2.6函数的连续性(2)
表JX—1 南京技师学院教案（首页）
授课日期
授课班级
课题§2.6 函数的连续性(二)计划
学时
2 课时
教学目标知道反函数与复合函数的连续性；知道连续函数的保号性；了解初等函数的连续性；掌握用连续性计算初等函数的极限；了解闭区间上连续函数的性质——最大、最小值定理和介值定理.
教学重点解决措施教学重点：用连续性求极限、用闭区间上连续函数的性质证明一些问题解决措施：讲授
教学难点解决措施教学难点：用连续性求极限、用闭区间上连续函数的性质证明一些问题解决措施：推导、练习
教学设计
教学手段
教学方法
板书演示
板书设计授课提纲一、复习提问： 1、函数的连续性定义 2、函数的间断点
3、连续函数的和、差、积、商的连续性
二、新课引入
三、新授讲授
4、反函数与复合函数的连续性
5、初等函数的连续性
6、闭区间上连续函数的性质
四、课堂小结
1、反函数与复合函数的连续性
2、初等函数的连续性
3、闭区间上连续函数的性质
五、作业布置：复习第二章
六、教学反思
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教 学 过 程 设 计
时间 分配 教师 活动 学生 活动
【复习提问】
1、函数的连续性定义
2、函数的间断点
3、连续函数的和、差、积、商的连续性 【新课引入】
上节课我们已经学习了函数连续性的一些内容，今天我们将继续学习函数的连续性。 【新课讲授】
§2.6 函数的连续性(二) （四）反函数与复合函数的连续性：
定理2 单值单调连续函数的反函数也是单值单调连续的，且它们的单调性相同，即它们同为递增或同为递减。
如，x y sin =在]2
,2[π
π-上单值单调连续，其反函数
x y arcsin =在]1,1[-上也是单值单调连续的
定理3 设有)(),(x u u f y ?==，若a x x x =→)(lim 0
?（极限存在），)()(lim a f u f a u =→（连续），则)())(lim ()]([lim 0
0a f x f x f x x x x ==→→??.
定理4 设有)(),(x u u f y ?==，若
00)()(lim 0u x x x x ==→??，)()(lim 00
u f u f u u =→，则))(()]([lim 00
x f x f x x ??=→. （连续函数的复合函数仍为连续的）
（五）初等函数的连续性：
定理5 1、 基本初等函数在其定义域内连续；
2、一切初等函数在其定义区间内连续.
7分钟
1分钟 60分
钟
老师 提问
概念讲解
学生回答
学生理解
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注：连续性可用来求极限
如，1cos )2cos(sin )cos(sin lim 2==→π
πx x ； 1ln )1ln(lim )
1ln(lim 1
00==+=+→→e x x x x x x ；
a t t
t a x a a t x x x ln )
1(log lim 11lim
00=+=--→→. 由此看来求初等函数的连续区间只要求其定义区间即可，而分段函数则要讨论分段点，如
1
1
)(2
--=x x x f ，连续区间为 ),1(),1,1(),1,(+∞---∞； ???≤+=1,11,)(x x x e x f x ，连续区间为 ),1(),1,(+∞-∞.
（六）闭区间上连续函数的性质：
1、最大值和最小值定理：
设)(x f 定义在区间I 上，若I x ∈?0，使得对I x ∈?有
)()(0x f x f ≤（)()(0x f x f ≥），则称)(0x f 为)(x f 在区间I
上的最大（小）值. 如，x x f sin 1)(+=在]2,0[π上的最大值为2、最小值为0；
x x f =)(在)2,1(内无最值；
x x f sgn )(=在),(+∞-∞上的最大值为1、最小值为-1.
下面给出最值存在的一个充要条件.
定理 设)(x f 在],[b a 上连续，则],[,21b a ∈?ξξ，使得对
老师讲解
学生记忆
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],[b a x ∈?有)()()(21ξξf x f f ≤≤.
