弯矩曲率计算示例
曲率与挠率
曲率与挠率 摘要:三维欧氏空间中的曲线中的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度,本文中给出了曲率与挠率的定义及其计算公式,并根椐公式 实例进行计算,以及曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性. 关键词：曲率与挠率 平面特征 刚性运动 1. 曲率与挠率的定义及其几何意义 1.1曲率的解析定义 设曲线C 的自然参数方程为()s r r =,且()s r 有二阶连续的导矢量r ,称()s r 为曲线C 在弧长为s 的点处的曲率,记为()()s r s k =,并称()s r 为C 的曲率向量,当 ()0≠s k 时,称()() s k s p 1 = 为曲线在该点处的曲率半径. 1.2 挠率的解析定义 空间曲线不但要弯曲,而且还要扭曲,即要离开它的密切平面,为了能刻画这一扭曲程度,等价于去研究密切平面的法矢量（即曲线的副法矢量）关于弧长的变化率,为此我们先给出如下引理. 引理:设自然参数曲线C :()s r r =本向量为βα ,和γ ,则0=?α r ,即r r 垂直于α . 另一方面由于1=r ,两边关于弧于s 求导便得 0=?r r , 即r 垂直于r ,这两方面说明r 与γα ?共线,即r 与β 共线. 由()βτ s r -=（负号是为了以后运算方便而引进的）所确定的函数()s r 称为曲线C
的挠率.当()0≠s τ时,它的倒数 () 1 s τ称为挠率半径. 1.3曲率与挠率的几何意义 1.3.1 曲率的几何意义 任取曲线C :()s r r =上的一点()p s 及其邻近点()Q s s +?,P 和Q 点处的单位 切向量分别为()()s r s =α和()()s s r s s ?+=?+ α,它们的夹角设为θ?,将()s s ?+α 的起点移到()p s 点,则()()2 sin 2θ αα?=-?+s s s ,于是 ()() s s s s s s ?????=??= ?-?+θθθ θαα2 2sin 2sin 2 故 ()()s r s k = ()() s s s s s s s s ??=?????=?-?+=→?→?→?→?θθθθ ααθθ000 lim lim 2 2sin lim lim 这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改弯的程度,它反映了曲线的弯曲程度.如果曲线在某点处的曲率愈大,表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快,因此曲线在该点的弯曲程度愈大. 1.3.2挠率的几何意义 由挠率的定义和()γ τ =s ,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率,换句话说,挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度.所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢,即曲线的扭曲程度. 1.4 直线与平面曲线的特征
利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
利用弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
Revision No. : v1.0 Revision Date : 2010.1. Program Version : Civil2010 V.7.8.0 R1 Mail to : jwlee@https://www.360docs.net/doc/c810281512.html,
00. 目录
01. 概要 3 02. 建模 5 03. 材料本构模型 6
1. 混凝土本构 2. 钢材本构
04. 矩形截面的性能评价 8
1. 输入钢筋 2. 弯矩-曲率关系 3. 查看结果
05. 任意形状截面的性能评价 11
1. 1 2. 3.
