高数第四章 不定积分习题详细解答20110919

高数第四章 不定积分习题详细解答20110919
高数第四章 不定积分习题详细解答20110919

习 题 4-1

1.已知()f x 之一的原函数为sin 3x ,求()d f x x '?. 解:()d ()(sin3)3cos3f x x f x C x C x C ''=+=+=+?. 2. 设2[ln ()]sec f x x '=,求()f x .

解: 因为2[ln ()]sec f x x '=,故 1ln ()tan f x x C =+(1C 为任意常数),tan ()x f x Ce = 3.若x e -是()f x 的原函数,求2(ln )d x f x x ?. 解: ()f x =(),x

x

e e --'=-ln 1(ln ),x

f x e x -=-=-22

(ln )d 2

x x f x x C =-+?

4. 若()f x 是x e -的原函数,求(ln )

d f x x x

?

. 解:因为 ()x f x e -'=,所以0()x f x e C -=-+,ln 01

(ln ),x f x e C x

-=-=-+

02(ln )1C f x x x x =-+,0(ln )1

d ln ||f x x C x C x x =++?. 5.求下列不定积分: (1

)解:1

352

22

5(5)d 2x x

x x x C -

-=-=+??

(2)解:2

(23)d x

x x +?42692ln 2ln62ln3

x x x

C ?=+++

(3). 222111

d []d arctan ln ||(1)1x x x x x x C x x x x ++=+=++++?? (4)

解:22cot )d (csc 1)d x x x x x =+-?? =arcsin cot x x x C --+

(5) 解:3102d x x

x ? 80108d 80d ln80

x

x x

x

x x C ===+??

(6) 解:2sin d 2x x ?=111

(1cos )d sin 222

x x x x C =-=++?

(7)cos2d cos sin x x x x +? 22cos sin d (cos sin )d sin cos cos sin x x

x x x x x x C x x -==-=--++??

(8) 解:22cos2d cos sin x x x x ?222222cos sin 11d ()d cos sin sin cos x x x x x x x x

-==-?? cot tan x x C =--+

(9) 解: 2sec (sec tan )d sec d sec tan d x x x x x x x x x -=-???=tan sec x x C -+ (10) 解:()max{1,},f x x =设,1()1,11,1x x f x x x x -<-??

=-≤≤??>?则.

()(,)f x -∞+∞ 在上连续,

()F x 则必存在原函数,2

12231,12(),111

,12

x C x F x x C x x C x ?-+<-??

=+-≤≤???+>?()F x 又须处处连续,有

221111lim ()lim ()2x x x C x C +-→-→-+=-+ ,211

1,2

C C -+=-+即 232

111lim()lim()2x x x C x C +-→→+=+ ,321

1,2C C +=+即 1,C C =联立并令231

,1.2C C C C ==+可得+

2

2

1,121max{1,},1 1.211,12x C x x dx x C x x C x ?-+<-??

?

=++-≤≤???++>??

?故

6. 解:设所求曲线方程为()y f x =,其上任一点(,)x y 处切线的斜率为

3d d y

x x

=,从而 34

1d 4

y x x x C ==

+? 由(0)0y =,得0C =,因此所求曲线方程为 414

y x =. 7.解:因为

21sin sin cos 2x x x '??= ???,21cos cos sin 2x x x '??

-= ???

11

cos2sin 2sin cos 42

x x x x '

??-== ???

所以21sin 2x 、 21cos 2x -、 1

cos 24

x -都是sin cos x x 的原函数.

习 题 4-2

1.填空.

(1) 21x d x = d (1x - + C) (2)1

d x x

= d (ln x + C)

(3)d x e x = d (x e + C) (4) 2sec d x x = d (tan x + C) (5)sin d x x = d (cos x -+ C) (6) cos d x x = d (sin x + C)

.

x= d(arcsin x+ C) (8)

x=d

(9)tan sec d

x x x = d(sec x+ C) (10)

2

1

d

1

x

x+

= d(arctan x+ C)

x= d

(2d x x = d(

2

2

x

+ C)

2.求下列不定积分:

(1)

5

55

1

d d5

55

x

x x

e

e x e x C

==+

??

(2) 779

2

(2)d(2)d(2)(2)

9

x x x x x C

-=---=--+

??

(3)

d1d(13)1

ln|13|

133133

x x

x C

x x

-

=-=--+

--

??

(4)

d(3)

d ln(3)

33

x x

x

x x

e e

x e C

e e

+

==++

++

??

(5)23

(22)d

x x x

e e e x

++

?2334

11

(22)d()2

32

x x x x x x

e e e e e e C

=++=+++

?

