一种求非线性振动系统周期解的切比雪夫级数方法

(完整版)均值不等式及其证明

1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于

121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于

切比雪夫不等式例题

关于切比雪夫不等式的题目现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000颗种子，请用切比雪夫不等式计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。利用切比雪bai夫不等式回答下面du两个问题均值为zhi3,方差为dao4的随机变量X,利用切比雪夫专不等式确定P（-2 < X < 8)的下界属限.2 .均值为3,方差为4的随机变量X,且X的概率分布以均值3为中心对称,利用切比雪夫不等式确定P（X <= 0)的上界限|EX=9 DX=9,EY=9 DY=4E(X-Y)=9-9=0D(X-Y)=DX+DY- 2ρxy(DX*DY)^bai0.5=9+4-2*0.5*(9*4)^0.5=7P(|X?Y|≤du4)=1-P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)而由切比zhi雪夫不等dao式P(|X?Y-E(X-Y)|≥4)≤D(X-Y)/4^2=7/16所以P(|X?Y|≤4)≥1-7/16=9/16切切比雪夫不等式：对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε＞0, 恒有 P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 在你这题中,X~N（2,4） 所以EX=2 ε=3 DX=4 所以P{|X-2|>=3}<=4/(3^2)=4/9方法点拨: 设随机变量X的数学期望和方差都存在，有或 .切比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知，而只知道和的情况下估计概率 的界限。例1已知随机变量的密度函数为偶函数，$D(X)=1$，且用切比雪夫不等式估计得$P\left\{ \left| X

\right|<\varepsilon \right\}\ge 0.96$，则常数$\varepsilon =\_\_\_\_\_.$ 【答案】5 例2设随机变量和的数学期望分别-2和2，方差分别1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有____ 【答案】^$的均bai值=10000*3/4=7500方差=10000*3/4*（1-3/4）=1625根据切比du雪夫不zhi等式P{0.74< $/10000 <0.76}=( P{|$/10000-0.75 |<0.01}>=1-(1625/10000^dao2)/0.01^2 =0.837519世纪俄国数学家bai切比雪夫研究统计规律中，du论证并用标准差表达zhi了一个不等式，这个不等式具有普遍的dao意义，被称作切比雪夫定理chebyshev's theorem 其大意是：任意一个数据集中，位于其平均数m个标准差范围内的比例（或部分）总是至少为1-1/㎡，其中m 为大于1的任意正数。对于m=2，m=3和m=5有如下结果：所有数据中，至少有3/4（或75%）的数据位于平均数2个标准差范围内。所有数据中，至少有8/9（或88.9%）的数据位于平均数3个标准差范围内。所有数据中，至少有24/25（或96%)的数据位于平均数5个标准差范围内。其计算公式通常表示为：μ为X的均值，sigma为X的标准差。若和则有它是由排序不等式而来。切比雪夫不等式的积分形式如下:若f 和g 是区间[0,1]上的可积的实函数，并且两者都是递增（或递减）的，则有上式可推广到任意区间。

利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明

利用切比雪夫不等式证明_切比雪夫不等式证明一、 试利用切比雪夫不等式证明：能以大小0.97的概率断言，将一枚均匀硬币连续抛1000次，其出现正面的次数在400到600之间。 分析:将一枚均匀硬币连续抛1000次可看成是1000重贝努利试验,因此 1000次试验中出现正面H的次数服从二项分布. 解:设X表示1000次试验中出现正面H的次数,则X是一个随机变量,且 ~XB1000,1/2.因此 500 2 1 1000=×==npEX, 250 2 答题完毕，祝你开心! 1 1 2 1 10001= ××= =pnpDX, 而所求的概率为 }500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP }100{< =EXXP 975.0 100