输入钢筋 弯矩-曲率关系 查看结果
06. 计算书 15
07. 弯矩-曲率曲线在桥梁抗震设计中的应用 07 弯矩 曲率曲线在桥梁抗震设计中的应用 18
1. 按简化方法验算E2地震作用下的墩顶位移 2. 按非线性分析方法验算桥墩塑性铰区域的塑性转动能力
操作例题 | 利用截面的弯矩-曲率(M-Φ)曲线评价截面性能
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01. 概要
在非线性抗震分析中经常要使用截面的非线性滞回特性，梁或柱截面的非线滞回性特性可以使用截 面的弯矩-曲率关系或荷载-位移关系曲线来描述。
弯矩-曲率曲线(Moment Curvature Curve)作为评价截面的抗震性能被广泛应用于钢筋混凝土截面 的抗震分析中。
与Pushover分析和动力弹塑性分析相比，利用截面尺寸和实配钢筋获得截面的弯矩-曲率曲线，使 用该曲线评价截面的抗震性能的方法，不仅简单而且节省分析时间。
Midas程序中提供了七种混凝土材料本构模型和四种钢材材料本构模型。用户定义了截面尺寸并输 入钢筋后，选择相应的材料本构模型，程序就会提供理想化的截面弯矩-曲率关系，并提供截面的 一些关键特性，例如屈服特性值、极限特性值。
本技术资料介绍了弯矩－曲率曲线的使用方法以及使用该曲线评价截面的性能的方法。
程序中提供的混凝土和钢材的材料本构模型如下。
1. 混凝土 1) Kent & Park Model 2) Japan Concrete Standard Specification Model 3) Japan Roadway Specification Model 4) Nagoya Highway Corporation Model 5) Trilinear Concrete Model 6) China Concrete Code (GB50010-02) 7) Mander Model
2. 钢材 1) Menegotto-Pinto Model 2) Bilinear Model 3) Asymmetrical Bilinear Steel Model 4) Trilinear Steel Model
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曲面曲率计算方法的比较与分析
研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号：201520973 西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空 间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量和曲
率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1、K2，那么平均曲率则为：H= (K1 +K 2 ) / 2。 K 表示曲面的高斯曲率, 两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称
弯矩曲率计算示例
弯矩曲率计算示例 (现代预应力混凝土结构，杜拱辰，1986年，中国建筑工业出版社，P254) 弯矩曲率分析一般分两个阶段进行：梁未开裂；梁已开裂。第一阶段一般假定为弹性阶段。第二阶段材料的应力应变关系是非线性的。 如图所示的梁截面尺寸，2mm 784=p A ，2mm 402=s A ，混凝土的应 力应变关系为二次抛物线，即 ??? ? ???????? ??-=2002εεεεσc c f ；为简化计算及说明过程，假定预应力高强高筋的极限强度和其屈服强度相等，即 MPa 15402.0==p pu f f ；普通钢筋的屈服强度为MPa 400=y f ；预应力筋 的有效应力为MPa 1000=pe f ；MPa 1025?==s p E E ；MPa 35=c f ； MPa 7.3=t f ；MPa 108.24?=c E ,求下列各个阶段的弯矩及曲率： （1） 初始阶段，即外弯矩为零，MPa 1000=pe f ； （2） 预应力筋水平处混凝土的应变为零； （3） 裂缝出现，即混凝土达到其抗拉强度MPa 7.3=t f ；
（4） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.001 （5） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.002 （6） 梁截面顶纤维混凝土压应变达到＝0.003 并将各阶段的弯矩、曲率、预应力及非预应力筋的应力列表并绘制出截面在加载直到破坏为止全过程的弯矩曲率图。 求解过程如下 （1）初始阶段： 采用毛截面特征值和pe p e f A P =来计算截面的应力和应变，截面几何特征：23mm 10180?=A ，49mm 104.5?=I ，kN 7841000784=?==pe p e f A P 有效预加力kN 784=e P 及偏心矩mm 180=e 对截面引起的应力和相应的应变如图所示： 当外力矩（包括自重）0=M 时，截面曲率： 600 10)436.0123.0(3-?+-=?=-0.993rad/mm 106-? 非预应力筋的压应力＝MPa 8.77389.010235-=??-=-s s E ε
跨连续梁内力计算程序程序
六跨连续梁内力计算程序 说明文档