(6)

2

2

22

6d(3)

d33ln(3)

33

x x

x x C

x x

+

==++

++

??

(7)

x

1

2

22

2

41

d()(4)d(4)

22

x

x x

-

+

==++

?

=

1

22

(4)

x C C

++=

(8)34444

11

cos d cos d sin

44

x x x x x x C

==+

??

(9)

4

ln

d

x

x

x

?5

4

ln

ln d(ln)

5

x

x x C

==+

?

(10)

1

2

d

x

e

x

x

?11

1

d()

x x

e e C

x

=-=-+

?

(11)

22

33

x e e C

-

--

=--=-+

?

(12)

x

22

==

2

2C

==+

?

(13)

3

d()

113

arcsin

332

x

x

C

===+

(14)

x 2arcsin arcsin d(arcsin )2x

x x C ==+? (15)

arccos

x x arccos 10

d(arccos )x

x =-=-

?arccos 10ln10

x

C +

(16)x =??

ln |C =-=-+

(17)3341

cos sin d sin dsin sin 4

x x x x x x C ==+??

(18)

x )x C =-=- (19)

x 2

3

cos )2(sin cos )x x x x C =-=-+

(20)

21ln d (ln )x x x x +?211

d(ln )(ln )ln x x C x x x x

==-+?

(21)

1d ln lnln x x x x ?11d(ln )d(lnln )lnlnln ln lnln lnln x x x C x x x ===+??

(22) 4

cos d x x ?221cos212cos2cos 2()d d 24

x x x

x x +++==??

21cos2cos 2()d 424

x x

x =++? sin 24x x +=

+1cos4d 2x x +? 3sin 24x x +=+sin 44

x C +

(23) 3

cos d x x ?2

cos cos d x x x =?2

(1sin )d(sin )x x =-?3sin sin 3

x

x C =-+

(24) 35sin cos d x x x ?2525sin cos dcos (1cos )cos dcos x x x x x x ==--??

8611

cos cos 86

x x C =-+ (25) 35tan sec d x x x

?2

424tan

sec dsec (sec 1)sec dsec x x x x x x =-??

7511

sec sec 75

x x x C =-+ (26) sin9sin 11

cos5sin 4d d cos9cos 2182

x x x x x x x x C -==-++??

(27) 34tan sec d x x x ?3232tan sec d tan tan (tan 1)d tan x x x x x x ==+??

6511

tan tan 64

x x x C =++ (28) 设tan ||)2

x t t π

=<

(,

222sec d cos d tan sec sin t t t t

t t t ==?

?2dsin 1sin sin t C C t t ==-+=+? (29) 设sin ||)2

x t t π

=<

(,

222sin cos d sin d cos t t t

t t t ?==??

11

(sin cos )(arcsin 22

t t t t C x C =-+=-+ (30) 令sec x t =,[0,]2

t π

∈,d sec tan d x t t t =,则

1sec tan d d sec tan x t t t t t C t t ===+??=1

arccos C x + (31) 令4sec x t =,[0,]2

t π

∈,d 4sec tan d x t t t =,则

24tan 4sec tan d 4(sec 1)d 4(tan )4sec t

x t t t t t t t C t

=?=-=-+??

1444arccos 4arccos C C x x ?=+=+????

(32) 2221

d()

d d 1112arctan()1445(21)4442

()12x x x x C x x x x +===++++++++??? (33) 2223

d(217)2d 31

2d 217217

x x x

x x x x x x ++-+=++++??

222223d(217)d 3112ln(217)arctan 2217(1)4224

x x x x x x C x x x +++=-=++-+++++?? (34)2

d d 11114

()d ln 34(4)(1)54151

x x x x C x x x x x x x -==-=+---+-++???

(35) 22211d(56)7d d 562562(2)(3)

x x x x

x x x x x x x -++=-++++++???

22

1711172ln(56)d ln(56)ln

2223223x x x x x x C x x x +??=++--=++-+ ?+++??? (36) 3222

222114d d 1d 42424x x x x x x x x ??==- ?+++??

???

22

2221d(4)1d 22ln(4)242x x x x C x +=-=-+++??

(37) 222

22arctan arctan d d d 111

x x x x

x x x x x x +=++++??? 2311

ln(1)arctan 23

x x C =+++

(38)

1d x x x e e -+?21d()arctan 1x x

x e e C e ==++?

(39)

2(x x x x ==+?

3

33222

1(1)d 1)3233

x x x x x x x C -=+=+-=++??