1 2 = ≥ DX . 二、 切比雪夫Chebyshev不等式 对于任一随机变量X ,若EX与DX均存在,则对任意ε>0, 恒有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2 切比雪夫不等式说明，DX越小，则 P{|X-EX|>=ε} 越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进 一步说明了方差的意义。 同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率P{|X-EX|>=ε}的一个上界，该 上界并不涉及随机变量X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫 不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。 切比雪夫不等式是指在任何数据集中，与平均数超过K倍标准差的数据占的比例至多 是1/K^2。 在概率论中，切比雪夫不等式显示了随机变数的「几乎所有」值都会「接近」平均。 这个不等式以数量化这方式来描述，究竟「几乎所有」是多少，「接近」又有多接近： 与平均相差2个标准差的值，数目不多于1/4 与平均相差3个标准差的值，数目不多于1/9 与平均相差4个标准差的值，数目不多于1/16 …… 与平均相差k个标准差的值，数目不多于1/K^2 举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分， 我们便可得出结论：少于50分与平均相差3个标准差以上的人，数目不多于4个=36*1/9。

经典迟滞非线性Preisach模型matlab代码

%% Let N=10 clear N=10; %this control the plane size %generate the alpha-beta plane; [a b]=meshgrid(-0.5:1/N:0.5,0.5:-1/N:-0.5); x=-0.5:0.01:0.5; y=zeros(1,length(x)); x_old=-0.6; counter=1; w=1/(N*(N-1))/2; %x increases for i=1:1:length(x) for j=1:N-1 for k=1:N-j if x(i)>=b(j,k) temp=1; elseif x(i)<=a(j,k) temp=0; else if x_old<=a(j,k) temp=0; elseif x_old>=b(j,k) temp=1; end end y(counter)=y(counter)+temp*w; end end counter=counter+1; end % figure % % plot(x,y,'r') x1=x; y1=y; %x decreases x=0.5:-0.01:-0.5; y=zeros(1,length(x));

x_old=0.6; counter=1; for i=1:1:length(x) for j=1:N-1 for k=1:N-j if x(i)>=b(j,k) temp=1; elseif x(i)<=a(j,k) temp=0; else if x_old<=a(j,k) temp=0; elseif x_old>=b(j,k) temp=1; end end y(counter)=y(counter)+temp*w; end end counter=counter+1; end figure plot([x1 x],[y1 y],'r'); %% Let N=100 N=100; %this control the plane size [a b]=meshgrid(-0.5:1/N:0.5,0.5:-1/N:-0.5);%generate the alpha-beta plane; x=-0.5:0.01:0.5; y=zeros(1,length(x)); x_old=-0.6; counter=1; w=1/(N*(N-1))/2; %x increases for i=1:1:length(x) for j=1:N-1 for k=1:N-j if x(i)>=b(j,k)

重要不等式汇总(例题答案)

其他不等式综合问题 例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证： （1） 分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。 思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成. 实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式： x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y) (x、y∈R+)（*） 知（1）的左端 这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。 （1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？

以下为行文方便，记（1）的左端为 ，表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述, 为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手, 推广1：设a、b、c、d∈R+，求证： 。（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)（**） （**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。 事实上，由高中数学课本上熟知的不等 式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样 （**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证： 。（3） 有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明

经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设12,,0n a a a >L 是实数 其中0,1,2,i a i n >=L .当且仅当12n a a a ===L 时，等号成立. （2）柯西不等式 设1212,,,,,n n a a a b b b L L 是实数，则 当且仅当0(1,2,,)i b i n ==L 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n ==L 时，等号成立. （3）排序不等式 设12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L 为两个数组，12n c c c L ，， ，是12n b b b L ，,，的任一排列，则 当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式 对于两个数组：12n a a a ≥≥≥L ，12n b b b ≥≥≥L ，有 当且仅当12n a a a ===L 或12n b b b ===L 时，等号成立. 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 而 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 即得 同理，根据“乱序和≥反序和”，可得 综合即证 （2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”12n a a a n +++≤ L 证明：构造两个数列： 其中 c =因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．和：．． 总是两数组的反序和．．．．．．．．． .于是由“乱序和≥反序和”，总有 于是 即 即证 （3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”： 12n a a a n +++≤ L 证明：不妨设12n a a a ≥≥≥L ，

不等式的若干证明方法

2016届本科毕业论文(设计) 题目：不等式的若干证明方法 学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学12-1班 学生姓名：高春 指导教师：马昌秀 答辩日期：2016年5 月3日 新疆师范大学教务处

