高数B(2)A卷_(07-08)答案
华北电力大学
2007~2008学年第二学期高数A 考试试卷(A)
参考答案及评分标准
一、填空题（本大题共 5小题，每小题2分，总计 10 分）
1．过点（1，2，-1），且与直线=3-=-2+31x t,y t,z =+t 垂直的平面方程340--+=x y z
2. 将三次积分2a 0
d d (cos ,sin ,z)dz (a 0)πθρρρθρθ>?
?
化为球面坐标系下的
三次积分(函数),,(z y x f 在已知区域上连续)
2a
2
20
d d f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r sin dr ππθ??θ?θ???
??。
3.
∑
∞
=+1
)
1(n n
n
n n
的敛散性是 发散。
4. 微分方程x y e x y -='12的通解是 c
x x
e
y
+--
=||ln 1 。
5.函数 ln ?
??u =x +y +z +在(1,1,1)p 点处沿()a a a ,a ≠，，0的方
向导数最大。
二、单项选择题（本大题共5 小题，每小题2分，总计 10 分）
6．设向量
,
?c =(b a)-b 则 （ A ）
A ．a 垂直于b +c ;B. a 平行于b +c ; C. b 垂直于c ; D. b 平行于c .
7. 二元函数()f x,y =
0，0）处（ C ）
A ．不连续;; B. 偏导数存在; C. 任一方向的方向导数都存在; D.可微. 8. 设()f x,y 为连续函数，则1
1
2
2
-1
()??dx y f x ,y dy =（D ）
A ．1220
-2()??y
y
dx y f x ,y dy ; B. 0 ;
C. 122
4()??x
dx y f x ,y dy ; D .11
22
2()??dx y f x ,y dy .
9. 级数∑∞=1
n n a 、∑∞
=1
n n b 都发散，则 (D )
A.)(1n n n b a +∑∞
= 发散 ; B.
)(1n n n
b a
+∑∞
=收敛;
C.
n n n
b a
∑∞
=1
发散； D.
|)||(|1
n n n
b a
+∑∞
=发散.
10. 若()f x 可导，且(0)=1f ，2
L
()d [()]d -?+yf x x f x x y 与积分路径无关，则
1
()d ?
x f x x 的值为（ B ）
A ．2e 1)+（; B. 43
; C.
34
; D. 21-e)（.
三、微分学题（本大题共2 小题，每小题5分，总计 10分 ）
11. 设z z(x,y)=由3
z 2xz y 0-+=所确定，求
2
z x y
???
解：3F z 2xz +y =-，x F 2z =-，y F 1=，2
z F 3z 2x =-
x 2
z
F z 2z x
F 3z 2x
?=-
=
?-，
y 2
z
F z 1y
F 3z 2x
?=-
=-
?- -------------------------3分
2
2
z 2z
(
)x y
y 3z 2x ??
=
???-
2
2
2
z z 2(3z 2x )6z
(2z)
y
y
(3z 2x )??--??=-
22
2
2
2
2
1
1
2()(3z 2x )12z ()
3z 2x
3z 2x (3z 2x )
-
-----=
-
2
2
3
6z 4x (3z 2x )
+=- --------------------------5分
12. 设方程组2222
235
238?+-=-?-=?
x y z x y +z 确定了函数()()y =y x ,z =z x ,求点（1，-2，-1）处 的''x x y ,z ,，并求此方程组确定的曲线在该点的切线方程 解：方程组2222
235
238
?+-=-?-=?x y z x y +z 两边求导得 4320226
0?+-=?-=?''
x x ''
x x x y zz x y +zz 解之得=2-=-''
x x x y xz z -------------3分 所以1-2-11-2-1=21-=（，，）
（，，）
，'
'
x
x
y z
切线方程为
1211
2
1
-++=
=
-x y z -------------5分
四、积分题（本大题共5 小题，每小题6分，总计30分 ）
13.
计算D
I d =??x y ，其中D
是由2
=y y x 所围城的区域。
解：
2
I =
?
?
y y
xdx -------------------3分
2
20
2??
=
?????
y
y x dy 39
1
22
01
6-=255??= ???
?y y dy -------------------6分
14.
计算d d Ω
=
???
I x y z ，其中Ω
是由锥面=
z 与平面1=z 所
围成的立体。
解 ：选柱坐标系，则02011≤θ≤π??