(40)

x x x a x ===+

221arcsin arcsin 2x x a a C a a =-=

(41)

11

1)d()x x

x

=±-=

2

12d(()1)x

=-

=

C =+ (42)222

22sin 111d 1d d d 11sin 1sin sin 1sin x x x x x x x x x

??

=-=-? ?++??+????

2d cot 2cot 1x x x x C x =+=+=++++?

习 题 4-3

求下列不定积分 (1)sin 2d x x x ?1d(cos2)2x x =

-?1cos2cos2d 22x x x x =-+?

1

cos2sin 224

x x x C =-++

(2)d x xe x -?d d x x x x x x e xe e x xe e C -----=-=-+=--+??

(3)2

ln d x x x ?33332

ln d()ln d(ln )ln d 33333

x x x x x x x x x x ==-=-???

33

ln 39

x x x C =-+ (4)略.

(5)2cos d x x x ?2222dsin sin sin d sin 2sin d x x x x x x x x x x x ==-=-???

22sin 2dcos sin 2cos 2cos d x x x x x x x x x x =+=+-??

2sin 2cos 2sin x x x x x C =+-+

(6) x x x =??

1

2x x C ==

(7)sin 2d x e x x -?sin 2d x x e -=-?sin 2d(sin 2)x x e x e x --=-+?

sin 22cos2d()x x e x x e --=--? sin 22cos22d(cos2)x x x e x e x e x ---=--+? sin 22cos24sin 2d x x x e x e x e x x ---=---? sin 2d x

e x x -?sin 22cos25

x x e x e x

C ----=+ (8)2

arctan d x x x ?333

arctan d arctan darctan 333

x x x x x x ==-??

3321arctan d 331x x x x x =-+?332

1arctan d 331x x x x

x x x +-=-+? 3221

arctan ln(1)33

x x x x C =-+++ (9)2

cos d x x x ?1cos21d (cos2)d 22x x x x x x x +==+??21

cos2d 42

x x x x =+?

21dsin 244x x x =+?211

sin 2sin 2d 444

x x x x x =+-? 211

sin 2cos2448x x x x C =+-+

(10)x

22=?

x =C = (11)23d x

x e x ?23232333122d d d 33339

x x x x

x x e x e x e xe x x e ==-=-???

2333223927

x x x

x e xe e C =-++

(12)因为cosln d x x ?cosln dcosln cosln sin ln d x x x x x x x x =-=+??

cosln sin ln dsin ln x x x x x x =+-?

cosln sin ln cosln d x x x x x x =+-?

于是cosln d x x ?cosln sin ln 2

x x x x

C +=+

(13)3332cos 1d dsin d sin sin sin 2sin x x x x x x x x x x ?

?==- ???

???22d 2sin sin x x x x =-+? 2

2211csc d (csc cot )2sin 22

x x x x x x C x =-

+=-++? (14) ln(1)

d ln(1)d ln(1)dln(1)x x x x x x x x

e x e e e e e e e ---+=-+=-+++??? d ln(1)d ln(1)11

x x

x

x

x x x x

e x

e e e x e e e e ---=-++=-++++?? 1ln(1)d 1

x x

x

x

x e e e e x e -+-=-+++?

ln(1)ln(1)x x x e e x e C -=-++-++

(15) 2ln(1)1ln(1)

d d ln(1)d (2)22(2)(1)x x x x x x x x x x ++??=+=- ?----+??

?

?? ln(1)d ln(1)111d 2(2)(1)2321x x x x x x x x x x ++??

=

-=-+ ?--+--+???? ln(1)11ln 232x x

C x x

++=

-+-- (16)()d xf x x ''?d ()()()d ()()x f x xf x f x x xf x f x C ''''==-=-+??

习 题 4-4

求下列不定积分

(1)3d 1

x x x -?32111

d (1)d d 11x x x x x x x x -+==+++--???

32

ln 132

x x x x C =+++-+ (2)5438d x x x x x +--?22

38(1)d d x x x x x x x x

--=+++-??

2843

(1)d ()d 11

x x x x x x x =+++---+??

32

8ln 4ln 13ln 132

x x x x x x C =+++---++ (3)222

2213d (2)(1)x x x x x ++-+?1

d 2x x =-?222234d d 1(1)x x x x x x ----++++?? 222

222

22

1d(1)13d(1)4ln 22d d 2112(1)(1)x x x x x x x x x ++=-----++++???? 222132ln 2ln(1)2arctan 2arctan 22(1)1

x

x x x x C x x =--+-+--+++

(上式最后一个积分用积分表公式28)

(4)22

6114

d (1)x x x x x -+-?2421[]d 1(1)x x x x =+---? 14ln 2ln 11x x C x =+-+

+-21

2ln (1)1

x x C x =-++- (5)32d 1x x x x x -+-?2d (1)(1)

x x x x =-+?21d 11

d 2121

x x x x x -=--+?? 2111

ln 1ln(1)arctan 242

x x x C =--+++ (6)2d 3sin x x +?