目录 1.引言 (1) 2.证明不等式的常用方法 (2) 2.1比较法 (2) 2.1.1 作差法 (2) 2.1.2作商法 (2) 2.2 分析法 (3) 2.3 综合法 (3) 2.4 反证法 (4) 2.5 放缩法 (5) 2.6 数学归纳法 (5) 2.7换元法 (6) 2.7.1增量换元法.. (6) 2.7.2三角换元法 (6) 2.7.3 比值换元法 (7) 2.8 标准化法 (7) 2.9 公式法 (8) 2.10 分解法 (8) 2.11 构造法 (9) 2.11.1 构造对偶式模型 (9) 2.11.2 构造函数模型 (9) 2.12 借助几何法 (10) 3.利用函数证明不等式 (10) 3.1 极值法 (10) 4.利用著名不等式 (11) 4.1 均值不等式 (11) 4.2 柯西-施瓦茨不等式 (12) 4.3 拉格朗日中值定理 (12) 4.4 赫尔德不等式 (13) 4.5 詹森不等式 (13) 4.6 闵可夫斯基不等式 (14) 4.7 伯努利不等式 (15)

4.8 切比雪夫不等式 (15) 4.9 琴生不等式 (16) 4.10 艾尔多斯—莫迪尔不等式 (16) 4.11 排序不等式定理 (16) 5.小结 ..................................................... 错误！未定义书签。参考文献 . (18) 谢辞 ..................................................... 错误！未定义书签。

非线性振动

非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。 定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。 本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。 1、平均法 平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。 1.1利用平均法分析多自由度非线性振动 平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。 1.2用改进平均法求解自由衰减振动 用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，

在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。 2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统 非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。 3、等效小参数法求解强非线性系统 等效小参量法是将谐波平衡法和扰动法相结合用于求高阶非线性系 统近似解的一种比较有效的方法，这种方法不仅适用于弱非线性系统，而且适用于强非线性系统，其近似解能较好地反映系统特性。在求解弱非线性系统时，扰动法和等效小参量法均具有较高的精确度，但对于强非线性系统，等效小参量法表现出较明显的优势。 参考文献： 【1】王海期.非线性振动.高等教育出版社.1992

均值不等式的证明

平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多 竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析 综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1平均值不等式 一般地，假设，，，为n个非负实数，他们的算术平均值记为 几何平均值记为 算术平均值和几何平均值之间有如下的关系。 即， 当且仅当时，等号成立。 上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和使用非常灵活、广泛，有多 重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。 供大家参考学习。 1.2平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1）当n=2时，已知结论成立。 （2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对 ，，，，有 。 那么，当n=k+1时，由于

， 关于，，，是对称的，任意对调和，和的值不改变，因此不妨设，，，，，，，显然，以及（）（）可得 （） 所以 （） （） 即（）两边乘以，得 从而，有 证法二（归纳法） （1）当n=2时，已知结论成立。 （2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有 。 那么，当n=k+1时，由于 从而，有 证法三（利用排序不等式）

设两个实数组，，，和，，，满足 ；， 则（同序乘积之和） （乱序乘积之和） （反序乘积之和） 其中，，，是，，的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。 证明： 切比雪夫不等式（利用排序不等式证明） 杨森不等式（Young）设，，，则对 ，有等号成立的充分必要条件是。 琴生不等式（Jensen） 设，（，）为上凸（或下凸）函数，则对任意，（，，），我们都有 或 其中，， 习题一 1.设，求证：对一切正整数n，有 （） 2.设，，，求证 （）（）（）（ 3.设，，为正实数，证明：

经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设12,,0n a a a > 是实数 1212111+n n a a a n n a a a +++≤≤≤ ++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立. （2）柯西不等式 设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则 ()()()2 2222221 2121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. （3）排序不等式 设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则 112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式 对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有 112212121211 n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++????≥≥ ??????? 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 ()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++???? ≥ ??? ?????+++≥++++++ 而 ()()121211221223113242142531122 1211 n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++ 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 ()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++ 即得

