运筹学(1)
一、绪论
§1 运筹学的简史
运筹学作为科学名称出现于20世纪30年代末。英、美对付德国空袭，采用雷达，技术上可行，实际运用不好用。如何合理运用雷达？“运用研究”（Operational Research）,我国1956年用“运用学”名词，1957年正式定名为运筹学。
运筹学小组在英、美军队中成立，研究：护航舰队保护商船队的编队问题、当船队遭受德国潜艇攻击时如何使船队损失最小问题、反潜深水炸弹的合理爆炸深度（德国潜艇被摧毁数增到400%）、船只在受敌机攻击时的逃避方法（大船急转向、小船缓转向，中弹数由47%降到29%）。
运筹学组织在英、美军队（RAND）中成立，研究：战略性问题、未来武器系统的设计和合理运用方法、美国空军各种轰炸机系统的评价、未来武器系统和未来战争战略、苏联军事能力及未来预报、苏联政治局计划的行动原则和未来战争的战略、到底发展哪种洲际导弹（50年代）、战略力量的构成和数量（60年代）。
运筹学在工业、农业、经济、社会问题等领域有应用。
运筹数学：数学规划（线性规划（丹捷格（G.B.Dantzig）1947，单纯形法；康托洛维奇1939解乘数法，1960《最佳资源利用的经济计算》，诺贝尔奖；列昂节夫1932投入产出模型；冯.诺意曼）、非线性规划、整数规划、目标规则、动态规划、随机规划等）、图论与网络、排队论（随机服务系统理论）(丹麦工程师爱尔朗（Erlang）1917提出一些著名公式)、存贮论、对策论（冯.诺意曼和摩根斯坦，1944《对策论与经济行为》）、决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。
运筹学领域的诺贝尔奖得主：阿罗、萨谬尔逊、西蒙（经济学家）、多夫曼、胡尔威茨、勃拉凯特（Blackett,美，物理学家）。
运筹学会的建立：英国（1948年）、美国（1952年）、法国（1956年）、日本（1957年）、印度（1957年）、中国（1980年），38个国家和地区。
国际运筹学联合会（IFORS）的成立：1959年，英、美、法发起成立，中国1982年加入。
欧洲运筹学协学（EURO）的成立：1976年。
亚太运筹学协学（APORS）的成立：1985年。
运筹学在我国的引入：20世纪50年代中期，钱学森、许国志、华罗庚，推广应用运筹学：投入产出表、质量控制（质量管理）。
§2 运筹学的性质和特点
运筹学的定义：
“为决策机构在对其控制下业务活动进行决策时，提供以数量化为基础的科学方法”-——（莫斯(P.M.Morse)和金博尔(G.E.Kimball)）。
“运筹学是一门应用科学，它广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据”
“运筹学是一种给出问题坏的答案的艺术，否则的话问题的结果会坏。”
运筹学的特点：
多学科交叉、强调量化和最优（次优、满意）、为决策（管理）服务、解决实际问题。
应用运筹学的六原则：
合作原则（相互配合）、催化原则（改善心智模式）、互相渗透原则（系统全局考虑问题）、独立原则（不受政策左右、独立从事工作）、宽容原则（思路宽、方法多、不局限特定方法）、平衡原则（考虑矛盾与关系平衡）。
§3 运筹学的工作步骤
提出和形成问题。弄清问题目标、约束、可控变量、参数，搜集资料。 建立模型。把问题可控变量、参数、目标、约束的关系用模型表示。
求解。用各种手段将模型求解，得最优解、次优解、满意解，借助计算机，精度由决策者定。 解的检验。检查求解步骤程序有无错误、解是否反映现实问题。 解的控制。控制解的变化过程决定对解是否作一定改娈。
解的实施。向实际部门讲清解的用法、在实施中可能产生的问题和修改。
§4 运筹学的模型
模型：是研究者对客观现实经过思维抽象后用文字、图表、符号、关系式、实体模样描述所认识到的客观对象。
模型的三种基本形式：形象模型、模拟模型、符号或数学模型。
构模的方法和思路：直接分析法、类比法、数据分析法、试验分析法、想定（构想）法（Scenario ）。 模型的一般数学形式：
目标的评价准则：),,(k j i y x f U ξ= 约束条件：0),,(≥k j i y x g ξ
其中i x 为可控变量；j y 为已知参数；k ξ为随机因素。
§5 运筹学的应用
运筹学的应用领域：市场销售、生产计划、库存管理、运输问题、财政和会计、人事管理、设备维修更新和可靠性项目选择和评价、工程优化设计、计算机和信息系统、城市管理。
趋向大规模复杂问题，与系统工程难于分解。
§6 运筹学的展望
运筹学应在三个领域发展：运筹学应用、运筹科学、运筹数学，强调发展前两者，整体协调发展。——美国前运筹学会主席邦特（S. Bonder ）
要从运筹学到系统分析，与未来学紧密结合。
层次分析法（AHP ）——沙旦（T.L.Saaty ）20世纪70年代末提出。 采用软系统思考方法，以“易变性”概念看待所得“解”。——切克兰特（P.B.Checkland ） 决策支持系统是使运筹学发展的好机会。
运筹学在不断发展，新思想、观点、方法在不断出现。
二、 线性规划与目标规划
线性规则：运筹学重要分支，1947年丹捷格（G .B.Dantzig ）提出，给出“单纯形法”解法。
目标规则：1961年查恩斯（A.charns ）与库伯(W.W.Cooper)提出，艾吉利（Y .Ijiri ）提出用优先因子处理多目标问题，斯.姆.李(S.M.Lee)与杰斯开来尼(V .Jaaskelainen)用计算机处理多目标问题。
第一章 线性规则与单纯形法
§1 线性规则问题及其数学模型
1.1
问题提出
如何合理利用有限人力、物力、财力资源，以便得到最好经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需设备台时及A 、B 两种原材料的消耗如表1-1所示。问：应如何安排计划使工厂获利最多？ 设1x 、2x 分别为生产Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量，则
???????≥≤≤≤++=0
,12416482..32max 2121
2121x x x x x x t s x x z
例2 靠近某河流有两个化工厂（见图1-1），流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为每天200万m 3支流。第一化工厂每天排放含某种有毒物质的工业污水2 万m 3，第二化工厂每天排放含这种工业污水1.4 万m 3。从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可自然净化。根据环保要求，河水中工业污水的含量应不大于0.2%。这两个工厂都需各自处理一部分工业污水。第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/ 万m 3，第二化工厂处理工业污水的成本是800元/ 万m 3。问：在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总处理工业污水费用最小？
表1-1
?????
????≥≤≤≥+≥+=0
,4.126
.18.01
..8001000min 212121121x x x x x x x t s x x z
共同特征：
用一组决策变量),,,(21n x x x 表示方案，这组决策变量值表示具体方案，变量取值非负； 存在约束条件（一组线性等式或线性不等式）；
有一个要达到的目标，目标函数是决策变量的线性函数，要求目标函数实现最大或最小。 线性规划的数学模型：
目标函数：n n x c x c x c z ++=2211m ax (m in) ( 1.1)
满足约束条件：??
??
??
?????
≥≥=≤++≥=≤++≥=≤++)
3.1(0,,),()2.1(),(),(2
122112
222212*********n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b
x a x a x a b x a x a x a
1.2
图解法
???????≥≤≤≤++=0
,1241648
2..32max 2121
212
1x x x x x x t s x x z （4，2）；z=14
工厂1
图1-1
?????
????≥≤≤≥+≥+=0
,4.126
.18.01
..8001000min 212121121x x x x x x x t s x x z
一般线性规划问题求解结果出现的情况：
（1）无穷多最优解（多重解）；??????
?≥≤≤≤++=0
,1241648
2..42max 2121212
1x x x x x x t s x x z （2）无界解；?????≥≤-≤+-+=0,24
2..max 2
121212
1x x x x x x t s x x z
（3）无可行解；?????
????≥≥+-≤≤≤++=0
,4
212
416482..32max 212
121
212
1x x x x x x x x t s x x z （2）、（3）情况出现，一般模型有误：（2）缺必要约束条件，（3）有矛盾约束条件。 直观结论：
当线性规划问题可行域非空时，它是有界或无界凸多边形。若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域
的某个顶点得到；若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。 1.3
线性规划问题的标准型式
n n x c x c x c z ++=2211m ax
s.t.