2d 7cos2x

x =-?tan u x =2d 34u

u +

?21d 31)

u =+?

C =

(7) 令 tan

2

x

u =,可得 2222

2

d d d 1ln 1ln 1tan 21sin cos 112111u x u x u u C C u u x x u u u +===++=++-+++++++???

(8

23d 1t t

t +?13(1)d 1t t t =-++?23ln 12t t t C =-+++ (9

)x

2224d (1)(1)t t t t -+?2112

()d 111t t t t =-+-++?

1

ln

2arctan 1

t t C t -=+++ 习 题 4-5

利用积分表计算下列不定积分: (1

)因为

=

在积分表中查得公式(73)

ln(x C =+

现在1a =,2x x =-,于是

ln(2)x C =+

(2)在积分表中查得公式(135)

1ln

d (ln )ln d n

n n x x x x n x x -=-??

现在3n =,重复利用此公式三次,得

3

ln d x x ?

32ln 3ln 6ln 6x x x x x x x C =-+-+. (3)在积分表中查得公式(28)

22

221

1d d ()

2()2x x

x b ax

b ax b b ax b

=

++++?? 于是现在1a =,1b =,于是

22

1d (1)x x =+? 2221d arctan 2(1)212(1)x x x

x C x x x +=+++++? (4)在积分表中查得公式(51)

1arccos a

x C a x

=

+ 于是现在1a =,于是

1

arccos

C x

=+ (5)令1t x =-,因为

x

x ?x x =?2(2t t t =++?

由积分表中公式(56)、(55)、(54)

2

22(2ln 88

x a x

x x a x C =-+?

x C ? 2

ln 2a x x C =++

于是

x x ?

221

[2(1)8

x x a -=--2

5ln 18a x C --. (6)在积分表中查得公式(16)、(15)

2a b =-

C

= 于是现在2a =,1b =-,于是

=

+C = (7) 在积分表中查得公式(135)

1

211cos d cos sin cos d n n n n x x x x x x n n

---=-?? 现在6n =,重复利用此公式三次,得

6

cos d x x ?5315151cos sin cos sin (sin 2)6242442

x x x ?x x x C =++++. (8)在积分表中查得公式(128)

22

1

sin d (sin cos )ax

ax e bx x e a bx b bx C a b =

-++? 现在2a =-,3b =,于是

21sin3d (2sin33cos3)13

x ax

e x x e x x C -=

--+? 1(2sin33cos3)13

ax

e x x C =-

++.

本章复习题 A

一、填空.

(1)已知()F x 是sin x x 的一个原函数,则2

d(())F x = 2sin 2d x x x

.

(2)已知函数()y f x =的导数为2y x '=,且1x =时2y =,则此函数为 21y x =+. (3)已知()d sin f x x x x C =++?,则(1)d x x e f e x +?=sin(1)1x x e e C ++++.

(4)如果

2

(sin )cos d sin

f x x x x C =+?,则()f x =2x .

(5)设()F x 是()f x 的一个原函数,则e (e )d x x f x --?=(e )x F C --+

(6) (ln )

d f x x x

'?

=(ln )f x C +. (7) 22()()d xf x f x x '?=221()4f x C ??+??. (8) 设2csc x 是()f x 的一个原函数,则()d xf x x ?=2csc cot x x x C ++. 二、 选择题 1.B 2.C 3.B 4.D 5.B 6 C

三、求下列不定积分.

(1)21cos d 1cos2x x x ++?221cos d 12cos 1x x x +=+-?22

11cos d 2cos x

x x

+=?2(1sec )d x x =+? tan x x C =++

(2)d 1x x e +?d d(1)

11x x x x

e x e e e

----+==-++??ln(1)x e C =-++ (3)2352d 4

x

x

x

x ?-??312()d 5()d 42x

x x x =-??3

2()245ln 3ln 4ln 2x

x C -=++- (4)2(arcsin )d x x

?2arcsin 2arcsin x x x x =-?

2arcsin 2arcsin x x x =-?

