全等三角形几种类型(总结)

全等三角形几种类型(总结)
全等三角形几种类型(总结)

全等三角形与角平分线

全等图形:能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形: 能够完全重合的多边形就是全等多边形.

相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边、对应角分别相等.

如下图,两个全等的五边形,记作:五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E . 这里符号“≌”表示全等,读作“全等于”.

A'

B'C'

D'

E'

E

D

C

B

A

全等三角形:能够完全重合的三角形就是全等三角形.

全等三角形的对应边相等,对应角分别相等;

反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等.

全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角.全等符号为“≌”.

全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.

寻找对应边和对应角,常用到以下方法:

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. 全等三角形的判定方法:

(1) 边角边定理(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等.

(4) 角角边定理(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

判定三角形全等的基本思路:

SAS HL SSS →??

→??→?

找夹角已知两边 找直角 找另一边

ASA AAS SAS AAS ??

??

??

??

??

?? 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA

AAS →??→?

找两角的夹边已知两角 找任意一边

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:⑴平移全等型

⑵对称全等型

⑶旋转全等型

由全等可得到的相关定理:

⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

⑵到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上.

⑶等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角).

⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.

⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

⑺和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.

与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质:

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等;

⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

它们具有互逆性.

角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式:

1.由角平分线上的一点向角的两边作垂线,

2.过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形,

3.OA OB

,这种对称的图形应用得也较为普遍,

A

B

O

P P

O

B

A A

B

O P

三角形中线的定义:三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.

中位线判定定理:经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.

中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点),我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式),尤其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见.

板块一、全等三角形的认识与性质

【例1】 在AB 、AC 上各取一点E 、D ,使AE AD =,连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ,

若12∠=∠,则图中全等三角形共有哪几对?并简单说明理由.

2

1E O

D

C

B

A

【巩固】如图所示,AB AD =,BC DC =,E F 、在AC 上,AC 与BD 相交于P .图中有几对全等三

角形?请一一找出来,并简述全等的理由.

板块二、三角形全等的判定与应用

【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图,AC DE ∥,BC EF ∥,AC DE =.求证:

AF BD =.

F

E

D

C

B

A

【例3】 (2008年宜宾市)已知:如图,AD BC =,AC BD =,求证:C D ∠=∠.

例题精讲

F

A

E P D

C

B

O

D

C

B

A

【巩固】如图,AC 、BD 相交于O 点,且AC BD =,AB CD =,求证:OA OD =.

A

B

C

D

O

【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知:如图,B 、E 、F 、

C 四点在同一条直线上,AB DC =,BE CF =,B C ∠=∠.求证:OA O

D =.

F E O

D

C

B A

【例5】 已知,如图,AB AC =,CE AB ⊥,BF AC ⊥,求证:BF CE =.

F E C

B

A

【例6】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点,且BE CF =.求证:AE BF ⊥.

P

F

E

D

C

B

A

【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点,GE EF ⊥,GE EF =.求证:

BG CF BC +=.

G

A B

C D

E

F

【例7】 在凸五边形中,B E ∠=∠,C D ∠=∠,BC DE =,M 为CD 中点.求证:AM CD ⊥.

M E

D

C B A

板块三、截长补短类

【例1】 如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外),作60DMN ∠=?,

射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?

N

E

B M A D

【巩固】如图,点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点,MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于

点N ,MD 与MN 有怎样的数量关系?

N

C

D

E

B M A

【例2】 如图,AD ⊥AB ,CB ⊥AB ,DM =CM =a ,AD =h ,CB =k ,∠AMD =75°,∠BMC =45°,则AB

的长为 ( )

A . a

B . k

C .

2

k h

+ D . h

M

D

C

B

A

【例3】 已知:如图,ABCD 是正方形,∠F AD =∠F AE . 求证:BE +DF =AE .

F

E

D

C

B

A

【例4】 如图所示,ABC ?是边长为1的正三角形,BDC ?是顶角为120的等腰三角形,以D 为顶点

作一个60的MDN ∠,点M 、N 分别在AB 、AC 上,求AMN ?的周长.

