高中数学奥林匹克竞赛讲座：22因式分解
竞赛讲座22
-因式分解
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法.
1.添项.拆项法
添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点.
例1 （1986年扬州初一数学竞赛题）分解因式
（1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2
解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)
=[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2
=[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x]
=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)
=[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
例2（第11届国际数学竞赛题）证明：具有如下性质的自然数a有无穷多个，对于任意的自然数m.z=n4+a都不是素数.
证明设a=4k4（k为大于1的自然数），则
z=n4+a
=n4+4k4
=n4+4n2k2+4k4-4n2k2
=(n2+2k2)2-4n2k2
=(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk)
=[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2]. ①
∵k为大于1的自然数，
∴(n+k)2+k2＞1, (n-k)2+k2＞1
故①的右边两个因子都大于1，故当k＞1时，z是合数.
由于大于1的自然数k有无穷多个，故有无穷多个自然数a，使n4+a对一切自然数n 总非素数
2.待定系数法
若两多项式f(x)=g(x)，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决.
例3分解因式3x2+5xy-2y2+x+9y-4.
解由于3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y)，故可设
3x2+5xy-2y2+x+9y-4
=(3x-y+a)(x+2y+b)
=3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab.
①②③
比较两边系数得
由①,②联立得a=4,b=-1,代入③式适合.
∴原式=(3x-y+4)(x+2y-1).
例4 (1963年北京中学生数学竞赛试题)已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数,若bd+cd是奇数,,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积.
证明设
x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r)
=x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr
(其中p、q、r均为整数)
比较两边系数得 pr=d.
又 bd+cd=d(b+c)是奇数,故b+c与d均为奇数,那么pr也是奇数,即p与r也是奇数.今以x=1代入(因为它是恒等式)得
1+b+c+d=(1+p)(1+q+r). ①
∵b+c,d为奇数,∴1+b+c+d也为奇数,而p为奇数,∴1+p为偶数.
∴(1+p)(1+q+r)为偶数.这说明等式①的左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的.
所以,所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积.
3.换元法
例5 分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12)-120.
解原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120
=(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120
=(x2+5x+6)(x2+5x+4)-120
令 x2+5x=A, 代入上式,得
原式=(A+6)(A+4)-120=A2+10A-96
=(A+16)(A-6)=(x2+5x+16)(x2+5x-6)=(x2+5x+16)(x+6)(x-1)
例6 证明a(a+1)(a+2)(a+3)+1必为完全平方数
解原式=a(a+3)(a+1)(a+2)+1
=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1
=(a2+3a+1)2
∴a(a+1)(a+2)(a+3)+1为完全平方数.
说明:这里未设新元,但在思想上把a2+3a看作一个新元素.
4.对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.
例7分解因式x4+(x+y)4+y4
分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.
解∵x4+y4
=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2
=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.
∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4
=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2
=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]
=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,
例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).
此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.
因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).
如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).
证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,
若f(a)=0,则
f(x)=f(x)-f(a)
=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)
=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)
=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),
由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),
∴(x-a)|f(x),
对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.
现在我们用因式定理来解例8.
解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.
∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
=-(a-b)(b-c)(c-a).
例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).
分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a 是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以
原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
因式定理使用得更多的还是一元n次多项式的因式分解.
例10 （1985年武汉市初中数学竞赛题）证明：2x+3为多项式2x4-5x3-10x2+15x+18的因式.
证明以 f(x)记多项式.
+15-
∴2x+3是f(x)的因式.
例11 分解因式x3-19x-30.
分析这里常数项是30,如果多项式f(x)=x3-19x-30有x-a这种形式的因式,那么a一定是30的因数,这是因为f(a)=a3-19a-30=0即a3-19a=30.
∵a|(a3-19a), ∴a|30
解 30的因数为±1,±2,±3,±4,±5,±6,±10,±15,±30.
∵f(1)=-48,f(-1)=-12,f(2)=-60,f(-2)=0,f(3)=-60,f(-3)=0,f(5)=0.(这里已有f(-2)、f(-3)、f(5)等于零了，三次多项式只有三个一次因式，所以不必再计算了.)
∴x3-19x-30=k(x+2)(x+3)(x-5),
∴x3的系数为1，∴k=1,
故 x3-19x-30=(x+2)(x+3)(x-5).