2arcsin 2arcsin x x x x =-+

2arcsin 2x x x x C =-++

(5

)令t =21x t =-,于是

222d 2d 111

()d ln (1)1111

t t t t t C t t t t t t -===-=+---++?

??

(6)3

22

d (1)x x x +?222222[]d d d 1(1)1(1)x x x x x x x x x x x =-=-++++??? 2211

ln(1)22(1)

x C x =

++++ (7

)21

(arcsin )d(arcsin )arcsin x x C x

-==-+?

(8

)x

=

x x -

23

121d()4)338x x =

+-

12arcsin 23x C =+ (9)54tan sec d x x x ?43tan sec dsec x x x ==?223(sec 1)sec dsec x x x -?

7

5

3

(sec 2sec sec )dsec x x x x =-+?864sec sec sec 834

x x x

C =-++ (10)令sin x t =,ππ

(,)22

t ∈-,于是

2d()

cos d 1cos 1d 2d 1cos 1cos 1cos cos 2

t t t t t t t t t t t +-===-=-+++????

2sin sin

22tan arcsin arcsin 22cos sin 22

t t t t C x C x C t t =-+=-+=-+

(11)2

3d x x e x ?22222

222211111d d 22222

x x x x x x e x e e x x e e C ==-=-+?? (12)ln ln d x

x x

?

ln ln dln ln ln x x x C =+? (13) 67

77777d d 1d (7)(7)7(7)

x x x x x x x x x x ==+++???

777771111d ln 147147

x x C x x x ??=-=+ ?++???

(14

)2

2d 291x C x x ===++++? (15)1cos d(sin )

d ln sin sin sin x x x x x x C x x x x --==-+--??

(16) 22222

2ln(1)11d ln(1)dln(1)ln (1)124x x x x x x C x +=++=+++???

(17) 令

t = , 2ln(1)x t =-,22d d 1

t

x t t =-,

212111d d ln 1111t t t t C C t t t t t -??=?=-=+=+ ?--++????

(18) 21d d 1d e ln(1e )1e 1e 1e

x x x

x x x

x x x e e x e e C ??==-=-++ ?+++??

??? (19)

22ln 1d(ln )d 3(ln )3(ln )1x x x x C x x x x +==++++?? (20) 2sin d sin d d d(1cos )

d 1cos 1cos 1cos 1cos 2cos

2

x x x x x x x x x x x x x x x ++=-=-++++?????

d tan ln(1cos )tan tan d ln(1cos )222x x x

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1tan 2ln cos ln(1cos )22

x x

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2ln cos ln 2cos tan 2222

x x x x

x C x C =+-+=+ 三、设 1,

0()1,0112,x f x x x x x

=+≤≤??>?

,求()d f x x ?.

解:()(,)f x -∞+∞ 在上连续,()F x 则必存在原函数,使得

12

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x C x F x x x C x x x C +?

?=++≤≤??>?+? , ()F x 又须处处连续,有

212001

lim ()lim ()2

x x x C x x C -+→-→-+=++ ,即12,C C = .

高数不定积分例题

不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分

1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (

大学高等数学第四章 不定积分答案

第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分: (1)解:C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( (2)解:?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 (3)略. (4) 解:? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解:?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解:x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解:? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解: ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解:},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f , )(x F 则必存在原函数,???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续,有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ,,2 1112C C +- =+-即

高等数学不定积分习题

第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.

高等数学第四章 不定积分教案

第四章 不定积分 知识结构图: ???????? ???????????????????????分部积分法第二换元积分法 第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质 几何意义定义不定积分原函数 教学目的要求: 1.理解原函数与不定积分的概念,理解两者的关系,理解不定积分与导数的关系;掌握不 定积分的几何意义与基本性质。 2.理解与掌握积分的基本公式,掌握不定积分的基本运算,会熟练地用直接积分法、第一 类换元积分法、第二换元积分法(代数换元)、分部积分法求不定积分。 3.了解不定积分在经济问题中的应用。 教学重点: 1.原函数与不定积分的概念 2.不定积分的性质与基本积分公式 3.直接积分法 4.换元积分法 5.分部积分法 教学难点: 1.不定积分的几何意义 2.凑微分法、分部积分法求不定积分 第一节 不定积分的概念与基本公式 【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。直接积分法求函数的不定积分。 【教学目的】理解原函数与不定积分的概念,理解不定积分的几何意义;理解并掌握不定积分的基本性质;熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。 【教学重点】1.原函的概念;2.不定积分的概念;3.不定积分的几何意义;4.不定积分的基本性质;5.不定积分的基本公式;6.直接积分法计算不定积分。 【教学难点】1.理解不定积分的几何意义;2.记忆不定积分公式。 【教学时数】2学时 【教学进程】

