数学(文)一轮教学案：第八章第2讲 空间点、线、面的位置关系 Word版含解析
第2讲空间点、线、面的位置关系
考纲展示命题探究
考点空间点、线、面的位置关系
1平面的基本性质
(1)位置关系的分类
?????
共面直线??
?
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相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
(2)平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行． (3)等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(4)异面直线所成的角
①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．
②范围：?
?
???0，π2. 3 空间直线、平面的位置关系
中班数学空间方位教案
中班数学空间方位教案 【篇一：幼儿园中班数学教案：找格子】 幼儿园中班数学教案：找格子 设计意图： “找格子”这个数学活动涉及到两个维度：垂直和水平，对空间方位 进行观察和确定。而孩子们常常在一维(或垂直或水平)观察印象的主 导下，凭着“左、右、上、下”的大致印象进行判断。如何引导孩子 从片面观察、大致印象的判断，逐渐学会有序地从垂直和水平两个 维度的观察中进行准确判断是本次活动的重点。 活动中，我以幼儿的实践经验为主导，引导幼儿运用已有的数学知 识经验对方位大胆表达，通过同伴在倾听中的理解和评价进行提升，最终形成有关格子方位的精确的判断和定位。其间，通过幼儿常见 的文件袋、泡沫垫为辅助材料，引导幼儿在和这些加工过的常用物 进行有趣、积极的游戏活动中，激发起幼儿对数学活动的兴趣，增 强参和数学活动的愿望，体验参和数学活动的成就感和自信心。 活动目标： 1．了解幼儿常用的空间位置的判断标准，鼓励幼儿能在已有的“上、下、左、右”以及“横、竖、斜”等方位的基础上，结合数字(第几排第 几格)对位置进行判断。 2．在位置群的观察判断中，鼓励幼儿尝试探索选择一个物体作为参 照物，判断出其他物体的准确位置。 3．体会参和数学活动的快乐和成就感，激发幼儿对数学活动的兴趣。活动准备： 1．方格纸(白色)1张，黑色大纸1张；文件袋20个(用剪裁成条状 的即时贴将塑料文件袋制作成表格状)，泡沫垫20个(正反两面均用
记号笔画成格子图样)；大蝴蝶1只(立体)，蝴蝶即时贴粘纸入手1份。 2．制作动画画面。 活动过程： 1．导入活动：蝴蝶飞到哪里——有关方位词的运用和铺垫。 手指游戏：小手变蝴蝶，听指令上、下、左、右飞飞，横着飞飞， 竖着飞飞，等等。出示蝴蝶，猜测：蝴蝶找谁做朋友，会停在什么 地方? 反思 孩子在以自身为中心的不同方位的“飞行”游戏中，渐渐体验到“上、下、左、右”的飞行变化和“横、竖”的飞行变化之间的关系，这也为“找格子”活动中幼儿将已有的方位经验逐渐过渡提升到对“横”、“竖”两个维度的观察和判断打下了基础。 2．一个固定位置的确定和表达：蝴蝶停在哪里。 (1)展示和提问。 教师将蝴蝶停在设计好的背景中一块空出的方格上，揭开小方格上 的黑色蒙纸。 ①蝴蝶停在哪里? (幼儿回答时，教师根据幼儿的回答用相应的手势动作对应具体的位置进行即时评点和印证。) ②蝴蝶位置只有一个，为什么小朋友的说法那么多? 小结：每个小朋友都有自己的观察顺序和观察方法，所以同一个位 置也有不同的说法。 (2)交流和讨论。 ①怎样观察比较方便?
