初中数学竞赛 辅助圆( 66)
初中数学竞赛教程
七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。
6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
初中几何辅助线大全-最全
三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时 A E F A B C D E 1 7-图O
CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） ∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， ∵ ?? ???∠=∠=∠=∠)() () (21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE= 2 1 CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知） ∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 ?? ? ??∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图11-1：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 分析：由AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，想到如取AD 的中点N ，连接NB ，NC ，再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN ，故BN ＝CN ，∠ABN ＝∠DCN 。下面只需证∠NBC ＝∠NCB ，再取BC 的中点M ，连接MN ，则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM ，所以∠NBC ＝∠NCB 。问题得证。 证明：取AD ，BC 的中点N 、M ，连接NB ，NM ，NC 。则AN=DN ，BM=CM ，在△ABN 和△DCN 中 ∵ ?? ???=∠=∠=)() () (已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN 1 11-图D C B A M N
初中数学--辅助线典型做法汇总
初中数学| 辅助线典型做法汇总（珍藏版） 三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的 （1）可向两边作垂线。 （2）可作平行线，构造等腰三角形 （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 2. 与线段长度相关的 （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 （2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。 3. 与等腰等边三角形相关的 （1）考虑三线合一 （2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60 ° 四边形中常见辅助线的添加 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形。在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。 1. 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。 （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形 （2）利用两组对边平行构造平行四边形 （3）利用对角线互相平分构造平行四边形 2. 与矩形有辅助线作法
（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题。 （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。 3. 和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题。 （1）作菱形的高 （2）连结菱形的对角线 4. 与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多。解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线。 5. 与梯形有关的辅助线的作法 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型： （1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形 （2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形 （3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形 （4）延长两腰构成三角形 （5）作两腰的平行线等 圆中常见辅助线的添加 1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用： ①利用垂径定理 ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系 ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量 2. 遇到有直径时，常常添加（画）直径所对的圆周角 作用：利用圆周角的性质得到直角或直角三角形 3. 遇到90度的圆周角时，常常连结两条弦没有公共点的另一端点 作用：利用圆周角的性质，可得到直径
2018年黄冈市初中数学竞赛试题
2018年黄冈市初中数学竞赛试题 一、填空:(30分) 1.已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3,则x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2001+(-ab)2002的值等于________. 2.已知正数a 、b ，有下列命题： （1）若a=1,b=1,≤1;(2)若a=12,b=52,≤32;(3)若a=2,b=3,≤52 ;(4)若a=1,b=5,则- ≤3.根据以上几个命题所提供的信息,请猜想:若a=6,b=7,≤________. 3. 已知k=a b c a b c a b c c b a +--+-++==,2+9=6n,则关于自变量x 的一次函数y=kx+m+n 的图象一定经过第_______象限. 4.如图1,∠AOB=450,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q 、R （均不同于点O ），则ΔPOR 的周长的最小值为__________. 5.某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金,金额与他的工 作年数的算术平方根成正比例.如果他工作a 年,他的退休金比原有 的多p 元;如果他工作b 年(b ≠a),他的退休金比原有的多q 元.那么他 每年的退休金是(以a 、b 、p 、q 表示)____________元. 6.已知在ΔABC 中,∠A 、∠B 是锐角，且sinA= 315 ,tanB=2,AB=29cm, 则ΔABC 的面积等于______cm 2. 二、解答题: 7.(10分)观察:1×2×3×4+1=52, 2×3×4×5+1=112, 3×4×5×6+1=192。 ┉┉┉ （1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； （2）根据（1），计算2000×2001×2002×2003+1的结果（用一个最简式子表示）。 8.(10分)如图2,已知Rt ΔABC 中,∠C=900,沿过点B 的一条直线BE 折叠这个三角形,使点C 落在AB 边上的一点D.要使点D 恰为AB 的中点,问在图中还需添加什么条件?
初中数学常见辅助线做法
初中数学常用辅助线 一．添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形， 添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律 可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等 第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三 角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线 组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关 系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三 角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 *（7）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 （8）特殊角直角三角形 当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明 （9）半圆上的圆周角
2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1
2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．
初中数学证明题常见辅助线作法规律.
初中数学证明题常见辅助线作法规律 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀；及几何规律汇编；人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，；初中几何常见辅助线作法歌诀；人说几何很困难，难点就在辅助线；辅助线，如何添？把握定理和概念；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验；三角形；图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。
新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开
2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.