一．程序适用范围 本程序用来解决六跨连续梁在荷载作用下的弯矩计算。荷载可以是集中力Fp（作用于跨中）、分布荷载q（分布全垮）、集中力偶m（作用于结点）的任意组合情况。端部支承可为铰支或固支。 二．程序编辑方法 使用Turbo C按矩阵位移法的思路进行编辑，用Turbo C中的数组来完成矩阵的实现，关键的求解K⊿=P的步骤用高斯消元法。 三．程序使用方法 运行程序后，按照提示，依次输入结点编号，单元编号，单元长度，抗弯刚度（EI的倍数），集中力，均部荷载，集中力偶，各个数据间用空格隔开，每一项输入完毕后按回车键，所有数据输入完毕后按任意键输出结果。 输出结果中包括输入的数据（以便校核），角位移的值（以1/EI为单位）以及每个单元的左右两端弯矩值。 四．程序试算 1．算例1 算力图示： 输入数据： 结点：1 2 3 4 5 6 0；单元：1 2 3 4 5 6；长度：4 6 6 8 4 6； EI：1 1 2 1 ；Fp：0 12 8 0 6 0；q：8 0 0 4 0 6；m：0 0 -8 0 10 0 0 运行程序如下：
结果为： 角位移为：1 (11.383738,-1.434142,-8.980504,14.053733,-10.192107,10.048027,0)EI 单元编号 1 2 3 4 5 6 左端弯矩 右端弯矩 2． 算例2 算例图示： 6EI 8kN/m 4m 3m 2m 8m kN/m 123 6547 4kN/m 3m 3m 3m 2m 6m 12kN 8kN 8kN.m 6kN 10kN.m EI EI EI 1.5EI 1.52EI 输入数据： 结点：0 1 2 3 4 5 6； 单元：1 2 3 4 5 6； 长度：4 6 6 8 4 6； EI ：1 1 2 1 ； Fp ：0 12 8 0 6 0； q ：8 0 0 4 0 6； m ：0 0 -8 0 10 0 0
高斯曲率的计算公式
高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -== - 。 注意 (,,)uu r r r L n r =?= r r r r r ， (,,) uv r r r M n r =?= r r ， (,,) vv r r r N n r =?= r r 。 所以 2 2LN M K EG F -=- 2221[(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ， 利用行列式的转置性质和矩阵乘法
性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ?=- ? ? ? ????? r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-?????????r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-???????r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-????-???r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ， （其中用到行列式按第三行展开计 算的性质。） 利用 u u r r E ?=r r ，u v r r F ?=r r ，
混凝土构件截面的弯矩-曲率关系
3.3.1.1截面的弯矩曲率关系 第一个方面是柱截面的受弯性能，即截面弯矩M －截面曲率?的关系。在截面受弯过程中，钢筋混凝土构件截面一般经历三个阶段：截面弹性受力状态→截面受拉边缘混凝土纤维开裂→截面受拉边钢筋拉屈→截面受压边混凝土达到极限压应变。随着弯矩的增加，截面受弯刚度趋势变小，一般配筋截面在进入屈服阶段后都存在一个明显的屈服平台，即截面的极限弯矩稍大于屈服弯矩，但是截面的极限曲率远远大于屈服曲率。 现在常用截面条带模型计算截面的M －?全过程曲线。截面条带模型程序分析中用到的基本假定有以下几条[32]： （1）截面从受力开始到破坏，截面始终保持平面变形。 （2）钢筋和混凝土材料在标准试验中测定的本构关系可以用于程序分析。 （3）忽略由于时间因素引起的材料变化，例如：混凝土的收缩、徐变。 （4）截面的变形比较小，变形后的状态不影响受力体系计算图形和内力值。 根据以上的基本假定，程序中可以使用以下三个基本条件： （1）几何变形条件：由假定（1）可以确定在截面分析过程中，以下公式始终成立。 ? ＝ h s c εε+ 其中?是截面曲率，c ε是受压边缘混凝土应变，s ε是受拉钢筋应 变，0h 是截面有效高度。 （2）物理本构关系：通过这个条件可以由混凝土或钢筋的应变推得相应的应力c σ和s σ。 本文采用了混凝土和钢筋典型的应力—应变曲线，如图3－2所示： 图3－2混凝土和钢筋的本构关系曲线 混凝土受压的本构关系采用了Hognestad 模型，数学表达式为：
??? ????---=-=cp cp cu cp cp cp cp σεεεεσσεεεεσ)](15.01[])()(2[2 上升段 （3－1） 下降段 其中混凝土的受压峰值应变cp ε取为0.002，而极限应变u ε取为0.0033。 混凝土受拉的本构关系采用了简化模型，数学表达式为： ??? ??==tp tp tp σσσεεσ)( 上升段 （3－2） 水平段 其中混凝土的受拉峰值应变tp ε取为0.0001，而极限应变tu ε取为0.0002。 钢筋的本构曲线采用了典型的弹塑性模型，屈服应力y σ和屈服应变y ε根据钢材的性能取定。 （3）力平衡关系：将截面划分为若干个条带后，可以分别计算出每个条带的轴力和弯 矩。由于截面受力是平衡的，所有条带的轴向力和弯矩的总和始终要满足平衡方程，具体可以用以下公式进行判断： ∑X ＝0 N A A A s s s n i i ci +++?∑=σσσ ' '1 ＝0 （3－3） ∑M ＝0 M h a A a h A Z A s s s s s n i i i ci +-+-+?∑=)2/()2/(''' 1 σσσ＝0 （3－4） 根据以上假定，本文编写了考虑截面轴力N 作用的M －?全过程计算程序。程序的计算是按照逐渐加大截面曲率?的顺序进行的，在每一个?阶段需要寻找到截面受力平衡对应的受压混凝土应变c ε。而判定寻找到的c ε是否准确的标准是截面的平衡方程，即基本条件（3）∑X ＝0，具体程序如图3－3如下：