练习
1.选择题
(1)在1到100之间若存在整数n,使x2+x-n能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的n有( )个
(A) 0 (B)1 (C)2 (D)9 (E)10
(2)二次多项式x2+2kx-3k2能被x-1整除,那么k值是( )
(A)1或
(B)-1或
(C)0 (D)1或-1
(3)如果100x2-kxy+49y2是一个完全平方式,那么k=( )
(A)4900 (B)9800 (C)140 (D)70
2.填空
（1）多项式6x2+mxy-3y2+3x+10y-3能分解成关于x、y的一次多项式,则m=____. （2）已知x2+x-1=0,则x3+2x2+1985=____.
3.（1）分解因式a2-b2+4a+2b+3
（2）分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12.
4.（1）分解因式a3b-ab3+a2+b2+1
（2）（1989年广州等五市联赛）分解因式(x+y)(x-y)+4(y-1).
5.（1986年全国初中数学知识竞赛）分解因式(x+y)3+2xy(1-x-y)-1.
6.证明是合数.
7.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy.
8.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.
9.（1986年五城市联赛试题）若a为自然数，则a4-3a2+9是质数，还是合数？给出你的证明.
10.（1985年北京市初中数学竞赛题）若a为自然数，证明
10|(a1985-a1949).
练习
１．Ｄ．Ａ．Ｃ．
２．（１）ｍ＝７．（２）１９８６
３．（１）（ａ＋ｂ＋１）（ａ－ｂ＋３）．
（２）（ｘ＋２）（ｘ－１）（ｘ２＋ｘ＋５）
４．（１）（ａ２－ａｂ＋１）（ａｂ＋ｂ２＋１）
（２）（ｘ－ｙ＋２）（ｘ＋ｙ－２）
５．（ｘ＋ｙ－１）（ｘ２＋ｙ２＋ｘ＋ｙ＋１）．
６．Ａ＝１０１９８６＋１＝（１０６６２）８＋１＝…分角为两因数之积，且两因数均大于１即可得证．
７．原式＝（ｘ＋ｙ）３－（ｘ３＋ｙ３）＋３ｘｙ＝…＝３ｘｙ（ｘ＋ｙ＋１）．８．（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ）．
９．原式＝（ａ２－３ａ＋３）（ａ２＋３ａ＋３）．
再讨论：ａ＝１或２时，知为质数，ａ＞２为合数.
１０．∵ａ１９８５－ａ１９４９＝ａ１９４９（ａ２＋１）（ａ４－ａ２＋１）（ａ１２－ａ６＋１）（ａ＋１）（ａ２－ａ＋１）（ａ６－ａ３＋１）（ａ６＋ａ３＋１）（ａ2＋ａ＋１）（ａ－１）．当ａ的个位数字分别为0～9时,上式右端总含有因数2和5,
∴１０｜（ａ１９８５－ａ１９４９）．
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数列与递进 知识、方法、技能 数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a 1, a 2, …,a n , …通常简记为{a n }.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有 ?? ?≥-==-). 2(),1(11 n S S n S a n n n I ．等差数列与等比数列 1．等差数列 （1）定义：.2 )(2 11++++==-n n n n n a a a d a a 或常量 （2）通项公式：a n =a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= （4）等差中项：.2 21+++= n n n a a a （5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. （6）性质： ①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数； ②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ; ④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{ n S n 是等差数列； ⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列；
初二数学经典因式分解题目
经典因式分解题目 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 一. 填空题 1. 的公因式是___________ 2. 分解因式：__________ 3. 若，则_________ 4. 若是完全平方式，则t ＝________ 5. 因式分解：_________ 6. 分解因式：_________ 7. 若，则x ＝_______，y ＝________ 8. 若，则_________ 9. 计算________ 10. 运用平方差公式分解：－_______＝（a ＋7）（a －_____） 11. 完全平方式 12. 若a 、b 、c ，这三个数中有两个数相等，则 _________ 13. 若，则__________ 分解因式：x x y x y x x y ()()()+--+2x y 4416-x y xy 33-()x y x --3422252034322m m m n m n --+-()()()()x x 2221619---+分解因式164129222a b bc c -+-1218323x y x y -2183x x -=A x y B y x =+=-353，A A B B 222-?+=x x t 26-+944222a b bc c -+-=a c a bc ab c 32244-+=||x x xy y -+-+=214022a b ==9998，a ab b a b 22255-+-+=12798 012501254798....?-?=a 249222 x y -+=()a b c b c a c a b 222()()()-+-+-=a b ab +==-514，a a b ab b 3223+++=
(完整版)因式分解竞赛题
因式分解 【例 1】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x 提示:将248x x u 看成一个字母，可利用十字相乘 【例 2】(“希望杯”培训试题 )分解因式：22(52)(53)12x x x x 【解析】方法1：将25x x 看作一个整体，设25x x t ，则 方法2：将252x x 看作一个整体，设252x x t ，则 方法3：将253x x 看作一个整体， 【巩固】分解因式： (1)(3)(5)(7)15x x x x (1)(2)(3)(4)24a a a a 22(1)(2)12 x x x x 【例 3】证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．