知识讲解_空间点线面的位置关系(基础)
空间点线面的位置关系 【考纲要求】 （1）理解空间直线、平面位置关系的定义； （2）了解可以作为推理依据的公理和定理； （3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、平面的基本性质 1、平面的基本性质的应用 （1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内； （2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面； （3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。 2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。 3、公理2的推论： （1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面； （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面； （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。 4、点共线、线共点、点线共面 空间点线面位置关系 三个公理、三个推论 平面 平行直 异面直相交直公理4及等角定理 异面直线所成的角 异面直线间的距离 直线在平面内 直线与平面平行 直线与平面相交 空间两条直 概念 垂斜 空间直线 与平面 空间两个平面 两个平面平行 两个平面相交 三垂线定理 直线与平面所成的角
（1）点共线问题 证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。 （2）线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。 要点诠释：证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内； ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。 考点二、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 ???? ??? ?相交直线共面直线平行直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线所成的角 ①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’ ∥a,b ’ ∥b,把a ’ 与b ’ 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）. ②范围：02 π?? ??? ， 要点诠释：证明两直线为异面直线的方法： 1、定义法（不易操作） 2、反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面。此法在异面直线的判定中经常用到。 3、客观题中，也可用下述结论： 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图：
中班数学教案：空间方位辨别
中班数学教案：空间方位辨别 【设计意图】 空间方面对孩子们来说是比较抽象的。为了让幼儿通过游戏去自由探索空间方位的神秘，我就结合中班整合设计了以下活动，让幼儿在玩中学。 【活动目标】 1、引导幼儿学会辨别物体的空间位置，并能正确数出7以内的数量。 2、培养幼儿辨别空间方位的能力。 3、体验数学活动带来的乐趣。 【活动准备】 幼儿操作材料、范画、7以内数量的图片，录音机、录音带《火车开来了》、课前教会幼儿唱《小猫歌》和会玩躲小猫的游戏。 【活动过程】 一、游戏导入： 1、听音乐入室：《火车开来了》引起幼儿的兴趣。 2、——“小朋友，看这里有很多椅子，我们找个位置坐下来。” 3、游戏：躲小猫“等一下老师和你们玩“躲小猫”的游戏，老师来做猫妈妈去抓小猫，你们做小猫去躲。猫妈妈找不到你们的话，等一下你们要告诉猫妈妈“你刚刚躲在哪
里的什么地方？” 二、辨别空间方位： 1、提问：“有哪只小猫告诉我，你刚刚躲在哪里的什么地方？” 2、出示范画： 、“谁来告诉我，你在图片上看到什么，？有多少？” 、出示蝴蝶和蜗牛图片：“谁也来了，它在哪里呢？有多少？” 3、出示范画：“它是谁啊？” 今天喜洋洋也来和我们一起做游戏。 三、游戏：拼一拼1、我这里有一些数字宝宝，等一下我会把数字宝宝放在喜洋洋头不同的方位，让你们根据所给的来拼。如：教师在喜洋洋头的上面放数字宝宝2，我就在操作材料中找出与数2相同数量的拼在喜洋洋头的上面。 2、幼儿拼一拼： 3、请个别幼儿来说说成品，教师小结。 四、写一写 1、出示范例：“今天老师出了一些题来考考小朋友，看看你们今天学的空间方位懂了多少。” 2、教师示范。 3、幼儿做题： 五、活动结束：火车开来了小朋友今天我们都学到了很
空间点线面位置关系例题训练
空间点、线、面的位置关系 【基础回顾】 1．平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过____________的一条直线． 公理3：经过____________________的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过____________________，有且只有一个平面． 推论2：经过________________，有且只有一个平面． 推论3：经过________________，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 (2)异面直线判定定理 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内______________的直线是异面直线． (3)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的____________叫做异面直线a，b所成的角． ②范围：____________. 3．公理4 平行于____________的两条直线互相平行． 4．定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 ________．
自我检测 1．若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是____________． 2．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对． 3．三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为________． 4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角的大小为________． 5．下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②有三个公共点的两个平面必重合； ③空间两两相交的三条直线确定一个平面； ④三角形是平面图形； ⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； ⑥垂直于同一直线的两直线平行； ⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑧两组对边相等的四边形是平行四边形． 其中正确的命题是________(填序号). 【例题讲解】 1、平面的基本性质 例1如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，AH∶HD=3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连结EH. 求证：EH、FG、BD三线共点． 变式迁移1
高中数学空间点线面之间的位置关系讲义
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理： 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α
四、等角定理： 五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题
1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,, （D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ）1个或3个 （B ）1个或4个 （C ）3个或4个 （D ）1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ） （1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面； （2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β； （4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ） （1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α?b ，则a ∥α； （4）若直线a ∥b ，α?b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。 （A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ） （A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条 7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是 。 8．在空间中， ① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。 以上两个命题中为真命题的是 （把符合要求的命题序号填上） 9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。 10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.