初中数学常见辅助线的添加方法
初中数学常见辅助线的 添加方法 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
中考数学复习专题 ——几何论证题中辅助线的添加方法 例1： ADBC 中AB ∥CD ，底角∠ABC=450 AC 、BD 交于点O ，且∠BOC=1200 分析：在已知条件中，底角∠ABC=450，有的同学想到延长两腰，出现一个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为 ∠BOC=1200 的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D （或A ）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为1200的等腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求BC AD 的比值。 证明：过D 点作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ，作DE ⊥BC 于E AD ∥BC AD=CF AC ∥DF ??ACFD 平行四边形 AC=DF 等腰梯形ABCD ? DB=AC ?BD=DF AC ∥DF ?∠BDF=∠BOC=1200 DE ⊥BF ∠BDE=600 ? BE=EF ?BE=EF=a 3 ∠BED=900 设a DE =
DE ⊥BC a CE DE == a AD CF )13(-== ∠BCD=450 EF=a 3 a CE BE BC )13(+=+= PQ 是线段AB 的中垂线， OD ⊥BC OD 的中点 是线段AB 的中垂线，同学们肯定想到连结AC 运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形”，使我们想到能否运用三角形相似及线段成比例来解本题。而要证CM ⊥AD ，从图中观察到如能证得∠1=∠A ，那么CM ⊥AD 即可成立；而∠A 除了在Rt △AON 中，它还在△AOD 中，若把∠1也放到与△AOD 相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑一个与△AOD 相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件M 是OD 的中点，想到增添中点（或添平行线）的方法，故取OC 的中点为G ，想法证明△AOD ∽ △CGM 。通过基本图形分析，发现∠2=∠3，故∠AOD=∠CGM 。因此证：GM CG OD AO =是本题又一关键。 证明：取OC 的中点为G ，连GM, ∵PQ 是AB 的中垂线, ∴∠BOC=900设OA=OB=a ，OD=b . ∵OD ⊥BC, ∴∠CDO=∠ODB=900
初中数学圆中常作哪些辅助线
圆中常作哪些辅助线? 通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下： 弦与弦心距，密切紧相连. 直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦. 遇到相切圆，作条公切线. “有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间. 一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”. 例1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ，求 证：PM ?PN=2PO 2. 分析：要证明PM ?PN=2PO 2，即证明PM ? PN 2 1 =PO 2， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 PN 2 1 =PC ，只需证明 PM ?PC=PO 2，由POC PMO O P M P C P O P ???? = 。。 。 。。，“三点定型”法可判断需证 明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2 1PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=900. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. P B A N O C M
∴ PO PM PC PO ，即∴PO 2= PM ?PC. ∴PO 2= PM ?2 1 PN ，∴PM ?PN=2PO 2. 二、连结半径 圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一. 例2．已知：△ABC 中，∠B=900，O 是AB 上一点，以O 为圆心，以OB 为半径的圆切AC 与D 点，交AB 与E 点，AD=2，AE=1. 求证:CD 的长. 分析：D 为切点，连结DO ，∠ODA=900.根据切线长定理 CD=CB.DO=EO= 半径r ，在Rt △ADO 中根据勾股定理或 Rt △ADO~ Rt △ABC ，求出CD. 证明: 连结DO ∴OD ⊥AC 于D, ∴∠OCP=900. ∵AB 过O 点, ∠B=900. ∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB 设CD=CB=x,DO=EO=y 在Rt △ADO 中，AO 2 =AD 2+ DO 2，AD=2，AE=1 ∴(1+y)2=22+y 2, ∴ y= 2 3 在Rt △ABC 中，AC 2 =AB 2+ BC 2，即(2+x)2=(1+ 23+2 3)2+x 2 , ∴x=3 ∴CD=3. 三、连结公共弦 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把 A B C D E O C A B D E O 2 O 1 P
初中几何常见辅助线作法50种
初中常见辅助线作法 任何几何题目都需分析题目条件和结论找到解题思路，本讲从常见的条件和结论出发说明50种辅助线作法，分三角形部分、四边形部分、解直角三角形部分、圆。每种辅助线作法均配备了例题和练习。 三角形部分 1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某 边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE . 证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N 在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ① 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ② 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得 AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G , 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有 AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证 有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点， 求证： 1 2 (AB ＋BC ＋AC )＜P A ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC 2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来， 可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， F G N M E D C B A
九年级数学圆中常见辅助线作法
圆中常见辅助线的作法 典型例题： 例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上 任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________ 例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。 求证：直线L 与⊙O 相切。 例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ， 交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ． 例题4、如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________．
B A C B 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2． 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3． 遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4． 遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 作用：利用切线的性质定理可得OA ⊥AB ，得到直角或直角三角形。 （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 5． 遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线 段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。
浙江省义乌市初中数学竞赛试题(含答案)
2006年义乌市初中数学竞赛试题 班级_________姓名_________成绩_________ 一、选择题（6×6=36分） 1.已知0221≠+=+b a b a ，则b a 的值为（ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）不能确定 2.已知1 22432+--=--+x B x A x x x ，其中A ，B 为常数，则4A-B 的值为（ ） （A ）7 （B ）9 （C ）13 （D ）5 3.在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ） （A ）12 （B ）12或13 （C ）14 （D ）14或15 4.已知一次函数k kx y -= ，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过（ ） （A ）第一、二、三象限 （B ）第一、二、四象限 （C ） 第一、三、四象限 （D ）第二、三、四象限 5. 5.如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，F 为△ABC 外的点。连DF 交AC 于E 点，连FC 。现有三个断言： （1）DE=FE ；（2）AE=CE ；（3）FC ∥AB. 以其中的两个断言为条件，其余一个断言为 结论，如此可作出三个命题，这些命题中正确命 题的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 6.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是AC 中点，BE ⊥BD 交CA 的延长线于E ，下列结论 中正确的是（ ） （A ）△BED ∽△BCA （B ）△BEA ∽△BCD （C ）△ABE ∽△BCE （D ）△BEC ∽△DBC 二、填空题（5×8=40分） 7.设-1≤x ≤2，则 22 12++--x x x 的最大值与最小值之差为 . 8.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对. 9.方程210 712122=+++-+x x x x 的解为 .
