实数完备性研究及应用毕业论文

毕业设计（论文）题目：实数完备性研究及应用

毕业设计（论文）诚信声明书

本人声明：本人所提交的毕业论文《实数完备性研究及应用》是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，论文中所引用他人的文献、数据、图件、资料均已明确标注；对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。

本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

论文作者：（签字）时间：年月日

指导教师已阅：（签字）时间：年月日

西安邮电大学本科毕业设计(论文)选题审批表

申报人马晓珏职称副教授学院理学院

题目名称实数完备性研究及应用

题目来源科研教学√其它

题目类型硬件设计软件设计论文√艺术作品题目性质实际应用理论研究√

题目简述

微积分建立之初在应用上的成功是非常突出的，但这并不能掩盖其在理论基础上的薄弱，甚至还造成了第二次的数学危机。实数完备性，又称为实数连续性是微积分建立的基础，是微积分大厦坚实的理论地基。可以这样说，整个微积分都建立在实数完备性基础之上。本课题对实数完备性展开研究，主要是对其中互相等价的六个命题进行讨论，研究其性质和在微积分中发挥的作用，并完整证明等价性。

对学生知识与能力要求1、熟悉微积分背景及理论知识；

2、有较好的分析和总结问题的能力。

3、较强的逻辑推理能力。

预期目标1、了解微积分发展的历史；

2、理解实数完备性在微积分中发挥的作用；

3、熟悉实数完备性定理，并完整证明等价性；

4、最终成果以毕业论文形式呈现。

时间进度校历第2-4周（3.09-3.27）：查阅题目相关资料，撰写并提交开题报告；

校历第5-6周（3.30-4.10）：学习微积分发展的背景知识，了解实数完备性的作用；校历第7-8周（4.13-4.24）：熟悉实数完备性中的命题，并研究其性质；

校历第9-10周（4.27-5.08）：完整证明六个命题的等价性；

校历第11-12周（5.11-5.22）：总结之前工作，整理论文思路，撰写论文大纲；

校历第13-14周（5.25-6.05）：撰写论文初稿，进行修改，并最终定稿；

校历第15周（6.08-6.14）：提交论文定稿并进行毕设答辩。

系（教研室）主任

签字年月日主管院长

签字年月日

西安邮电大学本科毕业设计（论文）开题报告学号07111012 姓名苏乔怡导师马晓珏题目实数完备性研究及应用

选题目的（为什么选该课题）

实数完备性，又称为实数连续性是微积分建立的基础，是微积分大厦坚实的理论地基。可以这样说，整个微积分都建立在实数完备性基础之上的,它在整个数学分析中占据着重要的位置.但由于之前课程体系和具体内容安排,对于它的学习是比较浅显而粗糙的.选择该课题可以说是对这部分内容重要性的补充,很有必要.

前期基础（已学课程、掌握的工具，资料积累、软硬件条件等）

通过已学课程数学分析，了解实数完备性的一些相关知识，具备了一定数学理论基础，并且学校丰富的资源例如大量参考文献和论文资料，以及导师提供的指导与讲解都是研究该课题的有利工具。所查阅资料有华东师范大学数学系的数学分析第三版，和刘玉琏的数学分析讲义第五版。

要解决的问题（做什么）

熟悉和理解实数完备性的六个定理,深刻理解它们的本质.完整证明实数完备性定理之间的等价性；利用实数完备性证明闭区间上连续函数的性质,并对其在整个微积分中的应用展开讨论。

工作思路和方案（怎么做）

回顾所学知识以及参考大量的相关文献以及相关论文，利用中国知识网，中国学术期刊网搜集整理所需的资料,从中筛选出自己论文所要用到的内容，并结合自己已掌握的数学分析知识深入题目，对实数完备性的六个定理中的每一个都从定理本身和其适用范围及相互关系的角度具体展开研究.尤其是六个定理之间的等价性证明,采用循环证明的方法进行.在对实数完备性理解更深刻之后,研究它在整个微积分体系中的作用,并具体举例说明.