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明. 关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式 Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof. Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas 前言 空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0 k>时为直线,0 τ=时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1.空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架 给出2c类空间曲线()c和()c上一点p.设曲线()c的自然参数表示是
XTRACT截面弯矩曲率分析教程
XTRACT截面弯矩曲率分析教程 Project: 钢筋混凝土柱：300mm×300mm； 纵向钢筋：8根直径22mm，屈服强度fy：500MPa，弹模Es：206000MPa，硬化系数b:0.01; 箍筋：直径6mm，间距100mm 混凝土：C20，抗压强度fc：20.0MPa,其他材料参数在软件中设置；覆盖层厚度：20mm。Step One:截面设计部分 New Project: 根据需要自行定义，本例New Project Title：MomentCurvatureColumn，然后选择“Forward”进入下一步。 Define Section Name：这里定义为：Column300（300表示柱子截面高度）； Start From：选择“Template（模板）”，也可以自定义，根据自行需要选择； Select Units：本例单位制“N-mm”； Select Material Type：如果选择“Template”，该项不可更改。 接下来，选择“BeginXTRACT”进入下一步“截面设计模板”。
Section Design Template: 在Cross Section：Section Information设置如下。 在“Confinement Properties:”第一项表示箍筋直径，第二项表示箍筋间距。 然后，“Next”设置截面几何信息。 Section Width：截面高度，本例300mm； Section Height：截面高度，本例300mm； Cover Thickness：覆盖层厚度，本例为20mm，此处需注意，覆盖层厚度为纵筋外表面到边缘的距离； Number of Longi..：纵筋数量8； Longitudinal Bar Size：纵筋直径22mm； “下一步”
高斯曲率的计算公式汇总
第二章 曲面论 高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -==- 。 注意 (,,) uu r r r L n r =?= ， (,,)uv r r r M n r =?= ， (,,) vv r r r N n r =?= 。 所以 2 2LN M K EG F -= - 222 1 [(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F = -- ，
利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ?=- ? ? ? ????? u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-????????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-??????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-????-??? ， （其中用到行列式按第三行展开计 算的性质。）
梁弯矩配筋的简化计算方法B
梁弯矩配筋的简化计算方法 民用建筑所 王晓星 1． 前言 随着计算机的发展，大型结构的计算越来越程序化，简便化，但机算结果的正确性和适用性的判定仍然需要手算来完成，。我们一些结构设计师尤其是新参加工作的设计师在结构计算中也过分依赖于计算机，手算能力比较薄弱，特别是在现场服务中对结构问题的处理时，往往时间紧，又要保证结构的安全和经济，加强自己的手算能力和经验的积累对每个结构设计师都是必不可缺的。本文提出了混凝土结构设计中最常用的梁弯矩配筋的简化计算方法，愿与大家共同商讨。 2． 简化计算方法 梁弯矩配筋可先计算出矩形梁的截面系数A ，按此系数查得配筋系数的第一行,第二行对应的就是配筋系数值，HRB335配筋系数表见附表1，HRB400配筋系数表见附表2。配筋系数表有如下的特点：截面系数浮动范围非常大，而配筋系数却很小，多数只是0.001位的变化，而且各混凝土强度等级的截面系数范围均同。所以如果我们能记忆几个固定的数值，采用内插法进行计算，就可以脱离配筋系数表，快速而又准确地得出配筋结果。 截面系数) () (3 20m h B m kN M A ??= 配筋量配筋系数??= ) () (0m h m kN M As