【巩固】若x ，y 是整数，求证：4234x y x y x y x y y 是一个完全平方数. 【例 4】(湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91 a a a 【巩固】分解因式22(32)(384)90 x x x x 【例 5】分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x 提示:可设2231,23x x A x x B ，则244x x A B . 【巩固】分解因式：2 (2)(2)(1)a b ab a b ab 【巩固】分解因式：2 1 (1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y
【例 6】(重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272 x x 练习: 1 .分解因式 x x 3234 2.求证：多项式的值一定是非负数 3.分解因式：()()()a b c a b b c 2333 4.在ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100.求证：a c b 25.已知：
高一数学竞赛培训讲座之函数的基本性质
函数的基本性质 基础知识： 函数的性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性等等，在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时，巧妙利用函数及其图象的相关性质，可以使得问题得到简化，从而达到解决问题的目的. 关于函数的有关性质，这里不再赘述，请大家参阅高中数学教材及竞赛教材：陕西师范大学出版社 刘诗雄《高中数学竞赛辅导》、刘诗雄、罗增儒《高中数学竞赛解题指导》. 例题： 1. 已知f(x)＝8＋2x －x 2，如果g(x)＝f(2－x 2 )，那么g(x)( ) A.在区间(－2，0)上单调递增 B.在(0，2)上单调递增 C.在(－1，0)上单调递增 D.在(0，1)上单调递增 提示：可用图像，但是用特殊值较好一些.选C 2. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x ＋3)＝－f(x)，当0≤x≤ 23时，f(x)＝x ，则f(2003)＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2003 解：f(x ＋6)＝f(x ＋3＋3)＝－f(x ＋3)＝f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2003)＝f(6×335－1)＝f(－1)＝－f⑴＝－1 选A 3. 定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有f(x ＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0仅有 101个不同的实数根，那么所有实数根的和为( ) A.150 B.2303 C.152 D.2 305 提示：由已知，函数f(x)的图象有对称轴x ＝ 23 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称.
即有一个根就是23，其余100个根可分为50对，每一对的两根关于x ＝2 3对称 利用中点坐标公式，这100个根的和等于 23×100＝150 所有101个根的和为 23×101＝2303.选B 4. 实数x ，y 满足x 2＝2xsin(xy)－1，则x 1998＋6sin 5 y ＝______________. 解：如果x 、y 不是某些特殊值，则本题无法(快速)求解 注意到其形式类似于一元二次方程，可以采用配方法 (x －sin(xy))2＋cos 2(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy) 且 cos(xy)＝0 ∴ x＝sin(xy)＝±1 ∴ siny＝1 xsin(xy)＝1 原式＝7 5. 已知x ＝9919+是方程x 4＋bx 2＋c ＝0的根，b ，c 为整数，则b ＋c ＝__________. 解：(逆向思考：什么样的方程有这样的根？) 由已知变形得x －9919= ∴ x 2－219x ＋19＝99 即 x 2－80＝219x 再平方得x 4－160x 2＋6400＝76x 2 即 x 4－236x 2＋6400＝0 ∴ b＝－236，c ＝6400 b ＋ c ＝6164 6. 已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根， 求证：a ＞4. 证法一：由已知条件可得 △＝b 2－4ac≥0 ① f⑴＝a ＋b ＋c ＞1 ②
初二数学因式分解技巧
因式分解技巧方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应 用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
(完整版)初二级竞赛专题：因式分解
初二级竞赛专题：因式分解 一、重要公式 1、a2－b2=(a＋b)(a－b)；a n－1=(a－1)( a n-1＋a n-2＋a n-3＋…＋a2＋a＋1) 2、a2±2ab＋b2=(a±b)2； 3、x2＋(a＋b)x＋ab=(x＋a)(x＋b); 4、a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2); a3－b3=（a－b）(a2＋ab＋b2); 二、因式分解的一般方法及考虑顺序 1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法； 2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。 3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法；（4）分组分解法；（5） ）。 其它常用方法与技巧（简单概括为：提十公分 ．．．． 三、例题 1、添项拆项 [例1]因式分解：（1）x4＋x2＋1；（2）a3＋b3＋c3－3abc （1）分析：x4＋1若添上2x2可配成完全平方公式 解：x4＋x2＋1＝x4＋2x2＋1－x2=(x2＋1)2－x2=(x2＋1＋x)(x2＋1－x) （2）分析：a3＋b3要配成（a＋b）3应添上两项3a2b＋3ab2 解：a3＋b3＋c3－3abc＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＋c3－3abc－3a2b－3ab2 =(a＋b)3＋c3－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)[(a＋b)2－(a＋b)c＋c2]－3ab(a＋b＋c) =(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) [例2]因式分解：（1）x3－11x＋20；（2）a5＋a＋1 （1）分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。（注意这里16是完全平方数） 解：x3－11x＋20＝x3－16x＋5x＋20＝x(x2－16)＋5(x＋4) =x(x＋4)(x－4)＋5(x＋4) =(x＋4)(x2－4x＋5) （2）分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a＋1组成两组，正好可以用立方 差公式 解：a5＋a＋1＝a5－a2＋a2＋a＋1=a2(a3－1)＋a2＋a＋1 =a2(a－1)( a2＋a＋1)＋a2＋a＋1=(a2＋a＋1)(a3－a2＋1) 2、待定系数法 [例3]因式分解2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20 解：∵2x2＋3xy－9y2=(2x－3y)(x＋3y),故用待定系数法， 可设2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋a)(x＋3y＋b)，
