第1章 第四节 条件概率

苏教版九年级上册数学[等可能条件下的概率--知识点整理及重点题型梳理]

苏教版九年级上册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 等可能条件下的概率--知识讲解 【学习目标】 1.知道试验的结果具有等可能性的含义； 2.会求等可能条件下的概率； 3.能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率. 【要点梳理】 要点一、等可能性 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 要点二、等可能条件下的概率 1.等可能条件下的概率 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A 发生，那么事件A发生的概率P（A）=m n （其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n 是指所有等可能出现的结果数）. 当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率. 2.等可能条件下的概率的求法 一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是： （1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等； （2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m； （3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=m n . 要点三、用列举法计算概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.

概率密度估计

1、概率密度函数 在分类器设计过程中（尤其是贝叶斯分类器），需要在类的先验概率和类条件概率密度均已知的情况下，按照一定的决策规则确定判别函数和决策面。但是，在实际应用中，类条件概率密度通常是未知的。那么，当先验概率和类条件概率密度都未知或者其中之一未知的情况下，该如何来进行类别判断呢？其实，只要我们能收集到一定数量的样本，根据统计学的知识，可以从样本集来推断总体概率分布。这种估计方法，通常称之为概率密度估计。它是机器学习的基本问题之一，其目的是根据训练样本来确定x（随机变量总体）的概率分布。密度估计分为参数估计和非参数估计两种。 2、参数估计 参数估计：根据对问题的一般性认识，假设随机变量服从某种分布（例如，正态分布），分布函数的参数可以通过训练数据来估计。参数估计可以分为监督参数估计和非监督参数估计两种。参数估计当中最常用的两种方法是最大似然估计法和贝叶斯估计法。 监督参数估计：样本所属类别及条件总体概率密度的形式已知，表征概率密度的某些参数是未知的。 非监督参数估计：已知样本所属的类别，但未知总体概率密度函数的形式，要求推断出概率密度本身。 3、非参数估计 非参数估计：已知样本所属的类别，但未知总体概率密度函数的形式，要求我们直接推断概率密度函数本身。即，不用模型，只利用训练数据本身来对概率密度做估计。 非参数估计常用的有直方图法和核方法两种；其中，核方法又分为Pazen窗法和KN近领法两种。

概率密度估计--参数估计与非参数估计 我们观测世界，得到了一些数据，我们要从这些数据里面去找出规律来认识世界，一般来说，在概率上我们有一个一般性的操作步骤 1. 观测样本的存在 2. 每个样本之间是独立的 3. 所有样本符合一个概率模型 我们最终想要得到的是一个概率密度的模型，有了概率密度模型以后，我们就可以统计预测等非常有用的地方，因此，首要任务是找出一些概率分布的概率密度模型。 我们来分析一下上面的三个步骤，第一第二都很好解决，关于第三点，我们可以有不同的处理方式 如果我们已经对观测的对象有了一些认识，对观测的现象属于那种类型的概率密度分布已经了解了，只是需要确定其中的参数而已，这种情况就是属于参数估计问题。 如果我们研究观测的对象，也很难说这些观测的数据符合什么模型，参数估计的方法就失效了，我们只有用非参数估计的办法去估计真实数据符合的概率密度模型了。 因此，本文主要讨论参数估计和非参数估计问题