一、原函数与不定积分的概念 (一)原函数的概念 前面我们所学的知识是:已知一个函数,求这个函数的导数;在现实生活中往往有:已知一个函数的导数,求原来这个函数的问题, 如:①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。 ②已知某产品的边际成本MC ,要求该产品总成本的变化规律()C C q =. 1.原函数定义 定义4.1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数.如果存在可导函数)(x F ,使对于任意的I x ∈,都有 )()(x f x F ='或dx x f x dF )()(= 则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。 例1 指出下列函数的原函数: ①x x f cos )(= ②23)(x x f = ③x a x f =)( ④x x f 1)(= 教师将举例分析:如(cos )sin x x '-=,则cos x -是sin x 在R 上的一个原函数。 2()2x x '=,则 2x 是2x 的一个原函数。 教师再问:(1)是否所有的函数都有原函数?什么样的函数才有原函数存在呢?在此, 我们不作讨论.我们只给出一个重要的结论. 结论:如果函数()f x 在某区间上连续,则其原函数一定存在 (2)25x +是不是2 x 在R 上的一个原函数呢?学生回答:是 (3)提出一个函数若存在原函数,则有几个呢?引入 2.原函数个数 定理4.1 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数,则()F x C +也是()f x 的原函数,且()f x 的所有原函数都具有()F x C +的形式(C 为任意常数). (二)不定积分的概念 教师指出:在以上的分析中我们看到一个函数()f x 有原函数存在,则有无数多个,它们都可以表示为()F x C +的形式,我们把它叫做()f x 的不定积分。 1.不定积分定义 定义4.2 如果函数()F x 是()f x 的一个原函数,则称()f x 的全体原函数()F x C +(C 为任意常数)为()f x 的不定积分,记作 C x F dx x f +=?)()(

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。

解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?

高等数学微积分复习题

第五章 一元函数积分学 1.基本要求 (1)理解原函数与不定积分的概念,熟记基本积分公式,掌握不定积分的基本性质。 (2)掌握两种积分换元法,特别是第一类换元积分法(凑微分法)。 (3)掌握分部积分法,理解常微分方程的概念,会解可分离变量的微分方程,牢记非齐次 线性微分方程的通解公式。 (4)理解定积分的概念和几何意义,掌握定积分的基本性质。 (5)会用微积分基本公式求解定积分。 (6)掌握定积分的凑微分法和分部积分法。 (7)知道广义积分的概念,并会求简单的广义积分。 (8)掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2.本章重点难点分析 (1) 本章重点:不定积分和定积分的概念及其计算;变上限积分求导公式和牛顿—莱布 尼茨公式;定积分的应用。 (2) 本章难点:求不定积分,定积分的应用。 重点难点分析:一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分,不定积分可看成是微分运算的逆运算,熟记基本积分公式,和不定积分的性质是求不定积分的关键,而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题,理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3.本章典型例题分析 例1:求不定积分sin3xdx ? 解:被积函数sin3x 是一个复合函数,它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成,因此,为了利用第一换元积分公式,我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ,故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2:求不定积分 (0)a > 解:为了消去根式,利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=,可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ,则 cos a t ==,cos dx a dt =,因此,由第二换元积分法,所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ,所以sin x t a = ,arcsin(/)t x a =,利用直角三角形直接写

《高等数学》不定积分课后习题详解Word版

不定积分内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =,由积分表中的公式(2)可解。 解:53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:223 21 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++ ??? ( ) ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ??

★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容,也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础,所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种: (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂,Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时[使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型: ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等,方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r :解:arctan f xdx等,方法是把疋; Jx" arcsm11xdx

高等数学第四章不定积分课后习题详解

高等数学第四章不定 积分课后习题详解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!★(1)

思路: 被积函数52 x -=,由积分表中的公式(2)可解。 解:5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到22222 1111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积 分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 = 11172488x x ++==,直接积分。 解 :715888.15x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解:222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --?

高等数学-不定积分例题、思路和答案(超全)

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积 分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134( -+-)2 思路:分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 1117248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12) 3x x e dx ?