(完整)初二数学人教版因式分解-讲义
八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， 例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.
高中数学奥林匹克竞赛的解题技巧(上中下三篇)
奥林匹克数学的技巧（上篇） 有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。 2-7-1 构造 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。 例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。 证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤?=… 考虑154个数： 12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,? 又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+ 故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。 这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。 例 2-128 已知,,x y z 为正数且()1xyz x y z ++=求表达式()()x y y z ++的最最小值。 解：构造一个△ABC ，其中三边长分别为a x y b y z c z x =+??=+??=+? ，则其面积为 1?== 另方面2()()2sin x y y z ab C ?++==≥ 故知，当且仅当∠C=90°时，取值得最小值2，亦即222()()()x y y z x z +++=+
初中数学竞赛专题辅导因式分解(一)
初中数学竞赛专题辅导因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
学高中数学竞赛辅导计划
学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表
数学竞赛题精讲复杂的因式分解问题
数学竞赛题精讲复杂的因 式分解问题 Prepared on 21 November 2021
轮换对称式的因式分解问题 林达 多元高次轮换对称式的因式分解问题往往是因式分解中的难点，很多初中学生感到棘手。但笔者却认为，这类问题往往是有迹可循的。我们今天就通过几个例子讲一讲把“求根”和“待定系数”相结合进行因式分解的方法。 例1分解因式： 【分析与解答】首先观察发现，当时，原式的值为0。即，如果将原式看作a的函数，将b看作常数，则是函数的一个根。故是原式的因式，同理及也是原式的因式。 故是原式的因式，观察发现原式是的三次式，也是三次式，故两式必然只差一个常数。 用待定系数法，设 代入，得到，故原式的因式分解结果是 例2分解因式： 【分析与解答】和例1类似，首先观察发现，当时，原式的值为0。故是原式的因式，同理及也是原式的因式。 故是原式的因式，观察发现原式是的五次式，是三次式。两者都是的轮换对称式，故原式一定可以表示成如下结果： 代入，得到 代入，得到 解得故原式的因式分解结果是 例3化简： 【分析与解答】这里虽然是化简而非因式分解，但我们发现分别展开以上四个式子太过复杂，耗时且易错，所以我们仿照例1和例2的方法首先用观察法“求根”以发现因式。 观察发现，当时，原式为 故，是原式的一个因式，同理也是原式的因式。 故是原式的因式。观察发现原式是的三次式，也是三次式，两式必然只差一个常数。 用待定系数法，设 代入，得到，故原式的化简结果是 配方法及其应用 林达 复杂的因式分解不仅可以是轮换对称式的因式分解，很多难以直接提出因式的高次多项式也难以分解。对于这类多项式，配方法往往能出奇效。相对于更一般的待定系数法，配方法的计算要简单很多。 配方法，顾名思义，就是将多项式或其中的某些项配成平方式或更高次方式（一般配成平方式，有时也可能直接配成三次方式，但更高次的配方很少出现）。下面我们看几道例题。 例1 分解因式：
高中数学奥赛辅导讲课稿
数列与递进 知识、方法、技能 数列是中学数学中一个重要的课题，也是数学竞赛中经常出现的问题. 所谓数列就是按一定次序排列的一列数.数列的一般形式是a 1, a 2, …,a n , …通常简记为{a n }.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式. 从函数的角度看，数列可以看做是一个函数，定义域是自然数集或自然数集的一个有限子集，函数表达式就是数列的通项公式. 对于数列{a n }，把S n =a 1+a 2+…+a n 叫做数列{a n }的前n 项和，则有 ???≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n I ．等差数列与等比数列 1．等差数列 （1）定义：.2)(211++++= =-n n n n n a a a d a a 或常量 （2）通项公式：a n =a 1+(n －1)d . （3）前n 项和公式：.2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= （4）等差中项：.2 21+++=n n n a a a （5）任意两项：a n =a m +(n －m)d. （6）性质： ①公差为非零的等差数列的充要条件是通项公式为n 的一次函数； ②公差为非零的等差数列的充要条件是前n 项和公式为n 的不含常数项的二次函数； ③设{a n }是等差数列，如果m 、n 、p 、q ∈N*，且m+n=p+q ，那么a m +a n =a p +a q ; ④设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m , …, S pm －S (p －1)m (m>1,p ≥3，m 、p ∈N*)仍成等差数列； ⑤设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则}{n S n 是等差数列； ⑥设{a n }是等差数列，则{λa n +b}(λ,b 是常数)是等差数列；