注： 如果定理的条件减弱，改“闭”为“开”，则结论不一定成立，如x x f =)(在)2,1(内无最值；若改“连续”为“间断”，
结论也不一定成立，如
1,01,
()1,1,3,1 2.
x x f x x x x -≤
推论：设)(x f 在],[b a 上连续，则0 M ?使得M
x f ≤)(（有界）.
证明：取})(,)(max{21ξξf f M =即可.
2、介值定理：
定理（零点定理）：设)(x f 在],[b a 上连续，且0
)()( b f a f （异号），则至少存在一点),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ，即ξ是
0)(=x f 的根.
推论（介值定理）：设)(x f 在],[b a 上连续，且
B A B b f A a f ≠==,)(,)(，则对A,B 之间的任一数c ，至少存
在一点),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ.
分析：要证c f =)(ξ，只要证0)(=-c f ξ，亦即只要证
c x f -)(在],[b a 上连续、端点异号即可.
证 设c x f x -=)()(?，∵)(x f 在],[b a 上连续， ∴)(x ?在
老师 提示
学生一边回答一边做题
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],[b a 上也连续.
又c a f a -=)()(?，c b f b -=)()(?，二者异号. ∴由零
点定理知至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(=ξ?即c f =)(ξ.
推论 设)(x f 在],[b a 上连续，
),()}(min{1x f x f m == )()}(max{2x f x f M ==，
则对M m ,之间的任一数c ，至少存在一点],[b a ∈ξ，使得
c f =)(ξ.
证 ],[],[21b a x x ?，在],[21x x 上用介值定理即可.
例 5 证明任何一个一元三次方程0
322
13=+++a x a x a x 至少有一个实根.
证 设32213)(a x a x a x x f +++=， ∵-∞=-∞→)(lim x f x ，+∞=+∞→)(lim x f x ，
∴ 根据保号性，0,0a b ?<>使得()0,()0f a f b <>，∵
)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <，∴至少存在一点
),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ，即方程032213=+++a x a x a x 至少
有一个实根.
例 6 证明若)(x f 在),(+∞-∞内连续且)(lim x f x ∞→存在，则)(x f 在),(+∞-∞内有界.
证 设A x f x =∞→)(lim ，则对1,0X ε=?>，当x X >时，有
一起练
习
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()1f x A -<，
()()()1f x f x A A f x A A A =-+≤-+<+，
又 )(x f 在],[X X -内连续，∴01 M ?使得对
],[X X x -∈?有1)(M x f ≤
取},1max{
1M A M +=，则对一切),(+∞-∞∈x ，都有M x f ≤)(，∴ )(x f 在),(+∞-∞内有界.
【课堂小结】 1、反函数与复合函数的连续性 2、初等函数的连续性 3、闭区间上连续函数的性质
【作业布置】 复习第二章
【教学反思】
5分钟 2分钟
2分钟
老师提
示
学生回答
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数学分析(华东师大)第四章函数的连续性
第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为 又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0
高等数学第4章第1节连续性概念
第四章 函数的连续性 ● 引言 在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数．从今天开始，我们就来看看这类函数的特点．主要讲以下几个问题： １．什么是“函数的连续性”？ ２．“间断”或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？ ４．初等函数的连续性有何特点？ §１ 连续性概念 ● 引言 “连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的．例如下图１中的函数()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的． 由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线．而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了． 当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性． 例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）． 因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究． 从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化．而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反．：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1x x →时，1()()f x f x →．换句话说，当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即1 1lim ()()x x f x f x →=． 根据这一分析，引入下面的定义： 一 函数在一点的连续性 1. 函数f 在点0x 连续的定义 定义１（f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若0 0lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续． 注 00 0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应法则f 可交换． ２．例子 例１．0,sin ,cos x R x x ?∈在0x 处连续． 例２．2 lim(21)5(2)x x f →+==．
