 董永春 (成都戴氏英语高考学校, 四川成都，611000) 1 Euler 常数问题的提出 关于调和级数1111......23n + ++++的发散问题，雅谷-伯努利早在1689～1704年曾有多篇文章论述，其学生Euler 以其数学的敏锐和犀利的目光发现了1111......23n +++++与ln n 之间竟有那么密切的联系，他发现111lim (1...)ln 23n c n n →∞? ?=++++-???? 存在，并算到小数点后第5位（0.57721c =）这就是著名的欧拉-马歇罗尼常数c ，在数论中应用极广，常见的有极限、级数、积分三种表达式。到1974年止，人们借助计算机将c 算至小数点后7000位，但至今未知是有理数还是无理数。关于1 (1)n n x n =+我们知道严格递增收敛与e ，但我们常常需要n x 和e 的不等式的改进。由于Euler 常数是近代分析及微积分的开始，c 与e 是连接初等数学跟高等数学的桥梁，近年来高考命题者很是关注，很多省份作为压轴题出现，很多数论研究者在Euler 常数的表达式方面改进与加强。我们可以尝试从根源去分析这些考题的背景。 2 Euler 常数有关的准备 我们只提出文[4]极限表达式ln n n c H n ε=-+其中n ε是当n →∞时的无穷小量。其中1111...23n H n =+ +++（调和级数）ln(1)n H n >+,x e 的泰勒展开式为[4] 231...2!3!x x x e x =++++,文[1]11ln(1)k k >+文[６] 1lim(1)n n e n →∞+=，文[5] ln(1)1ln n n H n +<<+（SL 不等式），我国的杨必成得到文[5] 29ln(1)ln 511n n H n ++<<+，文[6]111ln(1)1 n n n >+>+ 3 Euler 常数有关问题的解决 例1（2010湖北21）关于函数()b f x ax c x =++（1）略（2）略（3）1111...23n ++++ln(1)2(1)n n n >+++（此结论比1111...23n ++++ln(1)n >+还要优） 证明：由不等式11ln(1)k k >+1,2,3,..k =知11ln 1()2x x x x <-≤-（构造调和数列），则

级数的概念与性质

第十一章无穷级数 教学内容目录： §1—§8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近 、x x 、 似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性

定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n +