数理统计作业答案

1、设总体X 服从正态分布),(2

σμN ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 为其样本，2≥n ,则下列说法中正确的是（ D ）。

（A ）

∑=-n

i i

X

n

1

2

2

)(μσ是统计量 （B ）

∑=n

i i

X

n

1

22

σ是统计量

（C ）

∑=--n

i i X n 1

2

2

)(1μσ是统计量 （D ）

∑=n

i i X n

1

2

μ

是统计量

2、设两独立随机变量)1,0(~N X ，)9(~2

χY ，则

Y

X 3服从（ C ）。

)(A )1,0(N )(B )3(t )(C )9(t )(D )9,1(F

3、设两独立随机变量)1,0(~N X ，2

~(16)Y χ

C ）。 )(A )1,0(N )(B (4)t )(C (16)t )(

D (1,4)F

4、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ A ）.

)

(A ∑

-=-1

1

1

1n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n i i X n 2

1 )(D ∑-=1

11n i i X n 5、设4321,,,X X X X 是总体2

(0,)N σ的样本，2

σ未知，则下列随机变量是统计量的是（ B ）.

（A ）3/X σ； （B ）

4

1

4i

i X

=∑； （C ）σ-1X ； （D ）

4

2

21

/i

i X

σ=∑

6、设总体),(~2

σμN X ，1,,n X X L 为样本，S X ,分别为样本均值和标准差，则下列正确的是（ C ）.

2() ~(,)A X N μσ 2()

~(,)B n X N μσ 222

1

1

()

()~()n

i i C X n μχσ=-∑

)

()

~()X D t n S

μ-

7、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X ???是来自总体的简单随机样本，则下列随机变量不是统计量为（ C ） ( A ) . 12X X +

( B )

{}max ,15i X i ≤≤

( C ) 52X p + ( D ) ()2

51X X -

8、设1,,n X X ???为来自正态总体2

(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。则2

σ的最大似然估计量为

（ B ）。

（A ）∑=-n i i X n 12)(1μ （B ）()2

1

1∑=-n i i X X n （C ）∑=--n i i X n 12

)(11μ（D ）()∑=--n i i

X X n 1211 9、设总体),(~2

σμN X ，1,,n X X ???为样本，S X ,

服

从（ D ）分布.

2

() (,)A N μσ 2

() (,)B N n

σμ () ()C t n () (1)D t n -

10、设1,,n X X ???为来自正态总体2

(,)N μσ的一个样本，μ，2σ未知。则2

σ的置信度为1α-的区

间估计的枢轴量为（ C ）。

(A)

()

2

1

2

n

i i X μσ

=-∑ (B)

()

2

1

2

n

i i X μσ

=-∑ (C)

()∑=-n

i i

X X

1

2

2

1

σ

(D)

()

2

1

20

n

i i X X σ

=-∑

11、在假设检验中，下列说法正确的是（ A ）。

(A) 如果原假设是正确的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第一类错误； (B) 如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误； (C) 第一类错误和第二类错误同时都要犯；

(D) 如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误。 12、对总体2

~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义 是指这个区间（ D ）。

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 13、设?θ是未知参数θ的一个估计量，若?E θθ≠，则?

θ是θ的（ B ）。 (A)极大似然估计 (B) 有偏估计 (C)相合估计 (D) 矩法估计 14、设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中

正确的是( A ).

（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 15、设总体2~(,)X N μσ，2σ未知，12,,

,n X X X 为样本，2S 为修正样本方差，则检验问题：

00:H μμ=，10:H μμ≠（0μ已知）的检验统计量为（ D ）.

（A

）

)

0X S μ-（B

）

)

0X μσ- （C

）

)

0X μσ-（D

）

)

0X S

μ-.

16、设总体X 服从参数为λ的泊松分布()P λ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本， 则=X D /n λ．

17、设321,,X X X 为来自正态总体),(~2

σμN X 的样本，若321cX bX aX ++为μ的一个

无偏估计，则=++c b a ___1__。

18、设),(~2

σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩 估计值为 1.71 。

19、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，μ未知。n X X X ,,,

21 为来自总体的样本，则对

假设202

0σσ

=：H ；2021σσ≠：H 进行假设检验时，通常采用的统计量是

2

20

(1)n S σ

-，它

服从2

χ分布， 自由度为1n -。 20、设总体)4,1(~N X ,1210, ,

, X X X 为来自该总体的样本，10

1

110i i X X ==∑,则()D X =2/5

21、我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的特点是独立性，代表性 ． 22、已知0.9(8,20)2F =，则0.1(20,8)F = 1/2 ．

23、设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 21X - ． 24、检验问题：()()00:H F x F x =，()()00:H F x F x ≠（()0F x 含有l 个未知参数）的

皮尔逊2

χ检验拒绝域为 ()()2

211?1?r i i i i n np n l np αχ-=??-??>--??????