初二数学人教版因式分解_讲义
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)
——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206） ______年______月______日 ____________________部门
第一试 一、填空题（每小题8分，共64分） 1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。 ()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++ 2。关于实数的方程的解集为 。x 2 12sin 2222log (1sin )x x -=+- 3。曲线围成的封闭图形的面积为 。 2224x y y +≤ 4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。 z i ≠z ()z i F z z i -= +n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则 5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角 为，则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0 6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。 22 ()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +?? =∈?? ?? 7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、 N ，则面积的最小值为 。 xOy 22 12516x y +=22 9x y +=x y OMN ? 8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题（共56分）
(原创)2020年因式分解竞赛题含答案
2020年因式分解竞赛题含答案 作者：夏威夷松鼠 二、知识点回顾： 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 三、专题讲解 例1 分解因式：
(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)． 分析我们已经知道公式 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性，现将此公式变形为 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)． 这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导． 解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c) =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)． 说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为 a3+b3+c3-3abc
江苏省金湖县实验中学高中数学 奥赛辅导 构造一次方程组的技巧
- 1 - 一、利用同类项的定义构造： 例1：已知m n m n b a --31999 1和1079999+-m n a b 是同类项，则.________22=+n m 二、利用二元一次方程的定义构造： 例2：若243724953=+--++n m n m y x 是二元一次方程，则n m 的值等于________. 三、利用方程组的解的定义构造： 例3：若???==12y x 是方程组???=+=-5 213by ax y ax 的解，求b a 、的值. 四、利用相反数的性质构造： 例4：已知a 的相反数是12+b ，b 的相反数是13+a ，则.________22=+b a 五、利用非负数性质构造： 例5：如果实数y x ,满足()022=++-y x x ，那么.________=y x 六、利用多项式恒等性质构造： 例6：已知多项式682322 2-+--+y x y xy x 可以分解为()()n y x m y x +-++22的形式，那么.________1 123=++n m 七、利用一次方程的解的特征构造： 例7：已知关于x 的方程()()()15133+=++-x x b x a 有无穷多个解，那么.________________,==b a 八、取特殊值构造： 例8：设b ax x x ++-2 32除以()()12+-x x 所得的余式为12+x ，那么.________________,==b a 九、弱化某些未知数构造： 例9：若,073, 0452=-+=++z y x z y x 则.________=-+z y x 十、利用新运算的定义构造： 例10：对于实数y x ,定义一种新运算*：,c by ax y x ++=*其中c b a 、、为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算. 已知：,2874, 1553=*=*那么.________11=*
初二数学因式分解讲解
十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其
2019年度高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案解析
2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛） 及答案 （时间：5月16日18：40～20：40） 满分：120分 一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．已知 M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且 P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ） A. M B. N C. P D.P M 2.函数()1 42-+ =x x x x f 是（ ） A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数 3.已知不等式m 2 ＋(cos 2 θ－5)m ＋4sin 2 θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A . 0≤m ≤4 B . 1≤m ≤4 C . m ≥4或x ≤0 D . m ≥1或m ≤0 4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若 0sin cos 2sin cos =+- +B B A A ，则 c b a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．设ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C B A C A cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是 （ ） A. (0,)+∞ B. C. D. )+∞． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数| cos sin |2sin )(x x e x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