高中数学北师大版选修12第一章统计案例第3课时条件概率与独立事件精品学案

第3课时条件概率与独立事件 1.理解相互独立事件的定义,掌握相互独立事件同时发生的概率的计算方法. 2.理解条件概率的概念,会应用条件概率的计算公式求概率. 3.培养学生分析问题和解决问题的能力. 重点:条件概率与独立事件的概念、特征以及求其概率的方法. 难点:条件概率的求法. 某人有两个孩子,那么他的两个孩子都是女孩的概率是.如果在已知他的一个孩子是女孩的情况下,他的两个孩子都是女孩的概率还是吗? 问题1:在创设情境中,已知他的一个孩子是女孩,求他的两个孩子都是女孩的概率是一个条件概率问题. 一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B 发生的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率. 问题2:相互独立事件 事件的相互独立性:事件A(或B)是否发生,对事件B(或A)发生的概率没有影响,即P(B|A)=P(B),这样两个事件叫作相互独立事件. 问题3:如果A、B相互独立,那么A、B、、中相互独立的有哪些? 如果A,B相互独立,可以得如下3对:A与,与B,与也相互独立. 问题4:相互独立事件的性质以及事件独立性的推广 (1)两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即P(AB)=P(A)·P(B). (2)如果事件A1,A2,A3,…,A n是相互独立的,那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积,即P(A1A2A3…A n)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n). 互斥事件与相互独立事件的区别 两事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生;两事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响.两个相互独立事件不一定互斥,即可能同时发生,而互斥事件不可能同时发生. 1.已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于(). A.B.C.D. 【解析】P(AB)=P(A)·P(B|A)=×=. 【答案】D 2.将两枚质地均匀的骰子各掷一次,设事件A={两个点数互不相同},B={出现一个5点},则P(B|A)等于(). A. B. C. D. 【解析】出现点数互不相同的共有6×5=30种,出现一个5点共有5×2=10种, ∴P(B|A)==. 【答案】A 3.设P(A|B)=P(B|A),P(A)=,则P(B)的值为. 【解析】∵P(A|B)=,P(B|A)=,∴P(B)=P(A)=. 【答案】 4.某班有学生40人,其中共青团员15人,全班分成四个小组,第一小组有学生10人,其中共青团员4人.现在要在班内任选一名共青团员当团员代表,求这个代表恰好在第一小组的概率. 【解析】设在班内任选一名学生,该学生是共青团员为事件A,在班内任选一名学生,该学生恰好在第一小组为事件B,则所求概率为P(B|A).又P(B|A)===. 所以所求概率为.

概率论与数理统计第一章04 第四节 条件概率

第四节 条件概率 教学目的 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法原理，掌握全概率公式和贝叶斯公式。 教学重点 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法原理，掌握全概率公式和贝叶斯公式。 教学难点 条件概率的概念的理解，乘法公式，全概率公式以及贝叶斯公式的应用。 教学内容 一、 条件概率的概念 引例 一批同型号的产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表： （1） 从这批产品中随意地取一件，则这件产品为次品的概率为多少？ （2） 当被告知取出的产品是甲厂生产的时，那么这件产品为次品的概率又是多大？ 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率。如在事件A 发生的条件下，求事件B 发生的条件概率，记作)|(A B P 。 二、条件概率的定义 定义1 设B A ,是两个事件, 且0)(>A P , 则称 ) ()()|(A P AB P A B P = (1) 为在事件A 发生的条件下，事件B 的条件概率。相应地，把)(B P 称为无条件概率。一般地，)|(A B P )(B P ≠。 性质 例1 一袋中装有10个球, 其中3个黑球, 7个白球, 先后两次从袋中各取一球(不放回) (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也是黑球的概率. 注: （1） 用维恩图表达(1)式.若事件A 已发生,则为使B 也发生,试验结果必须是既在A 中又在B 中的样本点,即此点必属于AB .因已知A 已发生,故A 成为计算条件概率)|(A B P 新的样本空间. （2） 计算条件概率有两种方法: a) 在缩减的样本空间A 中求事件B 的概率，就得到)|(A B P ； b) 在样本空间S 中，先求事件)(AB P 和)(A P ，再按定义计算)|(A B P 。 例2 袋中有5个球, 其中3个红球2个白球. 现从袋中不放回地连取两个. 已知第一次取得红球时, 求第二次取得白球的概率。 三、乘法公式 由条件概率的定义立即得到: )0)(()|()()(>=A P A B P A P AB P (2) 注意到BA AB =, 及B A ,的对称性可得到:

《等可能条件下的概率计算》教案

《等可能条件下的概率计算》教案 教学目标 1、在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型. 2、进一步理解等可能事件的意义，会列出一些类型的随机实验的所有等可能结果(基本事件)，会把事件分解成等可能的结果(基本事件). 3、能借助概率的计算判断事件发生可能性的大小. 4、会列出一些类型的随机试验的所有可能结果. 教学过程 情境：抛掷一只均匀的骰子一次. 问题： (1)点数朝上的试验结果是有限的吗？如果是有限的共有几种？ (2)哪一个点数朝上的可能性较大？ (3)点数大于4与点数不大于4这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？ 说明：(3)要求一个随机事件的概率，首先要弄清这个试验有多少等可能的结果.这是解决问题的关键. (1)(2)等可能事件的概率的有限性和等可能性.(让学生一一列举出来) 小结：等可能条件下的概率的计算方法: ()m P A n 其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数说明：我们所研究的事件大都是随机事件.所以其概率在0和1之间. 例1、不透明的袋子中装有3个白球和2个红球.这些球除颜色外都相同，拌匀后从中任意出1个球.问： (1)(学生讨论)会出现那些等可能的结果？ (2)摸出白球的概率是多少？ (3)摸出红球的概率是多少？ 说明： (1)制定一个随机事件的可能的结果时，n的求法容易出错.有些同学认为摸出的球不是白球就是红球，所以摸出n种颜色的球是等可能的，这是不对的；引导学生弄清这个实验有多少等可能的结果. 例2、抛掷一枚均匀的硬币2次，记录2次的结果作为一次试验，重复这样的试验十次.并在小组内交流试验的结果. 问题1：你能只通过一次试验，列出所有可能的结果吗？

《等可能条件下的概率(一)》教案

《等可能条件下的概率(一)》教案 一、设计思路 本节课，我们从抛掷一枚均匀的骰子和摸球出发，在等可能条件下，让学生充分的探索和交流，一起感悟这个古典概型的两个基本特征，即试验结果的有限性和等可能性.能够在只通过一次试验中可能出现的结果的分析研究来求出随机事件的精确值.活动设计突出古典概型的基本特征(有限性、等可能性). 二、目标设计 1、在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型. 2、进一步理解等可能事件的意义，会列出一些类型的随机实验的所有等可能结果(基本事件)，会把事件分解成等可能的结果(基本事件). 3、能借助概率的计算判断事件发生可能性的大小. 三、活动设计 情境：抛掷一只均匀的骰子一次. 问题： (1)点数朝上的试验结果是有限的吗？如果是有限的共有几种？ (2)哪一个点数朝上的可能性较大？ (3)点数大于4与点数不大于4这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？ 说明：(3)要求一个随机事件的概率，首先要弄清这个试验有多少等可能的结果.这是解决问题的关键. (1)(2)等可能事件的概率的有限性和等可能性.(让学生一一列举出来) 小结：等可能条件下的概率的计算方法: ()m P A n 其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数说明：我们所研究的事件大都是随机事件.所以其概率在0和1之间. 例1、不透明的袋子中装有3个白球和2个红球.这些球除颜色外都相同，拌匀后从中任意出1个球.问： (1)(学生讨论)会出现那些等可能的结果？ (2)摸出白球的概率是多少？ (3)摸出红球的概率是多少？ 说明： (1)制定一个随机事件的可能的结果时，n的求法容易出错.有些同学认为摸出的球不是白球就是红球，所以摸出n种颜色的球是等可能的，这是不对的；引导学生弄清这个实验有