∑ ． 25、设621,,,X X X 为来自正态总体)1,0(N 的简单随机样本，设

26542321)()(X X X X X X Y +++++=

若使随机变量CY 服从2χ分布，则常数=C 1/3 ．

26、设由来自总体2

(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度 为0.95的置信区间是 (4.412,

5.588)（0.975 1.96μ=）.

27、若线性模型为()2

0,,n Y X E Cov I βεεεεσ=+??==?

，则最小二乘估计量为 ()1?X X X Y β-''= ． 28、若样本观察值1,,m x x L 的频数分别为1,,m n n L ，则样本平均值为 1

1m

j j j x n x n ==∑ ．

29、若样本观察值1,,m x x L 的频数分别为1,,m n n L ，则样本方差为 2

2

n 1

1()m j i j s n x x n ==-∑ ．

30、设f （t ）为总体X 的特征函数，()1,,n X X L 为总体X 的样本，则样本均值X 的特征函数

为 n

t f

n ?

?

?? ???????

． 31、设X 服从自由度为n 的2

χ-分布，则其数学期望和方差分别是 n 、2n ．

32、设()2

i i X n χ:，i=1，…，k ，且相互独立。则1k

i i X =∑服从分布 2

1k i i n χ=??

???

∑ ．

33、设总体X 服从均匀分布[0,]U θ，从中获得容量为n 的样本1,,n X X L ，其观测值为1,,n x x L ， 则θ的最大似然估计量为 ()n X ．

34、根据样本量的大小可把假设检验分为 大样本检验与小样本检验． 35、设样本1,,n X X L 来自正态总体()2

,N μσ，μ未知，样本的无偏方差为2

S

，则检验

问题2

22

200

10

:,:H H σσσσ

≤>的检验统计量为 ()22

2

1n S χσ-=． 36、对试验（或观察）结果的数据作分析的一种常用的统计方法称为 方差分析法． 37、设1217,,

,X X X 是总体(,4)N μ的样本，2S 是样本方差，若2()0.01P S a >=，

则a =___8__.（2

0.99(16)32.0χ=）

38、设总体X 的密度函数为 ()36(),0;

0,

.x

x x p x θθθ?-<

则θ的矩估计量为___?2X θ

=__. 39、设总体X 的概率密度为(),

01,

1,

12,0,.

x p x x θθ<

=-≤

其他，其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n

为来自总体X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为_3

2

X -__. 40、设总体X 的分布函数为

F （x ,β）=11,1,

0,

1.x x

x β?

->???≤? 其中未知参数β>1，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本，则β的最大似然估计量__1

?ln n

i

i n

X

β

==∑___.

41、设测量零件的长度产生的误差X 服从正态分布2

(,)N μσ，今随机地测量16个零件，得

16

1

8i

i X

==∑，16

21

34i i X ==∑. 在置信度0.95下，μ的置信区间为_（0.2535,1.2535-）_.

0.950.975((15) 1.7531,(15) 2.1315)

t t == 42、设由来自总体2

(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是 (4.412,

5.588)（0.975 1.96μ=）.

43、设总体X 服从两点分布B （1，p ），其中p 是未知参数，15,,X X L 是来自总体的简单随机样本。指出{}()2

12551,max ,15,2,i X X X i X p X X +≤≤+-之中哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？

解：{}()2

1251,max ,15,i X X X i X X +≤≤-都是统计量，52X p +不是统计量，因p 是未知参数。 44、设总体X 服从参数为（N ，p ）的二项分布，其中（N ，p ）为未知参数，12,,,n X X X L 为来自总体X 的一个样本，求（N ，p ）的矩法估计。

解答：因为()()()

2

2

2

,1EX Np EX DX EX Np p Np ==+=-+，只需以2

1

1,n i i X X n =∑分别代

2

,EX EX 解方程组得22

2

??,1n n S X N p X S X

==--。 45、设12,,,n X X X L 是取自正态总体()

2,N μσ的一个样本，试问()22

1

11n

i i S X X n ==--∑是2σ的相合估计吗？ 解：由于

()2

2

1n S σ

- 服从自由度为

n-1的2

χ-分布，故

()

()()4

4

2

2

2

2

2,2111ES DS n n n σσσ==?-=--， 从而根据车贝晓夫不等式有

(

)

()2

422

2

2

2001n DS P S n σσεεε

→∞

≤-≥≤

=???→-，所以()22111n i i S X X n ==--∑是2σ的相合估计。

46、设连续型总体X 的概率密度为()()2

2,0

,00, 0x

x e x p x x θθθθ-??>=>??≤?

