2016版步步高考前三个月复习数学理科(鲁、京、津专用) 专题1 第2练

第2练用好逻辑用语，突破充要条件

[题型分析·高考展望]逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主.在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用.这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查.

常考题型精析

题型一命题及其真假判断

常用结论：

(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；

(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假. 例1(1)(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()

A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

(2)(2014·湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；

③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法.在解答时要有意识地去练习.

变式训练1(2014·重庆)已知命题：

p：对任意x∈R，总有2x>0；

q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件.

则下列命题为真命题的是()

A.p ∧q

B.(綈p )∧(綈q )

C.(綈p )∧q

D.p ∧(綈q )

题型二 充分条件与必要条件 例2 (1)(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ?α.则“m ∥β”是“α∥β” 的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)给出下列命题：

①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

②a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；

③在△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件为A >B ；

④在△ABC 中，设命题p ：△ABC 是等边三角形，命题q ：a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，那么命题p 是命题q 的充分不必要条件.

其中正确的命题为________.(把你认为正确的命题序号都填上)

点评 判断充分、必要条件时应注意的问题

(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .

(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明.

(3)准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件.

变式训练2 (2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；

q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)·(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )

A.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

C.p 是q 的充分必要条件

D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

题型三 与命题有关的综合问题

例3 (2015·重庆南开中学月考)下列叙述正确的是( )

A.命题：?x ∈R ，使x 3＋sin x ＋2<0的否定为：?x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2<0

B.命题：“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为：若x ≠1或x ≠－1，则x 2≠1

C.已知n ∈N ，则幂函数y ＝x 3n

－7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为

n ＝1

D.函数y ＝log 2x ＋m 3－x

的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝±1 点评 解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件.若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一. 变式训练3 (2014·江西)下列叙述中正确的是( )

A.若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”

B.若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2≥cb 2”的充要条件是“a >c ”

C.命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”

D.l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β

高考题型精练

1.(2015·课标全国Ⅰ)设命题p ：?n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( )

A.?n ∈N ，n 2>2n

B.?n ∈N ，n 2≤2n

C.?n ∈N ，n 2≤2n

D.?n ∈N ，n 2＝2n 2.(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在.若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )

A.p 是q 是充分必要条件

B.p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件

C.p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件

D.p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件

3.(2015·济南模拟)下列命题中，真命题是( )

A.?x ∈R ，x 2>0

B.?x ∈R ，－1

C.?x 0∈R,2x 0<0

D.?x 0∈R ，tan x 0＝2

4.(2014·陕西)原命题为“若a n ＋a n ＋12

A.真，真，真

B.假，假，真

C.真，真，假

D.假，假，假

5.若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x

的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )

A.p ∧q 是真命题

B.p ∨q 是假命题

C.綈p 是真命题

D.綈q 是真命题

6.(2015·唐山检测)已知命题p ：?x ∈R ，x 3

A.p ∧q

B.綈p ∧q

C.p ∧(綈q )

D.(綈p )∧(綈q )

7.(2015·山东)若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )

A.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0

B.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0

C.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0

D.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0

8.下列5个命题中正确命题的个数是( )

①对于命题p ：?x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：?x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0；

②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件；

③已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y ^＝1.23x

＋0.08；

④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4

； ⑤曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是S ＝?10(x －x 2)d x .

A.2

B.3

C.4

D.5

9.已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2

<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 2

2－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________.

10.已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“?x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为____________.

11.(2015·滨州模拟)已知下列命题：

①命题“?x 0∈R ，x 20＋1>x 0＋1”的否定是“?x ∈R ，x 2＋1

②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；

④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题.

其中所有真命题的序号是__________.

12.下面有四个关于充要条件的命题：①“向量b 与非零向量a 共线”的充要条件是“有且只有一个实数λ使得b ＝λa ”；②“函数y ＝x 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件是“b ＝0”；③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件.其中真命题的序号是________.

答案精析

第2练 用好逻辑用语、突破充要条件

常考题型精析

例1 (1)D (2)C

解析 (1)对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确.

(2)当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题.

当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题.

由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题.故选C.

变式训练1 D [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、綈p 为假命题，綈q 为真命题， (綈p )∧(綈q )、(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，故选D.]

例2 (1)B(2)①③

解析 (1)m ?α，m ∥β?/α∥β，但m ?α，α∥β?m ∥β，

所以m ∥β是α∥β的必要而不充分条件.

(2)①正确.因为AB →＝DC →，

所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，

又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD

为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此AB →＝DC →.

②不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.

③正确.由正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R

，当sin A >sin B 成立时，得a >b ，则A >B ；当A >B 时，则有a >b ，则sin A >sin B ，故命题正确.