N

M D

C

B

A

【例5】 五边形ABCDE 中,AB =AE ,BC +DE =CD ,∠ABC +∠AED =180°,求证:AD 平分∠CDE

C

E

D

B A

板块四、与角平分线有关的全等问题

【例1】 如图,已知ABC ?的周长是21,OB ,OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠,OD BC ⊥于D ,且

3OD =,求ABC ?的面积.

【例2】 在ABC ?中,D 为BC 边上的点,已知BAD CAD ∠=∠,BD CD =,求证:AB AC =.

【例3】 已知ABC ?中,AB AC =,BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线.求证:CD BE =.

E

D C

B A

【例4】 已知ABC ?中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判

断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明.

O

E

D C

B

A

【例5】 如图,已知E 是AC 上的一点,又12∠=∠,34∠=∠.求证:ED EB =.

A

D

O

C B

D C B

A

E D

C B A

4

32

1

【例6】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中,AB =4,BC =7,∠BAD 的角平分线交BC 于点E ,

EF ⊥ED 交AB 于F ,则EF =__________.

F

E

D

C

B

A

【例7】 如图所示,已知ABC ?中,AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD 上.

DE CD =,EF AC =.求证:EF ∥AB

F

A C

D E B

【巩固】如图,在ABC ?中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延长线于点F ,

交AB 于点G ,若BG CF =,求证:AD 为BAC ∠的角平分线.

F G

E D

C

B

A

【巩固】在ABC ?中,AB AC >,AD 是BAC ∠的平分线.P 是AD 上任意一点.求证:AB AC PB PC ->-.

C

D B P

A

【例8】 如图,在ABC ?中,2B C ∠=∠,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:AB BD AC +=.

D

C B A

【例9】 如图所示,在ABC ?中,AC AB >,M 为BC 的中点,AD 是BAC ∠的平分线,若CF AD

⊥且交AD 的延长线于F ,求证()1

2

MF AC AB =-.

M

F

D C

B A

【巩固】如图所示,AD 是ABC ?中BAC ∠的外角平分线,CD AD ⊥于D ,E 是BC 的中点,求证

DE AB ∥ 且1

()2

DE AB AC =+.

E D

C

B A

【巩固】如图所示,在ABC ?中,AD 平分BAC ∠,AD AB =,CM AD ⊥于M ,求证2AB AC AM +=.

M

D C

B

A

【例10】 如图,ABC ?中,AB AC =,BD 、CE 分别为两底角的外角平分线,AD BD ⊥于D ,AE CE

⊥于E .求证:AD AE =.

H

G D A

B C E

【巩固】已知:AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线,CD AD ⊥,CE BE ⊥,求

证:⑴ DE AB ∥;⑵ ()1

2

DE AB BC CA =++.

E

B

A D C

【例11】 在ABC ?中,MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线,AM BM ⊥,

AN CN ⊥垂足分别是M 、N .求证:MN BC ∥,()1

2

MN AB AC BC =++

F

E

N M C

B

A

【巩固】在ABC ?中,MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线,AM BM ⊥,AN CN

⊥垂足分别是M 、N .求证:MN BC ∥,()1

2

MN AB AC BC =+-

N M

C

B

A

【巩固】(北京市中考模拟题)如图,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,过C 作E AB CE 于⊥,

并且)(2

1

AD AB AE +=

,则ADC ABC ∠+∠等于多少?

E

D

C

B

A

【例12】 如图,180A D ∠+∠=?,BE 平分ABC ∠,CE 平分BCD ∠,点E 在AD 上.

① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系. ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系.

E

D

C

B A

版块一、倍长中线

【例1】 已知:ABC ?中,AM 是中线.求证:1

()2

AM AB AC <+.

M

C

B A

【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC ?中,5,9AB AC ==,则BC 边上的中线AD 的长的取值范围

是什么?

【例2】 如图,ABC ?中,

D

C

B

A

【例3】 如图,已知在ABC ?中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ,

AF EF =,求证:AC BE =.

F

E

D

C B

A

【例4】 已知△ABC ,∠B =∠C ,D ,E 分别是AB 及AC 延长线上的一点,且BD =CE ,连接DE 交底

BC 于G ,求证GD =GE .

G

E

D

C

B

A

【例5】 已知AM 为ABC ?的中线,AMB ∠,AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F .求证:

BE CF EF +>.

M

F

E

C

B

A

【例6】 在Rt ABC ?中,90A ∠=?,点D 为BC 的中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且

ED FD ⊥.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形?