Ω≤≤??≤≤?
：ρρz --------------2分
21
1
d d =d d d πρ
Ω=
θ????
??I x y z z z 2
ρρ ------------------4分
10
2
=2d 151
??π1=π??2
?22
ρ-ρρ -------------------6分
15. 确定的a 值，使曲线积分()()AB
4
-1
24
L 4d 65d +-?
a
a x
xy
x +x
y y
y 与路径无关，并
求当 A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，2）时的曲线积分值。
解：积分与路径无关则有
Q()P()??=
??x,y x,y x y
即
()()-1
24
4
654??-=+??a a
x
y y
x
xy
x
y
，得=3a ----------------3分
取积分路径A （0，0）—C （1，0）—B （1，2）折线
()()AB
4
3
2
2
4
L 4d 65d +-?x
xy x +x y y
y
=()12
424
d +65d -??
x x y y
y =795
-
--------------6分
16．计算dS y x I ??
∑
+=
2
2
，∑
：z =
z =1所截下的有限部分。
解：x z =
，y z =
dS = ------------2分
2
2
212
x y 1
I d d p + ==
q
r r 蝌
-----------5分
3
=
p ----------6分
17. 计算曲面积分3
2
3
2
3
(+)d d ()d d ()d d ∑
=
+++??2
I x z y z y +x z x z y x y
其中∑
为上半球面z
解：补平面∑1：z=0 (2
2
y x +≤1)下侧， 11
32323[(+)d d ()d d ()d d ]∑+∑∑=
-+++??
?? 2
I x z y z y +x z x z y x y ---------2分
利用高斯公式有
13
2
32
3
(+)d d ()d d ()d d
∑+∑
+++??
2
x z
y z y +x
z x z
y
x y =22
2
3()d d d Ω+
+???x y z x y z
=21
2
2
2
3d d d π
π0θ??
? r r sin r ??
=
65
π --------------4分
1
3
2
32
3
(+)d d ()d d ()d d
∑+++??2
x
z
y z y +x
z x z
y
x y =1
2
d d ∑??y
x y
=xy
21
2
22
D d d d d =4
ππ-=-θθ?-
??
?
?y x y sin ρρρ
2920
π=
I
--------------6分
五、级数题（本大题共2 小题，每小题6分，总计 12分 ）
18. 求级数∑
+∞
=+1
2!
12n n
x
n n 的收敛域、和函数及∑
+∞
=+0
2!
12n n
n n
解： n 1n n n
2n 3
a (n 1)!
lim
lim
02n 1a n !
+→∞
→∞
++==+，收敛域-∞<<∞x
令∑
+∞
=+=
1
2!
12)(n n
x
n n x s ，
则∑
?
?+∞
=+=
1
20
!
12)(n x
n
x
dx
x
n n dx x s
∑
?
+∞
=-==1
20
)1(!
)(2
n x
n
x
e
x n x
x dx x s ，+∞<<∞-x --------------------3分
1)12()(2
2
-+=x e
x s x
+∞<<∞-x -----------------------4分
2
1
20
5)2(1)
2(!
1212
!
12e s n n n n n n
n n
=+=++
=+∑
∑
+∞
=+∞
=--------------------6分
19. 设()f x 是周期为π2的周期函数，其在[]-ππ，的表达式为2)(x x f =，将()f x
展成傅立叶级数。 解：2
2
012a x dx 3
π-π
=
=
ππ?
-----------------------1分
2
2
n 11a x cos nxdx (x sin nx |
2x sin nxdx )n
πππ-π
-π
-π
==
-π
π?
?
n
2
2
24(x cos nx |cos nxdx )(1)n
n
ππ
-π-π
=
-=-π?