九上数等可能条件下的概率

等可能条件下的概率 一、知识点梳理 知识点1、概率的定义： 表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率．知识点2、概率的表示方法： 等可能条件下的概率的计算方法：()m P A n = 说明： 1、其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数． 2、由于我们所研究的事件大都是随机事件．所以其概率在0和1之间． 概率是0表示该事件不可能发生，而概率是1则表示该事件一定发生或必然发生． 3、例如在抛掷一枚骰子的试验中，朝上的点数出现的所有等可能的结果共有6种（1、2、3、 4、 5、6）如果我们关注的“点数不大于4”，那么这一事件发生的可能结果有4种（朝 上的点数分别为1、2、3、4）所以P（点数不大于4）＝42 63 = 知识点3、等可能性： 设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件 ．．．．，每次试验有且只有 ．．．．其中 的一个 ．．结果出现，而且每个结果出现的机会均等 ．．．．，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性． 说明：无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备下列几个特征：①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有且只有一个结果出现③每个结果出现机会均等．这样的试验结果才具有等可能性． 知识点4、频率与概率 在试验中，某一事件发生的频率是指该事件出现的次数与试验的总次数的比值，而这一事件发生的概率是指该事件发生的可能性的大小． 说明： 1、一个事件发生的频率在概率的附近上下波动，试验的次数越多，事件发生的频率就越接近该事件发生的概率 2、频率是经过试验得到的结果，而概率是经过理论分析的预测值或理论值．两者是不同的．当试验的次数很多的时候，频率就趋近于概率． 知识点5、转盘与概率 从圆心开始将圆盘划分几个扇形区域，做成一个可以自由转动的安有指针的转盘，这样由于转盘转动的随机性，就可以根据指针所指向的扇形区域占整个圆面积的大小，来确定指针指向某一特定的区域的概率． 如图，指针固定在原点当转盘转动后，指针指向A、B、C、D四个区域是等可能的（因 为四个扇形的圆心角都是90度）所以指针指向每个区域的概率都是 4 1

等可能条件下的概率--知识讲解

等可能条件下的概率--知识讲解 【学习目标】 1.知道试验的结果具有等可能性的含义； 2.会求等可能条件下的概率； 3.能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率. 【要点梳理】 要点一、等可能性 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 要点二、等可能条件下的概率 1.等可能条件下的概率 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A 发生，那么事件A发生的概率P（A）=m n （其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n 是指所有等可能出现的结果数）. 当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率. 2.等可能条件下的概率的求法 一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是： （1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等； （2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m； （3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=m n . 要点三、用列举法计算概率 常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释： (1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

概率论与数理统计第一章教案.docx

精品文档 第一随机事件 一、随机象 在自然界和人社会生活中普遍存在着两象：一是在一定条件下必然出的象，称 确定性象。 例如： (1) 一物体从高度h （米）垂直下落，t （秒）后必然落到地 面，且当高度 h一定，可由公式h1gt 2得到，t2h / g （秒）。 2 (2)异性荷相互吸引，同性荷相互排斥。? 另一是在一定条件下我事先无法准确知其果的象，称随机象。例如： (1) 在 相同条件下抛同一枚硬，我无法事先知将出正面是反 面。 (2)将来某日某种股票的价格是多少。? 概率就是以数量化方法来研究随机象及其律性的一数学学科。 二、随机 了随机象的律性行研究 ,就需要随机象行重复察，我把随机象的察称随 机，并称， E 。例如，察某射手固定目行射；抛一枚硬三次 ,察出正面的次数； 某市 120 急救一昼夜接到的呼叫次数等均随机。 随机具有下列特点： (1)可重复性；可以在相同的条件下重复行； (2)可察性；果可察 ,所有可能的果是明确的； (3)不确定性：每次出的果事先不能准确知。 三、本空 尽管一个随机将要出的果是不确定的 , 但其所有可能果是明确的 , 我把随机的 每一种可能的果称一个本点 , e（或）；它的全体称本空 , S (或 ).