F E

D

C

B

A

【巩固】如图所示,在ABC ?中,D 是BC 的中点,DM 垂直于DN ,如果2222BM CN DM DN +=+,

求证()2221

4

AD AB AC =+.

N

M

D

C

B

A

【例7】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ?中,F 是斜边AB 的中点,D 、E 分别

在边CA 、CB 上,满足90DFE ∠=?.若3AD =,4BE =,则线段DE 的长度为_________.

F

E

D

C

B

A

版块二、中位线的应用

【例8】 AD 是ABC ?的中线,F 是AD 的中点,BF 的延长线交AC 于E .求证:1

3

AE AC =.

F

A

D

E C

B

【例9】 如图所示,在ABC ?中,AB AC =,延长AB 到D ,使BD AB =,E 为AB 的中点,连接CE 、

CD ,求证2CD EC =.

E

D

C

B A

【巩固】已知△ABC 中,AB =AC ,BD 为AB 的延长线,且BD =AB ,CE 为△ABC 的AB 边上的中线.求

证CD =2CE

E D

B C

A

【例10】 已知:ABCD 是凸四边形,且AC

交BD 于N ,AC 和BD 交于G 点. 求证:∠GMN >∠GNM .

N

M G

F

E

D

C

B

A

【例11】 在ABC ?中,90ACB ∠=?,1

2

AC BC =

,以BC 为底作等腰直角BCD ?,E 是CD 的中点,求证:AE EB ⊥且AE BE =.

E

D

C

B

A

【例12】 如图,在五边形ABCDE 中,90ABC AED ∠=∠=?,BAC EAD ∠=∠,F 为CD 的中点.求证:

BF EF =.

E

D

F

C

B

A

【例13】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题,中国国家集训队试题)如图所示,P 是ABC ?内的一点,

PAC PBC ∠=∠,过P 作PM AC ⊥于M ,PL BC ⊥于L ,D 为AB 的中点,求证DM DL =.

L

P

M

D C

B

A

【例14】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示,在ABC ?中,D 为AB 的中点,分别延长CA 、CB 到点

E 、

F ,使DE DF =.过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线,相交于点P ,设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N .求证: (1) DEM FDN ??≌; (2) PAE PBF ∠=∠.

M

N

M

A

D

E

P

P

F

E

D C

B

A

【习题1】如图,已知AC BD =,AD AC ⊥,BC BD ⊥,求证:AD BC =.

D

C B

A

【习题2】点M ,N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动,BD =DC ,∠BDC =120

°,∠MDN =60°,求证MN =MB +NC .

家庭作业

N

M D

C

B

A

【习题3】在ABC △中,3AB AC =,BAC ∠的平分线交BC 于D ,过B 作BE AD ⊥,E 为垂足,求证:AD DE =.

C E

D

B A

【习题4】如图,在ABC ?中,AB BD AC +=,BAC ∠的平分线AD 交BC 与D .求证:2B C ∠=∠.

D

C B A

【习题5】如图,在等腰ABC ?中,AB AC =,D 是BC 的中点,过A 作AE DE ⊥,AF DF ⊥,且AE AF =.

求证:EDB FDC ∠=∠.

全等三角形知识点总结

全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; > (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等(即对应元素相等)

3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)。 (2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。 (3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。 , (4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等, 因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找

全等三角形类型题汇总

13. 如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE. 求证:∠3=∠1+∠2. 5. 一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破,成了四片完整的碎片(如图所示),聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板.下列四个答案中考虑最全面的是( ) A.带其中的任意两块去都可以B.带1、2 或2、3 去就可以了 C.带1、4 或3、4 去就可以了D.带1、4 或2、4 或3、4 去均可16. 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB =90°,∠A=∠D=30°,点 E 落在 AB 上,DE 所在直线交 AC所在直线于点 F. (1)求证:AF+EF=DE; (2)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角α,且 0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立; (3)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③.你认为(1)中猜想的结论还成立吗?若成立,写出证明过程:若不成立,请写出 AF,EF与 DE之间的关系,并说明理由.