-----------------------4分
0sin 1
2
==
?-
π
ππ
nxdx x
b n -----------------------5分
()f x 在整个数轴上连续，满足收敛定理条件，故()f x 的傅立叶级数处处
收敛于()f x 所以 nx n
x
x f n n
cos 4)
1(3
2)(1
2
22
∑∞
=-+
=
=π (x )
-∞<<∞---------------6分
六、微分方程题（本大题共2 小题，每小题6分，总计 12分 ）
20. 求微分方程d ln
d =y y x
y x
x
的通解。
解：令=
y u ,x
则y =xu ，于是
d d d d =y u u +x
x
x
------------------------2分
代入方程得d ln d =u u +x
u u x
即-1)
=
d d （l n u x u u x
， ------------------------4分
积分得1
=Cx+u e
,
故通解为1=C x+y xe ------------------------6分
21. 设 0
()()()d ,=-???x
x
x e x -t t t 其中（）?x 为连续函数，求（）?x 。
解：将已知方程整理成
()()d +()d ,=-?????x
x
x
x e x t t t t t
上式两边求导得： '0
()()d =-???x
x
x e t t
再求导得： ''()()=-??x
x e x ----------------------2分 解方程'''
()+()(0)=(0)1
?=?=?????x
x x e ----------------------3分 齐次方程''()+()0=??x x 对应的特征方程2
10+=r ，特征根=i ±r 齐次方程的通解为12()cos sin φ=+x C x C x
设非齐次方程的特解为)?（*x
x =ce ，代入方程得c=1/2 非齐次方程的通解为121()2
?+x
x =C cosx C sinx +
e -----------------5分
代入初始条件得121==2
C C
得所求111()22
2
?+
x
x =
cosx sinx +
e ----------------------6分
七 证明题 （本大题共2小题，16分 ）
22. （6分）设()f x 在[0，1]上连续，证明
()3
11
10
1d d ()()()d ()d 3!
????
y
x
x
x y f x f y f z z =
f x x
证明：方法一、令0
()()d [01]=∈?
x
F u f t t,u ,则
(0)0()()==，'
F F u f u --------------------------2分
于是有
左边=11
()d ()[()()]d -??x
f x x f y F y F x y
=11
()d [()()]d[()()]--??x
f x x F y F x F y F x
=112
1()[()()]
d 2
-?
x
f x F y F x x -------------------------4分
=
12
1()[(1)()]d 2
-?
f x F F x x
=12
1
[(1)()]d[(1)()]2
-
--?F F x F F x
=3
1
[(1)]6
F =
()3
10
1
()d 3!
?f t t
=右边 ----------------------------6分
方法二、
()3
111
1
()d =()d ()d ()d ?
?
??f t t
f x x f y y f z z
=()()()d Ω
???，f x f y f z V
其中01,01,01,Ω≤≤≤≤≤≤：x y z ------------------------------2分
设101,1,,Ω≤≤≤≤≤≤：
x x y x z y （如图示） 由几何知Ω体积为1Ω的体积的6倍，由对称性 --------------------------4分
1
()()()d
=6()()()d
Ω
Ω???
???
f x f y f z V f x f y f z V
116()d ()d ()d =???y
x
x
f x x f y y f z z
即 ()3
1110
1
d d ()()()d ()d 3!
?
???y
x
x
x y f x f y f z z =
f x x
------------------------------6分
高等数学下册试题及答案解析word版本
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学试卷 含答案 下册
高等数学II 试题 一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设(,)z f x y =由方程xz xy yz e -+=确定，则 z x ?= ? 。 2．函数 23 2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。 3．L 为圆周2 2 4x y +=，计算对弧长的曲线积分?+L ds y x 22= 。 4．已知曲线23 ,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为 或 。 5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为 210()01x f x x x -<≤?=? <≤?，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。 二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分 1 201(,)x I dx f x y dy -=??的积分顺序。 2．计算二重积分D ，其中D 是由y 轴及圆周22 (1)1x y +-=所 围成的在第一象限内的区域。 3．设Ω是由球面z =z =围成的区域，试将三重 积分 222()I f x y z dxdydz Ω =++???化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分[()]()x L f x e ydx f x dy --?与路径无关，其中()f x 具有一阶连 续导数，且(0)1f =，求()f x 。 5．求微分方程2x y y y e -'''-+=的通解。 三、(10分)计算曲面积分 2 y dzdx zdxdy ∑ +??，其中∑是球面 2224(0)x y z z ++=≥的上侧。 四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω ++???，其中Ω由2 2z x y =+与1 z =围成的区域。 五、(10分)求22 1z x y =++在1y x =-下的极值。 六、(10分)求有抛物面22 1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
高数下试题及答案
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
高等数学下册试题及参考答案
高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
高等数学下册试题(题库)及参考答案
高等数学下册试题库及答案 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， ||= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3π D ）π 解 由公式（6-21）有 21112)1(211)1(1221cos 2 22222212 1=++?-++?-+?+?=??=n n n n α， 因此，所求夹角321 arccos π α==． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ???=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。
高等数学下册试卷及答案
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ）
高数下册试卷B及答案
高等数学(2)期末考试试题【B 卷】 姓名 班级 学号 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1． 设有向量)1,2,1(=→ a ，)0,2,1(-=→ b ，则=-→ → b a 2＿＿＿＿＿ 2． 过点)1,1,1(且与平面042=--+z y x 垂直的直线方程是＿＿＿＿＿ 3． =+→xy y x y x ) 2,1(),(lim ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4． 曲线积分? +) (AB L Qdy Pdx 与积分路径)(AB L 无关的充要条件为＿＿＿＿＿ 5． 幂级数∑ ∞ =0 n n nx 的收敛半径为＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 选择题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1. 函数y x y x z -++= 1 1 的定义域是（ ） Ａ. {}0,0|),(≥≥y x y x Ｂ. {}0,0|),(<