第一章 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 函数的极限及函数的连续性典型例题 一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③ 函数 f(x)在 x=x 0 处连续的充要条件是在 x=x 0 处左右连续。 ④ 计算函数极限的方法，若在 x=x 0 处连续，则 ⑤ 若函数在 [a,b] 上连续，则它在 [a,b] 上有最大值，最小值。 二、典型例题 例 1 ．求下列极限 解：由 可知 x 2+mx+2 含有 x+2 这个因式， ∴ x=-2 是方程 x 2+mx+2=0 的根， ∴ m=3 代入求得 n=-1。 求 m,n 。 ① ④ ④ ③ ③ ② 解析：① 例 2．已知 的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处 函数是连续的， 从而 f(x)在点 x=-1 处不连续。 ∴ f(x) 在 (- ∞,-1),(- 1,+∞) 上连续， x=-1 为函数的不连续点。 , (a,b 为常数 ) 。 试讨论a,b 为何值时，f(x)在 x=0 处连续。 例 3 ．讨论函数 例 4 ．已知函数 ， ∴ f(x)在 x=1 处连续。 解析： ∴ a=1, b=0 。 例 5 ．求下列函数极限 ① ② 解析：① ② 要使 存在，只需 ∴ 2k=1 ，故 时， 存在。 例7．求函数 在 x=-1 处左右极限，并说明在 x=-1 处是否有极限？ ，∴ f(x)在 x=-1处极限不存在。 三、训练题： 2． 的值是 3. 已知 ，则 = ，2a+b=0，求 a 与 b 的值。 ，求 a 的值。 5．已知 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 例 6 ．设 ，问常数k 为何值时，有 存在？ 解析：∵ 4．已知 解析：由 1．已知 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一 函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增 量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述， 即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续． 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 第四章 可测函数（总授课时数 14学时） 由于建立积分的需要，我们还必须引进一类重要的函数——Lebesgue 可测函数，并讨 论其性质和结构. §1 可测函数及其性质 教学目的 本节将给出可测函数的定义并讨论其基本性质 教学要点 可测函数有若干等价的定义. 它是一类范围广泛的函数, 并且有很好 的运算封闭性. 可测函数可以用简单函数逼近, 这是可测函数的构造性特征. 本节难点 可测函数与简单函数的关系. 授课时数 4学时 —————————————————————————————— 1可测函数定义 定义：设()f x 是可测集E 上的实函数(可取±∞)，若[],f a a R E >?∈可测，则称()f x 是E 上的可测函数. 2可测函数的性质 性质1 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集 性质2 简单函数是可测函数 若1n i i E E ==? (i E 可测且两两不交），()f x 在每个i E 上取常值i c ，则称()f x 是E 上的 简单函数； 1()()i n i E i f x c x χ==∑ 其中1()0i i E i x E x x E E χ∈?=?∈-? 注：Dirichlet 函数是简单函数 性质3 可测集E 上的连续函数()f x 必为可测函数 设()f x 为E 上有限实函数，称()f x 在0x E ∈处连续 00(,)((),)0,0,()x f x f O E O δεεδ?>?>??若使得 对比：设()f x 为(),a b 上有限实函数，0()(,)f x x a b ∈在处连续 0lim ()()x x f x f x →=若 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以() x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 外文翻译： 数学分析原理第四章连续性第一节函数的连续性 原文来源：“Principles of Mathematical Analysis.”from Walter Rudin 译文正文： 在定义2.1和2.2中引进了函数概念和一些与它有关的术语.虽然我们（在后面各章里）主要感兴趣的是实函数和复函数（即值是实数或复数的函数），但是我们也要讨论向量 值函数（即在R k 中取值的函数）和在任意度量空间中取值的函数.我们在这个更一般的基础 上将要讨论的定理，并不会因为我们限制在（例如）实函数而显得更容易些，放弃不必要的假定和用适当普遍的措辞来叙述和证明定理，反而会使得情景确实简洁了. 我们的函数的定义域也是度量空间，遇有不同的要求，便加以适当的说明. 