, 12,,,n X X X L 来自总体X 的

一个样本，求未知参数θ的极大似然估计量?θ

，并讨论?θ的无偏性。 解：似然函数为

()()2

2

1

2

1

1

221

1

,ln ln ln ,

2n

i i i n

n

x x i

i

n

n

i

i i i n

i i x

x

x L e

e

L n x θ

θ

θθθθ

θ

θ

=--

====∑==

=-+-

∏∑∏

∏()2

12ln 2n

i

i x

d L n d θθθθ

==-+∑，令

()ln 0d L d θθ=，得21

?2n

i

i X

n

θ==∑.由于

()2

2

22

2221

2200

11?222222n

x x i

i EX

x

x x E EX x e dx e d n

θ

θ

θ

θθθθ

θ

θ

-

-

∞

∞

======Γ=∑??

， 因此θ的极大似然估计量?θ

是θ的无偏估计量。 47、随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。 若已知σ=0.01（厘米），试求总体均值μ的0.9的置信区间。（0.95 1.65u =）

解：()2

2

1

0.01, 2.14 2.10 2.11 2.12516

x σ==

+++=L ，置信度0.9，即α=0.1，查正态分布数值表，知()()1/21.650.95u α-Φ=Φ=, 即()

1.6510.90P U α≤=-=,从而

1/20.951.6

u u α-

==1/2 1.650.004α-=

=，所以总体均值μ的0.9的置信区间为

[][]1/21/2, 2.1250.004,2.1250.004 2.121,2.129x x αα--??=-+=?

???

48、甲、乙两台机床分别加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布()2

1

1

,N

μσ与()22

2

,N μσ，为比

较两台机床的加工精度有无显著差异。从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径，结果如下：

试问在α=0.05水平上可否认为两台机床加工精度一致？（0.9750.9756,7 5.12,7,6 5.70.F F ==）

解：首先建立假设：

2222

012112:,:H H σσσσ=≠

在n=8，m=7, α=0.05时,

()()

()0.0250.9750.97511

7,60.195,7,6 5.70.6,7 5.12

F F F =

=

== 故拒绝域为{}0.195, 5.70F or F <>, 现由样本求得2

1s =0.2164，2

2s =0.2729，从而F=0.793，未落入拒绝域，因而在α=0.05水平上可认为两台机床加工精度一致。

49、为了检验某药物是否会改变人的血压，挑选10名试验者，测量他们服药前后的血压，如下表所列：

假设

服药后与服药前血压差值服从正态分布，取检验水平为0.05，从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论？

解：以X 记服药后与服药前血压的差值，则X 服从()2

,N

μσ，其中2

,μσ

均未知，这些资料中可

以得出X 的一个样本观察值：6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2

待检验的假设为

01:0,:0H H μμ=≠ 这是一个方差未知时，对正态总体的均值作检验的问题，因此用t 检验法

当

()1/21T t n α-=

≤-时，接受原假设，反之，拒绝原假设。依次计算有

()()()()

22

2116872 3.1,6 3.12 3.117.6556

101x s =

++++==-++-=-L L ， 2.3228t ==，

由于()()1/20.97519 2.2622t n t α--==， T 的观察值的绝对值 2.3228 2.2622t =>. 所以拒绝原假

设，即认为服药前后人的血压有显著变化。

50、为了研究患慢性支气管炎与吸烟量的关系，调查了272个人，结果如下表：

试问患慢性支气管炎是否与吸烟量相互独立（显著水平α=0.05）？

解：令X=1表示被调查者患慢性气管炎，X=2表示被调查者不患慢性气管炎，Y 表示 被调查者每日的吸烟支数。

原假设H 0：X 与Y 相互独立。根据所给数据有：

51、设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料：

解：样本容量为n=100，样本均值，样本方差，样本修正方差分别为

()()2222

22222033061522031

3.85,1001 3.85 1.9275,100

100100 1.9275 1.94696930619995.

9n n x s s s ??????=

==-===?=L L L ++++++ 52、设总体服从泊松分布P （λ），1,,n X X L 是一样本： （1）写出1,,n X X L 的概率分布； （2）计算2

,n EX DX ES 和；

（3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本均值, 样本方差和次序统计量的观察值。 （1）写出1,,n X X L 的概率分布；

解：

,2,1,0,!

!

)(,2,1,0,,2,1,0,!

)(1

1

1

n 11

==

=======

=-=∑-==-∏∏

∏=i n n

i i

x x

i i x i i n

i i i i i x

i i x e

x e

x x X p n i x X P X X x e x x x P i

n

i i

i

λ

λ

λλ

λ

λλ）（的概率分布为

所以因为：

（2）计算2

,n EX DX ES 和；

解：λλλλn

n DX n n ES n n DX X D EX X E DX EX n 11,,,2

-=-===

====所以因为 （3）设总体容量为10的一组样本观察值为（1，2，4，3，3，4，5，6，4，8）试计算样本 均值, 样本方差和次序统计量的观察值。 解：

4

9106.3410114

10

4012222101221

2

1===-=-====∑∑∑===s s s n i i i n i n i n i x x x n x n x

53、设17,,X X L 为总体X 服从()0,0.25N 的一个样本，求7214i i P X =??> ???