式中：M 为梁的弯矩设计值)(m kN ? B 为梁的宽度)(m 0h 为梁的有效高度)(m As 为配筋面积)(2cm 公式中括号内为单位不参预计算，对于T 形梁和板只需取前几个系数即可。配筋系数表第二行的第一个数为最小配筋率，最后一行为受压区高度为0.550h 。当精度要求不高时，对于T 形梁和板采用Ⅰ级筋时可直接取配筋系数为0.050;Ⅱ级筋可取配筋系数为0.035。精确计算的公式在此不再细述，可参见混凝土结构教科书或钢筋混凝土结构计算手册。 3． 计算示例 1：某梁所承受弯矩设计值为145m kN ?,取梁高为500,梁宽为250, 混凝土强度等级C30;HRB335钢筋;试计算配筋. C30混凝土；HRB335 简化计算： 274146 .025.0145 2 =?= A 取配筋系数为0.0375 22118282.110375.046 .0145 mm cm As ==?= 精确计算：
弹塑性板材弯矩--曲率曲线的建立
理想弹塑性板材弯矩—曲率曲线的建立 张继建，王坤显 （山东胜利钢管有限公司，山东淄博 255082） 摘要：本文通过理论推导出板材弯曲时的弯矩—曲率关系式，并给出了平板加载曲线、弯板加载曲线和卸载及再加载曲线模型。并对曲线进行了解析。提出了“相对有效应变”和“弯曲包申格效应”的概念。 关键词：弯曲包申格效应；理想弹塑性；弯矩；曲率；曲线； 中图分类号：TG445 文献标识码：B Theory Model of Plate Bending with Elastic-plastic Ｍaterial Zhang JiJian, Wang Kunxian （Shangdong Shengli Steel Pipe Co.，Ltd.，Zibo 255082，China）Abstract：With elastic-plastic material, this article demonstrate the model of bending plate by theory analysis. It give the bending curve of flat plate and bended plate. Even the article detail the reverse loading process and curve. The author demonstrate “Bending Bauschinger Effect” in the bending model. And put forward a new concept—Relatively Effective Strain/Stress. Key words：Bending Bauschinger Effect；Elastic-plastic material；bending moment；Curvity；Curve； 0 引言 在工程实际应用中,经常用到板材弯曲的实例。如在焊管生产过程中，使用的三辊成型将钢卷（板）弯曲变形生成管坏，然后焊接成型。对于弯曲变形，其形状（曲率）与所放加的力（弯矩）是其最基本的量，这两个量有有什么规律和联系。本文进行了详细探讨。 文中采用以下符号： t—板材壁厚 t1 /t2—（正反弯）弹性层厚度 b—板材宽度 E—弹性模量 I—惯性矩 W—抗弯截面系数 W＝EI M—弯矩 σs—屈服强度 σ—应力 ε—应变 ρ—曲率半径 R—初始曲率半径 1 初始条件 本文关注于板材的纯弯曲变形进行分析，并假定以下条件： 1）板材壁厚t远小于曲率半径、板材宽度； t＜＜ρ式 1）2）板材为理想弹塑性材料，中性层为板材中心，在弯曲时长度不变； 3）定义向上弯曲为正弯曲，曲率（半径）和弯矩为正；向下弯曲为负，曲率（半径）和弯矩为负；钢板不弯曲时，曲率为0。
弯矩曲率程序
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曲面曲率计算方法的比较与分析
. 研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号： 201520973 西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量
和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。 本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K 1、K 2，
c++编程--结构弯矩曲率计算算例
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空间曲线曲率计算公式及推导
1.4 空间曲线的曲率定义及 计算公式 引理 设)(s a → 是单位圆周上的向量，即1||)(||=→ s a ， 设)(s s a ?+→ 与)(s a → 之间的夹角记 为θ?，则有 ||lim ||)(||0s s a s ??='→? → θ 。 证明 因为 s s a s s a s a s ?-?+='→ → →?→ ) ()(lim )(0， 所以| ||| )()(||lim ||)(||0s s a s s a s a s ?-?+='→ →→?→ |||2 2sin 2|lim |2sin 2|lim 00s s s s ?????=??=→?→?θθθ θ | |lim 0s s ??=→?θ 。 （用解等腰三角形或用余弦定理，得 θ ????-+=-?+→ → cos 11211||)()(||22s a s s a