经典不等式证明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

经典不等式及其证明 第1页 几个经典不等式的关系 一 几个经典不等式 （1）均值不等式 设12,,0n a a a > 是实数 1212111+n n a a a n n a a a +++≤≤≤ ++ 其中0,1,2,i a i n >= .当且仅当12n a a a === 时，等号成立. （2）柯西不等式 设1212,,,,,n n a a a b b b 是实数，则 ()()()2 2222221 2121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ 当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在实数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. （3）排序不等式 设12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ 为两个数组，12n c c c ，，，是12n b b b ，,，的任一排列，则 112211221211n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≥+++≥+++ 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. （4）切比晓夫不等式 对于两个数组：12n a a a ≥≥≥ ，12n b b b ≥≥≥ ，有 112212121211 n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n -++++++++++++????≥≥ ??????? 当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时，等号成立. 二 相关证明 （1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由 ()()()1122121211221212n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b n n n n a b a b a b a a a b b b +++++++++???? ≥ ??? ?????+++≥++++++ 而 ()()121211221223113242142531122 1211 n n n n n n n n n n n n n n a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++++=++++++++++++++++++++++++ 根据“顺序和≥乱序和”（在1n -个部分同时使用），可得 ()()()11221212n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++ 即得

切比雪夫不等式的一个推广形式

切比雪夫不等式的一个推广形式 斜靠在墙上,梯子的顶端A距地面8米,如果A以a米/秒速度下滑,猜猜,底端B也以 相同的速度滑动吗?并计算当A=1时B滑动的速度 . (图7) 分析:该题实际上是求二次函数的顶点和 (图6) 函数值的问题,由题意得A(-4,0),B(4,0),C(3,0),可得二次函数解析式 y=-4Π7x+64Π7.可知校门最大高度为64Π7, 2 分析:该题涉及数学基础知识是勾股定理 和一元二次方程解的运用,不妨设B滑动的速度为x米/秒,即可得方程 (8-a)2+(x+6)2=102 化简得:x+12x+a-16a=0 当a=1时x2+12x-15=0得x≈1.4.可见,底端B下滑的速度比A端下滑的速度快. 【例7】某大学校门是一抛物线水泥建筑物,大门地面宽度为8米,两侧距地面4米高处各有一个挂校名匾额用的铁环,铁环之间水平距离为6米,以校门地面宽度中点为原点,建立直角坐标平面,(1)求校门的最大高度;(2)该大学将近几年教研成果装在汽车上到校外展示厅展示,汽车宽度为7米,那么汽车与成果共高小于多少米,汽车方能通过校门?(精确 到0.1米 ) 2 2 然后把x=7Π2代入解析式,即可求得. 总之,数学问题解决的一条基本思路是“将未知的问题转化为已知问题,并将复杂的问题转化为简单的问题.多年的教学经验也清楚地告诉我:由于未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间,数与形之间问题,实际问题与数学问题之间往往没有明显联系,因此需要我们教

师通过探究型的教,才能全面提高学生基础学力、探究型学力、拓展型学力.同时需要设置一些过程性变化在两者之间进行适当铺垫,架起两者之间无数桥梁,逐步培养学生掌握数学转化的思想方法,全面地提高学生分析问题和解决问题的能力. 专题研究 切比雪夫不等式的一个推广形式 上海师范大学数理信息学院(200234) 许庆祥 切比雪夫不等式是一个重要的不等式,它 44 在中学数学竞赛中有一些很重要的应用,它的 一个初等的证明见文献[1]第236页.本文用全新的方法给出切比雪夫不等式的一个推广形式.值得指出的是,文献[1]的方法已不再适用于证明下述不等式: 推广的切比雪夫不等式: 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn, n i=1 n n n 则∑aibn+1-it1≤(∑aiti)(∑biti)i=1i=1i=1 n ≤i∑aibiti.=1 注:若所有的t1i=n ,上述不等式即为切 比雪夫不等式. 为证明所述的不等式,我们转而证明下述更为广泛的积分不等式;