幼儿园中班数学教案：找格子
幼儿园中班数学教案：找格子 设计意图： “找格子”这个数学活动涉及到两个维度：垂直和水平，对空间方位进行观察和确定。而孩子们常常在一维(或垂直或水平)观察印象的主导下，凭着“左、右、上、下”的大致印象进行判断。如何引导孩子从片面观察、大致印象的判断，逐渐学会有序地从垂直和水平两个维度的观察中进行准确判断是本次活动的重点。 活动中，我以幼儿的实践经验为主导，引导幼儿运用已有的数学知识经验对方位大胆表达，通过同伴在倾听中的理解和评价进行提升，最终形成有关格子方位的精确的判断和定位。其间，通过幼儿常见的文件袋、泡沫垫为辅助材料，引导幼儿在与这些加工过的常用物进行有趣、积极的游戏活动中，激发起幼儿对数学活动的兴趣，增强参与数学活动的愿望，体验参与数学活动的成就感和自信心。 活动目标： 1．了解幼儿常用的空间位置的判断标准，鼓励幼儿能在已有的“上、下、左、右”以及“横、竖、斜”等方位的基础上，结合数字(第几排第几格)对位置进行判断。 2．在位置群的观察判断中，鼓励幼儿尝试探索选择一个物体作为参照物，判断出其他物体的准确位置。 3．体会参与数学活动的快乐和成就感，激发幼儿对数学活动的兴趣。
活动准备： 1．方格纸(白色)1张，黑色大纸1张；文件袋20个(用剪裁成条状的即时贴将塑料文件袋制作成表格状)，泡沫垫20个(正反两面均用记号笔画成格子图样)；大蝴蝶1只(立体)，蝴蝶即时贴粘纸入手1份。 2．制作动画画面。 活动过程： 1．导入活动：蝴蝶飞到哪里——有关方位词的运用与铺垫。 手指游戏：小手变蝴蝶，听指令上、下、左、右飞飞，横着飞飞，竖着飞飞，等等。 出示蝴蝶，猜测：蝴蝶找谁做朋友，会停在什么地方? 反思 孩子在以自身为中心的不同方位的“飞行”游戏中，渐渐体验到“上、下、左、右”的飞行变化与“横、竖”的飞行变化之间的关系，这也为“找格子”活动中幼儿将已有的方位经验逐渐过渡提升到对“横”、“竖”两个维度的观察和判断打下了基础。 2．一个固定位置的确定与表达：蝴蝶停在哪里。 (1)展示和提问。 教师将蝴蝶停在设计好的背景中一块空出的方格上，揭开小方格上的黑色蒙纸。
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系''' x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积③圆锥的表面积2 S rl r ππ =+ ④圆台的表面积22 S rl r Rl R ππππ =+++⑤球的表面积2 4 S R π = ⑥扇形的面积公式 21 3602 n R S lr π == 扇形 （其中l表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S h =? 底 ②锥体的体积1 3 V S h =? 底 ③台体的体积1) 3 V S S S S h =+? 下下 上上 （④球体的体积3 4 3 V R π = 2 π 2 π 2r rl S+ =
幼儿园大班数学活动：空间方位-廖小华老师