板块一、三角形全等的判定与应用 在AB、AC上各取一点E、D,使AE=AD,连接BD、CE相交于O再连结AO、BC,若1=2, 则图中全等三角形共有哪几对?并简单说明理由. 【巩固】如图所示,AB = AD,BC = DC,E、F在AC上,AC与BD相交于P.图中有几对全等三角形?请一一找出来,并简述全等的理由. 板块二、三角形全等的判定与应用 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图,AC∥DE,BC∥EF,AC = DE.求证:AF =BD. C

全等三角形 优秀教学设计

全等三角形 【教材的地位与作用】 从本课开始,将向学生重点渗透图形变换的数学思想,使学生初步掌握推理论证的方法,有利于培养学生逻辑推理能力。教材通过一个思考活动,使学生体会将一个三角形进行变换后形成的新图形与原图形是全等形。我将此内容进行了加深和拓展 【教学目标】 知识与技能:了解全等三角形的相关概念,性质,能够准确地辨认全等三角形中的对应元素,提高学生的识图能力。 过程与方法:经历图形的平移,翻折,旋转等变换的过程,体会探索问题的方法。 情感态度与价值观:通过合作交流,增强团队意识,体验成功的喜悦。 【教学重难点】 重点:全等三角形相关概念,性质及全等三角形对应元素的寻找。 难点:能够准确地辨认全等三角形中的对应元素 【教学方法】 本节课主要采用探究体验式创新教学法。 教学手段:采用多媒体辅助教学,促进学生自主学习,提高效率。 【教学过程】 环节一激情引趣 拼图游戏: 通过动手拼图,学生能够发现这几组图形能够完全重合,从而得到全等形的定义。 此环节的设计,利用学生原有知识经验,展开数学教学,激发了学生的学习兴趣,提高了学生观察,分析,抽象,概括的能力。 环节二实践感悟 活动一 打开你手中的材料袋,找出其中的全等形,并说明理由。 要求同桌合作完成 学生亲身体验两个图形完全重合的过程,能够发现①与⑩,②与⑥,⑦与⒁⑿与⒀分别能够完全重合,而对于④与⑥,⑧与⒀教师留给学生充分的时间验证,通过再次验证,能够发现④与⑥,⑧与⒀是分别不能完全重合。

通过动手实践,使学生更加明确了全等形的判别条件,培养了学生严谨求实的学习态度。 在此基础上,自然引出全等三角形,从而引出课题。 并通过观察两个三角形的变换过程,了解全等三角形的对应元素,并由教师介绍全等三角形的表示方法。 进一步提出:这两个全等三角形的对应边和对应角分别存在怎样的数量关系呢 由此得到全等三角形的性质,接着由师生共同得出全等三角形性质的符号语言: ∵△ABC≌△DEF ∴ AB= DE, BC=EF, AC= DF ∠A=∠D,∠B=∠E ,∠C=∠F 此问题的设计,让学生在做中发现,做中感悟,做中理解,做中解决,使学生经历,感受,体验知识的形成过程,培养了学生乐于动手,勤于动手的意识和习惯,切实提高了学生的动手能力 实践能力。 环节三探究说理 活动二 利用两个全等三角形学具,先保持完全重合状态,再使一个三角形不动,将另一个三角形进行平移,翻折,旋转,探究以下图形的形成过程。 要求四人为一小组合作交流的形式进行。 在讨论过程中,教师以合作者的身份深入到小组中,与学生交流,了解学生的探究进程并给予适当点拨。 各个小组在黑板上演示图形的形成过程。 有以下几种: 个别学生发现第三个图形有另一种形成过程,此时教师尊重学生的富有个性的学习表现,及时捕捉问题的症结所在,进行巧妙地引导,鼓励,问疑,由此教学变得更加生动与鲜活,获得了更大的教学生成效果。 学生在汇报的过程中,展示不同的形成过程。 接着用微机再现图形形成的过程,并使学生了解利用两个全等三角形学具还可以形成一些其他的图形: 拓拓宽学生的视野,有利于学生认识数学的本质与作用,并从中体会到数学的美。 这样设计,学生能够体验和感悟图形之间的联系和运动变换的过程中所体现的美,并为寻找全等三角形的对应元素作好准备。

