正态分布练习题
正态分布
一、选择题
1 ．已知随机变量X 服从正态分布2
(,)N μσ,且(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=,
()0.6826P X μσμσ-<≤+=,若4μ=,1σ=, 则(56)P X <<=
（ ）
A ．0.1358
B ．0.1359
C ．0.2716
D ．0.2718
2 ．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））已知随机变量ξ服从正态分布2
(2,)N σ,且
(4)0.9P ξ<=,则(02)P ξ<<=
（ ）
A ．0.2
B ．0.3
C ．0.4
D ．0.6
3 ．设两个正态分布N(211,σμ)(01>σ)和N(2
21,σμ)(02>σ)曲线如图所示,则有
（ ）
A ．2121,σσμμ><
B ．2121,σσμμ<<
C ．2121,σσμμ>>
D ．2121,σσμμ<>
4 ．设随机变量ξ~2
(,)N μσ
,对非负数常数k ,则()P k ξμσ-≤的值是
.A 只与k 有关 .B 只与μ有关 .C 只与σ有关 .D 只与μ和σ有关
5 ．(2011年高考(湖北理))已知随机变量ξ服从正态分布()2
,2σN
,且()8.04=<ξP ,则()=
<<20ξP
（ ）
A ．6.0
B ．4.0
C ．3.0
D ．2.0
6 ．已知随机变量ξ服从正态分布2
(4,6),(5)0.89,,N P ξ≤=则(3)P ξ≤=
（ ）
A ．0.89
B ．0.78
C ．0.22
D ．0.11
7 ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）设随机变量~X N (3,1),若(4)P X p >=,,则
P(2 ( A) 1 2 p + ( B)l —p C ．l-2p D ． 1 2 p - 8 ．(2011广州二模试题答案(数学理))设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ,若 ()()232P a P a ξξ<-=>+,则a 的值为 （ ） A ．73 B ．53 C ．5 D ．3 9 ．（2010年高考（山东理））已知随机变量ξ服从正态分布2 (0,)N σ,若(2)0.023p ξ>=,则 (22)p ξ-≤≤= （ ） A ．0.477 B ．0.625 C ．0.954 D ．0.977 10．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）下列命题中正确的有 ①设有一个回归方程 y =2—3x ,变量x 增加一个单位时,y 平均增加3个单位; ②命题P:“2000,--1>0x R x x ?∈”的否定?P:“,102 x R x -x-?∈≤”; ③设随机变量X 服从正态分布N(0,1),若P(X>1)=p,则P(-1 1 2 -p; ④在一个2×2列联表中,由计算得k 2 =6.679,则有99%的把握确认这两个变量间有关系. （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）如果椭机变量 ()()21,,310.4N P ζσζ---≤≤-=且,则()1P ζ≥等于 （ ） A ．0.4 B ．0.3 C ．0.2 D ．0.1 12．(广西名校2012届高三毕业班联考试题)己知随机变量ξ服从正态分布),2(2 σN ,84.0)4(=≤ξP ,则 =≤)0(ξP （ ） A ．16.0 B ．32.0 C ．68.0 D ．84.0 13．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））已知随机变量ξ服从正态分布2 (3,)N σ,若 (6)0.3P ξ>=, 则(0)P ξ<= （ ） A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 二、填空题 14．(成都市双流中学高2012级(理科)数学高三下学期2月月考试题)随机变量()~1,4N ξ ,则()2D ξ= ？ 15．(2012年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷一(广东.理))若),1(~2σξN ,且 (01)0.3P ξ≤≤=,则(2)P ξ≥= ________. ; 16．已知随机变量ξ服从正态分布N (1,4),且,84.0)3(=<ξP 则(11)P ξ-<<=________. 17．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））随机变量ξ服从正态分布N (40, 2σ),若P (ξ<30)=0.2,则P (30<ξ<50)= _______. 18．(安徽寿县一中2012年高三第五次月考试卷)给出下列命题: ①在频率分布直方图中估计平均数,可以用每个小矩形的高乘以底边的中点的横坐标之和; ②随机误差e 是衡量预报精确度的一个量,它满足()0E e =; ③某随机变量X 服从正态分布, 其密度函数是22 ()2()x x μσ?-- = (x R ∈),σ越小,则X 集中在μ 周围的概率越大; ④,a b 是两条异面直线,P 为空间一点,过P 总可以作一个平面与,a b 之一垂直,与另一条平行; ⑤如果三棱锥S ABC -的各条棱长均为1,则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于12 . 其中真命题的是____________.(写出所有正确命题的编号) 19．某校在一次月考中约有1000人参加考试,数学考试的成绩 ),90(~2a N ξ(a>0,试卷满分150分),统计结 果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的53 ,则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生约有__________人. 三、解答题 20．(2013湖北高考数学(理))假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2 800,50N 的随机变 量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p . (I) 求 p 的值;(参 考数据:若 () 2,X N μσ ,有()0.6826P X μσμσ-<<+=, ()220.9544 P X μσμσ-<<+=, ()330.9974P X μσμσ-<<+=.) (II)某客运公司用A .B 两种型号的车辆承担甲.乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次,A .B 两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B 型车不多于A 型车7辆.若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的运营成本最小,那么应配备A 型车.B 型车各多少辆? 正态分布讲义 【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102 )， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ??? 。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 答案：8.5。解析：设两数之积为X ， ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ? ， 则1μ 2μ，1σ 2σ（填大于，小于） 答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5 9 61321210313010=?+?+?+? . （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则 正态分布 ㈠ 知识点回顾： 1、正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为 ),(,21)(2 22)(∞+-∞∈= --x e x f x σμσ π， 其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。 ()f x 的图象称为正态曲线。 2、正态分布的期望与方差 若ξ～()2,N μσ，则2,E D ξμξσ== 3、正态曲线的性质： ①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线关于直线x=μ对称． ③曲线在x=μ时位于最高点． ④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐进线，向它无限靠近． ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 4、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=< 00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态 分布表中查到 00 x y O （6）、()2,N μσ与()0,1N 的关系： ①若ξ～()2,N μσ，有()()000x P x F x μξσ-??<==Φ ??? ②若ξ～()2,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--???? <<=Φ-Φ ? ????? （二）习题 一、选择题 1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 )(10 21 )(200 )80(2R x e x f x ∈?= --π，则下列命题不正确的是 （ B ） A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分； B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同； C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同； D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10. 2.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ） A. 2 p B. 1p - C. 12p - D. 12p - 3.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ） μμσ...0.D C B A - 4. 已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D.不确定 5.正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p 的大小关系为（ ） A ．12p p < B ．12p p > C ．12p p = D.不确定 6.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( B ) 1)2(2.)4()2(.)2()4(.1)1(2.-ΦΦ-ΦΦ-Φ-ΦD C B A 7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ，0.84 8.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ D ） (A)15 (B)14 (C)13 (D)12 1 x 2 x )(0x Φ) (10x -Φ- 4 3 2 1 -1 -4 -2 2 4 2 1 （1）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （2）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ??? （3）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ） 答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则 P (A )=3 1036 14 2 6 C C C C +=3 21202060=+，P (B )=1514120565631038 1228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一： ∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()() 45 1 15141321=??? ??-??? ??-=?=?B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 () 45 4445111=-=?-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为45 44 ． 方法二： ∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 ()() ()4544 15143215143115132= ?+?+?=?+?+?