幼儿园大班数学活动：空间方位-廖小华老师 活动设计意图： 空间方面对孩子们来说是比较抽象的。为了让幼儿通过游戏去自 由探索空间方位的神秘，我就结合大班孩子的年龄特点设计了以 下活动，让幼儿在玩中学。 活动名称：数学活动活动内容：空间方位 活动目标： 1、掌握左上、左下、右上、右下方位。 2、体验数学活动带来的乐趣。 活动准备： 1、经验准备：教师和幼儿在课前玩过辨别左右的游戏。 2、物质准备：课件、音乐、一个鼓、七块田格软垫。 活动过程： 一、课件导入： 1、提问：小动物它们在什么地方？某某小动物在房子的什么位置？
幼儿回答;上边，下边，左边，右边，左上边，右上边，左下边，右下边。 2、小动物藏在什么地方呢？ 幼儿回答;上边，下边，左边，右边，左上边，右上边，左下边，右下边。 二、游戏：跳房子请一个幼儿进行示范，教师讲解。 先简单逐渐过度到难的。 三、身体的四肢方位游戏： 边出示课件教师边讲解。 幼儿、看课件听音乐游戏。 四、小结： 空间方位有：上下，前后，左右，中间，里外，老师编了活动空间方位的游戏我们到外面去玩。 活动反思：
孩子们对活动很感兴趣，他们还很投入到活动中。他们都能积极 举手发言，还能用完整的话来回答。不过幼儿对辨别空间方位上 还不大了解还得继续培养和巩固。活动开展的时间有点长。以后 我会吸取更多的教学方法争取上的更好。 提问：①这张大纸上有4个小格子，有两个格子在上边，两个格 子在下边。 谁能说说，哪两个颜色格子在上边？哪两个颜色的格子在下边？ ②还可以有另一种说法其中有两个格子在左边，两个格子在右边。谁能说说，哪两个颜色格子在左边？哪两个颜色的格子在右边？ ③如果我想说其中一个小格子我应该怎么说？（说对一个方位， 教师出示汉字表示正确）引导幼儿说出左上、左下、右上、右下 方位。 玩游戏《我来找》对刚才的了解的四个方位进行巩固。 出示作业纸，完成连线。 2、出示小房子，引出小兔子。
【练习】高中数学空间中点线面的位置关系练习题
空间中点线面的位置关系练习题 1、下列有关平面的说法正确的是（ ） A 一个平面长是10cm ，宽是5cm B 一个平面厚为1厘米 C 平面是无限延展的 D 一个平面一定是平行四边形 2、已知点A 和直线a 及平面α，则： ①αα???∈A a a A , ② αα∈??∈A a a A , ③αα????A a a A , ④αα???∈A a a A , 其中说法正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3、下列图形不一定是平面图形的是（ ） A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ） A.4、6、7 B.3、4、6、7 C.4、6、7、8 D.4、6、8 5、共点的三条直线可确定几个平面 （ ） A.1 B.2 C.3 D.1或3 6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、 AD 、1B 1C 1的中点，则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是 （ ） A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 7、三个平面两两相交，交线的条数可能有———————————————— 8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。 9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ? ? ?