(M 1 ) ???????????≥∈≥=++=++=++0
},,2,1{0,,21221
1222221
2111212111i n m n mn m m n n n n b m i x x x b x a x a x a b
x a x a x a b x a x a x a 规定对
∑==n
j j j x c z 1max s.t. ('1M ) ???
?
?
????≥∈=≥==∑=0},,2,1{,,2,10,2,11i j n
j i
j ij b m i n j x m i b x a 规定对
用向量与矩阵表述：
CX z =max s.t. ("1M ) ???
?
?
????≥=≥=∑=0,,2,10
1b n j x b x P j n
j j j 规定
其中 ),,,(21n c c c C =；??????? ??=n x x x X 21； ??????
? ??=nj j
j j a a a P 21；??????? ??=m b b b b 21；向量j P 对应决策变量j x 。
用矩阵矩阵描述：
CX z =max s.t. b AX =, 0≥X .
其中()
n
m ij a A ?==),,,(21n P P P ；1
0000?????
???
??=n ；称A 为约束条件的n m ?维系数矩阵，n m <；0,>n m ；b 为资源向量；C 为价值向量；X 为决策变量向量。
如何将各种线性规划问题的数学模型化为标准型： （1） 若要求目标函数实现最小化，即CX z =min 。
将目标函数最小化变为目标函数最大化：令z z -='，得CX z -='
max 。
（2） 约束方程为不变式。
（ⅰ）约束方程为“≤”不变式：在“≤”不变式左端加入（+）非负松驰变量。 （ⅱ）约束方程为“≥”不变式：在“≥”不变式左端减去（-）非负剩余（松驰）变量。
(3) 若存在取值无约束的变量k x ，可令"'k k k x x x -=，其中0,"
'≥k k x x 。
例3 将 ??????
?≥≤≤≤++=0
,12416482..32max 2121212
1x x x x x x t s x x z 化为标准型。
例4 将 ??????
?≥=++-≥+-≤++-+-=为无约束
3213213
213213
21,0,5232
7..32min x x x x x x x x x x x x t s x x x z 化为标准型。 1.4
线性规划问题的解的概念
∑==n
j j j x c z 1
max s.t. ('
1M ) ???
?
?????≥∈=≥==∑=0},,2,1{,,2,10
,2,11i j n
j i
j ij b m i n j x m i b x a 规定对 (1.5)
(1.6)
(1.4)
可行解：满足约束条件(1.5)、(1.6)的解T
n x x x X ),,,(21 =称为线性规划问题的可行解，使目标函
数达到最大值的可行解叫最优解。
基：设A 为约束方程的n m ?维系数矩阵，其秩为m 。B 是A 中m m ?阶非奇异子矩阵（0≠B ），则称B 是线性规划问题的一个基。B 由m 个线性无关（独立）的列向量组成。不妨设
),,,(212
1
11211m mm m m m P P P a a a a a a B
=???
?
?
??=，称j P （m j ,,2,1 =）为基向量，与基向量j P 相应的变量j x （m j ,,2,1 =）为基变量。设n m <，则
∑∑+==-
=n
m j j
j
m
j j
j x
P b x
P 1
1
（1.7） ;)
,,,(21m B x x x X =是对应基B 的基变量；在（1.7）中令非基变量0)0,,0,0(),,(21===++ n m m N x x x X ，用高斯消元法，
求出解T
m x x x X )0,0,0,,,,(21 =，称X 为基解。
基可行解：满足非负条件(1.6)的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
§2 线性规则问题的几何意义
2.1 基本概念
凸集：设K 是n 维欧氏空间的一点集，若任意两点K X ∈)1(，K X ∈)
2(的连线上的一切点
K X X ∈-+)2()1()1(αα，（10≤≤α）；则称K 为凸集。任意两凸集的交集是凸集。
凸组合：设)()2()
1(,,,k X X X
是n 维欧氏空间n E 中的k 个点。若存在k μμμ,,,21 ，且10≤≤i μ
，
k i ,,2,1 =；11
=∑=k i i μ，使∑==k
i i i X X 1
)(μ，则称X 为)()2()1(,,,k X X X 的凸组合。
顶点：设K 是凸集，K X ∈；若X 不能用不同的两点K X ∈)1(和K X ∈)2(的线性组合表示为
)2()1()1(X X X αα-+=，（10<<α）；则称X 为K 的一个顶点（或极点）。
2.2 基本定理
定理1 若线性规划问题存在可行域，则其可行域∑=≥==n
j j j
j x b x
P X D 1
}0,|
{是凸集。
引理1 线性规划问题的可行解T
n x x x X ),,,(21 =为基可行解的充要条件是X 的正分量所对应的系数
列向量是线性独立（无关）的。
定理2 线性规划问题的基可行解对应于可行域D 的顶点。
引理2 若K 是有界凸集，则任何一点K X ∈可表示K 的顶点的凸组合。
定理3 若可行域有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。有时目标函数可能在多个顶点处达到最大值，这时在这些顶点的凸组合上也达到最大值。若可行域为无界，则可能无最优解，也可能有最优解，若有也必定在某顶点上得到。
总结：线性规划问题的所有可行解构成的集合是凸集，也可能为无界域，它们有有限个顶点，线性规划问题的每个基可行解对应于可行域的一个顶点；若线性规划问题有最优解，必在某顶点上得到。
§3 单纯形法
基本思路：根据问题的标准型，从可行域中某个基可行解（顶点）开始，从一个基可行解（顶点）转换到另一个基可行解（顶点），使目标函数值不断增大，当目标函数值达到最大时就得到了最优解。 3.1 举例
?????????≥=+=+=++++++=0
,,,,12416482..00032max 54321524132154321x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z
3.2 初始基可行解的确定
为确定初始基可行解，先找出初始可行基，其方法如下： 1. 若线性规划问题
∑==n
j j j x c z 1max s.t. ???
?
?
????≥=≥=∑=0,,2,10
1
b n j x b x P j n
j j j 规定 从j P （n j ,,2,1 =）中
直接观察到一个初始可行基????
??
? ??==100010001),,,(21 m P P P B 。
2. 对所有约束条件是“≤”形式的不等式，可利用化标准型的方法，在每个约束条件的左端加上一个松
驰变量。经过整理，重新对j x 及ij a （n j m i ,,2,1;,,2,1 ==）进行编号，则可得下列方程组：
m
n mn m m m m n n m m n n m m b x a x a x b x a x a x b x a x a x =+++=+++=+++++++++ 11,2
211,221
111,11
得初始可行基??
??
??
?
??==100010001),,,(21 m P P P B
令非基变量)0,,0,0(),,(21 ==++n m m N x x x X ，求得初始基可行解T
m b b b X )0,0,0,,,,(21 =。
3. 对所有约束条件是“≥”形式的不等式及等式约束情况，若不存在单位矩阵时，就采用人造基方基。
即对于不等式约束减去一个非负的剩余变量后，再加上一个非负的人工变量；对于等式约束再加上一个非负的人工变量，总能得到一个单位矩阵。（本章§5深入讨论） 小结：任一线性规划问题都可化为以下类型的线性规划问题来求解，我们称之为典则型线性规划问题：
n n x c x c x c z ++=2211m ax s.t. ????
?