精品文档反面 . 本空 S={ 正面，反面 } 或121正面，2反面。 S {e , e }( e e) (2)在将一枚硬抛三次，察正面H、反面 T 出情况的中，有8 个 本点，本空： S { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH ,TTT }。 (3)在抛一枚骰子，察其出的点数的中，有 6 个本点： 1 点， 2 点， 3 点， 4 点， 5 点， 6 点，本空可S {1 ，2，3，4，5，6} 。 (4)察某交台在一天内收到的呼叫次数，其本点有无多个：i 次， i=0,1,2,3，?，本空可 S {0 ， 1， 2， 3，? } 。 (5)在一批灯泡中任意抽取一个，其寿命，其本点也有无多个(且不可 数)：t小，本空可S { t |0t}=[0,+ ] 。 注：同一个随机，的本点与本空是要根据要察的内容来确定的。 四、随机事件 在概率中，把具有某一可察特征的随机的果称事件，事件可分以下三： (1)随机事件：在中可能生也可能不生的事情。 (2)必然事件：在每次中都必然生的事件。 (3)不可能事件：在任何一次中都不可能生的事件。 然，必然事件和不可能事件都是确定性事件，方便，今后将它看作是两个特殊的 随机事件，并将随机事件称事件。 五、事件的集合表示 任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母A, B,等表示。 称含一个本点的事件基本事件；含有两个或两个以上本点的事件复合事件。然， 本空 S 作事件是必然事件，空集作一个事件是不可能事件。 六、事件的关系与运算 事件之的关系与运算可按集合之的关系和运算来理 .了方便，出下列照表：

北京航空航天大学 概率统计 邢家省 第一章(第四节续,第五节)

第四节 全概率公式与 贝叶斯公式(续) 定理 设事件组n B B B ,,,21???满足： （1）S B n i i =∑=1； （2）n B B B ,,,21???互不相容； （3）n i B P i ,,2,1,0)(???=>， (如果某0)(0=i B P ,则在概率计算中 将其去掉) 则有如下结论 (I)对任意事件A ，恒有 )|()()(1i n i i B A P B P A P ∑==; (1.10) (II)对任意事件)0)((>A P A ，有 ∑===n j j j i i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P 1)|()() |()()()()|( ,

n i ,,2,1???=,(1.11) 注:这两个公式当+∞=n 时,(条件也变为可列个事件),也有相应的公式. )|()()(1 i i i B A P B P A P ∑+∞ == , ∑∞+===1)|()()|()()()()|(j j j i i i i B A P B P B A P B P A P AB P A B P . 1. 理论意义,以后经常在论证 推导中用到; 2. 实际计算概率方法,化难为 易,解决问题; 3. 注意典型例题及在变化的情 景中灵活运用; 4. 贝叶斯公式在概率诊断, 概率推断方面有用。 例 4 在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1时,收到信号

为1、不清和0的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中0和1出现的概率分别是0.6和0.4,当收到信号不清时,原发信号是什么？试加以推测. 解 设=1B 原发信号为“0”, =2B 原发信号为“1”, =A 收到信号“不清”, 由贝叶斯公式得 ) |()()|()()|()()|(2211111B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 75.01 .04.02.06.02.06.0=?+??=, ) |()()|()()|()()|(2211222B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 25.01.04.02.06.01.04.0=?+??= . 由于收到信号不清时, 原发信号为“0”概率较之原发信号为“1”的概率为大,因此通常应推断原发信号为“0”.