的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有——————————— 10、空间两条互相平行的直线指的是（ ） A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ） A 异面直线 B 相交直线 C 不平行直线 D 不相交直线 12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与直线BD 异面且成600角的面对角线有（ ）条。 A 4 B 3 C 2 D 1 13、设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，下列说法中不正确的是（ ） A.若AC 和BD 共面，则AD 与BC 共面 B.若AC 和BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C.若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D.若AB ＝BC ＝CD ＝DA ，则四边形ABCD 不一定是菱形 14、空间四边形SABC 中，各边及对角线长都相等，若E 、 F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角 为（ ） A 300 B 450 C 600 D 900 15、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线,与另一条直线的位置关系是———————————————————— 16、设c b a 、、表示直线，给出四个论断：①b a ⊥②c c ⊥③c a ⊥④c a //，以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个命题—————————————————— S C A B E F
点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。 2 公理4：平行于 c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
中班数学教案空间方位
中班数学教案空间方位 【篇一：数学方位中间、旁边】 中班数学活动认识方位中间、旁边 设计意图： 活动名称；认识方位中间、旁边 活动目标： 1、引导幼儿学会辨别物体的空间位置中间和旁边，并能正确数出7以内的数量。 2、培养幼儿辨别空间方位的能力。 3、体验数学活动带来的乐趣。 活动准备： 幼儿操作材料（1、2）、范画（1、2）、7以内数量的图片，录音机、录音带《火车开来了》、课前教会幼儿唱《小猫歌》和会玩躲小猫的游戏。活动过程： 一、游戏导入： 1、听音乐入室：《火车开来了》引起幼儿的兴趣。 2、——“小朋友，看这里有很多椅子，我们找个位置坐下来。” 3、游戏：躲小猫“等一下老师和你们玩“躲小猫”的游戏，老师来做猫妈妈去抓小猫，你们做小猫去躲。猫妈妈找不到你们的话，等一下你们要告诉猫妈妈“你刚刚躲在哪里的什么地方？” 二、辨别空间方位： 1、提问：“有哪只小猫告诉我，你刚刚躲在哪里的什么地方？” 2、出示范画（1）： （1）、“谁来告诉我，你在图片上看到什么，？有多少？” （2）、出示蝴蝶和蜗牛图片：“谁也来了，它在哪里呢？有多少？” 3、出示范画（2）：“它是谁啊？” 今天喜洋洋也来和我们一起做游戏。 三、游戏：拼一拼1、我这里有一些数字宝宝，等一下我会把数字宝宝放在喜洋洋头不同的方位，让你们根据所给的来拼。如：教师在喜洋洋头的上面放数字宝宝2，我就在操作材料中找出与数2相同数量的拼在喜洋洋头的上面。 2、幼儿拼一拼： 3、请个别幼儿来说说成品，教师小结。
四、写一写1、出示范例：“今天老师出了一些题来考考小朋友，看看你们今天学的空间方位懂了多少。” 2、教师示范。 3、幼儿做题： 五、活动结束：火车开来了小朋友今天我们都学到了很多本领，我们一起去当小老师教一教弟弟妹妹吧。 【篇二：中班数学教案】 中班数学教案：左与右 活动目标： 1、以自身为中心区分自己身体的左右，分清自己的左边和右边，会向左和右数物体个数。 2、知道参照物的不同，左边和右边的方向也会变。 3、发展幼儿的空间方位知觉和判断力。 活动过程： 一、猜谜导入，感知自身的左右 1、区别左右 教师：今天老师给小朋友带来了一个谜语：一棵小树五个叉，不长树叶不开花，从早到晚不讲话，写字画画不离它。喔，这么多小朋友举起了手，那你们知道举手的这只手是——（右手） 教师：对呀，平时我们一般都举右手，高高举起你的右手。（教师检查）平时，你们的右手做些什么事情呢？教师小结：右手一般做拿筷子，握笔，刷牙，写字等等。那举起你们的左手，说说左手一般做些什么事情？ 小结：对呀，左手，右手是我们身上的一对好朋友，只有左手和右手的相互配合才能把事情做的更好更快。 2、找一找 教师：想一想，我们的身上，还有哪些象手一样，是一左一右的一对好朋友。 3、游戏 教师：刚才小朋友找的又快又好，现在老师要请我们身上的这些好朋友做个游戏，这个游戏就叫“我说你说你做”我们来试试。看谁的小耳朵最灵，反应最快。教师：来，来，来，举起你的右手来。 幼儿：我的右手举起来。（逐一进行：举起左手，拍拍右腿，摸摸左耳。 增加难度：右手摸左耳，左手拍右腿等等。
