浙江省温州中学2014届高三10月月考数学理试卷_Word版含答案

温州中学2013学年第一学期高三月考（10月）

数学试题（理科）

参考公式：

如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式

()()()

P A B P A P B +=+ V Sh =

如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高

()()()

P A B P A P B ?=? 棱锥的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的

高

()()

()

1,0,1,2,,n k

k k

n n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式

球的表面积公式 2

4S R π=

球的体积公式 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面

积，

其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合

()22{|log 1,}

A y y x x R ==+∈，则=A C R （ ）

A ．?

B ．(,0]-∞

C ．(,0)-∞

D ．[0,)+∞

2．“22a b

>”是“

11a b <”的（ ） A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为（ ）

A ．20

B ．22

C ．24

D ．28

4．若方程

x x 2

)1ln(=

+的根在区间))(1,(Z k k k ∈+上，则k 的值为（ ）

A ．1-

B ．1

C ．1-或2

D ． 1-或

1

5．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A ．8 B

C

D

6.在ABC D 中，已知1AB AC

AB CB

u u u r u u u r

u u u r u u r ??，则|AB |的值为（ ）

A .1 B.2 C.3 D. 2 7. 用8个数字1,1,2,2,3,3,4,4可以组成不同的四位数个数是（ ） A ．168 B. 180 C. 204 D. 456

8．已知函数()x f y =是定义在R 上的增函数，函数()1-=x f y 的图象关于点

()1,0对

称. 若对任意的R y x ∈,，不等式

()()

0821622<-++-y y f x x f 恒成立，则当 3x >时，2

2y x +的取值范围是（ ）

A.

()3,7

B.

()9,25

C.

()13,49

D.

()9,49

9. 已知双曲线22

2

21(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若4=，则该双曲线的离心率为（ ）

A.

B.

C.

D.

10．已知函数

1(),()ln

22x x f x e g x ==+

，对任意,a R ∈存在(0,)b ∈+∞使()()f a g b =，

则b a -的最小值为（ ）

A. 1

B.

21

2e -

C.2ln 2-

D. 2ln 2+

二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．已知121i

i

a bi +=++(,,a

b R i ∈为虚数单位），则ab ＝ ．

12

．6

(1)(1x +展开式中3

x 项系数为 .

13．若框图（右图）所给的程序运行结果为90S =，那么判断框中应填入

的关于k 的条件是___________.

14．有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个， 若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分， 其他情况不得分，小张摸一次得分的期望是__ _ _______分．

15．已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥??

--

，

()

2

1z a b =--，则z 的取值范围是_ ．

16．正方体

1111ABCD A BC D -的棱长为2，点M 是BC 的中点，点P 是正方形ABCD 所

在平面内的一个动点，且满足2PM =，P 到直线11A D

，则点P 的轨迹是

__________．

17．已知函数x

x f 2)(=且)()()(x h x g x f +=，其中)(x g 为奇函数, )(x h 为偶函数，若

不等式2()(2)0a g x h x ?+≥对任意]2,1[∈x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .

温州中学2013年第二次模拟测试 数学（理科）试题卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

C

D

C

D

C

B

C

C

D

D

二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）

11．

12． 16 13． 8k ≤ 14． 775 15． 144z <≤ 16． 两个点 17． )

,1217[+∞-

三、解答题：（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本小题满分14

2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间；

（Ⅱ）ABC ?中角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ?的面积．

（1）由题意，()f x 的最大值为

而0m >，于是 ()f x 为递减函数，则x 满足()k ∈Z ，

所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为 （2）设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得

=2360

①

由余弦定理，得2

2

9a b

ab +-=，即()

2

390

a b ab +--=． ②

将①式代入②，得()2

2390

ab ab --=．

解得3ab =，或

．

19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21017,100a S ==.

（Ⅰ）求数列

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足*

cos()2()n n

n b a n n N π=+∈，求数列{}n b 的前n 项和. 解：（I ）设

{}n a 首项为1a ,公差为d,

则111710(29)

1002a d a d +=??

?+=??解得1192a d =??=-?

19(1)(2)212n a n n ∴=+-?-=-

（II ）∵cos()2n n n b a n π=+=(1)2n n

n a -+

当n 为偶数时,

2312123...(2)(2)(2)...(2)n

n n n T b b b a a a a =+++=-++++-++++ =12(12)

(2)22

212n n n n +--?+=---

当n 为奇数时,

2312123...(2)(2)(2)...(2)n

n n n T b b b a a a a =+++=-++++-+++-+ =

12312(12)

()...()12n n n a a a a a ---+-+-+

- =

1

1192222n n +--+?

+-= 1222n n ++-

11

22(222n n n n n T n n ++?--∴=?+-?当为偶数）

（当为奇数）

20．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B ⊥底面ABC ，

侧棱

1AA 与底面ABC 成060的角，12AA =．底面ABC 是边长为2的正三角形，其重心为

G 点，E 是线段1BC 上一点，且

（Ⅰ）求证：GE //侧面11AA B B ；

（Ⅱ）求平面1B GE 与底面ABC 所成锐二面角的正切值．

解法1：（1）延长B1E 交BC 于点F ，11

B EC

?∽△FEB ，

，∴

，

从而点F 为BC 的中点．

∵G 为△ABC 的重心，∴A 、G 、

F

第20题图

又GE ?侧面AA1B1B ，∴GE//侧面AA1B1B ．

（2）在侧面AA1B1B 内，过B1作B1H ⊥AB ，垂足为H ，∵侧面AA1B1B ⊥底面ABC ， ∴B1H ⊥底面ABC ．又侧棱AA1与底面ABC 成60°的角，AA1=2，∴∠B1BH=60°，BH=1，