全等三角形全章教案集

C 1 B 1 C A B A 1 课题:§11.1 全等三角形 课型:新授 教学目标 (一) 知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。 2、理解掌握全等三角形的性质。 3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。 (二) 过程与方法 : 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念,培养几何直觉。 2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等 三角形的体验。 (三) 情感态度与价值观: 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。 教学重点: 全等三角形的性质. 教学难点:找全等三角形的对应边、对应角. 教学方法:讲授法,讨论法,情景导入法 教学准备:多媒体,三角板 预习导航:什么是全等三角形?如何找全等三角形的对应边和对应角? 全等三角形有哪些性质? 教学过程 (一) 提出问题,创设情境 出示投影片 :1.问题:你能 发现这两个图形有什么美妙 的关系吗? 这两个图形是完全重合的. 2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F 生:同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形. 3.学生自己动手(同桌两名同学配合) 取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板形状、大小完全一样. 4.获取概念 让学生用自己的语言叙述:全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、 对应边,以及有关的数学符号. 记作:△ABC ≌ △ A ’B ’C ’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” D A

(注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上) (二).新知探究 利用投影片演示 1.活动:将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ;将△ABC 沿BC 翻折180 得到△DBC ; 将△ABC 旋转180°得△AED . 2. 议一议:各图中的两个三角形全等吗? 启示:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,?但形状、大小都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形全等,这也是我们通过运动的方法寻求全等的 一种策略. 3. 观察与思考: 寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?对应角呢? (引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系) 得到全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等. 全等三角形的对应角相等. (三)例题讲解 [例1]如图,△OCA ≌△OBD ,C 和B ,A 和D 是对应顶点,?说出这两个三角形中相等的边和角. 1. 分析:△OCA ≌△OBD ,说明这两个三角形可以重合,?思考通过怎样变换可以使两三角 形重合? 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合.因为C 和B 、A 和D 是对应顶点,?所以C 和B 重合,A 和D 重合. ∠C=∠B ;∠A=∠D ;∠AOC=∠DOB .AC=DB ;OA=OD ;OC=OB . 2. 总结:两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法. [例2]如图,已知△ABE ≌△ACD ,∠ADE=∠AED ,∠B=∠C ,?指出其他的对应边和对应角. 1. 分析:对应边和对应角只能从两个三角形中找,所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形 中分离出来. 2小结:找对应边和对应角的常用方法有: D C A B O D C A B E 乙 D C A B 丙 D C A B E

全等三角形知识点总结

全等三角形知识点总结 经过翻转、平移后,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,而该两个三角形的三条边及三个角都对应相等。以下是全等三角形知识点总结,欢迎阅读。 以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定: (Side-Side-Side)(边、边、边):各三角形的三条边的长度都对应地相等的话,该两个三角形就是全等三角形。 (Side-Angle-Side)(边、角、边):各三角形的其中两条边的长度都对应地相等,且两条边夹着的角都对应地相等的话,该两个三角形就是全等三角形。 (Angle-Side-Angle)(角、边、角):各三角形的其中两个角都对应地相等,且两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等三角形。 (Angle-Angle-Side)(角、角、边):各三角形的其中两个角都对应地相等,且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话,该两个三角形就是全等三角形。 (hypotenuse -leg) (斜边、直角边):直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等,该两个三角形就是全等三角形。 不同的定义推理出不同的判定方法,这就是全等三角形的特殊之处。

、基本概念 1、“全等”的理解全等的图形必须满足:形状相同的图形;大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 全等三角形对应边相等;全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法 三边对应相等的两个三角形全等。 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上灵活运用定理 证明两个三角形全等,必须根据已知条件与结论,认真分析图形,准确无误的确定对应边及对应角;去分析已具有的条件和还缺少的条件,并会将其他一些条件转化为所需的条件,从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。

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第十二章全等三角形 2018.9 杨1.全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.对应边相等。 2.全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.对应角相等。 证明三角形全等基本思路: 三角形全等的判定(1) 三边分别相等的两个三角形全等,简写成边边边或SSS. 1.如图,AB=AD,CB=CD,求证:(1)△ABC≌△ADC;(2)∠B=∠D. 证明:(1)连接AC,在△ABC与△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(SSS). (2)∵△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D. 2.已知在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC A D 做辅助线,连接AC,利用SSS证明全等,得到∠ DAC=∠ACB ,从而证明平行 B C 三角形全等的判定(2) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 1.如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A,B,D三点共线,AB=CB,EB=DB,∠ ABC=∠EBD=90°),连接AE,CD,试确定AE与CD的关系,并证明你的结论. 解:结论:AE=CD,AE⊥CD. 证明:延长AE交CD于F,在△ABE与△CBD中AB=CB, ∠ABE=∠CBD, BE=BD, , ∴△ABE≌△CBD(SAS),∴AE=CD,∠EAB=∠DCB, ∵∠DCB+∠CDB=90°,∴∠EAB+∠CDB=90°, ∴∠AFD=90°,∴AE⊥CD. F