空间中点线面位置关系(经典)
第一讲：空间中的点线面 一，生活中的问题？ 生活中课桌面、黑板面、教室墙壁、门的表面都给我们以“平面”形象．如果想把一个木棍钉在墙上，至少需要几个钉子？教室的门为什么可以随意开关？插上插销后为什么不能开启？房顶和墙壁有多少公共点？通过本节课学习，我们将从数学的角度解释以上现象． 二，概念明确 1，点构成线，线构成面，所以点线面是立体几何研究的主要对象。 所以：点与线的关系是_____________________，用符号______________。 线与面的关系是_____________________，用符号______________。 点与面的关系是_____________________，用符号______________。 2，高中立体几何主要研究内容：点，线，面的位置关系和几何量（距离，角） 3，直线是笔直，长度无限的；平面是光滑平整，向四周无限延伸，没有尽头的。点，线，面都是抽象的几何概念。不必计较于一个点的大小，直线的长度与粗细。 4，平面的画法与表示 描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限的 画法通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的倍，如图a所示，如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来，如图b所示
记法 (1)用一个α，β，γ等来表示，如图a中的平面记为平面α (2) 用两个大字的(表示平面的平行四边形的对角线的顶 点)来表示，如图a中的平面记为平面AC或平面BD (3) 用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如图a 中的平面记为平面ABC或平面等 (4) 用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的)来表示，如图a中的平面可记作平面ABCD 检验检验： 下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一 个平面的长是50m，度是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为() A．1B．2C．3D．4 三，点，线，面的位置关系和表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面. 文字语言符号语言图形语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 文字语言符号语言图形语言 l在α内 l与α平行
中班数学上学期教案《空间方位辨别》
幼儿教育：________ 中班数学上学期教案《空间方位辨别》 教师：______________________ 学校：______________________ 日期：______年_____月_____日 第1 页共7 页
中班数学上学期教案《空间方位辨别》 设计意图： 空间方面对孩子们来说是比较抽象的。为了让幼儿通过游戏去自由探索空间方位的神秘，我就结合中班整合设计了以下活动，让幼儿在玩中学。 活动目标： 1、引导幼儿学会辨别物体的空间位置，并能正确数出7以内的数量。 2、培养幼儿辨别空间方位的能力。 3、体验数学活动带来的乐趣。 活动准备： 幼儿操作材料（1、2）、范画（1、2）、7以内数量的图片，录音机、录音带《火车开来了》、课前教会幼儿唱《小猫歌》和会玩躲小猫的游戏。 活动过程： 一、游戏导入： 1、听音乐入室：《火车开来了》引起幼儿的兴趣。 2、——“小朋友，看这里有很多椅子，我们找个位置坐下来。” 3、游戏：躲小猫“等一下老师和你们玩“躲小猫”的游戏，老师来做猫妈妈去抓小猫，你们做小猫去躲。猫妈妈找不到你们的话，等一下你们要告诉猫妈妈“你刚刚躲在哪里的什么地方？” 二、辨别空间方位： 1、提问：“有哪只小猫告诉我，你刚刚躲在哪里的什么地方？” 第 2 页共 7 页
2、出示范画（1）： （1）“谁来告诉我，你在图片上看到什么，？有多少？” （2）出示蝴蝶和蜗牛图片：“谁也来了，它在哪里呢？有多少？” 3、出示范画（2）：“它是谁啊？” 今天喜洋洋也来和我们一起做游戏。 三、游戏：拼一拼 1、我这里有一些数字宝宝，等一下我会把数字宝宝放在喜洋洋头不同的方位，让你们根据所给的来拼。如：教师在喜洋洋头的上面放数字宝宝2，我就在操作材料中找出与数2相同数量的拼在喜洋洋头的上面。 2、幼儿拼一拼： 3、请个别幼儿来说说成品，教师小结。 四、写一写 1、出示范例：“今天老师出了一些题来考考小朋友，看看你们今天学的空间方位懂了多少。” 2、教师示范。 3、幼儿做题： 五、活动结束：火车开来了小朋友今天我们都学到了很多本领，我们一起去当小老师教一教弟弟妹妹吧。 活动反思： 孩子们对活动很感兴趣，他们还很投入到活动中。他们都能积极举手发言，还能用完整的话来回答。不过幼儿对辨别空间方位上还不大了解还得继续培养和巩固。活动开展的时间有点长。以后我会吸取更多的教学方法争取上的更好。 第 3 页共 7 页