函数的极限 4.1定义 令Ｘ和Ｙ是度量空间，假设X E ?，ｆ将Ｅ映入Ｙ内．且ｐ是Ｅ的极限点．凡是我们写当p x →时q x f →)(，或 q x f p x =→)(lim （１） 的时候，就是存在一个点Y q ∈具有以下的性质：对于每个ε＞０，存在着δ＞０，使得 ε<)),((q x f d Y （２） 对于满足 δ<<),(0p x d X （３） 的一切点E x ∈成立． 记号Y X d d 和分别表示Ｘ和Ｙ中的距离． 如果Ｘ和（或）Ｙ换成实直线，复平面或某一欧式空间k R ，那么距离Y X d d 和自然该换成绝对值或相应的范数（见第２．１６段）． 应当注意X p ∈，但是上面的定义中，并不一定要求ｐ是Ｅ的点．此外，即使E p ∈，也完全可能)(lim )(x f p f p x →≠． 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为： 4.2 定理 令Ｘ，Ｙ，Ｅ，ｆ和ｐ是定义4.1说的那些，那么 高等数学函数极限与连续习题及答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 第二章.极限概念 函数的连续性 对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。 对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。 这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。 数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法） 设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。 观察这个数列取值变化， 有的数列变化具有下面的变化规律： 对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个a N 元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的值小于ε， 换一句话来说，对于任意的ε，总是存在一个N ，当n>N 时， 总是有ε <-a a n 成立 这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。并且称数列 ,....,,321a a a 收敛于极限a 。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示该数列极限。 否则我们就说数列{}a n 是发散的。 第四章 Lebesgue积分的知识要点与复习自测 一、非负简单函数与非负可测函数L积分的知识要点： ◇体会非负简单函数、非负可测函数L积分的定义，理解为什么它们的L积分总是存在的，并且为什么它们的L积分都可用下方图形的测度来表示； ◇能正确地区分非负简单函数L积分存在与L可积的差异；非负可测函数L积分存在与L可积的差异； ◇熟练掌握非负简单函数与非负可测函数L积分的常用基本运算性质【数乘性、加法性、不等式性质、集合的可加性和完全（可数）可加性、集合的单调性和唯一性（即几乎处处相等的非负简单函数或非负可测函数的L积分必相等）】，并能熟练地运用这些性质进行积分的运算。 ◇熟练掌握并能正确地叙述非负可测函数列L积分的两个重要的极限定理（Levi 定理和Fatou引理）；能正确地区分这两个定理各自的适用范围（Levi定理只适合于单调递增的非负可测函数列，而Fatou引理对任意的非负可测函数列都适合）；会用Levi 定理证明非负可测函数项级数的逐项积分性（Lebesgue基本定理），会用Lebesgue基本定理证明非负可测函数L积分的集合的完全可加性；会用Levi定理证明非负可测函数L可积的重要性质—积分的绝对连续性。 ◇注意体会将非负可测函数根据集合的可数不交的可测分解，借助集合的示性函数转化为非负可测函数项级数的方法； 注意体会将非负可测函数通过截断函数转化为单调递增非负可测函数列的极限的方法。 ◇会用积分的几何意义简洁地证明：非负可测函数的L积分与表示它的单调递增非负简单函数列的选取无关；以及Levi定理。 ◇ 掌握并会证明有关非负可测函数L 积分的以下几个重要的结论： ① 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()d 0E f x x =??()0..f x a e =于E （称 为非负可测函数积分值为零的特征）； ② 设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，则()()f x L E ∈?()f x 在E 上几乎处处有限（称为非负可测函数L 可积的有限性，注意L 积分存在不具有这个性质）； ③ mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的非负可测函数，{}n y 满足： n y ，lim n n y →∞ =+∞，00y =，1n n y y δ+-<， 则()()f x L E ∈?10 [()]n n n n y mE x y f x y ∞ +=≤<<+∞∑； ④（非负可测函数L 可积的积分绝对连续性）设()f x 为可测集E 上的非负可测函数，若()()f x L E ∈，则A E ??，A 为可测集，总有 lim ()d 0mA A f x x →=?， 即0ε?>，0δ?>，使得A E ??，A 为可测集，当mA δ<时，总有 0()d A f x x ε≤ 第三节函数极限与连续 一、函数极限内容网络图 二、内容与要求 1. 理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 2. 掌握函数极限的性质及四则运算法则 3. 掌握函数极限存在的夹逼准则，并会利用它求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 4. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限. 5. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. 6. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 重点函数极限的性质及四则运算法则、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） 难点函数极限的概念、函数极限的性质、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法、用等价无穷小求极限. 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．函数极限的概念 定义1.10 。 定义1.11 把1中“”换成“”。 定义1.12 把1中“”换成“”。 定理1.4 且 定义1.13 设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A， ，都有。 定义1.14 设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。 此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 定义1.15设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数 ，当时，都有。此时也可用或 表示右极限。因此可写成。 定理 1.5 且 该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 定义1.16时，都有。此时称时，是无穷大量。 而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 定义1.17 。当时，都有。 读者同理可给出定义。 注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 定义1.18 。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以 是。 定理1.6 。 其中。 定义1.19 若时，都有，称时是有界量。 第四章函数的连续性 教学目的： 1.使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念； 2.熟练连续函数的性质并能加以应用； 3.知道所有初等函数都是在其定义域上的连续函数，并能加以证明； 4.理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与这一区间上一致连续的联系与区别。 教学重点、难点：本章重点是函数连续性的概念和闭区间上连续 函数的性质；难点是一致连续性的概念与有关证明。 教学时数：14学时 § 1 函数的连续性（4学时） 教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。 教学要求： 1. 使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述； 2. 应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点； 3. 明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。 教学重点：函数连续性概念。 教学难点：函数连续性概念。 一、引入新课：通过生活和科学研究中的实例说明学习连续函数的必要性。 二、讲授新课： （一）函数在一点的连续性： 1．连续的直观图解：由图解引出解析定义. 函数在一点连续的定义: 设函数在点某邻域有定义. 2. 定义用例如 [1]P87例1和例2, P88 例3. 定义用 和 定义用先定义 定义连续的Heine定义. 定义( “ ”定义.) （注：强调函数 ”定义验证函数在点连续. 例1 用“ 例2 试证明: 若 在点连续. 则 3.单侧连续: 定义单侧连续, 并图解. Th ( 单、双侧连续的关系 ) 第四节函数的连续性及极限的应用 1?函数在一点连续的定义：如果函数f(x)在点x=X o 处有定义，lim f(x) X X o 存在，且X ini f(x)=f(x o )，那么函数f(x)在点x=x o 处连续. 2.?函数f(x)在点x=x o 处连续必须满足下面三个条件. (1) 函数f(x)在点x=x o 处有定义； (2) lin x f(x)存在； X x o (3) lim f(x)=f(x o ),即函数f(x)在点x o 处的极限值等于这一点的函 x x o 数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足， 就说函数f(x)在点x o 处 不连续?那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3函数连续性的运算： ① 若 f(x) , g(x)都在点 X o 处连续，则 f(x) 士 g(x) , f(x) ?g(x), 丄凶9(x)半0)也在点x o 处连续。 g(x) ② 若u(x)都在点X o 处连续，且f(u)在u o =u(x o )处连续，则复合函数 f[u(x)]在点X o 处连续。 4?函数f(x)在(a , b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a , b)内每一点处连续，就说函数f(x) 在开区间(a , b)内连续，或f(x)是开区间(a , b)内的连续函数. f(x)在开区间(a , b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函 数f(x)的定义域是]a , b ],若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在 并且等 于f(a),即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a), f(x) 在(a, b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b). 