④不正确.若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，sin B ＝sin C ＝sin A ，即命题p 是命题q 的充分

条件；若a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，则sin C sin A ＝b c ，又由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即sin C sin A ＝c a

，所以c a ＝b c

，即c 2＝ab ，同理得a 2＝bc ，b 2＝ac ，所以c ＝a ＝b ，所以△ABC 是等边三角形.因此命题p 是命题q 的充要条件.

综上所述，正确命题的序号是①③.

变式训练2 B [若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…

＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q 2n －

4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －

4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B.]

例3 C [A ：命题：?x ∈R ，使x 3＋sin x ＋2<0的否定为：?x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2≥0，故A 错误；

B ：命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1，故B 错误；

C ：因为幂函数y ＝x 3n －7在x ∈(0，＋∞)上单调递减，

所以3n －7<0，解得n <73

，又n ∈N ， 所以n ＝0,1或2；又y ＝x 3n －7为偶函数，

所以，n ＝1，即幂函数y ＝x 3n

－7

为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1，C 正确； D ：令y ＝f (x )＝log 2x ＋m 3－x

，由其图象关于点(1,0)中心对称，得f (x )＋f (2－x )＝0， 即log 2x ＋m 3－x ＋log 2(2－x )＋m 3－(2－x )

＝log 2(x ＋m )(2＋m －x )(3－x )(1＋x )

＝0， (x ＋m )(2＋m －x )(3－x )(1＋x )

＝1. 整理得：m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3，

当m ＝－3时，x ＋m 3－x ＝－1<0，y ＝log 2x ＋m 3－x

无意义， 故m ＝1.

所以，函数y ＝log 2x ＋m 3－x

图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝1，D 错误.] 变式训练3 D [由于“若b 2－4ac ≤0，则ax 2＋bx ＋c ≥0”是假命题，所以“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件不是“b 2－4ac ≤0”，A 错；∵ab 2>cb 2，且b 2>0，∴a >c .而a >c 时，若b 2＝0，则ab 2>cb 2不成立，由此知“ab 2>cb 2”是“a >c ”的充分不必要条件，B 错；“对任意

x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2<0”，C 错；由l ⊥α，l ⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D 正确.]

高考题型精练

1.C [将命题p 的量词“?”改为“?”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”.]

2.C [当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，

比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，

但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，

因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点.

由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.

综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件.]

3.D [?x ∈R ，x 2≥0，故A 错；?x ∈R ，－1≤sin x ≤1，故B 错；由y ＝2x 的图象可知?x ∈R,2x >0，故C 错，D 正确.]

4.A [a n ＋a n ＋12

5.D [因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x

的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题.所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D.]

6.B [若x 31，

∴命题p 为假命题；

若sin x －cos x ＝2sin ???

?x －π4＝－2， 则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4

＋2k π(k ∈Z )， ∴命题q 为真命题，∴綈p ∧q 为真命题.]

7.D [原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”.∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”.]

8.A [①错，应当是綈p ：?x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2<1

所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4

；⑤正确，由定积分的几何意义可知.]

9.????13，38

解析 由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a

即命题p ：3a 0.

由x 2m －1＋y 2

2－m

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆， 可得2－m >m －1>0，解得1

， 即命题q ：1

. 因为p 是q 的充分不必要条件，

所以????? 3a >1，4a ≤32或????? 3a ≥1，4a <32，

解得13≤a ≤38， 所以实数a 的取值范围是????13，38.

10.???

?12，＋∞ 解析 由于f (x )是单调函数，在(0,1)上存在零点，应有f (0)·f (1)<0，解不等式求出实数a 的取值范围.

由f (0)·f (1)<0?(1－2a )(4|a |－2a ＋1)<0

?????? a ≥0，(2a ＋1)(2a －1)>0或?????

a <0，(6a －1)(2a －1)<0?a >12. 11.②

解析 命题“?x 0∈R ，x 20＋1>x 0＋1”的否定是“?x ∈R ，

x 2＋1≤x ＋1”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5?a >2，但a >2?a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”， 所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错.

12.①②④

解析 由共线向量定理，知命题①为真.当b ＝0时，y ＝x 2＋bx ＋c ＝x 2＋c 显然为偶函数，反之，y ＝x 2＋bx ＋c 是偶函数，则(－x )2＋b (－x )＋c ＝x 2＋bx ＋c 恒成立，就有bx ＝0恒成立，得b ＝0，因此②为真.对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假.在④中，若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数.但是若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )是偶函数，则φ＝π也成立，故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件.