=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 4544 . 1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。 2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 1. 若x ～N (0,1),求(l)P (- 2.32 1．标准正态曲线下，中间95%的面积所对应的横轴范 围是。 A．－∞到+1.96 B．－1.96到+1.96 C．－∞到+2.58 D．－2.58到+2.58 E．－1.64到+1.64 2．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线愈趋扁平。 A．μ愈大B．μ愈小C．σ愈大D．σ愈小E．μ愈小且σ愈小 3．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线平行右移。 A．增大μB．减小μC．增大σD．减小σE．增大μ同时增大σ 4．观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm，标准差为 4.12cm，Z=（128.00－138.00）/4.12。φ（Z）是标准正态分布的分布函数，1－φ（Z）=1－φ（－ 2.43）=0.9925，结论是。 A．理论上身高低于138.00cm的12岁男孩占99.25%。 B．理论上身高高于138.00cm的12岁男孩占99.25%。 C．理论上身高在128.00cm至138.00cm的12岁男孩占99.25%。 D．理论上身高低于128.00cm的12岁男孩占99.25%。 E．理论上身高高于128.00cm的12岁男孩占99.25%。5．正态曲线下、横轴上，从μ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的。 A．99% B．95% C．47.5% D．49.5% E．90% 6．健康男子收缩压的正常值范围一般指。 A．所有健康成年男子收缩压的波动范围 B．绝大多数正常成年男子收缩压的波动范围 C．所有正常成年男子收缩压的波动范围 D．少部分正常成年男子收缩压的波动范围 E．所有正常人收缩压的波动范围 7．标准正态分布曲线下中间90%的面积所对应的横轴 尺度Z的范围是。 A．－1.645～1.645 B．－∞～1.645 C．－∞～1.282 D．－1.282～1.282 E．－1.96～1.96 8．在正态曲线，下列关于μ－ 1.645σ的说法正确的是。 A．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为90% B．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为10% 1．标准正态曲线下，中间95%的面积所对应的横轴范围是。 A．－∞到+1.96 B．－1.96到+1.96 C．－∞到+2.58 D．－2.58到+2.58 E．－1.64到+1.64 2．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线愈趋扁平。 A．μ愈大B．μ愈小C．σ愈大D．σ愈小E．μ愈小且σ愈小 3．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线平行右移。 A．增大μB．减小μC．增大σD．减小σE．增大μ同时增大σ 4．观察某地100名12岁男孩身高，均数为138.00cm，标准差为4.12cm，Z=（128.00－138.00）/4.12。φ（Z）是标准正态分布的分布函数，1－φ（Z）=1－φ（－2.43）=0.9925，结论是。 A．理论上身高低于138.00cm的12岁男孩占99.25%。 B．理论上身高高于138.00cm的12岁男孩占99.25%。 C．理论上身高在128.00cm至138.00cm的12岁男孩占99.25%。 D．理论上身高低于128.00cm的12岁男孩占99.25%。 E．理论上身高高于128.00cm的12岁男孩占99.25%。5．正态曲线下、横轴上，从μ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的。 A．99% B．95% C．47.5% D．49.5% E．90% 6．健康男子收缩压的正常值范围一般指。 A．所有健康成年男子收缩压的波动范围 B．绝大多数正常成年男子收缩压的波动范围 C．所有正常成年男子收缩压的波动范围 D．少部分正常成年男子收缩压的波动范围 E．所有正常人收缩压的波动范围 7．标准正态分布曲线下中间90%的面积所对应的横轴尺度Z的范围是。 A．－1.645～1.645 B．－∞～1.645 C．－∞～1.282 D．－1.282～1.282 E．－1.96～1.96 8．在正态曲线，下列关于μ－1.645σ的说法正确的是。 A．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为90% B．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为10% 正 态分布练习题1 正态分布1.1正态函数及曲线特点 1.（对称性）：已知随机变量ξN (2,32)。若P (ξ>C +1)=P (ξ 第三章 多元正态分布 多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广，一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。多元分析中的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，首先要熟悉多元正态分布及其性质。 第一节 一元统计分析中的有关概念 多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，首先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的方便，先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。 一、随机变量及概率分布函数 （一）随机变量 随机变量是随机事件的数量表现，可用X 、Y 等表示。随机变量X 有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能够确定X 取哪个数值；二是取值的统计规律性，即完全可以确定X 取某个值或X 在某个区间取值的概率。 (二)随机变量的概率分布函数 随机变量X 的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为： )()(x X P x F ≤= 随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量，相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。 1、离散型随机变量的概率分布 若随机变量X 在有限个或可列个值上取值，则称X 为离散型随机变量。 设X 为离散型随机变量，可能取值为1x ，2x ，…，取这些值的概率分别为1p ，2p ，…， 记为 k k p x X P ==)(（Λ,2,1=k ） 称k k p x X P ==)(（Λ,2,1=k ）为离散型随机变量X 的概率分布。 离散型随机变量的概率分布具有两个性质： （1） 0≥k p ，Λ,2,1=k （2）11 =∑ ∞ =k k p 2、连续型随机变量的概率分布 若随机变量X 的分布函数可以表示为 dt t f x F x ?∞-=)()( 对一切R x ∈都成立，则称X 为连续型随机变量，称 )(x f 为X 的概率分布密度函数，简 专题：正态分布 【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 答案：8.5。解析：设两数之积为X ， ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5 9 61321210313010=?+?+?+? . （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则 第二章多元正态分布及参数的估计 在多元统计分析中,多元正态分布占有相当重要的地位.这是因为许多实际问题涉及到的随机向量服从正态分布或近似服从正态分布;当样本量很大时,许多统计量的极限分布往往和正态分布有关;此外,对多元正态分布,理论与实践都比较成熟,已有一整套行之有效的统计推断方法.基于这些理由,我们在介绍多元统计分析的种种具体方法之前，首先介绍多元正态分布的定义、性质及多元正态分布中参 数的估计问题. 目录 §2.1 随机向量 §2.2 多元正态分布的定义与基本性质 §2.3 条件分布和独立性 §2.4 多元正态分布的参数估计 §2.1 随机向量 本课程所讨论的是多变量总体.把p个随机变量放在一起得X=(X1,X2,…,Xp)′为一个p维随机向量,如果同时对p维总体进行一次观测,得一个样品为p维数据.常把n个样品排成一个n×p矩阵,称为样本资料阵. ?? ? ? ?? ??'''= ?????? ??=)()2()1(2 1 2222111211n np n n p p X X X x x x x x x x x x X def =(X 1,X 2,…,X p ) 其中 X(i)( i =1,…,n)是来自p 维总体的一个样品. 在多元统计分析中涉及到的都是随机向量,或是多个随机向量放在一起组成的随机矩阵. 本节有关随机向量的一些概念(联合分布,边缘分布,条件分布,独立性;X 的均值向量,X 的协差阵和相关阵,X 与Y 的协差阵)要求大家自已复习. 三﹑ 均值向量和协方差阵的性质 (1) 设X ,Y 为随机向量,A ,B 为常数阵,则 E(AX )=A·E(X )， E(AXB )=A·E(X )·B D(AX)=A·D(X)·A' COV(AX,BY)=A·COV(X,Y)·B' (2) 若X,Y 相互独立,则COV(X,Y)=O;反之不成立. 若COV(X,Y)=O,我们称X 与Y 不相关.故有: 两随机向量若相互独立,则必不相关; 25.3正态分布 【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下： （1）求a,b 的值； （2）比较两名射手的水平. 例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。 函数名对应分布的概率密度函数 betapdf 贝塔分布的概率密度函数 binopdf 二项分布的概率密度函数 chi2pdf 卡方分布的概率密度函数 exppdf 指数分布的概率密度函数 fpdf f分布的概率密度函数 gampdf 伽玛分布的概率密度函数 geopdf 几何分布的概率密度函数 hygepdf 超几何分布的概率密度函数normpdf 正态（高斯）分布的概率密度函数lognpdf 对数正态分布的概率密度函数nbinpdf 负二项分布的概率密度函数 ncfpdf 非中心f分布的概率密度函数nctpdf 非中心t分布的概率密度函数 ncx2pdf 非中心卡方分布的概率密度函数poisspdf 泊松分布的概率密度函数 raylpdf 雷利分布的概率密度函数 tpdf 学生氏t分布的概率密度函数 unidpdf 离散均匀分布的概率密度函数unifpdf 连续均匀分布的概率密度函数weibpdf 威布尔分布的概率密度函数 表Ⅰ-2 累加分布函数 函数名对应分布的累加函数 betacdf 贝塔分布的累加函数 binocdf 二项分布的累加函数 chi2cdf 卡方分布的累加函数 expcdf 指数分布的累加函数 fcdf f分布的累加函数 gamcdf 伽玛分布的累加函数 geocdf 几何分布的累加函数 hygecdf 超几何分布的累加函数logncdf 对数正态分布的累加函数nbincdf 负二项分布的累加函数 ncfcdf 非中心f分布的累加函数 nctcdf 非中心t分布的累加函数 ncx2cdf 非中心卡方分布的累加函数normcdf 正态（高斯）分布的累加函数poisscdf 泊松分布的累加函数 raylcdf 雷利分布的累加函数 tcdf 学生氏t分布的累加函数 unidcdf 离散均匀分布的累加函数unifcdf 连续均匀分布的累加函数weibcdf 威布尔分布的累加函数 表Ⅰ-3 累加分布函数的逆函数 函数名对应分布的累加分布函数逆函数betainv 贝塔分布的累加分布函数逆函数binoinv 二项分布的累加分布函数逆函数chi2inv 卡方分布的累加分布函数逆函数expinv 指数分布的累加分布函数逆函数finv f分布的累加分布函数逆函数 1．标准正态曲线下，中间95% 的面积所对应的横轴范 围是。 A ．－∞到 +1.96 B ．－ 1.96 到 +1.96 C ．－∞到 +2.58 D．－ 2.58 到 +2.58E．－ 1.64 到 +1.64 2．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线愈趋扁平。 A ．μ愈大B．μ愈小 C ．σ愈大D．σ愈小E．μ愈小且σ愈小 3．正态分布的两个参数μ与σ，对应的正态曲线平行右移。 A ．增大μB．减小μC．增大σ D ．减小σE．增大μ同时增大σ 4．观察某地100 名 12 岁男孩身高，均数为138.00cm ，标准差为 4.12cm， Z= （ 128.00－ 138.00） /4.12。φ（ Z）是标准正态分布的分布函数，1－φ（ Z ） =1 －φ（－ 2.43）=0.9925，结论是。 