一个不可忽视的集合——空集

一个不可忽视的集合——空集

冯参

集合是高中数学中一个重要概念，与数学中许多内容有着广泛的联系，同时作为一种思想、一种语言、一种工具渗透到了其他学科之中。本文通过几例来说明空集的存在，从而进一步了解空集的性质。

一、不了解空集的定义而忽略空集的存在

例1. A B =?，M ＝{P|P 为A 的子集}，N ＝{Q|Q 为B 的子集}，那么（ ）

A. M N =?

B. M N =?{}

C. M N A B =

D. M N A B ?≠

解：由于A 、B 的子集中都有?，即??A ，??B ，而?相对M 、N 来说是作为一个元素的身份出现，则M N =?{}，应选B 。

二、在集合的运算过程中，不了解空集的性质而忽视空集的存在

例2. 设集合A x x x =+={|}240，B x x a x a =+++-={|()}222110，若A B ?，求实数a 的范围。

解：A ＝{|}{}x x x 24004+==-，。由B ?A ，得B ＝?，或{0}，或{－4}，或{0，－4}。

①当B ＝?时，?=4+)--<(()a a 141022，解得a <-1。 ②当B ＝{0}时，由两根为0及韦达定理得210102()a a +=-=???

，解得a ＝－1。 ③当B ＝{－4}时，由两根为－4及韦达定理得218116

2()a a +=-=???，无解。

④当B ＝{0，－4}时，由韦达定理得21410

2()a a +=-=???，解得a ＝1。

综上①②③④知，所求实数a 的范围为(]{}-∞-，11 。

三、不了解空集的实质而忽视空集的存在

例3. 已知A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-{|}{|}23100121，，若A B ＝A ，求实数m 的范围。

分析：由A B A B A =?，得。而B 是由参数m 所确定的集合，m 在不同的范围内，可能使得B 为非空数集，也可能使得B 为空集。

解：A x x x x x =--≤=-≤≤{|}{|}2310025

①若m m +>-121，即m <2时，B =?，适合题意。

②若m m +=-121，即m =2时，B ={}3，适合题意。

③若m m +<-121，即m >2时，要使B A ?成立，只需21512m m -≤+≥-??

?

解得-≤≤33m 。从而可得23<≤m ，适合题意。

综上①②③知，所求m 的范围应为(]-∞，3

［练一练］

若集合M ＝{2005，6，7}，集合N ＝{x x M |∈}，则集合M 与N 的关系是（ ）

A. M ＝N

B. M N ?

C. M N ?

D. M N =? 答案：A

提示：N x x M =∈{|}，则x N x M ∈?∈，可得N M ?。又x M x M ∈?∈，则M N ?。