|2 sin |2)2sin 21(222 θ θ?=?--=。） 定理1.2 设曲线Γ：)(s r r → →=（s 是弧长参数）上的每一点有一个单位向量)(s a →，)(s s a ?+→ 与)(s a → 之间的夹角记为θ?，那么 || lim ||)(||0 s s a s ??='→?→ θ 。 设曲线Γ：)(s r r → → =，这里参数s 是曲线自身的弧长，我们知道，)(s r '是曲线的切向量， 1||)(||='→ s r ，即)(s r → '是单位向量。 记)(s r T →→'=，)()(s r s T → →''='， )(s T → 与)(s s T ?+→ 的夹角 θ?， ||lim 0s s ??→?θ度量了曲线的弯曲程度。 || lim ||)(||||)(||0 s s r s T s ??=''='→?→ →θ ，我们称之为曲线)(s r → 的 曲率，用)(s k 来表
材料力学剪力图弯矩图绘制(有详细的程序)讲解
材料力学剪力图弯矩图绘制（有详细的程序） 说明： 输入变量: 分段数组x 分段点一般在集中力，集中力偶作用出和分布载荷的起末端。 载荷数组MPQ 若梁上的外载荷总数为PN，则用PN行四列的数组MPQ储存载荷，数组MPQ第一列代表载荷的类型：1为集中力偶，2为集中力，3为分布载荷，第二列代表载荷的大小，第三列代表集中力，集中力偶或者分布载荷左端与简支梁左端的距离，第四列代表均匀载荷右端与简支梁左端的距离，当载荷为集中力或者集中力偶时，第四列为0. 符号规定 集中力和均匀载荷向下为正，向上为负，集中力偶顺时针为正，逆时针为负。 输出变量: 内力数组XQM 如果梁被分为NN-1段，则内力数组XQM为NN行，三列的数组，第一列代表梁的横截面的位置，第二列代表剪力，第三列代表弯矩。 剪力极值及位置QDX QDX是一个二行二列的数组，第一列代表极值所在的位置，第二列代表极值 弯矩极值及位置MDX MDX是一个二行二列的数组，第一列代表极值所在的位置，第二列代表极值 1.子程序 1.1集中力偶对弯矩贡献的子函数QMM 1.2集中力对剪力和弯矩贡献的子函数QMP 1.3分布载荷对剪力和弯矩贡献的子函数QMQ 1.4求剪力和弯矩极值的子函数MAX_MIN 1.5绘制剪力图和弯矩图的子函数TU_QM 2.计算分析程序 2.1简支梁QMDJ 2.2左端固定悬臂梁QMDXZ 2.3右端固定悬臂梁QMDXY 2.4左端外伸梁QMDWZ 2.5右端外伸梁QMDWY 2.6两端外伸梁QMDWL
1.子程序 1.1集中力偶对弯矩贡献的子函数QMM function MM=QMM(n,x1,a,M,MM) for j=1:n if x1(j)==a n1=j; end end MM(n1:n)=MM(n1:n)+M; 1.2集中力对剪力和弯矩贡献的子函数QMP function [QQ,MM]=QMP(n,x1,b,P,QQ,MM) for j=1:n if x1(j)==b; n1=j; end end QQ(n1:n)=QQ(n1:n)-P; MM(n1:n)=MM(n1:n)-P*(x1(n1:n)-b); 1.3分布载荷对剪力和弯矩贡献的子函数QMQ function [QQ,MM]=QMQ(n,x1,c,d,q,QQ,MM) for j=1:n if x1(j)>c QQ(j)=QQ(j)-q*(x1(j)-c); MM(j)=MM(j)-0.5*q*(x1(j)-c)^2; end if x1(j)>d QQ(j)=QQ(j)+q*(x1(j)-d); MM(j)=MM(j)+0.5*q*(x1(j)-d)^2; end end 1.4求剪力和弯矩极值的子函数MAX_MIN function [QDX,MDX,XQM]=MAX_MIN(x1,QQ,MM) XQM=[x1',QQ',MM']; [Qmax,i]=max(QQ); Q1=[Qmax,x1(i)]; [Qmin,i]=min(QQ); Q2=[Qmin,x1(i)]; [Mmax,i]=max(MM); M1=[Mmax,x1(i)]; [Mmin,i]=min(MM);
高斯曲率的计算公式
第二章 曲面论 高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -==- 。 注意 (,,) u uu r r r L n r EG =?= ， 2(,,) u uv r r r M n r EG F =?= -， (,,) u vv r r r N n r EG =?= 。 所以 2 2LN M K EG F -= - 2 22 1[(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F = --，
利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ? =- ? ? ? ? ???? u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-????????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??= ?-??????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??= ?- ????-???， （其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）