A ．理论上身高低于138.00cm 的 12 岁男孩占99.25% 。 B．理论上身高高于138.00cm 的 12 岁男孩占99.25% 。 C．理论上身高在128.00cm 至 138.00cm 的 12 岁男孩占99.25% 。 D．理论上身高低于128.00cm 的 12 岁男孩占99.25% 。 E．理论上身高高于128.00cm 的 12 岁男孩占99.25% 。5．正态曲线下、横轴上，从μ到μ+2.58σ的面积占曲线下总面积的。 A ．99%B．95%C．47.5% D ．49.5% E． 90% 6．健康男子收缩压的正常值范围一般指。 A．所有健康成年男子收缩压的波动范围 B．绝大多数正常成年男子收缩压的波动范围 C．所有正常成年男子收缩压的波动范围 D．少部分正常成年男子收缩压的波动范围 E．所有正常人收缩压的波动范围 7．标准正态分布曲线下中间90% 的面积所对应的横轴 尺度 Z 的范围是。 A ．－ 1.645～1.645B．－∞～ 1.645C．－∞～ 1.282 D．－ 1.282～1.282E．－ 1.96～ 1.96 8．在正态曲线，下列关于μ－ 1.645 σ的说法正确的是。 A ．μ－ 1.645σ到曲线对称轴的面积为90% B．μ－1.645σ到曲线对称轴的面积为10% 参考数据：若ξ～N （μ，σ2），P （μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544， P （μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．） 1.某省2015年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布N （170.5，16）．现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm 和187.5cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，16 2.5），第二组[162.5，167.5），…，第6组[182.5，187.5），图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． （1）试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况； （2）求这50名男生身高在177.5cm 以上（177.5cm ）的人数； （3）在这50名男生身高在177.5cm 以上（含177.5cm ）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望． 2．从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图． （1）求这100 份数学试卷的样本平均分和样本方差s 2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z 服从正态分布N （μ，σ2），其中μ 近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s 2． ①利用该正态分布，求P （81＜z ＜119）； ②记X 表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX （用样本的分布区估计总体的分布）．附： ≈19 ，≈18， 3.在某学校的一次选 拔性考试中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并 把所得数据列成了如下表所示的频数分布表： ()1求抽取的样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ()2已知这次考试共有2000名考生参加， 如果近似地认为这次成绩z 服从正态分布()2,μσN （其中μ近似为样本平均数x ，2 σ近似为样本方差2 s ），且规定82.7分是复试线，那么在这2000名 考生中，能进入复试的有多少人？（附： 16112.7 ≈，若 () 2,z μσN ，则 () 0.6826z μ σμσP -< <+=，()220.9544z μσμσP -<<+=） ()3已知样本中成绩在[]90,100中的6名考生中，有 4名男生，2名女生，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望()ξE ． 4.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这 些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图： （I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）； （II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布 ，其中 近似为样 本平均数， 近似为样本方差 . （i ）利用该正态分布，求 ； （ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i ）的结果，求 .附： 5.在一次全国高中生五省大联考中，有90万名学生参加，考后对所有学生成绩统计发现，应用 成绩服从正态分布()2 ,N μδ，右表用茎叶图列举了20名学 生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9. （1）求,;μδ （2）给出正态分布的数据： （ⅰ）若从这90万名学生中随机抽取1名，求该生英语成绩在()82.1,103.1内的概率； （ⅱ）如从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在()82.1,103.1内的人数，求X 的数学期望. 18.从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率 正态分布 1.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（） A. 2 p B. 1p - C. 12p - D. 12p - 2.设随机变量),(~2 σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ ） 3.设ξ的概率密度函数为2 )1(2 21)(-- = x e x f π ，则下列结论错误的是（ ） (A) )1()1(>=<ξξp p (B))11()11(<<-=≤≤-ξξp p (C))(x f 的渐近线是0=x (D) 1-=ξη～)1,0(N 4.