2.在△ABC和△CDE中,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°,AE与BD交与点 F (1)求证:△ACE≌△BCD (2)求证:AE⊥BD 1,利用SAS证明全等, AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE 2,全等得到角相等∠CAE=∠DCB ∠CAB+∠EAB+∠ABC=90° ∠DCB∠EAB+∠ABC=90° 三角形全等的判定(3) 两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等,简称角边 角或ASA. 两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等,简称 角角边或AAS. 求证:三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等. 如图,AD为△ABC的中线,且CF⊥AD于点F,BE⊥AD,交AD的延长线于点E,求证:BE=CF. 证法1: ∵AD为△ABC的中线,∴BD=CD.∵BE⊥AD,CF⊥AD, ∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED与△CFD中∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,BD=CD, ∴△BED≌△CFD(AAS),∴BE=CF. 证法2:∵S△ABD=1 2 AD·BE,S△ACD= 1 2 AD·CF, 且S△ABD=S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等), ∴1 2 AD·BE= 1 2 AD·CF,∴BE=CF. 三角形全等的判定(4) 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等,简称“斜边、直角边”或“HL”. 如图,E,F分别为线段AC上的两点,且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,AE=CF,BD交AC于点M. 求证:BM=DM,ME=MF. 证明:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF∴AF=CE. 在Rt△ABF与Rt△CDE中AB=CD,AF=CE, ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H L), ∴BF=DE.∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEM=∠BFM=90°. 在△BFM与△DEM中∠BFM=∠DEM,∠BMF=∠DME,BF=DE, ∴△BFM≌△DEM(A AS), ∴BM=DM,ME=MF. 角的平分线的性质 角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 文字命题的证明方法: a.明确命题中的已知和求证; b.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; c.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.

最新全等三角形专题分类复习讲义

第三章全等三角形专题分类复习 一.考点整理 1.三角形的边角关系 2.三角形全等 3.三角形当中的三线(角平分线、中线和高线的性质) 在三角形中,三角形的三线分别交于一点。 注:三角形内角平分线与外角平分线模型归纳: (1) (2) __________D ∠= ___________D ∠= (3) __________D ∠= 3.尺规作图 (1)作满足题意的三角形 (2)作最短距离(送水、供电、修渠道等最短路径问题) 角:内角和180度,余角和90度 边:构成三角形三边的条件 (1)证三角形全等(SSS/ASA/AAS/SAS/HL ) (2)证边等或角等(证三角形全等、等量代换、证等腰三角形) (3)证“AE=BD+CE ”等(证线段之间的等量关系)类似问题(三角形全等证边等代换、截长补短) (4)证线段之间的位置关系(垂直或平行 方法:证明角等代换) A D B C A B C D A B C D

考点1:证明三角形全等 例1. 如图,,,,A F E B 四点共线,AC CE ⊥,BD DF ⊥,AE BF =,AC BD =。求证: ACF BDE ???。 练习:已知,如图,△ABC 是等边三角形,过AC 边上的点D 作DG ∥BC ,交AB 于点G ,在GD 的延长线上取点E ,使DE =DC ,连接AE 、BD. (1)求证:△AGE ≌△DAB (2)过点E 作EF ∥DB ,交BC 于点F ,连结AF ,求∠AFE 的度数. 考点2:求证线段之间的数量关系(截长补短) 例1:如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=AC ,AD 平分∠BAC 交BC 于D ,求证:AB=AC+CD . D A B C G E F

初二数学上全等三角形知识点总结汇编

全等三角形 知识梳理 一、知识网络 ???? ?? ????→??????? ?? ?? ???? ? ?对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等。 (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