∑.（()2

0.975716.0128χ=）

解： 因每个i X 与总体X 有相同分布，故020.5i i X X -=服从()0,1N ，则2

77

211

040.5i i i i X X ==-??

= ???∑∑服从自由度n=7的2

χ-分布。因为77722211144161416i i i i i i P X P X P X ===??????

>=>=-≤ ? ? ???????∑∑∑，查表

可知()2

0.975716.0128χ=, 故72140.025.i i P X =??>= ???

∑

54、设总体X 具有分布律

其中θ(0<θ<1)为未知参数。已知取得了样本值x 1=1，x 2=2，x 3=1，试求θ的最大似然估计值。 解：似然函数}1{}2{}1{}{)(3213

1

======

∏=X P X P X P x X

P θL i i i

)

1(2)1(25

22θθθθθθ-=?-?=

ln L (θ )=ln2+5ln θ+ln(1－θ) 求导

011

65)(ln =--=θ

θd θL d 得到唯一解为6

5

?=θ

55、求均匀分布],[21θθU 中参数21,θθ的极大似然估计． 解：由X 服从[a ，b]上的均匀分布，易知

()()2

22

2,2122b a a b a b EX EX DX EX -++??==+=+ ?

??

求a ，b 的矩法估计量只需解方程

(

)

2

2???

?,2

12

n b a a

b X S -+==

, 得??,n n

a X

b X == 56、为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A 的9个学生，得分数的平均值为31.81=A x ，方差为76.602

=A s ；随机地抽取学校B 的15个学生，得分数的平均值为

61.78=B x ，方差为24.482

=B

s 。设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立。求均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间。（()0.975227.266t =）

解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差B A μμ-的置信水平为0.95的置信区间为

()???? ?

?+±=???? ??-++±-)22(151917.2)2(11975.021975.021t s n n t n n s x x w w B A

???

? ???+?±=???? ??+±=0739.2151

91266.77.2)22(151917.2975.0t s w ()()05.9,65.335.67.2-=±=

57、设A ，B 二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量值的修

正方差分别为220.5419,0.6065A B s s ==，设2A σ和2

B σ分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比22

/A B σσ的0.95的置信区间。

解：n=m=10, 1-α=0.95，α=0.05,

()()()()

1/20.975/21/21

1,19,9 4.03,1,10.24181,1F n m F F n m F m n ααα----==--=

=--,

从而

()()22221/2/211

0.541910.54191,,1,11,10.60654.030.60650.241[0.2223.601]8A A B B S S S F n m S F n m αα-????==????

----??

??，故方差比22

/A B σσ的0.95的置信区间为[0.222，3.601]。

58、某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差66.1=σ，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下：146，141，135，142，140，143，138，137，142，136

设样本来自正态总体),(2

σμN ，2

,σμ均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取05.0=α）：

22122066.1:,66.1:≠=σσH H 。

解答：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题。 检验统计量为

2

2

2

66.1)1(S n -=χ。

代入本题中的具体数据得到2

2

(101)12

39.1931.66

-?χ=

=。 检验的临界值为022.19)9(2

975.0=χ。

因为2

39.19319.022χ=>，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设0H ，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.66。

59

试在α=0.05水平上检验失业人员的性别与文化程度是否有关。（()2

0.9537.815χ=） 解：这是列联表的独立性检验问题。在本题中r=2，c=4，在α=0.05下，

()()()()220.950.95

1137.815r c χχ--==, 因而拒绝域为：{}27.815W χ=≥. 为了计算统计量(3.4)，可列成如下表格计算../i j n n n ?：

()()()2

2

2

24036.82023.2625644.47.23636.8

23.2

644.4

χ---=

+

++

=L

,

由于2

χ=7.326<7.815，样本落入接受域，从而在α=0.05水平上可认为失业人员的性别与文化程度无

关。

60、设总体X 具有贝努里分布b （1，p ），p ∈Θ=（0，1），1,,n X X L 是一样本，试求p 的无偏估计的方差下界。

解： 由于(), 1

,,1, 0p x f x p p x =?=?

-=?

容易验证定理2.2.2的条件满足，且

()()()()2

1

0ln ,1

,1i i

x f x p I p f x p p p p =???== ??-??

∑， 所以方差下限是()()11

p p nI p n

-=

. 大家知道11n i i v

X X n n ===∑ (ν表示“１”发生的频率)是p 的无偏估计，而()

1p p p D X n

-=达到罗－克拉美不等式的