5?函数f(x)在［a, b］上连续的定义： 如果f(x)在开区间(a, b)内连续，在左端点x=a处有lim f(x)=f(a)， x a 在右端点x=b处有|im f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间］a, b］上连 x b 续，或f(x)是闭区间］a, b］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a, b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a, b］上有最大值和最小值? 7. 特别注意：函数f(x)在x=x°处连续与函数f(x)在x=x°处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、问题讨论 ?点击双基 1. _________________________________________________ f (x)在x=x o处连续是f (x)在x=X o处有定义的____________________ 条件. A. 充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又 第四章习题参考解答 1．设)(x f 是E 上的可积函数，如果对于E 上的任意可测子集A ， 有0)(=?dx x f A ，试证：)(x f ，].[.E e a 证明：因为}1)(|{}0)(|{1k x f x E x f x E k ≥=≠∞ = ，而N k ∈?，}1)(|{k x f x E ≥ }1 )(|{}1)(|{k x f x E k x f x E -≤≥= .由已知， =+=- ≤≥ ≥ ???k x f x E k x f x E k x f x E dx x f dx x f dx x f 1)(|{1)(|{1 |)(|{)()()( 000=+. 又因为0}1)(|{11)(0} 1 )(|{} 1 )(|{≥≥=≥ = ≥≥?? k x f x mE k dx k dx x f k x f x E k x f x E ， 0}1 )(|{1)1()(0} 1 )(|{} 1 )(|{≤-≤-=-≤=≥≥??k x f x mE k dx k dx x f k x f x E k x f x E 所以，0}1)(|{}1)(|{=-≤=≥k x f x mE k x f x mE . 故,0}1 )(|{}1)(|{}1|)(|{=-≤+≥=≥k x f x mE k x f x mE k x f x mE ,从而 00}1 |)(|{}1|)(|{[}0)(|{1 11==≥≤≥=≠∑∑∞ =∞=∞ =k k k k x f x mE k x f x E m x f x mE .即， 0)(=x f ，].[.E e a . 2.设f ，g 都是E 上的非负可测函数，并且对任意常数a ，都有 })(|{})(|{a x g x mE a x f x mE ≥=≥，试证：)()(x g x f =，从而，=?dx x f E )( dx x g E ? )(. 证明：我们证f ，g 是同一个简单函数序列∞=1){m m ψ的极限函数. N m ∈?及12,,1,0-=m m k ，令}21 )(2| {,m m k m k x f k x E E +≤≤=，并且 })(|{2,m x f x E E m m m ≥=.则k m E ,是互不相交的可测集， 并且k m m k E E m ,21 == ，定义简单函数 第四节 函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义， lim x x →f (x )存在，且0 lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续. 2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件. (1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0 lim x x →f (x )存在； (3)0 lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点 的函数值. 如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0 处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)， ) ()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。 ②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。 4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义： 如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数 f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数. f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在 函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限 存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a ，b )内的每一点处连续，在a 点处右极限存在等于f (a )， 在b 点处左极限存在等于f (b ). 5.函数f (x )在［a ，b ］上连续的定义： 如果f (x )在开区间(a ，b )内连续，在左端点x =a 处有 + →a x lim f (x )=f (a )，在右端点x =b 处有- →b x lim f (x )=f (b ),就说函数f (x ) 在闭区间［a ，b ］上连续,或f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数. 6. 