北京市圆和旋转压轴题解题技巧详细解析

如何短时间突破期中数学压轴题

??

?

??共顶点旋转旋转：相邻等线段绕公角平分线或垂直或半角

对称：平行四边形　平行等线段平移：

全等变换 )(

一、旋转：

??

?

??等线段，直接寻找旋转全共旋转：有两对相邻等等

线段，需要构造旋转全自旋转：有一对相邻等一角及相邻等线段有一个角含一个二分之角：半旋转

???

??

?

?，造中心对称遇中点旋全等遇等腰旋顶角，造旋转

，造等腰直角

旋遇，造等边三角形

旋遇自旋转构造方法0000018090906060 1、三垂直全等模型

三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

E

D

C

A

B

E D C

A

B

2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图：

C

C

C

A

B

D

E

A

B

D

E

E

D

B

A

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

E

D

C

B

A

3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°)

(2) 等腰直角三角形(旋转90°)

A'D

C

B

A

F'

D'

F

E

D

C

A

(3) 等边三角形旋转(旋转60°)

(4) 正方形旋转(旋转90°)

②

①F

E

D

C

B

A

P

F

E

D

C

B

A

G

F

E

D

C

B

A

4、半角模型

半角模型所有结论：在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF =45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N .求证：

N

M F

E

D

C B

A

G

O A

H

N M

F

E

D

C

B

(1) BE +DF =EF ；

M E D

C B

A

(2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2+DN 2=MN 2；

(6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为1：2(由△AMN 与△AEF 的高之比AO ： AH =AO ：AB =1：2而得到)； (7) S △AMN =S 四边形MNFE ；

(8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ；

(9) ∠AEN 为等腰直角三角形，∠AEN =45°.(1. ∠EAF =45°；2.AE ：AN =1：2)

解题技巧：

1.遇中点，旋180°，构造中心对称

例：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，在四边形BDEC 中，DB DE =，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM ，DM ．

⑴ 在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； ⑵ 求证：AM DM ⊥；

⑶ 当α=___________时，AM D M =．

[解析]⑴ 如图所示；

⑵ 在⑴的基础上，连接AD AF ，

由⑴中的中心对称可知，DEM FCM △≌△，

∴DE FC BD ==，DM FM =，DEM FCM ∠=∠， ∵360ABD ABC CBD BDE DEM BCE α∠=∠+∠=+?-∠-∠-∠

360DEM BCE α=?--∠-∠，

360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=?-∠-∠=?--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠，

∴ABD ACF △≌△，∴AD AF =， ∵DM FM =，∴AM DM ⊥． ⑶ 45α=?．

2.遇90°。旋90°，造垂直；

例：请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=?．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把AEC ?绕点A 顺时针旋转90?，得到ABE '?，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件

F

M E

D

B A C

不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

图1

A

B

C

D

E

图2

A

B C

D

E

[解析] ⑴ 2

2

2

DE BD EC =+

证明：根据AEC ?绕点A 顺时针旋转90?得到ABE '? ∴AEC ABE '??≌

∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠ 在Rt ABC ?中 ∵AB AC =

∴45ABC ACB ∠=∠=? ∴90ABC ABE '∠+∠=? 即90E BD '∠=?

∴222

E B BD E D ''+= 又∵45DAE ∠=?

∴45BAD EAC ∠+∠=? ∴45E AB BAD '∠+∠=? 即45E AD '∠=?

∴AED AED '??≌ ∴DE DE '=

∴222DE BD EC =+

E'

E

D

C

B

A

F

E

D

C

B A

⑵ 关系式2

2

2

DE BD EC =+仍然成立

证明：将AD B ?沿直线AD 对折，得AFD ?，连FE ∴AFD ABD ??≌

∴AF AB =，FD DB =

FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠ 又∵AB AC =，∴AF AC =

∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+?

()9045EAC BAC BAE DAE DAB DAB ∠=∠-∠=?-∠-∠=?+∠

∴FAE EAC ∠=∠ 又∵AE AE = ∴AFE ACE ??≌

∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=?

180135AFD ABD ABC ∠=∠=?-∠=?

∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=?-?=?

∴在Rt DFE ?中

222DF FE DE +=即222DE BD EC =+

D

C B

A A

B

C D

A B C

D

E D C

B A D

A

B

C

E 3.遇60°，旋60°，造等边；

例：已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:

（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；

（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；

（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.

图1 图2 图3

解：（1）33；…………………………………………1’

（2）2363 ； …………………………………………2’

（3）以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E.联结AE,CE ，

∴CD=ED ，∠CDE=60°，AE=CB= a ， ∴△CDE 为等边三角形，

∴CE=CD. …………………………………………4’

当点E 、A 、C 不在一条直线上时，有CD=CE

此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，……………………7’ 因此当∠ACB=120°时，CD 有最大值是a +b .

4.遇等腰，旋顶角。

综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。 图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给出旋转倒角

模型。

B

C

D

A

O

A

D

B

O

C

二、相似模型

说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。

说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以300

、450

、600

形式出现的居多。 （2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。

三、圆

1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；

(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。 构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型： ①利用垂径定理； ②直接作垂线构造直角三角形；

α

③构造所对的圆周角； ④连接圆心和切点；

O α

α

O O

α

(2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中. 在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形：

半径相等1

2O

圆周角=圆周角O 1

2

圆心角=2圆周角

1

2

O

弦切角=圆周角

O

21

射影定理模型

O

1

2

综合利用各种方法

O

2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时；

(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下；

O 3

r -2r 2

6

r

6-r 2

O

(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：

△ADE ∽△ACB

E

D

C

B

A

△ADE ∽△BCE E

D

C

B

A

△ABD ∽△CAD ∽△CBA

C

O

D A

B

△ABC ∽△ADB ∽△BDC

B

O

D

A

C

△ABO ∽△ADB ∽△BDO

D O

C

B

A

△ABC ∽△OBD

O

D

C

B

A

注：圆中的中档题目，学校会留很多，在此就不放了，来两道有意思的题目。

8．如图，AB 是O 直径，弦CD 交AB 于E ，45AEC ∠=?，2AB =．

设A E x =，22D y C E E +=． 下列图象中，能表示y 与x 的函数关系是的（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：A

3/

1/

1

2

2

1

O

x

y 1 2

2

1

O

x

y 1 2

2

1

O x

y 1 2

2

1

O x

y

8. 如图，以(0,1)

G为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,点E为⊙G上一动点，CF AE

⊥

于F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为

A．

3

2

πB ．

3

3

πC ．

3

4

πD ．

3

6

π

答案：B

(0,1)

I