????=+++=+++=+++++++++m n mn m m m m n n m m n n m m b x a x a x b x a x a x b x a x a x 11,2211,221
111,11 （1.22）
(1.21)
(1.20)
3.3 最优性检验与解的判别
∑+=-
=n
m j j ij
i
i x a b x 1
'' (m i ,,2,1 =) (1.24) ； ∑∑∑+===-+
=n
m j j m
i ij i j m
i i i x a c c b c z 1
1
'
1
')( (1.25) ；令
∑==m
i i
i b c z 1
'
0 , ∑==m
i ij
i j a c z 1
' , (n m j ,,1 +=), 则 ∑+=-+
=n
m j j j j
x z c
z z 1
0)( (1.26)；再令
j j j z c -=σ , (n m j ,,1 +=) , 则∑+=+
=n
m j j j
x z z 1
0σ
（ 1.27）。
1. 最优解的判别定理：若T m b b b X
)0,,0,,,,('
'2'1)0( =为对于基B 的一个基可行解，且对于一切n m j ,,1 +=有0≤j σ，则)0(X 为最优解。称j σ为检验数。
2. 无穷多最优解判别定理：若T m b b b X
)0,,0,,,,(''2'1)
0( =为一个基可行解，对于一切n
m j ,,1 +=有0≤j σ，又存在某个非基变量的检验数0=+k m σ，则线性规划问题有无穷多最优解。
3. 无界解判别定理：若T m b b b X
)0,,0,,,,(''2'1)0( =为一个基可行解，有一个0>+k m σ，并且对m i ,,2,1 =有0,≤+k m i a ，则线性规划问题有无界解（或称无最优解）
。 注：以上讨论都是针对标准型，即求目标函数极大化时的情况。当求目标函数极小化时，一般情况如前所述，将其化为标准型。如果不化为标准型，只需在上述1，2点中把0≤j σ改为0≥j σ，第3点中将0>+k m σ改为0<+k m σ即可。 3.4 基变换 若初始基可行解)
0(X
不是最优解及不能判别无界时，需要找一个新的基可行解。作法是从原可行基中换
一个列向量（保持线性无关），得到一个新可行基，这称之为基变换。为换基，先确定换入变量，再确定
换出变量，对换系数列向量，就得新基可行解。
1. 换入变量的确定 一般选k j j
σσ=>}0{max 对应的k x 为换入变量，也可任选或按最小足码选
)0(>j σ对应的j x 为换入变量。
2. 换出变量的确定
设m P P P ,,,21 是一线性无关的向量组，它们对应的基可行解是)
0(X
。将)0(X 代入约束方程组（1.21）得：
∑==m
i i i
b P x
1
)
0( (1.28) ；n t m m m P P P P ,,,,,21 +++可用m P P P ,,,21 线性表示，设t m P +为换入变量，
则∑=++=
m
i i t
m i t m P P 1
,β
，其中t m i +,β（m i ,,2,1 =）不全为零；于是，01
,=-∑=++m
i i t m i t m P P β （1.29），
取0>θ，得
∑∑==++=-+m
i m i i t m i t m i i
b P P P x
1
1
,)0()(βθ，即∑=++=+-m
i t m i t m i i b P P x 1
,)0()(θθβ （1.30）；只
要按最小比值规则选取t m l l t m i t m i i i x x +++=??
?
???????>=,)0(,,)
0(0min βββθ，l x 为换出变量，则得新基可行解：
???
? ??--=+++++0,,0,,0,,0,,,0,,,)0(,,)0()
0(,1,)0()0(1)
1( t m l l t m m t m l l m t m t m l l x x x x x X
βββββ；由此得由)0(X 到)1(X 的各分量的转换公式：???
????=≠-
=+++l
i x l
i x x x t m l l t m i t
m l l i i
,)0(,,)
0()0()
1(βββ
用反证法可证)
1(X
的m 非零分量对应的列向量j P （l j m j ≠=;,,2,1 ）、t m P +是线性无关：反设j
P （l j m j ≠=;,,2,1 ）、t m P +线性相关，因为j P （l j m j ≠=;,,2,1 ）线性无关，所以t m P +可由j P （l j m j ≠=;,,2,1 ）线性表示，即∑≠=+=
m
l
j j j j
t m P P 1
α
；又因∑=++=m
i i t m i t m P P 1
,β，所以
0)(,1,=+-+≠=+∑l t m l m
l
j j j j t
m j P P βαβ
；根据θ规则，0,≠+t m l β，再由上式知m P P P ,,,21 线性相关，这与
已知条件矛盾。 3.5 迭代（旋转运算）
考虑以下约束方程组：??????
??
??
?????=+++++=+++++=+++++=+++++++++++++m n mn k mk m m m m l n n l k k l m m l l n n k k m m n n k k m m b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 11,11,22211,2211111,11 （1.33）
),,,(21m B x x x X =为基变量向量，),,,(21n m m N x x x X ++=为非基变量向量，令0=N X ，得一基可
行解T
m T N B b b b X X X )0,0,0,,,,(),(21 ==。若X 不是最优解，则要另找一个使目标函数增大的基
可行解。从非基变量中确定k x 为换入变量。此时lk l
ik ik i i a b a a b =
??????>=0min θ；在迭代过程中'''''0min lk
l ik ik i i
a b a a b =??????>=θ，其中'i b 、'
ik
a 是迭代后对应i
b 、ik a 的元素值。按θ规则确定l x 为换出变量。k x 、l x 的系数列向量分别为：?????????
?
??=mk lk k k k a a a a P 21；??????????
?
??=00100 l P ←第l 个分量。为使k x 、l x 对换，须把k P 变为单位向量，可对(1.33)系数矩阵的增广矩阵???????
?
?
?++++m mn
mk
m m l n l k l m l n k m n k
m m
l
b a a a b a a a b a a a b x x x x x x
1,1
,1111,111111
(1.34) 进行初等行变换实现。 变换的步骤：
1. 将增广矩阵(1.34)中的第l 行（主元行）除以lk a （主元素），得),,1,,,0,0,1
,0,,0(,1,lk
l lk n l k l m l lk a b a a a a a +-
2. 将增广矩阵(1.34)中k x 列（主元列）的各元素，除lk a （主元素）变换为１以外，其余都变换为０。变
换后系数矩阵各元素的变换公式为
???
???
?
≠≠-=)
()('
l i a a l i a a a a a lk lj ik lk lj ij
ij ；??????
?≠≠-=)
()
('
l i a b l i a a b b b lk
l
ik lk l i i
3. 经初等行变换得新增广矩阵??????????
?
?
?--++++''
'1.'''1
,'1'1'1,11110111
01m mn
m m lk mk
l n l m l lk
n m lk k n
k m m l
b a a a a b a a a b a a a a b x x x x x x
4.
),,,,,(21m k x x x x 为基变量，),,,,(1n l m x x x +为非基变量，得新基可行解
T l m l l b b b b b X )0,,0,,0,,0,,,,0,,,(''
'1'1'1)1( +-=。
举例： ?????????≥=+=+=++++++=0
,,,,1241648
2..00032max 5432152413215
4321x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z
§４ 单纯形法的计算步骤
4.1 单纯形表
11221111,2
211,22
1111,11
=+++++++-=+++=+++=+++++++++++n n m m m m m
n mn m m m m n n m m n n m m x c x c x c x c x c z b x a x a x b x a x a x b x a x a x
上述方程的增广矩阵为???????
????
??
???-+++++0110000
1
0001
0121
1,221
,2111,1121
n
m m
m mn
m m n m n m n m m c c c c c b a a b a a b a a b
x x x x x z
，采用初等行变换将增广矩阵中m c c c ,,,21 变换为
0，使其对应的系数矩阵为单位矩阵，得到
??
???????????????
?----∑∑∑===++++++m
i i i m i in
i n m i m i i m m mn
m m n m n m n m m b c a c c a c c b a a b a a b a a b x x x x x z 11
1
1,11
,221
,2111,112100011
0000
1000010
计算表
4.2 计算步骤
（1） 找出初始可行基，确定初始基可行解，建立初始单纯形表。
（2） 检验各非基变量j x 的检验数∑=-
=m
i ij
i j j a
c c 1
σ，若0≤j σ（n m j ,,1 +=），则已得最优解，
停止；否则转下一步。
（3） 在0>j σ（n m j ,,1 +=）中，若有某个k σ对应的系数列向量0≤k P ，则此问题是无界，停止；
否则转下一步。
（4） 根据k j j
σσ=>}0{max ，确定k x 为换入变量，按θ规划lk
l ik ik i
i
a b
a a
b =?????
?>=0min θ确定l x 为换出变量
（5） 以lk a 为主元素进行迭代（旋转运算），把k x 对应列向?????????
?
??=mk lk k k k a a a a P 21变换为??????????
?
??00100 ←第l 行，将B X 中的l x 换为k x ，同时改B C 中的对应元素，得新单纯形表。重复（2）—（5），直到终止。 举例：???????
??≥=+=+=++++++=0
,,,,12416482..00032max 543215241
3215
4321x x x x x x x x x x x x t s x x x x x z T X
X )4,0,0,2,4()
3(*
==
§5 单纯形法的进一步讨论
5.1 人工变量法
线性规划问题的约束条件是
∑==n
j j
j b x
P 1
分别给每个约束方程加入人工变量m n n n x x x +++,,,21 得：
???
??
?
??
??