3. 设22y y x Z +=，则===1 1|y x dz ( ) Ａ.dy dx 32+ Ｂ.dy dx 32- Ｃ．dy dx + Ｄ.0 4. 若),(y x f 为关于x 的奇函数，积分域D 关于y 轴对称，对称部分记为21,D D ， ),(y x f 在D 上连续，则??=D d y x f σ),(（ ） Ａ. 2??2 ),(D d y x f σ Ｂ.2??1 ),(D d y x f σ Ｃ.4??1 ),(D d y x f σ Ｄ.0 5. 设级数∑∞=1 n n a 收敛，∑∞=1 n n b 发散，则级数∑∞ =+1 )(n n n b a 必是( ) Ａ. 发散 Ｂ.收敛 Ｃ.条件收敛 Ｄ.敛散性不确定 判断题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1. 两个空间向量的数量积的结果不一定为常数 ( ) 2. 函数),(y x f z =的偏导数 y z x z ????,在点),(y x 连续是函数),(y x f z =在该点可微的必要条件 ( ) 3. 二重积分对于积分区域具有可加性 ( ) 4. 格林公式表示二重积分与第一类曲线积分之间的关系 ( ) 5. 如果∑∞ =1 n n u 绝对收敛，则级数 ∑∞ =1 n n u 必定收敛 ( ) 计算题：（本题共5小题，每小题8分，满分40分）
高等数学a)下期末试卷及答案
南京邮电大学2010/2011学年第二学期 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ??1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(1 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面 x y x 22 2≤+内的那部分面积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ?- θπ π ρ ρθcos 20 22 2 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2 d d (D ) ??- θ π πρρθcos 202 2 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数
∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+121n n n (C ) ∑∞ =+111sin n n (D ) ∑∞ =13! n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案
大一第二学期高等数学期中考试试卷 一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。 1、已知球面的一条直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________ 2、函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为 3、曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程为 4、 22 22222 (,)(0,0) (1cos())sin lim ()e x y x y x y xy x y +→-+=+ 5、设二元函数y x xy z 3 2 +=，则 =???y x z 2_______________ 二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面1222=--z y x 是（ ） （A ）．xOz 坐标面上的双曲线绕Ox 轴旋转而成； （B ）．xOy 坐标面上的双曲线绕Oz 轴旋转而成； （C ）．xOy 坐标面上的椭圆绕Oz 轴旋转而成； （D ）．xOz 坐标面上的椭圆绕Ox 轴旋转而成． 2、微分方程23cos 2x x x y y +=+''的一个特解应具有形式（ ） 其中3212211,,,,,,d d d b a b a 都是待定常数. (A).2 12211sin )(cos )(x d x b x a x x b x a x ++++; (B).322 12211sin )(cos )(d x d x d x b x a x x b x a x ++++++; (C).322 12211)sin cos )((d x d x d x b x a b x a x +++++; (D).322 111)sin )(cos (d x d x d x x b x a x +++++ 3、已知直线π 22122 : -= += -z y x L 与平面4 2:=-+z y x ππ,则 （ ） (A).L 在π内; (B).L 与π不相交; (C).L 与π正交; (D).L 与π斜交. 4、下列说法正确的是（ ） (A) 两向量a 与b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使得b a λ=； (B) 二元函数()y x f z ,=的两个二阶偏导数22x z ??,22y z ??在区域D 内连续，则在该区 域内两个二阶混合偏导必相等；
2017高等数学下试题及参考答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =r ，(4,1,10)b =-r ，c b a λ=-r r r ，且a c ⊥r r ，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上
C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
大学高数试卷及标准答案
. 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? ++L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分）
高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 考试日期：2009年 1、求曲线222222239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4．设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5. 计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2 222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 6. 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 7. 计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ =++-??，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧 8. 设 () f x 为连续函数， (0)f a =， 222()[()]t F t z f x y z dv Ω=+++???，其中 t Ω是由曲 面 z = 与 z =所围成的闭区域，求 3 () lim t F t t + →． 高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】 参考解答与评分标准 2009年6月 1、解：方程两边对x 求导，得323dy dz y z x dx dx dy dz y z x dx dx ?+=-????-=-??， 从而54dy x dx y =- ， 74dz x dx z = …………..【4】 该曲线在 ()1,1,2-处的切向量为571 (1, ,)(8,10,7).488 T ==…………..【5】 故所求的切线方程为 112 8107 x y z -+-== ………………..【6】 法平面方程为 ()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)
高等数学下册试卷及答案[1]