(完整word版)高等数学第四章不定积分习题,DOC

第四章不定积分 §4–1不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)( ',则F(x)叫做)(x f在该区间上的一个,)(x f的 F= x f )(x A(1,6)和B(2,- .[] 三.单项选择题 1.c为任意常数,且) F=f(x),下式成立的有。 ('x (A)?= =F(x)+c; ('f(x)+c;(B)?dx x F) dx ( f) x (C)?=dx x F)()('x F+c;(D)?dx ('=F(x)+c. x f) 2.F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有。

48 (A )F(x)=cG(x);(B )F(x)=G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c;(D))()(x G x F ?=c. 3.下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。 (A)||cos x y -=;(B)y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D)y={. 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 dx x -2 x 2sin 9.dx x x 2 )2sin 2(cos -?10.? ++dx x x 2cos 1cos 12 11.?dx x x x 2 2 cos sin 2cos 12.?++-dx x x x 3322332 13.dx x x )12 13( 22?--+14.?-dx x x x )tan (sec sec

15.?- dx x x x )1 1(216.dx x x ? -+11 五.应用题 1.一曲线通过点(2e ,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该 曲线的方程. 2.一物体由静止开始运动,经t 秒后的速度是32t (米/秒),问: ? 15.= -? dx x x 1 12 = -? dx x x 2 2)1 (11=-? 2 )1(11x x d _________ 16.若??≠=++=)0________()(,)()(a dx b ax f c x F dx x f 则 二.是非判断题 1. ??+?=??? ??=c x x d x dx x x 21 2111ln .[]

同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

第四章不定积分 前面讨论了一元函数微分学,从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容:一元函数积分学.本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法. 第1节不定积分的概念与性质 不定积分的概念 在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数(或微分)的问题,例如,变速直线运动中已知位移函数为 =, s s t () 则质点在时刻t的瞬时速度表示为 =. () v s t' 实际上,在运动学中常常遇到相反的问题,即已知变速直线运动的质点在时刻t的瞬时速度 v v t =, () 求出质点的位移函数 =. s s t () 即已知函数的导数,求原来的函数.这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在.为了便于研究,我们引入以下概念.

1.1.1原函数 定义 1 如果在区间I 上,可导函数()F x 的导函数为()f x ,即对任一x I ∈,都有 ()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =, 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数. 例如,在变速直线运动中,()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数; 再如,(sin )'cos x x =,所以 sin x 是 cos x 在 (,) -∞+∞上的一个原函 数.1 (ln )'(0),x x x =>所以ln x 是1x 在(0,)+∞的一个原函数. 一个函数具备什么样的条件,就一定存在原函数呢这里我们给出一个充分条件. 定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ,使对任一∈x I 都有 ()()'=F x f x . 简言之,连续函数一定有原函数.由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数. 定理1的证明,将在后面章节给出. 关于原函数,不难得到下面的结论:

高等数学 第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题41 1、求下列不定积分: 知识点:直接积分法得练习——求不定积分得基本方法。 思路分析:利用不定积分得运算性质与基本积分公式,直接求出不定积分!★(1) 思路: 被积函数 ,由积分表中得公式(2)可解。 解: ★(2)

思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★(4) 思路:根据不定积分得线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★★(5) 思路:观察到后,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6) 思路:注意到,根据不定积分得线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易瞧出(5)(6)两题得解题思路就是一致得。一般地,如果被积函数为一个有理得假分式,通常先将其分解 为一个整式加上或减去一个真分式得形式,再分项积分。 ★(7) 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134(- +-)2 ★(8) 思路:分项积分。 解: 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++? ? ★★(9) 思路:?瞧到,直接积分。

高等数学定积分复习题

1. 求 dx e x ?-2ln 01。5.解:设t e x =-1,即)1ln(2+=t x ,有dt t t dx 122+= 当0=x 时,0=t ;当2ln =x 时,1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 .解:两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(,则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解:dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ,求?-22)(dx x f 解:原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解:两曲线交点为(-1,1)(3,9)-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续,且()1b a f x dx =?,求() b a f a b x dx +-?。 答案:解:令u a b x =+-,则当x a =时,u b =;当x b =时,u a =,且d x d u =-, 故 ()b a f a b x dx +-?=()a b f u du -? =()1b a f x dx =?。

高等数学第四章不定积分课后习题详解

第4章不定积分 内容概要

课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析: 利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数 5 2 x- =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - -=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:315 3 2 2 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质, 将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将

高等数学不定积分练习题

作业习题 求下列不定积分。 1、dx x ? +sin 11;2、dx e x ?+-23;3、dx x x x ?+--22)83(32;4、dx e e x x )sin(?; 5、dx e x ?-2; 6、dx x a x ?-2 2 1; 7、dx x x x ? -3 ; 8、dx x x x ? +) 1(arctan 2 2;9、dx x e x ?+22)1(tan ;10、dx x x ?++)1ln(2; 11、?-xdx e x cos ;12、dx x x x x x ?+++-232223;13、dx x ?+sin 451 ; 14、dx x x x -+?111;15、dx x x ?+)1(124; 16、dx b x a x ?++) )((1 。