等可能条件下的概率

等可能条件下的概率（一）说课稿 各位评委、老师大家好！我今天说课的题目是“等可能条件下的概率”，是苏科版义务教育课程标准试验教科书数学八年级下册第十二章第二节等可能条件下的概率第一课时内容。根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教法分析，学法分析、教学过程等四个方面来展开说课。 一、教材分析 （1）教学内容与作用 本节课是初中数学八年级第十二章第二节的内容，主要内容是随机事件中等可能条件下某事物发生的概率问题。本节内容是在学生学习了概率相关事件知识的基础上，从上节课所讲的等可能事件出发，探索随机事件发生的可能的大小为目标，为学生后面学习用列举法求概率及用频率估计概率奠定了基础。 （2）教学目标 依据课程标准的精神和要求，根据教材的地位、作用，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，我确定了如下教学目标： 知识与技能：使学生在具体情境中了解概率的意义，能够运用概率的定义求简单随机事件中等可能事件发生的概率，并阐明理由。 过程与方法：通过实验、讨论、分析、计算，在活动中培养学生探究问题能力，合作交流意识。并在解决实际问题中提高他们解决问题的能力，发展学生应用知识的意识。 情感态度与价值观：引导学生对问题动手实践、逻辑分析，激发他们的好奇心和求知欲，使学生在运用数学知识解决实际问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心。并且鼓励学生思维的多样性，发展创新意识。 （3）教学重点难点 教学重点：能够运用概率的定义求简单随机事件发生的概率，能够初步用树状图、列表图等方式对简单随机事件的概率事件进行分析。 教学难点：正确地理解随机事件发生的可能性的大小。 二、教法分析 本节课共设计了6个教学活动，难易程度由浅入深、层层递进，通过游戏的形式，学生在动手操作、观察分析、类比归纳中，通过自主探究、合作交流，在教师的启发指导下,学生在轻松愉快的环境中探求新知。充分体现了“数学教学主要是数学活动教学”这一思想，体现了师生互动、生生互动的教学理念。 利用生活中常见的骰子、硬币等作为课堂实验教具，增加了课堂的趣味性和直观性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，激活学生思维能力，增大了教学容量，对解决重点、突破难点起到辅助作用。 三、学法分析 学情分析：学生在此之前学习了等可能事件的相关概念，对等可能事件发生的概率有了初步的认识，这为本节重点根据定义求简单随机事件发生的概率提供了良好的基础。初中阶段的学生逻辑思维能力不断发展，自主探索能力显著增强，能够在教师的指导下发挥学习的主动性，在探索实践中获取新知。

在计算边缘概率密度的时候如何给积分定限

设（X,Y）的概率密度为f(x,y)=｛8xy 0≤x≤y , 0≤y≤1 ｛0 其他 求关于X及关于Y的边缘概率密度 解：当0≤x≤1时，fx(x)=∫ f(x,y) dy [积分限为X 到1 ] 当0≤y≤1时fY(y)=∫ f(x,y) dx [积分限为0到y] 上面写的解只是只是其中一部分. 请教各位高手...为什么∫fx(x) 的积分限定在了X到1 而不是0到X ？而求Y的边缘概率密度时∫ fY(y) 的积分限定在了0到y 而不是y到1 呢？ 我不会确定二维边缘概率密度积分的限定，基础差.. 诚心提问.各位高手解释的通俗易懂点. 谢了 为什么∫ fx(x) 的积分限定在了X到1 而不是0到X ？ 求X的边缘密度，即取定的x的值，对Y进行积分，积分区间本来为负无穷到正无穷，但它的不为零的部分为图(a)所示，y的值由y=x变化到y=1这一部分。 而求Y的边缘概率密度时∫ fY(y) 的积分限定在了0到y 而不是y到1 呢？ 这时取定的y的值，对x进行积分,如图(b)所示，x的值由x=0变化到x=y ////// 题目:f(x.y)= {1, 0

///// 求f(x)时是对dy积分这个不错吧书上的公式是这样的y的变化的确是从0到x 这个你理解了的 对于第二个： 你在直角坐标系下做出0

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 一、背景 一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件 发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的. [例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是. [例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率. 这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为

对于例1,已知 容易验证在发生的条件下,发生的概率 对于例2,已知 容易验证发生的条件下,发生的概率 对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率, 总是成立的. 在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为

由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立. 其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义. 二、条件概率 若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称 为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率. [例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率 解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为 ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3)} ={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)} ={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)} 由条件概率公式得,