非线性振动

非线性振动 期 末 作 业 任课老师： 姓名： 学号： 专业： 课程：非线性振动

非线性振动的理论研究方法 非线性振动是指恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。一般说，线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。 通过理论分析对非线性振动进行研究是目前最有效最基本最直接的方式。理论研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。非线性振动理论研究分析的最重要的数学工具就是微分方程。学者们在微分方程发展过程中发现用初等函数表达方程解的可能性极为有限之后，出现了三个比较重要的方向。其一是引入新的函数作为解的表达，并研究这些函数的性质和数值解。非线性振动中有个别的问题就可以用这种方法来求解方程，例如摆的大幅振动解用椭圆函数表达。然而这方面的例子是极为有限的。这就说明只有极少数非线性微分方程能够求出方程的解，所以通常必须用近似的求解方法求出非线性微分方程的近似解，这就需要用到求解非线性微分方程的两个最基本的方法，这就是定性方法和定量方法。定性理论不通过解的表达式来研究分析解的性质，比如利用几何法作出微分方程所定义的积分曲线，运用稳定性理论引入另外的函数中，通过它们去研究解的性质。把常微分方程定性理论与非线性振动联系起来主要应归功于前苏联的Andronov等建立起来的学派。这些学者们把定性理论用来解决电学和力学中出现的大量非线性振动问题。定性理论在发展的过程中，一方面在理论上形成了许多讨论奇点、周期解、极限环的定理、判据等，一方面形成了一些实用的作图方法，例如等倾线法、Lienard法、点映射等。 求解非线性微分方程近似解的方法中定量分析的方法包括数值解法以及解析法。定量分析方法中的解析法是最基本的分析研究方法，使用解析法来进行研究分析最主要的任务是通过理论的研究分析来揭示各类非线性系统振动的基本理论和主要特点。使用解析方法法求解非线性微分方程近似解的方法有：频闪法、平均法、小参数法、多尺度法、渐近法、谐波平衡法等研究分析方法。下面简单叙述一下几种分析非线性振动的方法：

马尔科夫及切比雪夫不等式的证明

马尔可夫与切比雪夫不等式及其等号成立的条件 * 丁永臻1 黄志敏2(1.中国石油大学(华东)数学学院 山东东营 257061; 2.东营市技术学院基础部 山东东营 257097)摘要 用现代概率论方法证明马尔可夫和切比雪夫不等式,并给出其等号成立的充要条件. 关键词 马尔可夫不等式,切比雪夫不等式,概率,随机变量 中图分类号 O 211 本文用现代概率论方法,证明马尔可夫不等式与切比雪夫不等式,特别是给出两个不等式等号成立的充要条件,这在流行的概率统计教科书中是没有的.结果的证明主要依赖下面的引理. 引理 设Y 是样本空间)上的随机变量,P (Y ≥0)=1,则E (Y )=0当且仅当P (Y =0)=0.证明 记I A 为集合A 的示性函数. 若P (Y =0)=1,则P (Y 40)=0,P (Y <0)=0,于是,E (Y )=E (Y I {Y 40}+Y I {Y =0}+Y I {Y <0 })=0+0+0=0.反之,若P (Y ≥0)=1,E (Y )=0,则必有P (Y =0)=1.否则,P (Y 40)40,由概率的连续性及{Y 40}=9∞ n =1{Y 41n },得P (Y 40)=l i m n :∞P (Y 41n ),因而存在n 0∈\,P (Y 41n 0)40,E (Y )≥E (1n 0I {Y 41n 0})=1n 0P (Y 41n 0 )40,与假设E (Y )=0矛盾.定理1 (马尔可夫(M a r k o v )不等式)设Y 是样本空间)上的非负随机变量且有有限期望,则;(40,P (Y ≥()≤E (Y )( .其中等号成立当且仅当P (Y ∈{0,(})=1.证明 注意到I {Y ≥(}≤Y ( ,两边取期望,由E (I A )=P (A ),即得不等式成立.记Y =Y ( -I {Y ≥(},则Y ≥0,P (Y ≥0)=1.结论中等号成立等价于E (Y )=0,由引理,E (Y )=0等价于P (Y =0)=1,等价于P (Y =(I {Y ≥( })=1,等价于P (Y ∈{0,(})=1.证毕.定理2 (切比雪夫(C h e b y s h e v )不等式)设Y 是样本空间)上的随机变量,有有限期望*和方差+2,则;(40,P (|Y -*|≥()≤+2( 2.其中等号成立当且仅当存在p ∈[0,1],使P (Y =*-()=(1-p )/2,P (Y =*)=p ,P (Y =*+()=(1-p )/2. 证明 记Y =(Y -*)2,则Y ≥0,E (Y )=+2有限. 应用马尔可夫不等式有,P (|Y -*|≥()=P (Y ≥(2)≤E (Y )(2=+2(2.不等式得证.等号成立的充分性易于验证.下证必要性.如果P (|Y -*|≥()=+2(2,则有P (Y ≥(2)=+2( 2,由马尔可夫不等式等号成立的条件得P (Y ∈{0,(2})=1,即P (Y ∈{*-(,*,*+ (})=1.记P (Y =*)=p ,则P (Y ∈{*-(,*+( })=1-p ,再注意到E (Y )=*,则必有P (Y =*-()=P (Y =*+()=(1-p )/2. 证毕.注 显然,要使马尔可夫与切比雪夫不等式中的等号对所有的(40都成立,其充要条件是Y 为单点分布,即P (Y =*)=1.5 2V o l .9,N o .4J u l .,2006 高等数学研究S T U D I E S I NC O L L E G E MA T H E MA T I C S *收稿日期:2004-06-28