一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = )0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线 x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ， 其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为 9 22=+y x 介于 =z 及 3 =z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程 04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ） ),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ） ),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则222 2y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,1222 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 20 1 3cos sin ππ???θdr r d d ；
大一下学期高等数学期末试题及答案__数套
高等数学（下）试卷一 一、 填空题（每空3分，共15分） （1 ）函数 z =的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? 2 220 (,)y y dy f x y dx ?? = )dv x ce 1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L ： 21211x y z +-==的平面方程 2、 已知22 (,)z f xy x y =，求z x ??， z y ?? 3、 设 22 {(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2D x dxdy ??
4、 求函数22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 5、计算曲线积分2(23sin )()y L xy x dx x e dy ++-?， 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-??=-?从点 (0,0)O 到(,2)A π的一段弧 6、求微分方程 x xy y xe '+=满足 1 1x y ==的特解 四.解答题（共22分） 1 26'） ，则 ? （1）设直线L 为0x y z --=?，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（ ）； A. 0 B. 2π C. 3π D. 4π （2）设(,)z f x y =是由方程33 3z xyz a -=确定，则z x ?=?（ ）； A. 2yz xy z - B. 2yz z xy - C. 2xz xy z - D. 2 xy z xy - （3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y * =（ ）；
高等数学下册试卷及答案
高等数学下册试卷及答案 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = ) 0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 . 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值 为 . 4、设曲线L 的参数方程表示为), ()()(βαψ?≤≤? ? ?==x t y t x 则弧长元素=ds . 5、设曲面∑为 92 2=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )122（ . 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 . 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的和为 . 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在) ,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在) ,(00y x 处连续； （B ） ) ,(y x f x '， ) ,(y x f y '在 ) ,(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2 200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x . 2、设 ), ()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 . 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分 ???Ω =zdV I 等于（ ） （A ）4 ???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； （B ） ???20 1 2sin π π??θdr r d d ；
大学高数试卷及答案汇编
学习-----好资料 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是： ( ) A. 11x +- B. 1ln 1x x +?? ?-?? C. 1x e - D. 1cos x - 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 得分 得分 评阅人 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 得分
4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2．极限222222lim 12n n n n n →∞ ?? +++ ?+++??L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y x =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 得分
高等数学下册试题(题库)及参考答案
高等数学下册试题库 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(202 22=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1 112)1(211)1(1221cos 2 222222 121=++?-++?-+?+?= ??= n n n n α，
因此，所求夹角 32 1arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 7．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为(A )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 8．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -=
高等数学下册期末考试试题及答案
高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2 2 22z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．
5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222 x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面2 2 z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． 四、 （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 五、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 六、（本题满分10分） 计算曲面积分332 223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑ = ++-??， 其中∑为曲面2 2 1(0)z x y z =--≥的上侧． 七、（本题满分6分） 设()f x 为连续函数，(0)f a =，2 22()[()]t F t z f x y z dv Ω= +++???，其中t Ω 是由曲面z = 与z = 3 () lim t F t t + →．