???≥∈≥=+++=+++=+++++++++0
},,2,1{0,,,,,,212122112
22222121111212111i m n n n n m
m n n mn m m n n n n n n b m i x x x x x x b x x a x a x a b x x a x a x a b x x a x a x a 规定对 以m n n n x x x +++ ,,21为基变量，得m m ?单位矩阵为基。令非基变量n x x x ,,21为零，得初始基可行解
T m b b b X ),,,,0,,0,0(21)0( =。要求将人工变量m n n n x x x +++,,,21 从基变量中逐个替换出来。若经过
基变换，基变量中不再含有非零人工变量，则原问题有解。若在最终表中，所有0≤-j j z c 且有非零人工变量，则原问题无可行解。 1. 大M 法
在线性规划问题的约束条件中加入人工变量后，要求将人工变量对目标函数取值不受影响，为此假定人工
变量在目标函数中的系数为 (M -)（或M ）(M 为任意大的正数)，必需把人工变量从基变量中换出，否则目标函数不能实现最大（或最小）。
举例： 0
,,1
23
2411
23min 32131321321321≥=+-≥++-≤+-++-=x x x x x x x x x x x x x x z 0
,,,,,,1
2324112003min 765432173
16
53214
3217654321≥=++-=+-++-=++-++++++-=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Mx Mx x x x x x z
2,0,9,1,47654321-========z x x x x x x x
2. 两阶段法
用电子计算机求解含人工变量的线性规划问题时，只能用很大的数代替M ，可能造成计算上的错误。故介绍两阶段法求解含人工变量的线性规划问题。
第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解；给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数且要求实现最小化。即
m n n n x x x ++++++= 2
1m in ω s.t. ???
??
?
????
???≥∈≥=+++=+++=+++++++++0
},,2,1{0,,,,,,212122112
22222121111212111i m n n n n m
m n n mn m m n n n n n n b m i x x x x x x b x x a x a x a b x x a x a x a b x x a x a x a 规定对 用单纯形法求解上述模型，若得0=ω，则原问题存在基可行解，转第二阶段；否则原问题无可行解，停
止计算。
第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量；将目标函数行的系数换成原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表。
各阶段的计算方法与步骤与§3单纯形法相同。
举例： 0
,,1
23
2411
23min 32131321321321≥=+-≥++-≤+-++-=x x x x x x x x x x x x x x z 0
,,,,,,1
2324112min 765432173
16
53214
32176≥=++-=+-++-=++-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ω 5.2 退化
单纯形法计算中用θ规划确定换出变量，当存在两个以上相同最小比值时，下次迭代中有一个以上基变等于零，就出现退化解。换出变量0=l x 时，迭代后目标函数值不变，不同基表示同一顶点。当出现退化时，迭代会出现死循环，永远达不到最优解。
为避免迭代死循环，可采用勃兰特规则（Bland,1974）:
(1) }0|min{>-=j j z c j k ，选取下标最小的非基变量k x 为换入变量。
(2) 当按θ规划计算存在两个以上相同最小比值时，选取下标最小的基变量l x 为换出变量。 5.3 检验数的几种表示形式
标准型：{CX z =max |b AX =,0≥X ，0≥b } 最优判别准则：0≤-j j z c ，n j ,,2,1 =
标准型：{CX z =min |b AX =,0≥X ，0≥b } 最优判别准则：0≥-j j z c ，n j ,,2,1 =
这是因为：∑+=-+
=n
m j j j j
x z c
z z 1
0)(
5.4 单纯形法小结
1. 根据实际问题给出数学模型，列出初始单纯形表：按下表1-10进行标准化；分别以每个约束中的松弛
变量或人工变量为基变量，列出初始单纯形表。
2.对目标函数求max的线性规划问题，用单纯形法计算步骤框图见如下图1-9。
§6 应用举例
运筹学 ( 第1次 )
第1次作业 一、填空题（本大题共30分，共 10 小题，每小题 3 分） 1. 图解法的基本理论是: ______ 2. 最短路是在一网络中，求给定 ______ 到 ______ 的一条路长最短的路 3. 最小树是 ______ 最小的树（无圈连通图）。 4. 匈牙利算法适用于 ______ 。 5. 若标准线性规划问题有可行解，则必有 ______ 。 6. 模型在 ______ 确定过程中须注意选择真正起作用的因素，筛去那些对模型目标无显著影响的因素。对选定的因素；应注意它们是 ______ 还是 ______ 的，能否 ______ 等。 7. ______ 从第一段开始计算逐段向后递推，计算后一段要用到 ______ 的求优结果，而 ______ 的结果就是全过程的最优策略，即寻优的方向与多阶段决策过程实际进行的方向相同。 8. 运筹学的分析步骤一般包括: ______ ； ______ ； ______ ； ______ 。 9. 整数规划模型是在其松弛问题基础上附加了 ______ 得整数约束条件，因此，整数规划得解题是 ______ 的后续部分。 10. 模型规范要求模型的建立须在 ______ 、 ______ 、 ______ 下进行，相应的环境、范围与要求必然地要对模型起限制作用。此外，要素本身变化有一定限度，要素的相互影响作用也只能在 ______ 内保持有效。 二、简答题（本大题共40分，共 8 小题，每小题 5 分） 1. 简述路的基本概念。 2. 图解法适用范围？ 3. 运输问题的求解方法？ 4. 多阶段决策过程最优化对决策者的要求 5. 整数规划与其松弛问题之间在可行域及其解方面有什么对应关系? 6. 线性规划问题可行域的概念？ 7. 图解法基本思想及步骤？ 8. 影子价格具有的特点。 三、综合分析题（本大题共30分，共 2 小题，每小题 15 分） 1. 按对变量的不同要求，还可将整数规划分为下述几种类型： ______ ______ ______ 2. 某物流中心拟选择一条从A地到F地的运输线路，可供选择路线及各点间的距离如下图；试问：应如何选择路线使总距离最短（单位运输成本为一常数，同时也是使总成本最小）？
运筹学1
班级姓名学号 一、选择题（每题1分，共8分） 1、线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（）上找到 A．内点B．外点 C．顶点D．几何点 2、下列哪一种方法是运输问题表上作业法中求初始基本可行解的方法（）A．西北角法B．差值法 C．闭回路法D．位势法 3、满足线性规划问题全部约束条件的解称为（） A．最优解B．基本可行解 C．无界解D．多重解 4、下述选项中不属于订货费用的支出是( ) A.采购人员的工资 B.采购存货台套或存货单元时发生的运输费用 C.向驻在外地的采购机构发电报、发传真采购单的费用 D.采购机构向供应方付款及结账的费用 5、从教材列举的实例中可以归纳出求最短路线问题应从( )开始推算。 A.终点 B.起点 C.中间点 D.终点和起点 6、只有一部分变量限制为整数的线性规划称为（） A．混合整数规划B．局部整数规划 C．部分整数规划D．0—1规划正确答案： 7、线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是（） A．正数B．非负数 C．无约束D．非零的 8、化一般规划模型为标准型时，可能引入的变量有（） A．松弛变量B．多余变量 C．自由变量D．非正变量 二、名词解释（每题3分，共9分） 1、灵敏度分析 2、连通图
3、可行域 三、简答题（共12分） 某公司受委托，准备把120万元投资基金A和B，其中基金A 的单位投资额为50元，年回报率为10%，基金B的单位投资额为100元，年回报率为4%，委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上投资风险最少，据测定，单位基金A的投资风险指数为8，单位基金B的投资风险指数为3，风险指数越大表明投资风险越大，委托人要求至少在基金B中的投资额不少于30万。 问：为了使总的投资风险指数最小，该公司应该在基金A和B中各投资多少？这时每年的回报金额多少？ 现设x1为购买基金A的数量，x2为购买基金B的数量，可以建立下面的线性规划模型： Min f =8 x1+3 x2 约束条件： 5 0x1+100 x2≤1200000 5 x1+4 x2≥60000 100 x2≥300000 x1，x2≥0 使用“管理运筹学软件”求的计算机解如下图所示：
运筹学大作业
大连科技学院运筹学(Z)大作业LINGO软件在函数最大值中的运用 学院名称 专业班级 学生组号 学生姓名 指导教师 二〇一八年五月