(二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等, 因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) (3)已知条件中有一边一角对应相等,可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤: 1.确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系); 2.回顾三角形判定公理,搞清还需要什么; 3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。 常见考法 (1)利用全等三角形的性质:①证明线段(或角)相等;②证明两条线段的和差等于另一条线段;③证明面积相等; (2)利用判定公理来证明两个三角形全等; (3)题目开放性问题,补全条件,使两个三角形全等。 误区提醒 (1)忽略题目中的隐含条件;

(完整版)初中数学全等三角形的知识点梳理

《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 (一)概念梳理 1.全等图形 定义:两个能够完全重合的图形称为全等图形,全等图形的形状和大小都相同.例如图1中的两个图形形状相同,但大小不同,不能重合在一起,因此不是全等图形,图2中的两个图形面积相同,但形状不同,也不是全等图形. 2.全等三角形 这是学好全等三角形的基础.根据全等形定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.完全重合有两层含义:(1)图形的形状相同;(2)图形的大小相等.符号“≌”也形象、直观地反映了这一点.“∽”表示图形形状相同,“=”表示图形大小相等. (二)性质与判定梳理 1.全等图形性质:全等多边形的对应边、对应角分别相等. 全等三角形的对应边、对应角分别相等. 2.全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键.只给定一个条件或两个条件画三角形时,都不能保证所画出的三角形全等,只要有三个条件对应相等就可以,于是判定两个三角形全等的方法有: (1)三边对应相等的两个三角形全等,简记为:SSS ; (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简记为:ASA; (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为:AAS; (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为:SAS. 若是直角三角形,则还有斜边、直角边公理(HL)。由此可以看出,判断三角形全等,无论用哪一条件,都要有三个元素对应相等,且其中至少要有一对应边相等. (5)注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有 图 2

三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边(角)去迅速准确地确定要补充的边(角),不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件.从而得到判定两个三角形全等的思路有: ?? ???→→SSS SAS 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 (6)学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是,先找出全等三角形的对应顶点,再确定对应角和对应边,如已知△ABC ≌EFD ,这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应,则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应,对应边所夹的角就是对应角,此外,还有如下规律:(1)全等三角形的公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角;(2)全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边,两条对应边所夹的角是对应角. (三)基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形,全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的,所以全等三角形的基本图形大致有以下几种: 1.平移型 如图3,下面几种图形属于平移型: 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的,故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到. 2 .对称型 如图 4,下面几种图形属于对称型: 它们的特征是可沿某一直线对折,直线两旁的部分能完全重合(轴对称图形),重合的顶点就是全等三角形的对应顶点. 3.旋转型 如图5,下面几种图形属于旋转型: 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的,故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中. 三、易混、易错点剖析 1.探索两个三角形全等时,要注意两个特例 (1两个三角形不一定全等;如图6(1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6(1)

全等三角形几种类型

全等三角形的认识与性质 全等图形: 能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形: 能够完全重合的多边形就是全等多边形. 相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边、对应角分别相等. 如下图,两个全等的五边形,记作:五边形ABCDE ≌五边形 ''''' A B C D E . 这里符号“≌”表示全等,读作“全等于”. A' B' C' D' E' E D C B A 全等三角形: 能够完全重合的三角形就是全等三角形. 全等三角形的对应边相等,对应角分别相等; 反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等. 全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角.全等符号为“≌”. 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. 中考要求 第一讲 全等三角形与角平分线 知识点睛

(4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法: (1) 边角边定理(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 判定三角形全等的基本思路: SAS HL SSS →?? →??→? 找夹角已知两边 找直角 找另一边 ASA AAS SAS AAS ?? ?? ?? ?? ?? ?? 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS →??→? 找两角的夹边已知两角 找任意一边 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式: ⑴ 平移全等型 ⑵ 对称全等型 ⑶ 旋转全等型