利用状态空间法对一类非线性振动系统的数值方法研究_王建平

利用状态空间法对一类非线性振动系统的 数值方法研究 王建平1,2　刘宏昭2　原大宁2　苏志霄3 (1同济大学机械学院　上海,200092)(2西安理工大学机仪学院　西安,710048) (3国电电力建设研究所　北京,100055) 摘　要　提出了一类非线性振动系统的隐式解,导出了相应的数值计算方法,并对该数值方法的收敛性、误差和稳定性进行了研究。与传统的非线性振动系统的数值求解方法如:Ho ubo lt法、Wilson-θ法、New mar k-β法以及考虑高阶余项的连续线性化模型及其T ay lo r变换法相比,该方法具有更高的求解精度和效率。将该数值方法应用到结晶器四偏心式振动机构这样复杂的弹性机构非线性振动系统的研究中,取得了良好的效果,说明该方法具有一定的工程实用价值。 关键词:非线性振动;数值方法;隐式解;状态空间法 中图分类号:T H113.5;O322 目前,对于线性振动系统的理论研究已经发展得相当完善,但是对于非线性振动系统,特别是强非线性系统和非线性高阶系统,解的形式究竟有几种,至今还没有完全搞清楚[1]。然而对于部分弱非线性振动系统,目前已经发展了多种有效的近似解法,如Lindstedt-Poincaré(L-P)法、平均法、多尺度法、KBM法(三级数法)、谐波平衡法等[2]。对于一般的强非线性系统,近年来国内外学者在这一方面也开展了一系列理论研究工作,取得了不少成果。如S E Jones用参数变换法研究了大参数Duffing方程的自由振动问题[3];T D Burto n等提出了一种改进的多尺度法,分析了大参数强非线性系统的自由振动和强迫振动[4];S Brav o Yuste提出一种带有Jaco bi 椭圆函数的谐波平衡法[5]。但是无论是弱非线性问题,还是强非线性问题,所有的近似解法都有各自的特点,都是针对某一类特定的振动问题提出的近似解法。由于求解非线性方程本身的复杂性,目前还没有一种适应各种不同类型方程的通用解析法,仅有极少数非线性振动方程可以求得其精确解[1]。 因此,对于非线性系统的研究通常是首先利用数值计算方法得到系统的数值解,再采用点映射、胞映射等方法进行全局分析[6]。目前常用的数值方法有Houbo lt法、Wilso n-θ法和New mark-β法等,这些方法首先是将非线性微分方程化为对每一时间步长Δt内的线性方程(或称为线性化方程),然后按中心差分法等递推算法及各种修正形式计算非线性方程的数值解[2]。由于基于系统线性化的各种算法本身存在着一定的模型误差,即忽略线性化后高阶余项带来的误差,而中心差分法等各种算法及其修正形式只能提高线性化方程的计算精度,不能从根本上改进或修正这类模型误差[6]。另外,针对局部非线性动力系统的分块Ho ubolt法、分块Wilso n-θ和分块New mark-U法及其周期解方法也存在着同样的问题[8,9]。本文从非线性振动系统的物理空间出发,导出了一类非线性振动系统改进的状态空间模型,基于此模型提出了该类非线性振动系统的隐式解析解,给出了相应的数值计算格式,并对数值计算方法的收敛性、误差和稳定性进行了分析。与现有的非线性振动系统数值计算方法如:Houbo lt法、Wilson-θ法和New mark-U法相比,本文提出的数值计算方法具有更高的计算精度和效率。 1　非线性振动方程状态空间模型 对于自然界广泛存在的非线性振动问题,可以用下面的二阶非线性方程进行描述 第17卷第2期2004年6月 振　动　工　程　学　报 Jo urnal o f Vibra tion Engineering V ol.17No.2　 Jun.2004　 国家自然科学基金资助项目(编号:50075068)、陕西省教育厅科研基金资助项目(编号:O O JK181)、中国博士后基金资助项目(编号:200303321) 收稿日期:2002-06-24;修改稿收到日期:2003-11-27 DOI:10.16385/https://www.360docs.net/doc/c44606136.html, k i.i ssn.1004-4523.2004.02.023

