专题提升(十二) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明

专题提升(十二) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明

1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC 的平分线与BC 边和外接圆分别相交于D 和E ，则图中相似三角形共有(C )

A. 1对

B. 2对

C. 3对

D. 4对

(第1题图)

(第2题图)

2．如图，AB 是半圆O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连结AD ，DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是(D )

A. ∠ACD ＝∠DAB

B. AD ＝DE

C. AD 2＝BD ·CD

D. AD ·AB ＝AC ·BD

3．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，OQ ⊥BC 于点Q ，过点B 作半圆O 的切线，交OQ 的延长线于点P ，P A 交半圆O 于R ，则下列等式中正确的是(D )

A. AC OR ＝OQ AB

B. AQ AB ＝BP BC

C.

AC AP ＝OR OP D. AQ AP ＝AC AB

(第3题图)

(第4题图)

4．如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，已知半径长为4，AC ＝42，AB ＝6，则AD 的长为(C )

A. 5

B. 4.8

C. 32

D. 2 6

5．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 上一点，以O 为圆心，OB 长为半径的圆与

AC 相切于点A ，过点C 作CD ⊥BA ，垂足为D ，若CD ＝3，CO ＝4，则AC 的长为

(第5题图)

(第6题图)

6．如图，AB 为⊙O 的直径，BF 切⊙O 于点B ，AF 交⊙O 于点D ，点C 在DF 上，BC 交⊙O 于点E ，且∠BAF ＝2∠CBF ，CG ⊥BF 于点G ，连结AE .若∠F ＝60°，GF ＝1，则

⊙O 的半径长为

7．如图，已知AD 是⊙O 的弦，BD ︵＝CD ︵

，DE 是⊙O 的切线且与弦AB 的延长线相交

于点E ，若AC ＝3，AE ＝8，则AD 的长为．

(第7题图)

(第8题图)

8．如图，已知AD 为⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，过B 的割线BMN 交AD 的延长

线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2，则⊙O

14

9．如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连结OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.则AC的

长为20

3．

(第9题图)

(第10题图)

10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线

交于点D，则CD的长为

2a．

(第11题图)

11．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC.

(1)求证：直线CD为⊙O的切线．

(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．

(第11题图解)

解：(1)证明：如解图，连结OC .

∵∠CEA ＝∠CBA ，∠AEC ＝∠ODC ， ∴∠CBA ＝∠ODC . 又∵∠CFD ＝∠BFO ， ∴∠DCB ＝∠BOF .

∵CO ＝BO ，∴∠OCF ＝∠B . ∵∠B ＋∠BOF ＝90°，

∴∠OCF ＋∠DCB ＝∠OCD ＝90°， ∴直线CD 为⊙O 的切线． (2)如解图，连结AC .

∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°， ∴∠DCO ＝∠ACB .

又∵∠D ＝∠B ，∴△OCD ∽△ACB .

∵∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝4，∴AC ＝3， ∴

CO AC ＝CD BC ，即2.53＝CD 4

， 解得CD ＝103

.

12．已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形，以CD 为直径作⊙O ，⊙O 与边BC 相交于点F ，⊙O 的切线DE 与边AB 相交于点E ，且AE ＝3EB .

(1)求证：△ADE ∽△CDF .

(2)当CF ∶FB ＝1∶2时，求⊙O 与?ABCD 的面积之比．

(第12题图)

解：(1)证明：∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DFC ＝90°. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AD ∥BC ， ∴∠ADF ＝∠DFC ＝90°.

∵DE 为⊙O 的切线，∴DE ⊥DC ，

∴∠EDC ＝90°，∴∠ADF ＝∠EDC ＝90°， ∴∠ADE ＝∠CDF . 又∵∠A ＝∠C ， ∴△ADE ∽△CDE . (2)∵CF ∶FB ＝1∶2，

∴设CF ＝x ，FB ＝2x ，则BC ＝3x . ∵AE ＝3EB ，

∴设EB ＝y ，则AE ＝3y ，AB ＝4y . ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ＝3x ，AB ＝DC ＝4y . ∵△ADE ∽△CDF ，

∴

AE AD ＝CF CD ，∴3y 3x ＝x 4y

， ∵x ，y 均为正数，∴x ＝2y ， ∴BC ＝6y ，CF ＝2y ，

在Rt △DFC 中，∠DFC ＝90°，

由勾股定理得：DF ＝DC 2－CF 2＝16y 2－4y 2＝23y ，

∴⊙O 的面积为π·????12DC 2＝14π·DC 2＝14

π(4y )2＝4πy 2，

四边形ABCD 的面积为BC ·DF ＝6y ·23y ＝123y 2，

∴⊙O 与四边形ABCD 的面积之比为4πy 2∶123y 2＝π∶3 3. 13．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A ，B ，D 三点，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连结ED .

