c01曲线与方程

2.1.1&2.1.2 曲线与方程

知识要点

解析几何的主要思想：

引入坐标系，利用代数的方法研究几何问题

曲线：适合某种条件的点的集合或轨迹

一、曲线与方程的概念

函数图象与函数解析式的关系：

（1）函数图象上每一点的坐标都满足函数解析式

（2）满足函数解析式的每一点都在函数图象上

直线（圆）与直线（圆）方程的关系：

（1）直线（圆）上每一点的坐标都满足直线（圆）的方程

（2）以方程的解为坐标的点都在直线（圆）上

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.

于是，方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线.

二、典型例题

在直角坐标系中，把曲线C 上的点与一个二元方程(,)0f x y =的有序实数解建立关系： 注1：点00(,)P x y 在曲线:(,)0C f x y =上00(,)0f x y ?=. 例1（1）

“曲线C 上的点的坐标都满足(,)0F x y =”是“方程(,)0F x y =是曲线C 的方程”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 （2）下列命题正确的是（ ） A ．到x 轴距离为5的点的轨迹方程是5x = B ．方程1x y

=表示的曲线是直角坐标平面上第一、三 象限的角平分线 C ．方程22()(1)0x y xy -+-=表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D ．曲线22

2320x y x m --+=过原点的充要条件是0m =

平面解析几何的两个主要问题：

（1）求出表示平面曲线的方程；

（2）利用方程研究平面曲线的性质.

小结：

1.曲线与方程的概念

2.求曲线方程的一般步骤：

建系、设点、列式、代入、化简、证明、补充说明 特殊方法：相关点法、定义法等

例2 已知点A 与B 为平面内两定点，若平面内动点P 到点A 与B 的距离之比||1||2PA PB =，求动点P 的轨迹. 例3 已知点A (10,0)与圆22:16O x y +=，设点P 是圆O 上一动

点，求线段PA 中点M 的轨迹方程.