指导教师意见

苏乔怡同学通过收集和阅读相关文献资料，初步明确了实数完备性研究及应用这一课题的目的，做了一些前期准备工作，针对课题中要解决的问题提出了合理的解决思路，工作方案行之有效，计划合理。

西安邮电大学毕业设计(论文)成绩评定表

学生姓名性别学号专业班级

课题名称

指导

教师

意见

评阅

教师

意见

验收

小组

意见

答辩

小组

意见

评分（百分制）：答辩小组组长(签字)：年月日评分比例指导教师评分20(％) 评阅教师评分30(％) 验收小组评分30(％) 答辩小组评分20(％) 学生总评成绩百分制成绩等级制成绩

答辩

委员

会意

见毕业论文(设计)最终成绩(等级)：

学院答辩委员会主任(签字)：年月日

实数完备性研究与应用

目录

摘要 (Ⅰ)

ABSTRACT (Ⅱ)

引言 (1)

1 预备知识 ............................................ 错误！未定义书签。

2.1互补问题......................................... 错误！未定义书签。

2.2互补问题的应用................................... 错误！未定义书签。

2 非光滑牛顿法研究 .................................... 错误！未定义书签。

3.1半光滑函数及其性质............................... 错误！未定义书签。

3.2半光滑再生方程................................... 错误！未定义书签。

3.3无约束优化问题................................... 错误！未定义书签。

3.4半光滑牛顿法（Ⅰ）............................... 错误！未定义书签。

3.5半光滑牛顿法（Ⅱ）与正则牛顿法................... 错误！未定义书签。

3 数值实验与分析 ...................................... 错误！未定义书签。结论 .................................................. 错误！未定义书签。致谢 ................................................ 错误！未定义书签。参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。

摘要

实数集的完备性即实数的连续性（稠密性），为实数集合的一个基本特征。它是数学原理证明的基础，也是微积分学坚实的理论基础。实数的完备性一直都是研究者热衷的研究课题，也是考查学生基本功和论证能力的一项重要指标。通过学者研究，我们可以从多个角度来刻画和描述实数的完备性。这就是本篇论文主要描述并证明的实数完备性六个基本定理，包括确界原理，单调有界定理，区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理以及柯西收敛准则。

另外，在论文中还介绍了一些实数完备性在其他定理证明以及例题中的应用，例如有界性定理，最大、最小值定理，介值性定理，一致连续性定理等。通过这些应用是我们认识到实数完备定在数学理论中的重要地位。

关键词：实数完备性；实数连续性；等价性；微积分；

Abstract

The completeness of real numbers is also called continuity and density of real numbers. It is a basic feature of real set. It is not only a basis of the proof of the mathematical theorems, but also a theoretical basis of calculus. The completeness of real number is always the research topic which the researcher is keen, also is an important index to examine the students' basic skills and the ability of demonstration. By scholars, we can from the multiple perspectives to depict the real number completeness, so in the end be a real number completeness theorem, this is this article mainly describe and prove the completeness of real number six basic theorems, including definite principle, drab bounded theorem, theorem of nested interval, the finite covering theorem, dot theorem and Cauchy convergence criterion.

In the paper, the application of real number completeness in other principles is introduced, such as bounded theorem, maximum, minimum value theorem, value theorem, uniform continuity theorem, etc. Through these applications, we recognize the important position of real number theory in mathematics theory.

Key words: Completeness of Real Numbers; Continuity of Real Numbers; Equivalence; Calculus

引言

大家都知道，实数理论是数学分析的基础，而完备性和连续性是实数系最为重要的特征，因为具有了实数的完备性和连续性，所以才能讨论极限，连续，微分和积分。在实数理论中，实数的完备性的六个定理又充当着至关重要的作用。为了能让大家对这六个定理可以有一个全面的认识，本篇论文便以确界定理为起始证明其他定理的正确性，并且在实数的完备性应用方面进行了分析和举例。因此在探讨函数的不同极限的运算正确性的过程中，人们慢慢建立起严密完善的数学分析理论体系。

《实数完备性研究及应用》这篇论文并不能称得上是一篇具有创新性的论文，前人对于此项方面的研究已经积累到了一定水平。而我所做的工作就是“站在巨人的肩膀上”。撰写这篇论文的过程中，我不仅搜集了许多学者在实数完备性方面的研究报告，并且整理出了对于循环证明实数完备性六个定理所需要的基础预备知识。通过对资料的分析理解，我也完成了对该六个定理的研究证明及应用。