最大值最小值定理 如果f (x )是闭区间［a ，b ］上的连续函数，那么f (x )在闭区间［a ，b ］上有最大值和最小值 7.特别注意：函数f(x)在x=x 0处连续与函数f(x)在x=x 0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、 问题讨论 ●点击双基 （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 解析：f （x ）在x =x 0处有定义不一定连续. 答案：A 第四章 函数的连续性 练 习 题 第一节 连续性概念 1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续： .)()2(; 1 )()1(x x f x x f == 2. 指出下列函数的间断点并说明其说明类型： ); sgn(cos )()5(|;|sgn )()4(|];cos [|)()3(; | |sin )()2(;1)()1(x x f x x f x x f x x x f x x x f ====+= ?? ?-=; , ,,)()6(为无理数为有理数x x x x x f （7）??? ? ???+∞<<--≤≤--<<-∞+=. 1,11sin )1(17,,7,71 )(x x x x x x x x f 3. 延拓下列函数, 使其在R 上连续： x x x f x x x f x x x f 1 c o s )()3(;c o s 1)()2(; 28 )()1(2 3=-= --= 4. 证明：若f 在点0x 连续, 则2||f f 与也在点0x 连续, 又问: 若2 ||f f 与在I 上连续, 那么f 在I 上是否必连续？ 5. 设当).0()0(),()(0g f x g x f x ≠≡≠而时证明：f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续. 6. 设f 为区间I 上的单调函数, 证明：若I x ∈0为f 的间断点, 则0x 必是f 的第一类间断点. 7. 设函数f 只有可去间断点, 定义 ).(lim )(y f x g x y →= 证明g 为连续函数. 8. 设f 为R 上的单调函数, 定义 )0()(+=x f x g 证明g 在R 上每一点都右连续. 9. 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数： (1) 只在 4 1 31,21和三点不连续的函数； (2) 只在 4 1 31,21和三点连续的函数； (3) 只在 ),3,2,1(1 =n n 上间断的函数； (4) 只在0=x 右连续, 而在其他点都不连续的函数. 第二节 连续函数的性质 1．讨论复合函数g f 与f g 的连续性, 设 （1）2 1)(,sgn )(x x g x x f +== （2）( ) x x x g x x f 2 1)(,sgn )(-== 2．设g f ,在点0x 连续, 证明： （1）若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >； (2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥. 第一章函数的极限与函数的连续性 一、学习目的与要求 1、了解函数极限的￡ —S定义，会用它证明一些简单函数的极限。 2、了解无穷小，无穷大的概念。掌握无穷小的比较。 3、掌握极限运算法则；了解两个极限存在准则；会用两个重要极限求极限。 4、加深理解函数在一点连续的概念，会讨论函数的连续性，会判断间断点的类型。 5、了解在闭区间上连续函数的性质。 二、学习重点 函数极限的概念及计算 三、内容提要 1、数列极限与函数极限 （I）概念综述 设u,v表示数列变量X n或函数变量，在同一个极限过程中lim u二A,lim v = B,该极限过程可 1 2 商规则：lim _ =lim u / lim v(lim 0) v 比较性质 (1) 若 u > v ，贝U lim u > lim v (2) 若lim u > lim v ,则在某个范围 X 上有u >v 有界性质 (1) 若 {X n }收敛，则{X n }有界 (2) 若limu(x)=A ，则u(x)在某个范围X 上有界。 存在性质 (1) 单调有界准则：单调有界数列必是收敛数列。 (2) 夹逼准则：若u v ,且u 、v 趋于A ，则⑷亦趋于A (三个 变量u 、v 、国极限过程相同)。 注 的形式与极限过程相关，当 U 、v 是数列时，X ={n|n > N} , 是某个自然数; 1 l x m o xsin ;= , 1 lim e x 不存在, x (IV )极限之间的联系 (1) lim f(x)=A ：= lim f(x)=A = lim f(x) i x o 十 x T x o — (2) lim f (x) = A lim f (x) lim f(x)二 A. X - X ) - . X (3) lim f (x) = —对任意趋于 X o 的数列 X n ，有 ”m_f(X n )二 A v 是函数变量， 极限过程是X — xj 时, X =(Xo - ：-,Xo),极限过程是 x > X o 时,X 二U(X o ,、J ，其余类推。 (III )基本极限公式 lim 0, n t ：n lim ( 一 n 1 — n) = 0, n 「 1 lim (1 )n = e , + n lim Q n = lim =1(a > 0) n n j ：: lim ( . n 2 n n _. lim (-1)不存在 n —jpc 1 lim (1 X )，=e, X 0 lim (1 丄广=e, x r ：： x X n X 叫 X Hx lim 凶不存在。 x 10 x函数的极限及函数的连续性典型例题
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