2018高考数列解答题典型方法

高考解答题典型方法之数列

新课程全国卷的试卷结构是固定的，一般来说，第17题考查三角函数或数列问题，并且分为两个小问，难度为中等，但是要获得满分，需要应用公式正确，计算快速熟练，书写规范。

一．基础知识整合

1.熟记等差数列、等比数列的通项公式的两种形式；前n 项和公式.

2.正确理解等差数列、等比数列的性质，优化解题思路.

3.正确理解数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系.

4.正确应用等差数列、等比数列定义或等差中项、等比中项进行证明.

5.熟悉并掌握数列的求和方法：裂项法、并项法、倒序相加法、错位相减法.

6.掌握简单的递推数列及其求解方法.

二、高考题型分析

在新课程全国卷的考查中，目前数列内容是安排在17题进行，难度为中等，试题入口一般为三个方向：（1）由等差数列、等比数列出发构建题设关系；（2）由数列的通项与前n 项和构建题设关系；（3）由简单的递推数列构建题设关系.

数列求和问题是数列中的重要知识环节，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．

等差数列与等比数列、数列与函数、数列与不等式、数列与概率、数列的实际应用等知识交汇点的综合问题是近几年高考的重点和热点，此类问题在客观题和解答题中都有所体现，难度不一，求解此类问题的主要方法是利用转化与化归的思想，根据所学数列知识及题目特征，构造出解题所需的条件．

（一）对等差数列、等比数列的综合考查

1. （等差数列、等比数列与不等式）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存

在，说明理由．

2. （等差数列与错位相减法）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式

(Ⅱ)设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a +++=-，*n N ∈ ，求{}n b 的前n 项和n T （二）对数列的通项n a 与前n 项和n S 的考查

3.（等比数列与错位相减法）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知01≠a ，112n n a a S S -=?，*n N ∈

（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和.

4.（等差数列、等比数列与倒序相加法）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）若{}n a 为等差数列, 推导n S 的计算公式;

（Ⅱ）若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11n

n q S q

-=-. 判断{}n a 是否为等比数列. （三）对简单的递推数列的考查

5. （等比数列与递推数列、比较法证明不等式）设数列{}n a 的首项113(01)2

n n a a a --∈=,,，234n =，，，... （1

）求{}n a 的通项公式；

（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数．

6. （等比数列的证明、简单的递推数列的求解）在数列{}n a 中，

11111,(1)2

n n n n a a a n ++==++ （Ⅰ）设n n a b n

=，求数列{}n b 的通项公式 （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S

（四）数列求和的应用

7.（前n 项和与通项的关系、裂项法求和、数列与不等式）

正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=

（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（2）令221(2)n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有564

n T < 8. （等比数列的证明、裂项法求和）

已知数列{}n a 的首项,11=a 前n 项和为,n S 且.,3,2,1,12211 =-+=++n S a n n n

（Ⅰ）设,,3,2,1,2 =+=n a b n n n 证明数列}{n b 是等比数列；

（Ⅱ）设112,1,2,3,,(13)(13)

n

n n n n n c n a a ++==+-+-求{}n c 的前n 项和n T .

（五）对数列与不等式的考查 9.（等比数列、不等式与分类讨论）已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）是否存在正整数m ，使得

121111m a a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由。

10.（等差数列与等比数列的综合、不等式与分类讨论）已知首项为

32

的等比数列{}n a 的前n 项和为n S (*n N ∈)，且2342,,4S S S -成等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）证明1136

n n S S +≤(*n N ∈)． 11. （简单的递推数列、等比数列的证明、不等式与放缩法） 已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.

（1）证明1

{}2

n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；

（2）证明121113...2n a a a +++< 12. （前n 项和与通项的关系、等差数列与不等式、裂项法求和）

已知数列

{}n a 满足对任意的*n N ∈，都有0n a >，且()2

3331212n n a a a a a a +++=+++． （1）求1a ，2a 的值；

（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（3）设数列21{}n n a a +的前n 项和为n S ，不等式()1log 13

n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．