八年级数学竞赛讲座：第一讲 因式分解(一)
第一讲因式分解(一) 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2－b2=(a+b)(a－b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)； (4)a3－b3=(a－b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3－3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－bc－ca)； (7)a n－b n=(a－b)(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…+ab n－2+b n－1)其中n为正整数； (8)a n－b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…+ab n－2－b n－1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n－1－a n－2b+a n－3b2－…－ab n－2+b n－1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)－2x5n－1y n+4x3n－1y n+2－2x n－1y n+4； (2)x3－8y3－z3－6xyz； (3)a2+b2+c2－2bc+2ca－2ab； (4)a7－a5b2+a2b5－b7． 解 (1)原式=－2x n－1y n(x4n－2x2ny2+y4) =－2x n－1y n[(x2n)2－2x2ny2+(y2)2]
初二数学因式分解100题
提升课堂托辅中心 初二数学因式分解精选 100题 2013年1月25日 一、选择题 1.下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A (a +3)(a -3)=a 2-9 B x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 C a 2b +ab 2=ab (a +b ) (D)x 2+1=x (x +x 1) 2.下列各式的因式分解中正确的是（ ） A -a 2+ab -ac = -a (a +b -c ) B 9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) C 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) D 21xy 2+21x 2y =2 1 xy (x +y ) 3.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ） (A)(a -2)(m 2+m ) (B)(a -2)(m 2-m ) (C)m (a -2)(m -1) (D)m (a -2)(m+1) 4.下列多项式能分解因式的是（ ） (A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y +y 2 (D)x 2-4x +4 5.下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） (A)412m m ++ (B)222y xy x -+- (C)2 24914b ab a ++- (D) 13 292+-n n 6.多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（ ） (A)4x (B)-4x (C)4x 4 (D)-4x 4 7.下列分解因式错误的是（ ） (A)15a 2+5a =5a (3a +1) (B)-x 2-y 2= -(x 2-y 2)= -(x +y )(x -y )(C)k (x +y )+x +y =(k +1)(x+y ) (D)a 3-2a 2+a =a (a -1)2 8.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ） (A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 2 9.下列多项式：①16x 5-x ；②(x -1)2-4(x -1)+4；③(x +1)4-4x (x +1)+4x 2；④-4x 2-1+4x ，分解因式后，结果含有相同因式的是（ ）(A)①② (B)②④ (C)③④ (D)②③ 10.两个连续的奇数的平方差总可以被 k 整除，则k 等于（ ） (A)4 (B)8 (C)4或-4 (D)8的倍数 11下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ） A a(a ＋b －1)=a 2＋ab －a B a 2 –a －2=a(a －1)－2 C －4 a 2＋9b 2=(－2a ＋3b)(2a ＋3b) D ． 2x ＋1=x(2＋1/x) 12下列各式分解因是正确的是（ ） A ．x 2y ＋7xy ＋y=y(x 2＋7x) B ． 3 a 2b ＋3ab ＋6b=3b(a 2＋a ＋2) C ． 6xyz －8xy 2=2xyz(3－4y) D ． －4x ＋2y －6z=2(2x ＋y －3z) 13下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ） A ． x 2－y B ． x 2＋2x C ． x 2＋y 2 D ．x 2－xy ＋y 2 14 2(a －b)3－(b － a)2分解因式的正确结果是（ ） A ． (a －b)2(2a －2b ＋1) B ． 2(a －b)(a －b －1) C ． (b －a)2(2a －2b －1) D ． (a －b)2(2a －b －1) 15下列多项式分解因式正确的是（ ） A ． 1＋4a －4a 2=(1－2a)2 B ． 4－4a ＋a 2=(a －2)2 C ． 1＋4x 2=(1＋2x)2 D ．x 2＋xy ＋y 2=(x ＋y)2 16 运用公式法计算992，应该是（ ） A ．(100－1)2 B ．(100＋1)(100－1) C ．(99＋1)(99－1) D ． (99＋1)2 17 多项式：①16x 2－8x ；②(x －1)2 －4(x －1)2；③(x ＋1)4－4(x ＋1)2＋4x 2 ④－4x 2－1＋4x 分解因式 结果中含有相同因式的是（ ）