幼儿园中班数学：空间方位辨别教学设计
新修订幼儿园阶段原创精品配套教材 中班数学：空间方位辨别教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Middle class mathematics: spatial orientation discrimination 教师：风老师 风顺第二幼儿园 编订：FoonShion教育
中班数学：空间方位辨别 设计意图： 空间方面对孩子们来说是比较抽象的。为了让幼儿通过游戏去自由探索空间方位的神秘，我就结合中班整合设计了以下活动，让幼儿在玩中学。 活动目标： 1、引导幼儿学会辨别物体的空间位置，并能正确数出7以内的数量。 2、培养幼儿辨别空间方位的能力。 3、体验数学活动带来的乐趣。 活动准备： 幼儿操作材料（1、2）、范画（1、2）、7以内数量的图片，录音机、录音带《火车开来了》、课前教会幼儿唱《小猫歌》和会玩躲小猫的游戏。 活动过程： 一、游戏导入： 1、听音乐入室：《火车开来了》引起幼儿的兴趣。
2、——“小朋友，看这里有很多椅子，我们找个位置坐下来。” 3、游戏：躲小猫 “等一下老师和你们玩“躲小猫”的游戏，老师来做猫妈妈去抓小猫，你们做小猫去躲。猫妈妈找不到你们的话，等一下你们要告诉猫妈妈“你刚刚躲在哪里的什么地方？” 二、辨别空间方位： 1、提问：“有哪只小猫告诉我，你刚刚躲在哪里的什么地方？” 2、出示范画（1）： （1）、“谁来告诉我，你在图片上看到什么，？有多少？” （2）、出示蝴蝶和蜗牛图片：“谁也来了，它在哪里呢？有多少？” 3、出示范画（2）：“它是谁啊？” 今天喜洋洋也来和我们一起做游戏。 三、游戏：拼一拼 1、我这里有一些数字宝宝，等一下我会把数字宝宝放在喜洋洋头不同的方位，让你们根据所给的来拼。如：教师在喜洋洋头的上面放数字宝宝2，我就在操作材料中找出与数2相同数量的拼在喜洋洋头的上面。 2、幼儿拼一拼： 3、请个别幼儿来说说成品，教师小结。
空间点线面的位置关系及公理
1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． 公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 ????? 共面直线??? 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义：过空间任意一点P 分别引两条异面直线a ，b 的平行线l 1，l 2(a ∥l 1，b ∥l 2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：(] 0，π2. 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理 空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【知识拓展】 1．唯一性定理
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.() (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．() (3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.() (4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．() (5)没有公共点的两条直线是异面直线．() 1．下列命题正确的个数为() ①梯形可以确定一个平面； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 B．1 C．2 D．3 2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则() A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 3．(2016·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α 4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．
中班数学空间方位辨别教案反思