实验LINGO软件在函数最大值中的运用 大作业目的 掌握LINGO软件求解函数最大值的基本步骤，了解LINGO软件解决函数最大值的基本原理，熟悉常用的函数最大值计算代码，理解函数最大值的迭代关系。 仪器、设备或软件 电脑，LINGO软件 大作业内容 1．LINGO软件求解函数最大值的基本原理； 2．编写并调试LINGO软件求解函数最大值的计算代码； 实施步骤 1．使用LINGO计算并求解函数最大值问题； 2．写出实验报告，并浅谈学习心得体会(选址问题的基本求解思路与方法及求解过程中出现的问题及解决方法)。 实施过程 有一艘货轮，分为前、中、后三个舱位，它们的容积与允许载重量如下表所示。现有三种商品待运，已知有关数据列于下表中。又为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求前、后舱分别与中舱之间的载重量比例偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问货轮应装载A、B、C各多少件，运费收入为最大？试建立这个问题的线性规 首先分析问题，建立数学模型： 确定决策变量 假设i=1,2,3分别代表商品A、B、C，8用j=1,2,3分别代表前、中、后舱，设决策变量x ij为装于j舱位的第i种商品的数量（件）。 确定目标函数
商品A 的件数为： 商品B 的件数为： 商品A 的件数为： 为使运费最高，目标函数为： 确定约束条件 前、中、后舱位载重限制为： 前、中、后舱位体积限制为： A 、 B 、 C 三种商品数量的限制条件： 各舱最大允许载重量的比例关系构成的约束条件： 且决策变量要求非负，即x ij ≥0,i=1,2,3；j=1,2,3。 综上所述，此问题的线性规划数学模型为： 111213x x x ++212223x x x ++313233x x x ++()()()111213212223313233 1000700600Max Z x x x x x x x x x =++++++++112131122232132333865200086530008651500 x x x x x x x x x ++≤++≤++≤112131122232132333105740001057540010571500 x x x x x x x x x ++≤++≤++≤1112132122233132336001000800 x x x x x x x x x ++≤++≤++≤1121311222321323331222321121311323338x 6x 5x 2 2(10.15)(1+0.15)38x 6x 5x 3 8x 6x 5x 11(10.15)(1+0.15)28x 6x 5x 2 8x 6x 5x 4 4(10.10)(1+0.10)38x 6x 5x 3++-≤≤++++-≤≤++++-≤≤++()()() 111213212223313233112131122232132333112131122232132333 1000700600865200086530008651500105740001057540010571500 Max Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++≤++≤++≤++≤++≤++≤
运筹学 ( 第1次 )
第1次作业 一、单项选择题（本大题共40分，共 20 小题，每小题 2 分） 1. 0-1规划求解方法没有( )。 A. 枚举法 B. 隐枚举法 C. 单纯形法 D. 避圈法 2. 隐枚举法是省去若干目标函数不占优势的( )的一种检验过程。 A. 基本可行解 B. 最优解 C. 基本解 D. 可行解 3. 敏感性分析假定( )不变，分析参数的波动对最优解有什么影响。 A. 可行基 B. 基本基 C. 非可行基 D. 最优基 4. 运输问题分布m*n矩阵表的横向约束为( )。 A. 供给约束 B. 需求约束 C. 以上两者都有可能 D. 超额约束 5. 运筹学有针对性地表述研究对象的( )。 A. 数学结构 B. 客观运动规律 C. 基本特征 D. 基本要素 6. 当资源价格小于影子价格时，应该( )该资源。 A. 买入 B. 卖出 C. 保持现状 D. 借贷出 7. 对偶问题与原问题研究的是( )对象。 A. 2种 B. 不同的 C. 1种 D. 相似的 8. 运输问题的求解方法不包括( )。 A. 单纯形法 B. 表上作业法 C. 破圈法 D. 计算机方法 9. 分枝定界法将原可行解区域分解成( )。
A. 2个搜索子域 B. 3个搜索子域 C. 2个及以上的搜索子域 D. 3个及以上的搜索子域 10. 关于分配问题，叙述错误的是( )。 A. 一人只能做一件任务 B. 任务数>0 C. 资源数>1 D. 总消耗或总收益要达到极值 11. 按决策变量要求，整数规划包括( )。 A. 纯整数规划和网络规划 B. 混整数规划和动态规划 C. 0-1规划和线性规划 D. 分派问题和0-1规划 12. 图解法适用于求解( )决策变量的像性规划问题。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无要求 13. 动态规划首先对一个( )的复杂动态问题进行分级处理。 A. 单阶段 B. 两阶段 C. 多阶段 D. 随机阶段 14. 运筹学的现代化工具是( )。 A. 模型理论 B. 求解算法 C. 电子计算机 D. 智能方法 15. 分阶段隐枚举法从上个阶段的始发点寻找( )。 A. 任意点 B. 最近点 C. 紧邻点 D. 较远点 16. 最短路径描述不正确的是( )。 A. 由各个连线长度组成 B. 可能不止一条 C. 由网络最短路决策产生 D. 只是最短路径问题的可行解 17. 线性规划要使目标函数达到( )。 A. 特定值 B. 特定区间 C. 极值 D. 无限
运筹学1
运筹学》期末试卷（B）参考答案 一、单选题(共10分，每小题 1 分,将你认为正确的选择填入下表的相应空格中) 1、长度分别为20，12，30，8分钟的四段乐曲A,B,C,D，存入一盒磁带，使平均收听每段乐曲时间最短的次序是 (1) 。 A. D,B,A,C B. B,D,C,A C. A,B,C,D D. D,C,B,A 2、线性规划问题：Min S = 6x 1+4x 2 ,两个不等式约束是：2x 1 +x 2 ≥1, 3x 1 +4x 2 ≥3, 两个决策变量都有非负约束的最优解是 (2) 。 A.x 1=-1,x 2 =3 B. x 1 =0.5, x 2 =0 C. x 1 =0 , x 2 =1 D. x 1 =0.2, x 2 =0.6 3、“OR”是 (3) 的缩写。 A.线性规划 B.运筹学 C.对策论 D.开放系统研究所 4、下列关于图的最短路(SP)问题的以下叙述中 (4) 是错误的。 A.SP一定存在 B.SP一定唯一的 C. SP上无圈 D.SP可能有一条以上 5、在最短路问题中，为了求出某结点到终点的最短路，必须知道它可直接到达的（5）的最短路 A、下一个结点到终点 B、所有的结点到终点 C、上一个结点到起点 D、所有的结点到起点 6、求一个带权连通图的最小生成树的常用方法有普莱姆算法和 (6) 算法。 A. 单纯形 B.丹希格 C.避圈 D.欧拉
7、对产量大于销量的运输问题，以下关于虚设销地的说法不正确的是 (7) 。 A.可以虚设一个销地来求解 B.它的销量=总产量-总销量 C.它和某一个产地的单位运价可能为正 D.它和任一个产地的单位运价为0 8、一个有p个节点,q条边的带权连通图的最小生成树为T,T有 (8) 条边。 A.p B.p-1 C.p-1 D.q+1 9、“线性规划”问题要求： (9) 是线性的。 A.目标函数 B.约束 C.约束、目标函数都 D.决策变量 10、我国 (10) 代著名的“丁渭修皇宫”和“沈括运粮”都是体现我国古代朴素运筹思想的范例。 A.唐 B.明 C.清 D.宋 二、判断题(共10分，每小题1分，选择“√”或“×”填入下表的相应空格中) 1、单纯形法解线性规划问题时值为0的变量未必是非基变量。 2、所有决策变量都有非负约束的线性规划问题的最优值Min Z≥0。 3、产销平衡而且产销量都是非负整数的运输问题中用最小元素法求出的初始基可行解未必是整数解。 4、最短路问题中如各边的长的最小值为M，边长为M的边有2条，则最短路中必含这两条。 5、决策变量都有非负约束的线性规划问题的对偶规划的约束一定都是“≤”的。
浙大远程运筹学作业
《运筹学》作业 第2章 1．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润， 产品利润=40X+50Y 约束条件： X+2Y<=30 3X+2Y<=60 2Y<=24 X,Y>=0 用图解法得出安排生产产品1为15件，产品2为7.5件时工厂的获利最多，最大利润为975。 2．某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的两种原材料的消耗和人员需要及所获的利润，如下表所示。问应如何安排生产使该工厂获利最多？（建立模型，并用图解 产品利润=300X+500Y 约束条件： X<=4 2Y<=12 3X+2Y<=24 X,Y>=0 用图解法得出，该公司安排生产产品1为4件，产品2为6件时该工厂获利最大，最大利润为4200。 3. 下表是一个线性规划模型的敏感性报告，根据其结果，回答下列问题： 1）是否愿意付出11元的加班费，让工人加班； 答：不愿意付出11元加班费让工人加班。 2）如果工人的劳动时间变为402小时，日利润怎样变化？ 答：日利润增加2×8=16
3）如果第二种家具的单位利润增加5元，生产计划如何变化？ 答：因为允许的增加量是10，所以生产计划不变 Microsoft Excel 9.0 敏感性报告 工作表 [ex2-6.xls]Sheet1 报告的建立: 2001-8-6 11:04:02 可变单元 格 终递减目标式允许的允许的单元格名字值成本系数增量减量 $B$15 日产量（件）100 20 60 1E+30 20 $C$15 日产量（件）80 0 20 10 2.5 $D$15 日产量（件）40 0 40 20 5.0 $E$15 日产量（件）0 -2.0 30 2.0 1E+30 约束 终阴影约束允许的允许的单元格名字值价格限制值增量减量 $G$6 劳动时间（小时/件）400 8 400 25 100 $G$7 木材（单位/件）600 4 600 200 50 $G$8 玻璃（单位/件）800 0 1000 1E+30 200 4某公司计划生产两种产品，已知生产单位产品所需的三种原材料的消耗及所获的利润，如 解：设生产产品1为X件，生产产品2为Y件时，工厂获利最多 产品利润=25X+10Y 约束条件： 0.6X+0.5Y<=12000 0.4X+0.1Y<=4000 0.4Y<=6000 X，Y>=0