作业习题参考答案: 1、解:dx x ? +sin 11 ?+-=-=C x x dx x x sec tan cos sin 12 。 2、解:dx e x ?+-23C e x d e x x +-=+--=+-+-?23233 1 )23(31。 3、解:dx x x x ?+--2 2)83(32C x x x x x x d ++--=+-+-=?831)83()83(2222。 4、解:dx e e x x )sin(?C e de e x x x +-==?cos sin 。 5、解:dx e x ?-2 C t t t dt dt dt t t t e t x +-=+-=+? -=???2 arctan 24224222222 C e e x x +-- -=2 2arctan 2 422。 6、解:dx x a x ? -2 2 1 C x x a a a C t t a t a dt t a x +--=+-==?2 2ln 1cot csc ln 1sin sin 。 7、解:dx x x x ? -3dt t t t t t t dt t t t t x )11 1(6623452386 -++++++=-=?? C t t t t t t t +-++++++=)1ln 2 3456(62 3456 C x x x x x x x +-++++++=)1ln 2 3456(661613 1 21 32 65 。 8、解:dx x x x ? +) 1(arctan 2222 21sin cos cot )1(csc arctan t dt t t t t dt t t x t -+-=-=?? C t t t t +-+-=22 1 sin ln cot C x x x x x +-++- =22)(arctan 2 1 1ln arctan 。 9、解:dx x e x ?+22)1(tan ??+=xdx e xdx e x x tan 2sec 222

《高等数学》不定积分课后习题详解

《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一:高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上 F?(x)?f(x),则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。 2.F(x)是 f(x)的一个原函数,则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例,并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。 二.是非判断题 1. 若 f?x?的某个原函数为常数,则 f?x??0.[ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3. 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4. 若 f?x?在某一区间内不连续,则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。(A)?F'(x)dx?f(x)+c;(B)?f(x)dx=F(x)+c; (C)?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数,f(x)?0,则下式成立的有 。(A)F(x)=cG(x); (B)F(x)= G(x)+c;(C)F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3.下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。 4.F?(x)?f(x),f(x) 为可导函数,且 f(0)=1,又 F(x)?xf(x)?x2,则 f(x)=______.(A) ?2x?1 (B)?x?1 (C)?2x?1(D)?x?1 5.设 f?(sin2x)?cos2x,则 f(x)=________. 1 (A)sinx?sin2x?c;(B)x?1x2?c; (C)sin2x?1sin4x?c;(D)x2?1x4?c; 1 / 30

(完整word版)高等数学不定积分相关题目和答案

不定积分 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 如果x e -是函数()f x 的一个原函数,则 ()f x dx =? 。 2. 若()2cos 2 x f x dx C =+?,则()f x = 。 3. 设1 ()f x x =,则()f x dx '=? 。 4. ()()f x df x =? 。 5. sin cos x xdx =? 。 二、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设3 ()ln sin 44 f x dx x C =+?,则()f x =( )。 A . cot 4x B . cot 4x - C . 3cos4x D . 3cot 4x 2. ln x dx x =?( ) 。 A . 2 1ln 2x x C + B . 2 1ln 2 x C + C . ln x C x + D . 221ln x C x x -+ 3. 若()f x 为可导、可积函数,则( )。 A . ()()f x dx f x ' ??=?? ? B . ()()d f x dx f x ??=?? ? C . ()()f x dx f x '=? D . ()()df x f x =? 4. 下列凑微分式中( )是正确的。 A . 2 sin 2(sin )xdx d x = B . d = C . 1ln ()x dx d x = D . 2 1 arctan ()1xdx d x =+ 5. 若 2()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=?( ) 。 A . 22 2(1)x C ++ B . 22 2(1)x C --+ C . 221(1)2x C ++ D . 221 (1)2 x C --+ 三、计算题(每小题8分,共48分) 1. 21 94dx x -? 2. 3. dx x ? 4. arcsin xdx ? 5. dx x x x ?++21arctan 6. .) 1(212 2 2 dx x x x ?++ 四、综合题(本大题共2小题, 总计22分) 1.(10分)求?'''?-'dx x f x f x f x f x f ]) () ()()()([3 2的值。 2.(12分)设()F x 为()f x 的一个原函数,当0x ≥时有2 ()()sin (0)0,()0f x F x x F F x ==≥且,求()f x 。

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