第10章 数论问题

第10章 数论问题

教学内容：

1.数的整除问题

2.质数与合数

3.奇偶性问题

4.分解质因数（含乘积尾数分析及平方数问题）

5.最大公因数与最小公倍数

6.余数问题

7.n 进制问题

8.取整运算相关问题

9.不定方程的求解问题

10.整数的分拆

11.分数的拆分问题

12.杂题

数的整除问题知识要点：

1． 整数的离散性：任何两个整数之间至少相差1，即：若y x <，则y x ≤+1；

2． 任何两个整数的和、差、积都是整数；

3． 若整数a 除以整数b 没有余数，称作a 能被b 整除，记作b ∣a ；

4． 一些特殊数的整除特征：2，5，4，25，8，125，3，9，7，11，13；

1.直接用整除特征求数位数字

例：四位偶数□□64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。

拓展：一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字之和是13，如果他能被11整除，那么这个多位数最小是多少？

2.多种整除特征结合求数位数字

例：四位数□□92能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数。

拓展：六位数□□2008

能同时被9和11整除，这个六位数是多少？

3.利用数字谜求数位数字

例：一个五位数，它的末三位为999,。如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？

4.质数与合数

例1：求具有下列特征的质数：这个质数加上10或14后，其和仍是质数。

例2：请写出五个质数，使得它们正好构成一个公差为12 的等差数列。

例3:【练习】小明买了铅笔、橡皮和本三种文具，已知它们的数目是各不相同的质数，且满足:铅笔数×(橡皮数+本数)=110+本数，小明买了多少块橡皮？

5.末尾零问题

例：1×2×3×…×19×20，这个乘积的末尾共有多少个0？将这个乘积再乘上一个个位不是0的数，使得最后的结果的末尾有尽量多的0，此时，末尾将有多少个0？

【练习】证明：任意五个连续自然数的积的个位数字都是0.

6.余数问题

例1：求下列各式所得结果的个位数字：

(1)443322432

++； (2)317667483+?； (3)12171312-1713+；

例2：有一个大于1的自然数，用它除498，447和379得到相同的余数，求这个自然数。

例3:20120330这个八位数除以3的余数是多少？除以5,8,9，11的余数分别是多少？

7.平方数问题

例：把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。

【练习】把39，45，49，56，60，70，78，84，91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积都相等。

8.约数倍数问题

例1：2000000的约数有多少个？分别是多少？它的所有约数的和是多少？它的所有约数的乘积是多少？它的所有约数中8的倍数有多少个，这些和是多少？

例2：计算①（28,72） ， 【28,72】

②（28,44,260） ， 【28,44,260】

③（1085,1178） ， 【1085,1178】

例3：一块长方形草地，长120米，宽90米。现在在它的四周种树，四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树中间的距离都相等。请问：最少要种多少棵树？

例4：有四个不同的正整数，它们的和是1111，请问：这四个数的最大公约数最大是多少？

9.N 进制问题

例1：请把下列数化成十进制数① (101011001)2 , ②(1232)4 , ③（1A2B ）16 , ④ (75)8 .

例2：将十进制数101化成二进制数，641转化成三进制的数，1949转化成16进制的数。

例3：在七进制下计算

()7326+()7402 ， ()7326?()7402

例4：自然数()10abc x

=化成二进制数后是一个七位数()21abcabc 。请问x 等于多少？

10.取整问题

例1：计算：

???????17116+???????17216+???????17316+……+???????171516+???????171616

例2:求方程[]{}092

=-x x 的解的个数.

11.不定方程问题

计算:14474=+y

x

12.整数拆分

例1:已知算式()2007321+++++n 的结果可以表示为()1>n n 个连续自然数的和.请问:共有多少个满足要求的自然数?

例2:一部电视连续剧共8集,电视台要在周一到周四这四天内按顺序完成,其中可以有若干天不播,共有多少种安排播出的方法.

13.分数拆分

例:将

21写成三个自然数的倒数之和,共有多少种方法?