运筹学第一次作业
练习一 1、 某厂接到生产A 、B 两种产品的合同,产品A 需200件,产品B 需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段,产品A 每件需要2小时,产品B 每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工与精加工两道工序,每件产品A 需粗加工4小时,精加工10小时;每件产品B 需粗加工7小时,精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时,粗加工设备拥有能力为1000小时,精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产,但加班生产时间内每小时增加额外成本4、5元。试根据以上资料,为该厂制订一个成本最低的生产计划。 解:设正常生产A,B 产品数12,x x ,加班生产A,B 产品数34,x x 13241324341324min 3(22444477)7.5(47)2(10101212) z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++.s t 132412121 2 12200300241700471000 10123000 475000i x x x x x x x x x x x x x +≥?? +≥??+≤? +≤??+≤?+≤?? ≥?且为整数，i=1,2,3,4 2、 对某厂I ,Ⅱ,Ⅲ三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。 时为15000小时,生产I 、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备,产品I 在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时,产品I ,Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元,产品Ⅲ赔偿10元;又生产出来产品不在本季度交货的,每件每季度的库存费用为5元。问:该厂应如何安排生产,使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型,不需求解)。 解:设x ij 为第j 季度产品i 的产量,s ij 为第j 季度末产品i 的库存量,d ij 为第j 季度产品i 的需求量。
运筹学1
《运筹学参考综合习题》 （我站搜集信息自编，非南邮综合练习题，仅供参考） 资料加工、整理人——杨峰（函授总站高级讲师） 可能出现的考试方式（题型） 第一部分填空题（考试中可能有5个小题，每小题2分，共10分） ——考查知识点：几个基本、重要的概念 第二部分分步设问题（即是我们平常说的“大题”，共90分） ——参考范围： 1、考两变量线性规划问题的图解法（目标函数为max z和min z的各1题） 2、考线性规划问题的单纯形解法（可能2个题目：①给出问题，要求建立线性规划模型，再用单纯形迭代表求解；②考查对偶问题，要求写出原问题的线性规划模型之后写出其对偶问题的线性规划模型，然后用大M法求解其对偶问题，从而也得到原问题的最优解） 3、必考任务分配（即工作指派）问题，用匈牙利法求解。 4、考最短路问题（如果是“动态规划”的类型，则用图上标号法；如果是网络分析的类型，用TP标号法，注意不要混淆） 5、考寻求网络最大流（用寻求网络最大流的标号法） 6、考存储论中的“报童问题”（用概率论算法模型解决） ——未知是否必考的范围： 1、运输规划问题（用表上作业法，包括先求初始方案的最小元素法和将初始方案调整至最优的表上闭回路法）； 2、求某图的最小生成树（用破圈法，非常简单） ※考试提示：可带计算器，另外建议带上铅笔、直尺、橡皮，方便绘图或分析。
第一部分 填空题复习参考 一、线性规划部分： ㈠基本概念：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。 定义：达到目标的可行解为最优解。 由图解法得到的三个结论：①线性规划模型的可行解域是凸集； ②如果线性规划模型有唯一的最优解的话，则最优解一定是凸集（可行解域）的角顶； ③任何一个凸集，其角顶个数是有限的。 ㈡有关运输规划问题的概念：设有m 个产地A i （i=1，2，…，m ），n 个销地B j （j=1，2，…，n ）, A i 产量（供应量）S i ，B j 销量（需求量）d i ，若产、销平衡， 则：∑∑=== n j j m i i d s 1 1 二、网络分析中的一些常用名词： 定义：无方向的边称为边；有方向的边称为弧。 定义：赋“权”图称为网络。 定义：有向图中，若链中每一条弧的走向一致，如此的链称为路。闭链称为圈。闭回路又称为回路。 定义：在图G 中任两点间均可找到一条链，则称此图为连通图。无重复边与自环的图称为连通图。 定义：树是无圈的连通图。 树的基本性质：①树的任两点之间有且只有一条链； ②若图的任两点之间有且只有一条链，则此图必为树；
运筹学作业3(第二章部分习题)答案
运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．4 给出线性规划问题 123412341234min 2356232.. 2330,1,2,3,4 j z x x x x x x x x s t x x x x x j =+++?+++≥? -+-+≤-??≥=? （1）写出其对偶问题；（2）用图解法解对偶问题；（3）利用（2）的结果及根据对偶问 题性质写出原问题的最优解。 解：（1）原问题的对偶问题为： 12 12121212 12max 2322 23.. 35 36 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =--≤??+≤?? -≤??+≤??≥≤? 或者等价变形为： 12 12121212 12max 232223..3536 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤??≥≥? （2）用图解法求解对偶问题 12 12121212 max 2322 23.. 3536 w y y y y y y s t y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤ 如图示，可行区域为四边形OABC ，最优顶点为B 点，即(1.6,0.2)y * =， 3.8w * =
（3）利用互补松紧定理及（2）的结果求解原问题： 设原问题的最优解为( )1 23 4x x x x x ** ***=。 由于121.60, 0.20y y * * =>=>，故在最优解()12 3 4x x x x x ** * **=处有： 1234 1234232 2330,1,2,3,4j x x x x x x x x x j ******** * ?+++=??-+-+=-??≥=?? 又因对偶问题第4个约束方程为：1.6-0.6=1<6，故40x * =，代入上式得到： 123 123232 230,1,2,3,4j x x x x x x x j ****** * ?++=??-+-=-??≥=?? 原问题有无穷多个最优解。令30x *=得到解为1 1.6x *=，20.2x *= 即()1.60.200x * =， 3.8z * = 2．8题解答见课堂讲解。 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： （2） 123 123123123min 524324 .. 63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥?? ++≥??≥? , 解：先将原问题进行标准形化： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0 z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=---++-=?? ++-=??≥? 选45,x x 为基变量，并将问题化为： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=------+=-?? ---+=-??≥? 列表计算如下：
运筹学第一次作业
练习一 1. 某厂接到生产A 、B 两种产品的合同，产品A 需200件，产品B 需300件。这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。在毛坯制造阶段，产品A 每件需要2小时，产品B 每件需要4小时。机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A 需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B 需粗加工7小时，精加工12小时。若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.5元。试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。 解：设正常生产A,B 产品数12,x x ，加班生产A,B 产品数34,x x 13241324341324min 3(22444477)7.5(47)2(10101212)z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++.s t 132412121 2 12200300241700471000 10123000 475000i x x x x x x x x x x x x x +≥?? +≥??+≤? +≤??+≤?+≤?? ≥?且为整数，i=1,2,3,4 2. 对某厂I ，Ⅱ，Ⅲ三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。 工时为15000小时，生产I 、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。因更换工艺装备，产品I 在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品I ，Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问：该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型，不需求解)。 解：设x ij 为第j 季度产品i 的产量，s ij 为第j 季度末产品i 的库存量，d ij 为第j 季度产品