(1)求证：ED ∥AC .

(2)若BD ＝2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12－16S 2＋4＝0，求△ABC 的面积．

(第13题图)

解(1)证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD ＝∠DAC .

∵∠E ＝∠BAD ，∴∠E ＝∠DAC . ∵BE ∥AD ，

∴∠E ＝∠EDA ，∴∠EDA ＝∠DAC ， ∴ED ∥AC . (2)∵BE ∥AD ， ∴∠EBD ＝∠ADC . 又∵∠BED ＝∠DAC ，

∴△EBD ∽△ADC ，且相似比k ＝BD

DC

＝2， ∴S 1

S 2

＝k 2＝4，即S 1＝4S 2， ∵S 12－16S 2＋4＝0，∴16S 22－16S 2＋4＝0， 即(4S 2－2)2＝0，解得S 2＝1

2.

∵

S △ABC S 2＝BC CD ＝BD ＋CD CD ＝3CD

CD

＝3， ∴S △ABC ＝3

2

.

14．已知AB 是圆O 的切线，切点为B ，直线AO 交圆O 于C ，D 两点，CD ＝2，∠DAB ＝30°，动点P 在直线AB 上运动，PC 交圆O 于另一点Q .

(1)当点P 运动到使Q ，C 两点重合时(如图①)，求AP 的长．

(第14题图)

(2)点P 在运动过程中，有几个位置(几种情况)使△CQD 的面积为1

2？(直接写出答案)

(3)当△CQD 的面积为1

2，且Q 位于以CD 为直径的上半圆，CQ ＞QD 时(如图②)，求

AP 的长．

解：(1)∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO ＝90°.

∵∠DAB ＝30°，OB ＝1

2

CD ＝1，

∴AO ＝2OB ＝2，AC ＝AO －CO ＝2－1＝1.

当Q ，C 两点重合时，CP 与⊙O 相切于点C ，如解图①， 则有∠ACP ＝90°，

∴cos ∠CAP ＝AC AP ＝1AP ＝3

2，

解得AP ＝23

3

.

(2)有4个位置使△CQD 的面积为1

2.

设点Q 到CD 的距离为h ，

∵S △CQD ＝12CD ·h ＝12×2·h ＝12，∴h ＝1

2.

由于h ＝1

2<1，结合解图②可得：

有4个位置使△CQD 的面积为1

2

.

(3)过点Q 作QN ⊥CD 于N ，过点P 作PM ⊥CD 于M ，如解图③. ∵S △CQD ＝12CD ·QN ＝12×2·QN ＝12，∴QN ＝1

2.

∵CD 是⊙O 的直径，QN ⊥CD ，

∴∠CQD ＝∠QND ＝∠QNC ＝90°， ∴∠CQN ＝90°－∠NQD ＝∠NDQ ， ∴△QNC ∽△DNQ ， ∴

QN DN ＝NC

NQ

，∴QN 2＝CN ·DN . 设CN ＝x ，则有1

4

＝x ()2－x ，

整理得4x 2－8x ＋1＝0，解得：x 1＝2－32，x 2＝2＋3

2.

∵CQ ＞QD ，∴x ＝2＋32，∴NC

QN ＝2＋ 3.

∵QN ⊥CD ，PM ⊥CD ，

∴∠PMC ＝∠QNC ＝90°. ∵∠MCP ＝∠NCQ ， ∴△PMC ∽△QNC ， ∴

MC MP ＝NC

NQ

＝2＋3， ∴MC ＝(2＋3)MP . 在Rt △AMP 中，

tan ∠MAP ＝MP AM ＝tan 30°＝3

3

，

∴AM ＝3MP .

∵AC ＝AM ＋MC ＝3MP ＋(2＋3)MP ＝1， ∴MP ＝

3－1

4

， ∴AP ＝2MP ＝

3－1

2

.

(第14题图解)