设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，记()()＜x P x ξΦ=，则下列结论不正确的是（ ） A ．()1 02 Φ= B ．()()1x x Φ=-Φ- C ．()()()＜21＞0P a a a ξ=Φ- D ．()()()＞1＞0P a a a ξ=-Φ 5.设随机变量),(~2 σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( ) 6.如果随机变量)1,0(~N ξ，),(~2 σμηN ，那么 =η（ ） 7.已知随机变量ξ服从正态分布2 (2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ，0.84 8.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( ) B.2 9.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2 ),则P (3)ζ<＝（ ） (A) 15 (B) 14 (C) 13 (D) 12 10.若φ(3)=，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 （） A ． B ．0.9974 C ． D ． 11.下图是正态分布N ∽(0,1)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分面积的有（ ）个 ① 1()2a φ-- ② ()a φ- ③1()2a φ- 正 态分布 一、选择题 1.已知随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)1()1(-<=+>c P c P ξξ，则c 等于（） A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知随机变量ξ服从正态分),2(2σN ，且8.0)4(=<ξP ，则)20(<<ξP 等于（） A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 3.已知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ≤等于（） A.0.16 B.0.32 C.0.68 D.0.84 4.已知随机变量X 服从正态分布),2(2σN ，8.0)40(=< 专题：正态分布 例：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102 )， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。【课练习】 1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。 A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。解析：由标准正态分布的定义知。 2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。 A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小 答案： C 。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么() ∑=-n i i x x n 1 21是指 A ．σ B ．μ C ．2σ D ．2 μ（ ） 答案：C 。解析：由方差的统计定义知。 4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4D ξ=，则n 的值是 。 答案：4。解析：()12==np E ξ，()(1)4D np p ξ=-= 5．对某个数学题，甲解出的概率为2 3 ，乙解出的概率为34，两人独立解题。记X 为解出该题的人数，则E （X ）= 。 答案：1712。解析：11121145(0),(1),3412343412 P X P X ==?===?+?=231 (2)342P X ==?=。 第三章 多元正态分布 多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广，一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。多元分析中的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，首先要熟悉多元正态分布及其性质。 第一节 一元统计分析中的有关概念 多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，首先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的方便，先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。 一、随机变量及概率分布函数 （一）随机变量 随机变量是随机事件的数量表现，可用X 、Y 等表示。随机变量X 有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能够确定X 取哪个数值；二是取值的统计规律性，即完全可以确定X 取某个值或X 在某个区间取值的概率。 (二)随机变量的概率分布函数 随机变量X 的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为： )()(x X P x F ≤= 随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量，相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。 1、离散型随机变量的概率分布 若随机变量X 在有限个或可列个值上取值，则称X 为离散型随机变量。 设X 为离散型随机变量，可能取值为1x ，2x ，…，取这些值的概率分别为1p ，2p ， …，记为 k k p x X P ==)(（ ,2,1=k ） 称k k p x X P ==)(（ ,2,1=k ）为离散型随机变量X 的概率分布。 离散型随机变量的概率分布具有两个性质： （1） 0≥k p ， ,2,1=k （2）11 =∑∞ =k k p 2、连续型随机变量的概率分布 若随机变量X 的分布函数可以表示为 dt t f x F x ?∞-=)()( 对一切R x ∈都成立，则称X 为连续型随机变量，称 )(x f 为X 的概率分布密度函数，简正态分布及其经典习题和答案
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