在底面ABC 内，过H 作HT ⊥AF ，垂足为T ，连B1T ，由三垂线定理有B1T ⊥AF ， 又平面B1CE 与底面ABC 的交线为AF ，∴∠B1TH 为所求二面角的平面角．

∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴

HT=AH

．在Rt △B1HT 中

，

从而平面B1GE 与底面ABC

解法2：（1）∵侧面AA1B1B ⊥底面ABC ，侧棱AA1与底面ABC 成60°的角，∴∠A1AB=60°，

又AA1=AB=2，取AB 的中点O ，则AO ⊥底面ABC ． 以O 为原点建立空间直角坐标系O —xyz 如图， 则

()

0,1,0A -，

()0,1,0B ，

∵G 为△ABC

又GE ?侧面AA1B1B ，∴GE//侧面AA1B1B ．

（2）设平面B1GE 的法向量为(,,)a b c =n ，则由10,0.B E GE ??=???=??uuu r uu u

r n n 得

又底面ABC 的一个法向量为()0,0,1=m

设平面B1GE 与底面ABC 所成锐二面角的大小为θ，则

由于θ为锐角，所以

故平面B1GE 与底面ABC

21．（本小题满分15分）已知椭圆)

0(1:22221>>=+b a b x a y C 的短轴长为4，离心率为22，

其一个焦点在抛物线

)0(2:2

2>=p py x C

的焦点F 的直线交2C 于B A 、两点，分别过A 、切线，两切线交于点Q . （Ⅰ）求1C 、2C 的方程； （Ⅱ）当点Q 在1C 内部运动时，求

QCD ?21.解：（Ⅰ）由椭圆条件得∴222

2 4

b c

a a

b

c =???=

??-=??，解得 2 a b c ????=?，

ks5u

∴1C ：1

482

2=+x y .

∵抛物线的焦点F 与1C 的一个焦点重合,∴22=p

，解得4=p ，∴2C ：y x 82

=.

（Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在且过点)2,0(F ，设其方程为2+=kx y ，

由2

2

8 y kx x y =+??=?

消去y 得，01682=--kx x 令

1122(,)(,)

A x y

B x y 、，则k x x 821=+，1621-=?x x ，

由y x 82

=得，

281x y =，x y 41=，2118141:x x x y AQ -=，22

28141:x x x y BQ -= 联立BQ AQ 、的方程解得，k x x x 422

1=+=

，281812412122

212-==-+?=x x x x x x y ，

∴Q

(4,2)k -，∴点Q 恒在直线2-=y 上，此直线与1C 交于)2,2()2,2(、-两点，

∵点Q 在1C

内部，∴4k <

，∴

k <<，∴2108k ≤<，（也可由

22

(2)(4)184k -+<求得）

由22 2 2+8 y kx x y =+??=?消去y 得，

22(2)440k x kx ++-=， 令

3344(,)(,)C x y D x y 、，则

24324k k x x +-

=+，24

324

k x x +-=?，

221)||2k CD k +=

=

+，

Q 点到直线CD 的距离

1

1

|44|222+=++=

k k k d ，

∴QCD ?的面积

12QCD

S =?=??

令

)

4

231(12

<≤=+t t k ，考察函

数

()f t =

，

14

t ≤<

，

()0f t '=>，

∴()f t

在

[1,

4

上单调递增，∴(1)()(4f f t f ≤<

，∴

108()17f t <，

即108

17QCD S ≤<

?.

22．（本小题满分15分）已知函数

1

()2(1)(0)x a f x a e a a x +=?+

-+>．

（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 22．（Ⅰ）当1a =时，

2

()4x f x e x =+

-

∴

'22

()x f x e x =-

∴'

(1)2f e =-

∵(1)2f e =-

∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：(2)0e x y --=．

（Ⅱ）∵1()2(1)x

a f x a e a x +=?+-+ ∴2'

2(1)()x ax e a f x x -+=

令2()(1)x g x ax e a =-+，则

'()(2)0x

g x ax x e =+> ∴()g x 在(0,)+∞上 ∵(0)(1)0g a =-+<，当x →+∞时，()0g x > ∴存在0(0,)x ∈+∞，使0()0g x =， 且()f x 在0(0,)x 上 ，()f x 在0(,)x +∞上

∵0200()(1)0x g x ax e a =-+= ∴

201x ax e a =+，即02

01

x a ae x +=

∵对于任意的(0,)x ∈+∞，恒有()0f x ≥成立 ∴

0min 00

1

()()2(1)0x a f x f x a e a x +==?+

-+≥ ∴00

21

2(11)0a a x a x ++-+≥+

∴

201

201x x +-≥ ∴2

00210x x --≤ ∴01

1

2x -≤≤

∵0

201x ax e a =+ ∴

0201

1x a x e a +=

>

令0

200()x h x x e =，而(0)0h =，当0x →+∞时，0()h x →+∞ks5u

∴存在(0,)m ∈+∞，使()1h m =

∵

200()x h x x e =在(0,)+∞上 ，∴0x m > ∴01m x <≤

∵

200()x h x x e =在(,1]m 上 ∴0()()(1)h m h x h <≤ ∴

11a e a +<

≤ ∴

1

1a e ≥-．