第50课时4.2等可能条件下的概率一(1)教案

第50课时：等可能条件下的概率（一）（1） 班级姓名学号【教学目标】 1、在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型； 2、进一步理解等可能事件的意义，会列举出古典类型的随机实验的所有等可能结果（基本事件）； 3、理解等可能条件下的概率（一）即古典概型的两个基本特征，掌握等可能条件下的概率的计算公式． 【教学重点】理解古典概型的特征与掌握古典概型的概率计算公式． 【教学难点】理解古典概型的特征． 【教学过程】 一、创设情境： 情境1 ：甲袋中装有6个相同的小球，它们分别编号为1、2、3、4、5、6，从口袋中随机地取出1个小球，编号是奇数与编号是偶数这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？ 如果有7个相同的小球，分别编号为1、2、3、4、5、6、7呢？ 情境2 ：抛掷一枚均匀的骰子一次. （1）点数朝上的试验结果是有限的吗？如果是有限的共有几种？ （2）哪一个点数朝上的可能性较大？ （3）点数大于4与点数不大于4这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？ 二、探索新知 思考：一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率是多少呢？ 【归纳概括】等可能条件下的概率的计算方法：()m P A n （其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数）． 【注】我们所研究的事件大都是随机事件,所以其概率在0和1之间． 活动一：某班级有33名男生和27名女生，名字彼此不同，现在相同的60张小纸条，每位同学分别将自己的名字写在纸条上，放入一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1张纸条，比较“抽到男生名字”与“抽到女生名字”的概率的大小．

条件概率及全概率公式练习题

二、计算题 1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”, 设事件B表示“甲取到的数是5 的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B). 根据公式 而P(B)=3/15=1/5 , , ∴P(A|B)=9/14. 2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”. 则显然所要求的概率为 P(A|B). 根据公 式 , , ∴

P(A|B)=1/2. 3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N) 则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3, 由乘法公式可知: P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3. 而P(A3|A1A2)=3/4 , P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1/ 4 . 由数学归纳法可以知道 P(A1A2…A N)=1/(N+1). 4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”, 事件B表示“最后取到的是白球”. 根据题意: P(B|A)=5/12 , , P(A)=1/2. ∴ . 5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i 个白球”,其中i=0,1,2 .

等可能条件下的概率经典易错题带答案

一．选择题（共7小题） 1．某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 2．小明有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有5根木棒供他选择，其长度分别为3cm、5cm、10cm、13cm、14cm．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（） A．B．C．D．1 3．在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”试验时，下列说法正确的是（） A．随着抛掷次数的增加，正面向上的频率越来越小 B．当抛掷的次数n很大时，正面向上的次数一定为 C．不同次数的试验，正面向上的频率可能会不相同 D．连续抛掷5次硬币都是正面向上，第6次抛掷出现正面向上的概率小于 4．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 5．如果小磊将镖随意投中如图所示的正方形木板（假设投中每个小正方形是等可能的），那么镖落在阴影部分的概率为（） A．B．C．D． 6．在100张奖卷中，有4张中奖，小红从中任抽1张，她中奖的概率是（）A．B．C．D． 7．下列有四种说法： ①了解某一天出入扬州市的人口流量用普查方式最容易； ②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件； ③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件； ④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件． 其中，正确的说法是（） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

第4章等可能条件下的概率

第 4 章等可能条件下的概率 全章教材分析本单元是在认识概率的基础上来进一步了解概率的意义,计算简单的随机事件发生的概率.在第一节中运用列举法分析事件发生的所有可能的结果，理解等可能性。在第二节中给出等可能条件下的概率（一）即古典概型的基本特征，要求学生会算古典概型中事件的概率，在此基础上提出更高要求：即要求用列举法（包括双向矩阵式的表格、画树状图）计算一些随机事件的概率，严格做到不重复、不遗漏。在第三节中给出等可能条件下的概率（二）即能化归为古典概型的几何概型的两个基本特点，试验结果有无数个和每个试验结果出现的等可能性。能把等可能条件下的概率（二）转化为等可能条件下的概率（一），并能进行简单计算。 单元总体目标 1、在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，发展随机观念。 2、能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；能够通过实验，获得事件发生的频率； 3、知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值，理解频率与概率的区别与联系。 4、通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题。了解进行模拟实验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟实验。 单元重难点一览 单元学情分析 本单元内容较抽象，学生不易理解，让学生在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的规律的数学模型，理解概率的取值范围的意义，发展随机观念。能够运用列举法（包括列表、画树形图）计算简单事件发生的概率；能够通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值，并能解决一些实际问题。了解进行模拟实验的必要性，能根据问题的实际背景设计合理的模拟实验。 单元教学建议用概率公式计算概率，必须符合一个前提条件，即事件发生的可能性相同。不能简单认为有几种情况，不加思考认为它们一定等可能．等可能事件的概率算法是概率计算的重要基础．通过实例理解古典概型的两个特征：试验结果的有限性和每个试验结果出现的等可能性。现阶段只要求初步学会把一些简单的实际问题转化为古典概型，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单随机事件发生的概率。在枚举时既不能重复又不能遗漏，应选择一定的顺序来计数，可以用树状图或表格来帮助进行计数。本单元的教学的重点是理解等可能条件下的概率（一）即古典概型的特征。等可能条件下的概率（二）其实质是几何概型，本单元只涉及能化为古典概型的情形，只要感受到几何概型的特征即可.在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型。 单元课时分配 4.1 等可能性1课时 4.2等可能条件下的概率（一）3课时 4.3等可能条件下的概率（二）1课时 数学活动-调查小事件概率1课时