实数完备性的基本定理是整个数学体系理论性很强的一部分。实数理论的建立,体现了数学分析的严密性。我们都知道，数学分析的理论基础是实数完备性,而实数完备性也是实数的理论中重要内容之一,这其中也有许多的精彩有趣之处。目前，实数的完备性研究主要关注六个定理的循环证明，还有定理的应用。虽然该六个定理描述的方向不同，但表达的都是实数稠密性这同一件事，因此它们彼此是等价的。实数完备性基本定理的证明在不同的课程辅导教材中都有各自不同的处理方法，可以说是众说纷纭。在这些方法中，比较通俗易懂的是用区间套方法去证明其它的定理。1987年，数学家M.W.Botsko提出了一种可以统一对这部分内容进行处理的新方法——完全覆盖法，这个方法使大家在实数完备性的研究方面有了新的领悟和体会。因此，许多学者在这些方面都做了一些工作。另外，我认为该完备性定理的应用也是研究的重要方向之一，这些定理从不同方面体现了实数的完备性，并且它们也在对论证其它一些重要定理和规则上提供了依据，例如介值性定理，有界性定理等。另外，最为《数学分析》的基础知识，实数完备性在很大程度上考察了学生的基础知识和专业论证能力，经常得到考题官的喜爱。

1 预备知识

1.1 确界定义

]

2[

定义 1.1.1 设S 为 ?中的一个数集。若存在数M (L )，使得对一切S x ∈，都有x ￡M (x 3L )，则S 称为有上界(下界)的数集，数M (L )称为S 的一个上界(下界)。

若数集S 上界与下界都有，则称S 为有界集．若S 不是有界集，则称S 为无界集。

定义1.1.2 设S 是 ?中的一个数集．若数η满足： （i ）对一切S x ∈，有η≤x ，即η是S 的上界；

（ii ）对任何ηα<存在S x o ∈，使得α>o x 即η又是S 的最小上界 则数η叫做数集S 的上确界，写作S sup =η。

定义1.1.3 设S 是 ?中的一个数集．若数ξ满足： （i ）对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是S 的下界

（ii ）对任何ξβ>，存在S x o ∈，使得,β

因此，统称上确界与下确界为确界。

1.2 极限以及数列定义]2[

定义1.2.1 若函数f 的定义域为全体正整数集合+N ，则R f →N +: 或 ()+N ∈n n f , 为数列。

定义1.2.2 设{}n a 为数列，a 为定数。若对任给的正数ε（不论它多么小）， 总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定 数a 称为数列{}n a 的极限，并记作a a n =lim 或()∞→→n a a n 。

定义1.2.3 若数列{}n a 的各项满足关系式()11++≥≤n n n n a a a a ，则称{}

n a 为

递增（递减）数列。递增数列和递减数列统称为单调数列。

1.3 区间套定义]2[

定义1.3.1 若闭区间序列[]{}n n b a ,具有如下性质：

（i ）[][],...2,1,,,11=?++n b a b a n n n n ； （ii ）()0lim =-∞

→n n n a b ，

则称[]{}n n b a ,为闭区间套，简称区间套。

1.4 聚点定义]2[

定义1.4.1 设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以

属于S , 也可以不属S )。若对于任意正数ε,在()εξ;U 中含有S 的无限个点, 则 称ξ为的S 一个聚点。

定义1.4.1' 设S 为实数集R 上的非空点集,R ∈ξ。若对于任意正数ε，

()φεξο≠S U ;，则称ξ为的S 一个聚点。

定义1.4.1″ 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ?，则其极限ξ=∞

→n n x lim 称为

S

的一个聚点。

下面简单叙述一下这三个定义的等价性： 定义1.4.1 → 定义1.4.1' 由定义直接得到

定义1.4.1' → 定义1.4.1″ 对任给的0>ε，由()φεξο≠S U ;， 那么取11=ε，()S U x 1;1ξο∈?；

取?

??

???-=ξε12,21min x ，()S U x 22;εξο∈?；

.......... 取?

??