运筹学1
管理运筹学模拟试题一 一 判断下列说法是否正确，并对错误加以改正。（每题2分，合计10分） 1. 图解法可以求解包含5个变量的LP 问题。 2. 当线性规划问题的一个基解满足所有的x i ≤ 0时，称此基解为一个可 行基解。 3. 根据对偶问题的性质，当对偶问题无可行解时，其原问题无最优解。 4. 用表上作业法求解运输问题时，产、销可能不平衡。 5. 输入过程是泊松流，则顾客相继到达的间隔时间服从负指数分布。 二 填空题（每空2分，合计40分） 1. 一个线性规划问题包含一组 变量，一组 条件和一个 函数。 2. 线型规划的系数矩阵B 为m ×n 阶，其基可行解的个数不超过 。 3. 标准LP 问题 的检验数σ＝ 4. 若原问题有有最优解，则其对偶问题是否有最优解 ，若存在最优解，则目标函数值之间存在什么关系 z ω。 5. 对偶单纯形法求解LP 问题，若换入变量x j 所在行的各系数a ij ≥0，则该问题 。 6. 在运输问题中，通常以达到___________或获得___________为目标，来选择最佳运输方案。 7. 为求解需要量大于供应量的运输问题，可虚设一个供应点，该点的供应量等于_____________。 8. 整数规划中如果所有变量都限制为（非负）整数，就称为 。 1 1max ,.. , 0,1,2,,.n j j j n j j j j z c x s t P x b x j n ====≥=∑ ∑
9. 要求恰好达到目标值的目标规划，其目标函数为 。 10. 分支定界法用于求解 和 。 11. 图( ,)G V E =是一个树，则G 中任意两点间 。 12. 排队系统的三个基本组成部分 、 和 。 13. 泊松分布的期望E[N(t)]= 。 三 按要求做出模型，不需计算（每题10分，合计20分） 1．利民服装厂生产男式童装和女式童装。产品的销路很好，但有三种工序即裁剪、缝纫和检验限制了生产的发展。已知制作一件童装需要这三道工序的工时数、预计下个月内各工序所拥有的工时数以及每件童装所提供 该厂生产部经理希望知道下个月内使利润最大的生产计划。试建立该问题的LP 模型。 2. 写出下面线性规划问题的对偶问题：（10分） 123123123123123min z 25,.. 258, 23 3, 4 26, ,,0. x x x s t x x x x x x x x x x x x =++-+≤++=-+≤≥
运筹学考试 ( 第2次 )
第2次作业 一、单项选择题（本大题共100分，共 40 小题，每小题 2.5 分） 1. 如果一个图由点以及边组成，称之为( )。 A. 链图 B. 连通图 C. 无向图 D. 有向图 2. 称次为( )的点为孤立点。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 都不对 3. 求解线性规划问题，就是求( )可行解中的最优解问题。 A. 2个 B. 3个 C. 有限个 D. 无限个 4. 运筹学的应用另一方面是由于电子计算机的发展，保证其( )能快速准确得到结果 A. 建模 B. 计算 C. 分析 D. 反馈 5. 基可行解对应的基，称为( )。 A. 最优基 B. 可行基 C. 最优可行基 D. 极值基 6. 原问题的决策变量个数等于对偶问题的( )。 A. 决策变量个数 B. 不等式约束个数 C. 等式约束个数 D. 约束条件个数 7. 分派问题的决策变量( )。 A. 均为整数 B. 均为非负整数 C. 部分为非负整数 D. 为0和1 8. 如果一个图由点以及弧组成，称之为( )。 A. 链图 B. 连通图 C. 无向图 D. 有向图 9. 隐枚举法是省去若干目标函数不占优势的( )的一种检验过程。
A. 基本可行解 B. 最优解 C. 基本解 D. 可行解 10. 分枝定界法不会增加( )的个数。 A. 决策变量 B. 约束条件 C. >=0的决策变量 D. <=0的决策变量 11. 对偶问题与原问题研究出自( )目的。 A. 不同 B. 相似 C. 相反 D. 同一 12. 分派问题求解方法没有( )。 A. 枚举法 B. 匈牙利算法 C. 单纯形法 D. 避圈法 13. 资源价格大于影子价格时，应该( )该资源。 A. 买入 B. 卖出 C. 保持现状 D. 借贷出 14. 混整数规划的决策变量( )。 A. 均为整数 B. 均为非负整数 C. 部分为非负整数 D. 为0和1 15. 敏感性分析假定( )不变，分析参数的波动对最优解有什么影响。 A. 可行基 B. 基本基 C. 非可行基 D. 最优基 16. 运筹学有明确的目标要求和为实现目标所具备的各种( ) A. 资源要素 B. 必需条件 C. 求解算法 D. 实现工具 17. 从系统工程或管理信息预测决辅助系统的角度来看，管理科学与( )就其功能而言是等同或近似的。 A. 统计学 B. 计算机辅助科学 C. 运筹学 D. 人工智能科学 18. 线性规划要求决策变量个数为( )。 A. >=0
运筹学(1)
第一章导论 实践能力考核选例 根据本章学习的内容，结合实际例子，说明在应用运筹学进行决策过程中的六个步骤有哪些？ 答： （1）观察待决策问题所处的环境；（2）分析和定义待决策的问题；（3）拟定模型；（4）选择输入资料；（5）提出解并验证它的合理性；（6）实施最优解。 第二章预测 实践能力考核选例 应用简单滑动平均预测法，加权滑动平均预测法，指数平滑预测法，来预测中国2012年的居民消费指数（CPI）水平。（资料可由历年中国统计年鉴获得） （1）滑动平均预测法：（1270.8+1191.8+1239.9+1265）/4=1241.875 （2）加权滑动平均预测法：（1270.8*1+1191.8*2+1239.9*3+1265*4）/（1+2+3+4）=1243.41 第三章决测 实践能力考核选例 根据亲身体验，举出自己经历过的一个实际决策案例，并分析此决策属于那种类型，结合本章决策方法进行科学地决策。 答： 某城市繁华地段有一个食品厂，因经营不善长期亏损，该市政府领导拟将其改造成一个副食品批发市场，这样既可以解决企业破产后下岗职工的安置问题，又方便了附近居民。为此进行了一系列前期准备，包括项目审批、征地拆迁、建筑规划设计等。不曾想，外地一开发商已在离此地不远的地方率先投资兴建了一个综合市场，而综合市场中就有一个相当规模的副食品批发场区，足以满足附近居民和零售商的需求。 面对这种情况，市政府领导陷入了两难境地：如果继续进行副食品批发市场建设，必然亏损；如果就此停建，则前期投入将全部泡汤。在这种情况下，该市政府盲目做出决定，将该食品厂厂房所在地建成一居民小区，由开发商进行开发，但对原食品厂职工没能作出有效的赔偿，使该厂职工陷入困境，该厂职工长期上访不能解决赔偿问题，对该市的稳定造成了隐患。案例分析： 该市领导解决问题时是出于好心，既要解决企业生产不景气的问题，又要为城市居民解决购物问题，对企业职工也有一个比较好的安排，但作出决策比较仓促，没能充分考虑清楚问题涉及的各种因素，在决策失误时又进一步决策失误，造成了非常被动的工作局面，也给企业
运筹学作业28272
第一章 导论 1.简述运筹学的定义。 运筹学利用计划方法和有关多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据。 2. 决策方法可以分为哪几类。 定性决策，定量决策，混合性决策。 3. 应用运筹学进行决策过程的步骤有哪些。 （1）观察待决策问题所处的环境；（2）分析和定义待决策的问题；（3）拟定模型；（4）选择输入资料；（5）提出解并验证它的合理性；（6）实施最优解。 实践能力考核选例 根据本章学习的内容，结合实际例子，说明在应用运筹学进行决策过程中的六个步骤有哪些？ （1）观察待决策问题所处的环境；（2）分析和定义待决策的问题；（3）拟定模型；（4）选择输入资料；（5）提出解并验证它的合理性；（6）实施最优解。 第二章 预测 1.比较特尔斐法和专家小组法这两种定性预测法的特点。 特尔斐法的特点是：第一，专家发表意见是匿名的；第二，进行多次信息反馈；第三，由调研人员整理并归纳专家们的总结意见，将比较统一的意见和比较特殊的意见一起交给有关部门，以供他们决策。 专家小组法的优点是可以做到相互协商、相互补充；但当小组会议组织得不好时，也可能会使权威人士左右会场或多数人的意见湮没了少数人的创新见解。 2.简述指数平滑预测法的原理。 1()t t t t F F x F α+=+-，其中1t F +、t F 是1t +期、t 期的预测值，t x 是t 期的实际值，α是 平滑系数。 3.简述一元线性回归模型预测的过程。 先根据x 、y 的历史数据，求出a 和b 的值，建立起回归模型，再运用模型计算出不同的x 所相对的不同的y 值。 实践能力考核选例 应用简单滑动平均预测法，加权滑动平均预测法，指数平滑预测法，来预测中国2012年的居民消费指数（CPI ）水平。（资料可由历年中国统计年鉴获得） （1）滑 动平均预测法：（1270.8+1191.8+1239.9+1265）/4=1241.875
运筹学基础课后习题答案
