概率统计复习提纲

概率统计复习提纲

第一章 随机事件及其概率

1、 随机事件的表示和随机事件之间的关系与运算

2、 会求古典概型中事件的概率

3、 加法公式和乘法公式，事件的互斥性，对立性和独立性

4、 条件概率

5、 全概率公式和贝叶斯公式

6、 独立实验序列概型，n 重伯努力试验

第二章 随机变量及其分布 一. 一维随机变量及其分布 1、 一维离散型随机变量

（1）求一维离散型随机变量X 的分布律

3,2,1,}{===k p x X P k k

（2）根据分布律求一维离散型随机变量X 的分布函数{}x X P x F ≤=)( （3）利用分布函数)(x F 求{}b X a P ≤<，即{})()(a F b F b X a P -=≤<

（4）了解常见的离散型随机变量的分布：两点分布、等可能分布、二项分布、泊松分布等 2、一维连续型随机变量

（1）已知一维连续性随机变量X 的密度函数)(x f ，求随机变量X 的分布函数)(x F ，即

dt t f x F x

?∞

-=)()(

(2) 已知一维连续性随机变量X 的分布函数)(x F ，求随机变量X 的密度函数)(x f ，即

)()('x F x f =，x 为连续点

（3）利用分布函数)(x F 求{}b X a P ≤<，即{})()(a F b F b X a P -=≤< （4）利用密度函数)(x f 求{}b X a P ≤<，即{}dt t f b X a P b

a

?

=

≤<)(

（5）了解常用的连续型随机变量的分布：均匀分布、指数分布、正态分布等。 （6）正态分布的知识点：

a. 若X 服从标准正态分布)1,0(N ，会查表求)()(}{a b b X a P ΦΦ-=≤<

b. 若X 服从标准正态分布),(2

σμN ，会查表求

)(

)(

}{

}{σ

μ

σ

μ

σ

μ

σ

μ

σ

μ

---=-≤

-<

-=≤

c. 若X 服从标准正态分布)1,0(N ,αz 称为标准正态分布上的α分位点，其中αz 满足

{}10,<<=>αααz X P

二 二维随机变量及其分布 1、 二维离散型随机变量),(Y X

（1）求二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律{}

,2,1,,,====j i p y Y x X P ij j i （2）利用二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律{}

,2,1,,,====j i p y Y x X P ij j i ，求),(Y X 分别关于X 的边缘分布律

{}{} ,2,1,,1

1

=======?∞

=∞=∑∑i p p y Y x X P x X P i j ij j j i i

和关于Y 的分布律

{}{} ,2,1,,1

1

=======?∞

=∞=∑∑j p p y Y x X P y Y P j i ij i j i j

（3）利用二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律{}

,2,1,,,====j i p y Y x X P ij j i 判断X 与Y 的相互独立性（满足{}{}{}

j i y Y P x X P y Y x X P j i j i ,,,?=?====） （4）在X 与Y 相互独立的前提下，由X 的分布律{} ,2,1,===i p x X P i i 和Y 的分布律{}

,2,1,===j p y Y P j j 求),(Y X 的联合分布律

{} ,2,1,,,====j i p y Y x X P ij j i

2、二维连续型随机变量),(Y X

（1）已知二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f ，求),(Y X 的联合分布函数),(y x F ，即

dudv v u f y x F x

y

?

?

∞-∞

-=),(),(

（2）已知二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数),(y x F ，求),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f ，即

),(,)

,(),(2y x y

x y x F y x f ???=为连续点

（3）已知二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f ，求),(Y X 落在某个区

域G 的概率{}G Y X P ∈),(，即

{}??=∈G

dxdy y x f G Y X P ),(),(

（4）利用二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f ，求),(Y X 关于X 的边缘密度函数

dy y x f x f X ?+∞

∞

-=),()(

和),(Y X 关于X 的边缘密度函数

dx y x f y f Y ?+∞

∞

-=),()(

（5）利用二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数),(y x f 及两个边缘密度函数)(x f X ，)(y f Y 判断X 与Y 的相互独立性（满足条件),(y x f ＝)(x f X ?)(y f Y ）。 （6）在已知X 与Y 相互独立的前提下，由X 与Y 的概率密度函数)(x f X ，)(y f Y 求),(Y X 的联合概率密度函数，即),(y x f ＝)(x f X ?)(y f Y

三 随机变量函数的分布

1、 一元随机变量函数的分布

（1）已知离散型随机变量X 的分布律，求离散型随机变量X 的函数)(X g Y =的分布律 （2）已知连续型随机变量X 的概率密度函数)(x f ，求随机变量X 的函数)(X g Y =的概率密度函数。

第三章 随机变量的数字特征

1、 会求离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望、方差、k 阶原点矩和k 阶中心

矩

2、 掌握数学期望和方差的常见的性质

3、 会计算两个随机变量的协方差和相关系数.

4、 掌握几个重要分布的数学期望和方差（两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指

数分布 正态分布等）

5、 会计算一元随机变量函数的期望和方差

第六章 抽样分布

1、统计量的定义及几个常见的统计量：

样本均值 ∑==n

i i X n X 1

1

样本方差()

∑=--=n

i i X X n S 1

2

2

11

样本标准差()

∑=--=

n

i i X X n S 1

2

11

样本k 阶原点矩∑==n i k

i k X n A 11

样本k 阶中心矩()

∑=-=n

i k

i k X

X n B 1

1

统计量n Z σμ

-=

统计量n

S X t μ

-=

统计量2

2

2

)1(σ

χS n -=

统计量

22

21

2

2

21σ

σ

S S

2、常见统计量的分布

若总体),(~2

σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的一组样本，则下列统计量的分布为：

),(~12

1n N X n X n i i σμ∑==

)1,0(~N n

X Z σμ

-=

)1(~--=

n t n

S X t μ

)1(~)1(22

2

2

--=

n S n χσχ

22

21

2

2

21σ

σ

S S ～)1,1(21--n n F

3. 常见的分布的分位点（标准正态分布，)(2

n χ分布，t 分布，F 分布 ） 第七章 参数估计

1、点估计：

矩估计 最大似然估计

2、估计的评价标准，验证估计量的无偏性

3、区间估计：单个正态总体中：

已知方差2

σ，对均值μ的区间估计 未知方差2

σ，对均值μ的区间估计 对方差2

σ进行区间估计

第八章 假设检验

单个正态总体的假设检验

1、 已知方差2

σ，检验假设00:μμ=H 2、 未知方差2

σ，检验假设00:μμ=H 3、 未知期望μ，检验假设2

02

0:σσ=H