???-=-ξε1,1min n n x n ，()S U x n n εξο;∈?；

..........

这样就得到一列{}S x n ?。由n ε的取法，{}n x 两两互异，并且 n

x n n 1

0≤<-<εξ 由此 ξ=∞

→n n x lim

定义1.4.1″ → 定义1.4.1 根据极限的定义知道是显然的。

1.5 开覆盖定义]2[

定义1.5.1设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素α的开区间）。若S中任意一点都包含在至少一个开区间内，则称都是形如)

,

(β

H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.如果H中开区间的个数无限（有限）的，那么称H为S的一个有限开覆盖。

2 实数完备性定理的证明

]

10[

2.1 确界原理及其证明

确界原理 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界。]2[

证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明。

为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数。由于S 有上界，故可找到非负整 数n ，使得

)1对于任何S x ∈有1+

对半开区间[)1,+n n 作10等分,分点为9.,,2.,1.n n n ,则存在,2,1,09, 中的 一个数1n ,使得

)1对于任何S x ∈有10

1.1+

1

.,.[11+

n n n n 作10等分，则存在9,2,1,0 中的一个数2n 使得 )1对于任何S x ∈有

1

.+n n n

)2存在S a ∈2，使..212n n n a ≥

继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在

9,2,1,0 中的—个数k n ，使得

)1对于任何S x ∈有k

k n n n n x 10

1.21+

< )2存在S a k ∈，使 ..21k k n n n n a ≥

将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21 k n n n n =η。以下证明

=ηS sup 。为此只需证明：

（i ） 对一切S x ∈有η≤x ；

（ii ）

对任何ηα<，存在S ∈'α使'a <α

倘若结论（i ）不成立，即存在S x ∈使η>x ，则可找到x 的k 位不足近似k x ，

使

=>k k x η+

k n n n n 21.k

101， 从而得

k

k n n n n x 101.21+

> ， 但这与不等式)1(相矛盾．于是（i ）得证。

现设ηα<，则存在k 使η的k 位不足近似k k αη>，即 k k n n n n α> 21.， 根据数η

的构造，存在S a ∈'使k a η≥'，从而有 k a η≥'αα≥>k ，

即得到'a <α，．这说明（ii ）成立。

2.2 单调有界定理及其证明

单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. ]2[

证 设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理知，数列{}n a 含上确界，写作

{}n a a sup =。 下面证明a 就是{}n a 的极限。

事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得

N a a <-ε。又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε。

另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n 。 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞

→lim 。

同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界。

2.3 区间套定理及其证明

区间套定理 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],...2,1,,=∈n b a n n ξ, 即,...2,1,=≤≤n b a n n ξ。]2[

证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.

同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有

ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.

综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.

下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的。 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，

则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.

由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞

→n n n a b ξξ，故有 ξξ='。

注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立。例如对于

开区间列 ?

??

?????? ??n 1,0 , 显然ξ是不存在的。

推论 若[](),...2,1,=∈n b a n n ξ是一个区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给 的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有[]()εξ;,U b a n n ?。 证 由区间套定理的证明可得：ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim 。

由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在 正整数N , 当N n ≥时， 有 n a <-εξ ，εξ+

2.4 柯西收敛准则及其证明

柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N 使得当N m n >,时有 ε<-m n a a 。

]

2[

证 (必要性)设 A a n n =∞

→lim ，由数列极限的定义，对任给的0>ε，存在正整

数N ，使得当N m n >,时有

2

ε

<

-A a n , 2

ε

<

-A a m 因而有 ε<-+-<-A a A a a a m n m n 。

(充分性)由题设，对任给的0>ε，存在正整数N ，当N n ≥时，

ε<-N n a a 。 即当N n ≥时，有 ()εε+-∈N N n a a a ,。

N a ε

-N a ε

+N a x

令21=

ε，存在正整数1N ，当1N n ≥时，?????

?

+-∈21,2111N N n a a a ， 取 []?????

?

+-=21,21,1111N N a a βα。

令221=ε,存在正整数12N N ≥，当2N n ≥时，?????

?

+-∈2221,2122N N n a a a ,

取 [][]?????

?