条件概率与全概率公式-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练(原卷版)

专题30 条件概率与全概率公式 一、单选题 1．（2020·河南南阳高二二模（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930 ，下雨的概率为 1130，既吹东风又下雨的概率为830 .则在下雨条件下吹东风的概率为（ ） A ．25 B ．89 C ．811 D ．911 2．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为45，连续2天有客人入住的概率为 35,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ） A ．13 B ．12 C ．35 D ．34 3．（2020·河南开封高三二模（理））已知正方形ABCD ，其内切圆I 与各边分别切于点E ，F ，G 、H ，连接EF ，FG ，GH ，HE ．现向正方形ABCD 内随机抛掷一枚豆子，记事件A ：豆子落在圆I 内，事件B ：豆子落在四边形EFGH 外，则()P B A =（ ） A ．2π B ．21π- C ．12 D ．π142 - 4．（2020·河南高二期末（理））把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则()P B A =（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 5．（2020·陕西临渭高二期末（文））已知()1P B|A 2= ，()35P A =，()P AB 等于（ ） A ．56 B ．910 C ．310 D ．110 6．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二期末（理））从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)P B A =（ ） A ．38 B ．1340 C ．1345 D ．34 7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））将两颗骰子各掷一次，设事件A =“两个点数不相同”， B =“至少出现一个6点”，则概率()|P A B 等于（ ）

第四章《等可能条件下的概率》复习

第四章《等可能条件下的概率》复习 备课人：贺永 学校：邳州市燕子埠中学 复习目标： 1.进一步了解“概率”的定义及两特征：实验结果的有限性和等可能性； 2.会恰当的选择列表法或树状图法计算所有等可能 出现的结果及事件发生的概率。 重点难点： 1.恰当的选择列表法或树状图法计算事件发生的概率； 2.会判断游戏的公平与否。 复习过程 一、想一想 1.概率 （1）定义： 一般的,对于一个随机事件A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P （A ）. （2）等可能性概率的求法： 一般的,如果在一次实验中,有n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件包含其中的m 种结果,那么事件发生的概率为P(A)= （3）特别的： 0≤P(A) ≤1. 必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0. 事件发生的可能性越来越大 2.列举法求概率： 在一次实验中，如果可能出现的结果只有有限个 ，且各种结果出现的可能性相等，我们可以通过列举实验结果的方法，分析出随机事件的概率. 常用列举法包含：列表法或树状图法 3.怎样恰当选择列表法或树状图法？ 二、做一做 1.一不透明袋中装有大小和质地都相同的4个球，2红2白.从中依次任意取出2个球（第1次取出的球不放回袋中），求下列事件的概率： （1）A:取出的2个球同色； （2）B:取出2个白球. 变式：“第一次取出的球放回袋子中”其余条件不变求以上两问。体会“放回”与“不放回”的区别。 2.小明和小华做“剪刀、石头、布”游戏，游戏规则是：若两人出的不同，则石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头；若两人出的相同，则为平局. （1）怎样表示和列举一次游戏的所有可能的结果？ （2）用A ，B ，C 表示指定事件：A:“小明胜”； B:“小华胜”； C:“平局”. 求事件A,B,C 的概率. 必然发生 0