北师大版八年级下册数学[分式的乘除(提高)知识点整理及重点题型梳理]

北师大版八年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

分式的乘除（提高）

【学习目标】

1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.

2.会分式的乘法、除法运算.

3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】

要点一、分式的乘除法

1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：

a c ac

b d bd

?=

，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：

a c a d ad

b d b

c bc

÷=?=

，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整

式.

（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约

分，然后再乘.

（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）

和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.

（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.

要点二、分式的乘方

分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：

n

n n a a b b

??

= ???（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n

n n a a b b ??= ???写成n

n a a b b ??

= ???

（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的

奇次方为负.

（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算

乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.

（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如

()2

2

2222

a b a b a b b b b ---??=≠ ???

. 【典型例题】 类型一、分式的乘法

1、（2016北京?门头沟一模）已知x －3y =0，求

()2

2

22x y

x y x xy y +?--+的值．

【思路点拨】先把分母分解因式，并运用分式的乘法法则约分、化简，再把x =3y 代入可求分式的值．

【答案与解析】 解：原式=

()

()2

2x y

x y x y +?--

=

2x y

x y

+- ∵ x －3y=0，∴ x=3y ．

∴当x=3y 时，原式=

2377

322

y y y y y y ?+==-． 【总结升华】本题考查综合运用分式的乘法法则，约分化简分式，并根据已知条件式求分式的值． 举一反三：

【变式】已知分式

2|2|(3)0a b a b -+-=+，计算222

22

a ab

a ab

b a b +--的值．

【答案】

解：

222

22222

()

()()()a ab a ab a a b a a b a b a b b a b a b b +-+-=

=-+-．

∵

2

|2|(3)0a b a b

-+-=+， ∴ 2

|2|(3)0a b -+-=，且0a b +≠，即20a -=且30b -=，解得2a =，3b =，此时50a b +=≠．

∴ 原式222439

==．

类型二、分式的除法

2、上，李老师给同学们出了这样一道题：当3x =，5-，7+时，求代数式

222122

11

x x x x x -+-÷-+的值．小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决

这个问题吗？请你写出具体的过程．

【思路点拨】分式求值问题的解题思路是先化简，再代入求值，一般情况下不直接代入，本题所给的x 的值虽然有的较为复杂，但化简分式后即可发现结果与字母x 的取值无关． 【答案与解析】

解： 22

2

2122(1)11

11(1)(1)

2(1)2

x x x x x x x x x x -+--+÷==-++--．

所以无论x 取何值，代数式的值均为

1

2

，即代数式的值与x 的取值无关．

所以当3x =，5-7+时，代数式的值都是1

2

．

【总结升华】本题实际就是一道普通的分式化简求值题，只是赋予情景，增加兴趣，要通过认真审题，领会解决问题的实质． 举一反三：

【变式】已知20a b +=，其中a 不为0，求2

2

22

2b

a a

b a b

ab a --÷

+的值.

【答案】

解：原式＝()()()()

2a a b a b a b b a a b ++-?

- ＝()22

b b a +. ∵ 20a b +=， ∴ a b 2-=.

∴ 原式＝22

2

24)2()(a

a a a =--. ∵ a 不为0， ∴ 原式＝41

.

类型三、分式的乘方

3、 （2015春?泉州校级期中）计算：

．

【思路点拨】先进行乘方运算，再计算乘法运算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=﹣

?

=﹣．

【总结升华】分式乘方时也可以先确定符号，再将分子、分母分别乘方． 类型四、分式的乘除法、乘方混合运算

4、 若m 等于它的倒数，求32222)2

.()2

2(4

44m m m m m m m -

-+÷-++的值．

【答案与解析】

解：

2223

2442().()422

m m m m m m m +++÷--- ()()()()()()()

22

32

222228

2282m m m m m m m m m m +-=-??+-+-=-

+

∵m 等于它的倒数，

∴1

,m m

=

解得1m =± ∴1m =时，原式＝124；1m =-时，原式＝3

8

-.

【总结升华】乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算．有乘方的，先算乘方，注意符号的处理. 举一反三：

【变式】（2014春?安县校级月考）化简：．

【答案】 解：原式=﹣?

?

=﹣

．