苏锡常镇四市2017年5月高三教学情况调研数学试卷(二)含答案

2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）

数学Ⅰ试卷

2017.5

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1. 已知集合{}{}|13,|2A x x B x x =-<<=<，则A B = .

2. 已知i 是虚数单位，复数()123,2z yi y R z i =+∈=-，且1

2

1z i z =+，则

y = .

3.下表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 .

4.已知直线20x =为双曲线()22

2210,0x y a b a b -=>>的一条

渐近线，则该双曲线的离心率为 .

5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然

数平方和的一般公式.右图是一个求前n 个自然数平方和的算法

流程图，若输入x 的值为1，则输出的S 的值为 .

6.已知1Ω是集合(){}22,|1x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合

(){},|x y y x ≤所表示的区域，向区域1Ω内随机投一个点，则该

点落在区域2Ω内的概率为 .

7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3453

3,3q S S =+=，则3a = .

8.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为柱的侧面积为 .

9.已知α是第二象限角，

且()sin tan 2ααβ=+=-，则t a n β= . 10.已知直线:210l mx y m +--=，圆22:240C x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = .

11.在ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c

，若满足2cos 2b A c =，则角B 的大小为 .

12.在ABC ?中，1,,,AB AC AB AC t P t ⊥==是ABC ?所在平面内的一点，若4AB AC AP AB AC

=+ ，则PBC ?的面积的最小值为 . 13.已知函数()24,03,0x x x f x x x

?-≥?=?

实数b 的取值范围为 .

14.已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b

-+-的最小值为 .

二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

15.（本题满分14分）

已知向量)

()2,1,sin ,cos .m x n x x =-= （1）当3x π

=时，求m n ? 的值；

（2）若0,4x π??∈????

，且132m n ?=- ，求cos 2x 的值.

16.（本题满分14分）

如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,,E F G 分别为,,AB AD AC

的中点，,90.AC BC ACD =∠=

（1）求证：AB ⊥平面EDC ；

（2）若P 为FG 上任一点，证明：//EP 平面BCD .

17.（本题满分14分）

某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x （单

位：百元）满足如下关系：341

x ω=-+，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本2x （如是非的人工费用等）百元.已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）.

（1）求利润函数()L x 的关系式，并写出定义域；

（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？

18.（本题满分16分）

已知函数()3ln ,,f x a x bx a b =-为实数，0,b e ≠为自然对数的底数，2.71828e =.

（1）当0,1a b <=-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值；

（2）若关于x 的方程()0f x =在区间(]1,e 上有两个不同的实数解，求a b

的取值范围.

19.（本题满分16分）

已知椭圆()22

22:10,0x y C a b a b

-=>>的左焦点为()1,0F -，左准线为2x =-. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知直线l 交椭圆C 于A,B 两点.

①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F,交y 轴于点

P,且满足PA AF λ= PB BF μ= ，求证：λμ+为常数；

②若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB ?的面积

的取值范围.

20.（本题满分16分）

已知数列{}n a 满足2114

1,2n n n n a a a a a λμ+++==+，其中,,n N λμ*∈为非零常数.

（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列.

①求实数,λμ的值；

②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数

列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有

满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.

2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）

数学Ⅱ试卷

21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4-1：几何证明选讲

如图，直线DE 切圆O 于点D,直线EO 交圆O 于

A,B 两点，DC ⊥OB 于点C,且DE=2BE ，求证：2OC=3BC.

B.选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵13a M b ??=????的一个特征值11λ=-，及对应的特征向量11e ??

=??-??

求矩阵M 的逆矩阵.

C.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C

的参数方程为2cos 32sin x y α

α?=??=+??，（[]

0,2,απα

∈为参数），曲线2C 的极坐标方程为()sin 3a a R πρθ??

+=∈ ???，若曲线1C 与曲线2

C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值.

D.选修4-5：不等式选讲

已知,,a b c 为正实数，求证：2

2

2

.b c a a b c a b c ++≥++

【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第n 局得()n n N *∈分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.

（1）求在一局游戏中得3分的概率；

（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X .

23.（本小题满分10分）

已知()()()()()()01111n k k n n

n k n n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++-- ，其中,,,.x R n N k N k n *∈∈∈≤

（1）试求()()()123,,f x f x f x 的值；

（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.