+-=22112221,21,,22N N a a βαβα。

显然有 [][]2211,,βαβα? ，21

22≤-αβ，并且当2N n ≥时，[]22,βα∈n a 。

.......

令k 21=

ε，存在1-≥k k N N ，当k N n ≥时，?????

?

+-∈k N k N n k k a a a 21,21, 取[][]?????

?

+-=--221121,21,,k k N N k k k k a a βαβα。

.......

这样就得到一列闭区间[]{}k k b a ,，满足 （i ）[][],...2,1,,,11=?++k b a b a k k k k ； （ii ）∞→→≤

--k a b k k k ,0211

；

（iii ）对+N ∈?k ，当k N n ≥时，[]k k n a βα,∈. 由区间套定理，存在惟一的 []k k βαξ,∈。

由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时

[]()εξ;,U b a a n n n ?∈，所以εξ<-n a 。 这就证明了 ξ=∞

→n n a lim . 故数列{}n a 收敛。

2.5 魏尔斯特拉斯聚点定理及其证明

聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点。]2[

证 因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使[]M M S ,-? , 且记

[][]M M b a ,,11-=。

现将 []11,b a 等分为两个子区间. 因S 为无限点集，故两个子区间中至少有

一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ?

且 M a b a b =-=

-)(2

1

1122。 再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S 中无穷多个点，取

出这样一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ?， 且 2

)(212233M a b a b =-=

- 。 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足

[][]

,...2,1,,,11=?++n b a b a n n n n ， )(02

1

∞→→=

--n M

a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点。

由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ。 由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时

[]()εξ;,U b a a n n n ?∈.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义8ξ为S 的一个聚点。

推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列。]2[

证 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的 子列是一个常数列，而常数列总是收敛的。

若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ。 于是按定义8″，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）。

2.6 海涅-博雷尔有限覆盖定理及其证明

有限覆盖定理 设H 为闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选

出有限个开区间来覆盖[]b a ,。]2[

证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖

[]b a ,。

现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用

H 中有限个开区间来覆盖。记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11?

且 )(2

1

11a b a b -=

-。 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖。取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ?，

且 )(2

1

222a b a b -=

-。 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足

[][]

,...2,1,,,11=?++n b a b a n n n n ， )(0)(2

1

∞→→-=

-n a b a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖。 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ。

由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈。 于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα?n n b a 。

这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾。

从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,。

注 定理的的结论只对闭区间[]b a ,成立，而对开区间则不一定成立。

3 实数完备性的循环证明及应用

3.1实数完备性定理的循环证明]8[

首先使用有限覆盖定理证明聚点定理]7[

证 设S 为直线上的有界无限点集. 于是存在b a ,使[]b a S ,?。 假定[]b a ,在任何点都不是S 的聚点，则对每一点[]b a x ,∈都存在相应的

0>x δ，使得()x x U δ;内至多包含S 的有限多个点。

令()()b a x x U H x ,;∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖，据有限覆盖定理，H 中存在有限个邻域()

1;1x x U δ，....，()

n x n x U δ;，使得覆盖了H ，从而也覆盖了S 。由于每个邻域中至多含有S 的有限个点，故这n 个邻域的并集也至多只含有S 的有限个点，于是S 为有限点集，这与题设S 为无限点集矛盾。 因此，在[]b a ,中至少有一点是S 的聚点。 接下来用聚点定理证明柯西收敛准则

证 设数列{}n a 为有界数列。若{}n a 中有无限多个相等的项，则由这些 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的。

若数列{}n a 不含有无限多个相等的项，则{}n a 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n a 至少有一个聚点，记为ξ。

于是按定义8″，存在{}n a 的一个收敛子列（以ξ为其极限）。

设数列{}n a 满足柯西条件。 先证明{}n a 是有界的.为此，取1=ε，则存在正 整数N ，当1+=N m 及N n >时，有 11<-+N n a a 。

由此得 111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a 。 令}1,,...,,max{121+=+N N a a a a M ，则对一切正整数n 均有M a n ≤。 于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}

k n a ，设A a k n k =∞

→lim 。

对认给的0>ε，存在0>K ，当K k m n >,,时，同时有

2

ε

<-m n a a （柯西条件） 2

ε<

-A a K n （A a k n k =∞

→lim ）