2.大学生数学竞赛模拟题二2015.9.4

大学生数学竞赛模拟题二

一、填空题(共有5小题，每小题6分，共30分) 1.

2

1

lim(!).n n n →∞

求极限

2.

1

0()()d ()sin (0)0()0'().f x f tx t f x x x f f x x f x =+=≠?设满足，，且有一阶导数，

当时，求

3.

20

e |sin |d .x x x +∞

-?计算

4.

2222:1(,)(sin cos )d d .D

D x y f x y D x y x y +≤+??设，在上连续，求

5.

22

30

0cos d d .

x

x x t t t t t x αβγ+

→===??

当时，无穷小量，，，

试求它们分别是的多少阶无穷小

二、(本题满分12分)

22220(,),(,)(0,0)0,0x y f x y f x y x y +≠=+=?

设讨论在处是否可微

三、(本题满分14分)

222

222d d '(0)1,''(0)0,()().d d f f x f x f x x x

====设求证：在0处，有

四、(本题满分14分)

设()u f r =

，r =0r >内满足拉普拉斯方程2222220u u u

x y z

???++=???，

其中()f r 二阶可导，且(1)(1)1f f '==。试将拉普拉斯方程化为以r 为自变量的

方程，并求出()f r 。

五、(本题满分15分)

333.()d d (2)d d (3)d d .

I x x y z y y z x z z x y

I ∑

∑=-+-+-∑??设是一个光滑封闭曲面，方向朝外给定第二型的曲面积分

试确定曲面，使得积分的值最小，并求该最小值

六、(本题满分15分)

()()()()

'()00 1.

f x x y x y f y f x f x y y x αβαβαβ≠-=+≥≥+=-求满足下列条件的可微函数，对任意的、，

有，这里、，且