三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析

收稿日期:20030710 基金项目:航空科学基金项目(02C53019)资助 作者简介:刘晓宁(1976-),男(汉),山东, 博士研究生 刘晓宁 文章编号:100328728(2004)1021191203 三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析 刘晓宁,王三民,沈允文 (西北工业大学,西安　710072) 摘　要:在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上,利用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳定和不稳定的周期轨道,并利用Floquet 理论研究其稳定性、分岔类型,对系统的参数变化进行分析,研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制了系统周期解分岔图。关　键　词:齿轮转子轴承传动系统;增量谐波平衡法;Floquet 理论中图分类号:TH13 文献标识码:A N onlinear Vibrations of 32DOF G eared R otor 2B earing System LI U X iao 2ning ,W ANG San 2min ,SHE N Y un 2wen (N orthwestern P olytechnical University ,X i ′an 710072) Abstract :The incremental harm onic balance (IH B )method is used to obtain periodic m otions of a 32DOF non 2linear m odel of a geared rotor system subjected to parametric and external harm onic excitations.The stability of the periodic m otions is investigated by the Floquet theory ,the bifurcation behavior is traced.Parametric studies are performed to understand the effect of system parameters such as excitation frequency on the nonlinear dy 2namic behaviors. K ey w ords :G eared rotor bearing system ;Incremental harm onic balance (IH B )method ;Floquet theory 齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。在齿轮传动系统中,由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素的存在,导致系统产生强非线性振动,这种振动往往表现为系统的分叉、混沌振动现象,会对机械传动系统的工作性能和可靠性产生很大影响。因此,齿轮传动非线性系统的非线性振动研究引起了广泛的关注[2～5]。 从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说,大部分的研究都是借助数值方法探讨系统分叉、混沌等现象的存在。增量谐波平衡法(IH B )作为求解非线性微分方程周期解的解析方法,具有精度高,适用于求解周期激励问题的特点,尤为重要的是能够求解出混沌吸引子内部的不稳定周期轨道,这也恰恰是实现混沌控制的目标稳定轨道。 本文综合利用增量谐波平衡法和数值方法研究三自由度齿轮传动系统的动态特性,考察系统参数对动态性能的影响,并结合应用Floquet 理论探讨了通向混沌的倍周期和拟周期分叉道路。 1　 三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程 图1　三自由度非线性齿轮传动系统模型 如图1所示的三自由度非线性齿轮传动系统模型,齿轮部分包括齿轮惯量I g 1和I g 2,齿轮质量m g 1和m g 2,基圆直径d g 1和d g 2。齿轮啮合由非线性位移函数f h 和时变刚度 k h (t - ),线性粘性阻尼c h 描述。轴承和支撑轴的模型则由 等效的阻尼元件和非线性刚度元件表述。阻尼元件具有线 第23卷　第10期 机械科学与技术 V ol.23　N o.10　 2004年　10月 MECH ANIC A L SCIE NCE AND TECH NO LOGY October 2004