运筹学基础课后习题答案 [2002年版新教材] 第一章导论 P5 1.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。 定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法 定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。 举例：免了吧。。。 2、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？ .观察待决策问题所处的环境； .分析和定义待决策的问题； .拟定模型； .选择输入资料； .提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）； .实施最优解； 3、．运筹学定义： 利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据 第二章作业预测P25 1、. 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？ 答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。 2.、某地区积累了5 个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α= 0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤） 年度 1 2 3 4 5 大米销售量实际值 （千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。 答： F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1 F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9
运筹学1-1
《物流运筹学》教案 （2014～2015学年第二学期） 适用物流管理专业 院系（部）______经管系______ 班级____ _15物流1/2班___ 教师______ _________
教案首页
教学设计
教学内容 【复习导入】 思考导入：在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。如何解决这类问题？ 【告知目的】 能力目标：1.让学生掌握线性规划的基本概念 2．掌握线性规划模型的建立 知识目标：1.线性规划模型的基本形式 2.如何根据实际问题建立相应的数学模型 【任务导入】 1. 线性规划（Linear Programming） 2. 目标规划（Goal Programming） 3. 整数规划（Integer Programming） 4. 非线性规划（Nonlinear Programming） 5. 动态规划（Dynamic Programming） 6. 图论与网络分析（Graph Theory and Network Analysis） 7. 排队论（Queuing Theory） 8. 存贮论（Inventory Theory） 9. 对策论（Game Theory） 10. 决策论（Decision Theory） 例1.2 有A、B、C三个工地，每天A工地需要水泥17百袋，B工地需要水泥18百袋，C 工地需要水泥15百袋。 ?为此，甲、乙两个水泥厂每天生产23百袋水泥和27百袋水泥专门供应3个工地。 两个水泥厂至工地的单位运价如表1.2所示。 ?问：如何组织调运使总运费最省。
运筹学部分课后习题解答_1
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 min z=23 466 ..424 ,0 x x x x s t x x x x + +≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集MABCN，且可知线段BA上的点都 为最优解，即该问题有无穷多最优解，这时的最优值为 min 3 z=2303 2 ?+?= P47 1.3 用图解法和单纯形法求解线性规划问题 a） 12 12 12 12 max z=10x5x 349 ..528 ,0 x x s t x x x x + +≤ ? ? +≤ ? ?≥ ? 解：由图1可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知B点为最优值点， 即 1 12 122 1 349 3 528 2 x x x x x x = ? += ?? ? ?? +== ?? ? ，即最优解为* 3 1, 2 T x ?? = ? ?? 这时的最优值为 max 335 z=1015 22 ?+?=
单纯形法： 原问题化成标准型为 121231241234 max z=10x 5x 349 ..528,,,0x x x s t x x x x x x x +++=?? ++=??≥? j c → 10 5 B C B X b 1x 2x 3x 4x 0 3x 9 3 4 1 0 0 4x 8 [5] 2 0 1 j j C Z - 10 5 0 0 0 3x 21/5 0 [14/5] 1 -3/5 10 1x 8/5 1 2/5 0 1/5 j j C Z - 1 0 - 2 5 2x 3/2 0 1 5/14 -3/14 10 1x 1 1 0 -1/7 2/7 j j C Z - -5/14 -25/14
运筹学作业习题
线性规划建模及单纯形法 思考题 主要概念及内容： 线性规划模型结构（决策变量，约束不等式、等式，目标函数）；线性规划标准形式； 可行解、可行集（可行域、约束集），最优解；基、基变量、非基变量、基向量、非基 向量；基本解、基本可行解、可行基、最优基。 复习思考题： 1、线性规划问题的一般形式有何特征？ 2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果反映建模时有错误？ 5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 6、试述线性规划问题的可行解、基本解、基本可行解、最优解、最优基本解的概念及它 们之间的相互关系。 7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个 最优解、无界解或无可行解。 8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 9、大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什 么？最大化问题呢？ 10、什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情 况下，继续第二阶段？ 作业习题 1、将下列线性规划问题化为标准型 （1）???????≥=--+-≥-+-≤+-++-+=0,,953413223183622453max 4214321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）???????≤≥=+-+-≥-+--≤--++++=0 ,0,15 2342722351232243min 4214321432143214 321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 2、（1）求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）： ?????≥≤++-≤++0,,1243263323 21321321x x x x x x x x x （2）对下述线性规划问题找出所有基本解,指出哪些是基本可行解,并确定最优解. ??? ????≥=-=+-+=+++++=)6,,1(00 31024893631223max 61532143213 21K K j x x x x x x x x x x x x x x z j 3、用图解法求解下列线性规划问题
运筹学作业(第一次)
运筹学作业（第二章） 工商管理1班段振楠 1、习题2.8（第53页） a、确定的活动和资源（如表一所示） b、需要作出的决策：确定最佳投资比例，使得收益最大化。 决策的限制：6000美元的资金和600小时的时间 决策的全面绩效测度：600小时内最大的收益 c、定量表达式：总利润=投资A公司的利润*对A公司的投资比例+投资B公司的利润 *对B公司的投资比例 约束条件：对A公司投资+对B公司投资≤6000美元 对A公司投资时间+对B公司投资时间≤600小时 d、建立电子表格模型（如下图所示） 如图所示：表格中橙色为目标单元格，黄色为可变单元格，蓝色为数据单元格。 e、因为这个模型满足许多线性规划模型的特征： 1、需要做出许多活动水平的决策，因此可变单元格被用来显示这些水平。
2、这些活动的水平能够满足许多的约束条件的任何值 3、每个约束条件对活动水平的决策进行了限制 4、活动水平的决策是以进入目标单元格的一个完全绩效侧度为基准 5、每个输出单元格的Excel等式可表达为一个SUMPRODUCT函数。 f、建立代数模型如下：假设P为总利润，W为投资A公司的比例，D为投资B公司的比例。 目标函数为P=4500W+4500D 约束条件为5000W+4000D≤6000 400W+500D≤600 W≥0，D≥0 求得最优解为投资A公司资金、时间的三分之二，投资B公司资金、时间的三分之二，得最大总利润为6000美元。 h、图解法解答如下： 2、习题2.45（第59页）
由电子表格可知当食品构成为面包2片、花生黄油1汤匙、果酱1汤匙、牛奶0.31杯、果酸蔓果汁0.69杯时成本最小，为58.84美元 b、建立代数模型如下：(设P为总成本，A、B、C、D、E、F分别为面包、花生奶油、果酱、苹果、牛奶、果酸蔓果汁的用量) 依题意我们可知 目标函数为P=6A+5B+8C+35D+20E+40F 约束条件为A≥2, B≥1, C≥1, D≥0, E+F≥1 15A+80B+60E≤0.3*（80A+100B+70C+90D+120E+110F） 80A+100B+70C+90D+120E+110F≤500 80A+100B+70C+90D+120E+110F≥300 4C+6D+2E+80F≥60 4A+3C+10D+F≥10 3、习题3.4 （第88页） a、要实现的目标是最后的现金余额最大，需要六年的现金流量，选择对项目A、B、C的投资比例，同时保证每年的资金余额大于等于100万。 b 若完全参加A 第一年的期末余额为 1000-400-0.5*1000+600=700万 第二年的期末余额为 700-600-0.5*350+600=350万 c、草拟的电子表格模型草图如下：