中班数学空间方位辨别教案反思 中班数学空间方位辨别教案反思主要包含了活动目标，活动准备，活动过程，活动反思等内容，引导幼儿学会辨别物体的空 间位置，并能正确数出7以内的数量，培养幼儿辨别空间方位的能力，适合幼儿园老师们上中班数学活动课，快来看看空间方位 辨别教案吧。 活动目标： 1、引导幼儿学会辨别物体的空间位置，并能正确数出 7以内的数量。 2、培养幼儿辨别空间方位的能力。 3、体验数学活动带来的乐趣。 4、培养幼儿比较和判断的能力。 5、发展幼儿逻辑思维能力。 活动准备： 幼儿操作材料（1、2）、范画（1、2）、7以内数量的图片，录音机、录音带《火车开来了》、课前教会幼儿唱《小猫歌》和会玩躲小猫的游戏。 活动过程： 一、游戏导入
1、听音乐入室：《火车开来了》引起幼儿的兴趣。 2、一一“小朋友，看这里有很多椅子，我们找个位置坐下来。” 3、游戏：躲小猫 “等一下老师和你们玩“躲小猫”的游戏，老师来做猫妈 妈去抓小猫，你们做小猫去躲。猫妈妈找不到你们的话，等一下你们要告诉猫妈妈“你刚刚躲在哪里的什么地方？” 二、辨别空间方位 1、提问：“有哪只小猫告诉我，你刚刚躲在哪里的什 么地方？” 2、出示范画（1） （1）“谁来告诉我，你在图片上看到什么，？有多少？” （2）出示蝴蝶和蜗牛图片：“谁也来了，它在哪里呢？有多少？” 3、出示范画（2）：“它是谁啊？” 今天喜洋洋也来和我们一起做游戏。 三、游戏：拼一拼 1、我这里有一些数字宝宝，等一下我会把数字宝宝放 在喜洋洋头不同的方位，让你们根据所给的来拼。如：教师在喜洋洋头的上面放数字宝宝2，我就在操作材料中找出与数2相同数量的拼在喜
高中数学空间点线面之间的位置关系讲义之欧阳数创编
2.1空间点、直线、平面之间的位 置关系 一、平面 1 平面含义： 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 二、三个公理： 三、空间直线、平面之间的位置关系 D C B A α
四、等角定理： 五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题 1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα??∈A l A l ,// （B ） ααα??∈∈∈l B A l A ,, （C ） AB B B A A =??∈∈∈∈βαβαβα,,,（D ） βαβα=?∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ） （A ）1个或3个（B ）1个或4个（C ）3个或4个 （D ）
1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（） （1）若a∥b，b∥c，则直线a，b，c共面；（2）若a∥α，则a平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（） （A）2 （B）3 （C）6 （D）12 5．以下命题中为真命题的个数是（） （1）若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；（2）若直线a在平面α外，则a∥α； （3）若直线a∥b，α?b，则a∥α；（4）若直线a∥b，α?b，则a平行于平面α内的无数条直线。 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条
幼儿园中班数学活动教案：空间方位辨别
幼儿园中班数学活动教案：空间方位辨 别 设计意图： 空间方面对孩子们来说是比较抽象的。为了让幼儿通过游戏去自由探索空间方位的神秘，我就结合中班整合设计了以下活动，让幼儿在玩中学。 活动目标： 1、引导幼儿学会辨别物体的空间位置，并能正确数出7以内的数量。 2、培养幼儿辨别空间方位的能力。 3、体验数学活动带来的乐趣。 活动准备： 幼儿操作材料（1、2）、范画（1、2）、7以内数量的图片，录音机、录音带《火车开来了》、课前教会幼儿唱《小猫歌》和会玩躲小猫的游戏。 活动过程： 一、游戏导入： 1、听音乐入室：《火车开来了》引起幼儿的兴趣。 2、小朋友，看这里有很多椅子，我们找个位置坐下来。 3、游戏：躲小猫等一下老师和你们玩躲小猫的游戏，老师来做猫妈妈去抓小猫，你们做小猫去躲。猫妈
妈找不到你们的话，等一下你们要告诉猫妈妈你刚刚躲在哪里的什么地方？ 二、辨别空间方位： 1、提问：有哪只小猫告诉我，你刚刚躲在哪里的什么地方？ 2、出示范画（1）： （1）、谁来告诉我，你在图片上看到什么，？有多少？ （2）、出示蝴蝶和蜗牛图片：谁也来了，它在哪里呢？有多少？ 3、出示范画（2）：它是谁啊？ 今天喜洋洋也来和我们一起做游戏。 三、游戏：拼一拼1、我这里有一些数字宝宝，等一下我会把数字宝宝放在喜洋洋头不同的方位，让你们根据所给的来拼。如：教师在喜洋洋头的上面放数字宝宝2，我就在操作材料中找出与数2相同数量的拼在喜洋洋头的上面。 2、幼儿拼一拼： 3、请个别幼儿来说说成品，教师小结。 四、写一写1、出示范例：今天老师出了一些题来考考小朋友，看看你们今天学的空间方位懂了多少。 2、教师示范。