初中数学圆的辅助线八种作法
中考数学圆的辅助线 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。 1.有弦，可作弦心距 在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。 例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。 分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。 证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD AB ( BD ， ( CD ( D C A 图 1 AC ( AC ( BD ( AB ( CD (
=> OE=OF ∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF 0OP=OP =>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证 ∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线 即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。 证法2：连结OA ，OD 。 ∠CAP=∠BDP ∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD =>AP=DP OA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP D C A 图1-1
初中数学常见辅助线添加口诀
初中数学常见辅助线添加口诀 说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线 添辅助线有二种情况： （1）按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们相交后证交角为90°， 证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍， 证角的倍半关系也可类似添辅助线 ………… （2）按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
2007 年新知杯上海市初中数学竞赛
2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.
天津市初中数学竞赛赛试题
2013天津市初中数学竞赛赛试题 所属班级 姓名 一、选择题（每小题7分，满分35分）： 1、设实数,,a b c 满足2346c b a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系是 （ ）. A 、a b c <≤ B 、b a c <≤ C 、b c a <≤ D 、c a b <≤ 2、设O 为锐角⊿ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并分别延长，交对边于点D 、E 、F ，若 ⊿ABC 的外接圆半径为6， 111 AD BE CF ++ 的值是（ ）. A 、1 B 、12 C 、13 D 、16 3、已知20122011a x =+，20122012b x =+，20122013c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）. A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线PA 是一次函数y x n =+的图像，与x 轴、y 轴分别交于点A 、Q. 直线PB 是一次函数2y x m =-+的图像，与x 轴交于点B.若AB=2，四边形OBPQ 的面 积等于56 ，则 m n m n +-的值为（ ）. A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 5、已知10个彼此不相等的正整数1210,,,a a a 满足条件215a a a =+，326a a a =+，437a a a =+，658a a a =+，769a a a =+，9810a a a =+，则4a 的最小值是（ ）. A 、19 B 、20 C 、21 D 、22 二、填空题（每小题7分，满分35分）： 6、若11111101112 19 a = ++++，则a 的整数部分为 . 7、若关于x 的不等式()250a b x a b -+->的解集为10 7 x < ，则关于x 的不等式ax b >的解集为 .
初中数学几何题常见辅助线作法
几何常见辅助线口诀 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，倍长中线得全等。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径联。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。
由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等 如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等 如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形 如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证： BD=2CE。
试题：2000年上海市初中数学竞赛试题(含答案解析)
2000年上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（每小题7分，共70分） 1、如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与AC 相交于点E 、与AD 相较于点F 、与CD 的延长线相交于点G ，若BE=5，EF=2，则FG= 2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3， C 、 D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和． 3 若n 的十进制表示为99…9（共20位9），则n 3的十进制表示中含有 个数码9。 4 在△ABC 中，若AB=5，BC=6，CA=7，H 为垂心，则AH= 5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m ，则m 的取值范围是 6、若关于的方程|1-x|=mx 有解，则实数m 的取值范围 7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8、方程211134 x y xy ++=的整数解（x ，y ）= 9、如图，在正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN=BM ，BN 与CM 相交于点O ，若△ABC 的面积为7，△OBC 的面积为2，则BM BA =
=，则y的最大值为 10、设x、y y 二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分） 11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。 12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论． 13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。