全等三角形教学设计与反思

全等三角形教学设计与反思 一、教学设计: 1、学习方式: 对于全等三角形的研究,实际是平面几何中对封闭的两个图形关系研究的第一步。它是两个三角形间最简单,最常见的关系。它不仅是学习后面知识的基础,并且是证明线段相等、角相等以及两线互相垂直、平行的重要依据。因此必须熟练地掌握全等三角形的判定方法,并且灵活的应用。为了使学生更好地掌握这一部分内容,遵循启发式教学原则,用设问形式创设问题情景,设计一系列实践活动,引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维,使学生经历从现实世界抽象出几何模型和运用所学内容,解决实际问题的过程,真正把学生放到主体位置。 2、学习任务分析: 充分利用教科书提供的素材和活动,鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动,发展学生的空间观念,体会分析问题、解决问题的方法,积累数学活动经验。培养学生有条理的思考,表达和交流的能力,并且在以直观操作的基础上,将直观与简单推理相结合,注意学生推理意识的建立和对推理过程的理解,能运用自己的方式有条理的表达推理过程,为以后的证明打下基础。 3、学生的认知起点分析: 学生通过前面的学习已了解了图形的全等的概念及特征,掌握了全等图形的对应边、对应角的关系,这为探究三角形全等的条件做好了知识上的准备。另外,学生也具备了利用已知条件作三角形的基本作图能力,这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。 4、教学目标: (1)学生在教师引导下,积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。

(2)掌握三角形全等的“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”的判定方法,了解三角形的稳定性,能用三角形的全等解决一些实际问题。 (3)培养学生的空间观念,推理能力,发展有条理地表达能力,积累数学活动经验。 5、教学的重点与难点: 重点:三角形全等条件的探索过程是本节课的重点。 从设置情景提出问题,到动手操作,交流,直至归纳得出结论,整个过程学生不仅得到了两个三角形全等的条件,更重要得是经历了知识的形成过程,体会了一种分析问题的方法,积累了数学活动经验,这将有利于学生更好的理解数学,应用数学。 难点:三角形全等条件的探索过程,特别是创设出问题后,学生面对开放性问题,要做出全面、正确得分析,并对各种 情况进行讨论,对初一学生有一定的难度。 根据初一学生年龄、生理及心理特征,还不具备独立系统地推理论证几何问题的能力,思维受到一定的局限,考虑问题不够全面,因此要充分发挥教师的主导作用,适时点拨、引导,尽可能调动所有学生的积极性、主动性参与到合作探讨中来,使学生在与他人的合作交流中获取新知,并使个性思维得以发展。。 6、教学过程(略) 教学步骤教师活动学生活动教学媒体(资源)和教学方式 7、反思小结 提炼规律 电脑显示,带领学生复习全等三角定义及其性质。 电脑显示,小明画了一个三角形,怎样才能画一个三角形与他的三角形全等?我们知道全等三角形三条边分别对应相等,三个角分别对应相等,那麽,反之这

全等三角形知识点总结及复习.docx

全等三角形知识点总结及复习 、知识网络 ?对应角相等 对应边相等 I r 作图 角平分线性质与判定定理 、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。 同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 全等三角形定义:能够完全重合的两个 三角形称为全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中 的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合 的角叫做对应角。 由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3) 有公共边的,公共边一定是对应边; (4) 有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角; 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法 (1) 三边对应相等的两个三角形全等。 (2) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 (3) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 (4) 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 '边 边 边 角形J 边 角 边 判定J 角 边 角 角 角 边 斜 边 、 全等形、全等三 SSS SAS ASA AAS 直角边 HL

(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等,因此在寻找全等的条 件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA )②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) (3)已知条件中有一边一角对应相等,可找 ①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) (三)经典例题 例1.已知:如图所示,AB=AC , 一一一「二亠 ~ ■■ ■■,求证l?''1'. 例2.如图所示,已知:AF=AE,AC=AD,CF与DE交于点B。求证:I-二AL二 例3 .如图所示,AC=BD,AB=DC ,求证:二匸厶

全等三角形教学分析

课题:全等三角形 【教学目标】 知识与技能目标: 掌握怎样的两个图形是全等形,了解全等形,了解全等三角形的的概念及表示方法。。掌握全等三角形的性质。体会图形的变换思想,逐步培养动态研究几何意识。初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算。 过程与方法目标: 围绕全等三角形的对应元素这一中心,。设计一系列问题,给出三组组合图形,让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角,进面引入本节问题的主题,强化了本课的中心问题----- 全等三角形的性质,经历理解性质的过程。,体会图形的变换思想,逐步培养学生动态研究几何图形的意识。 情感与态度目标: 学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习,提供学生发现规律的空间,激发学生学习兴趣。 教学重点:全等三角形的性质 教学难点:寻找全等三角形中的对应元素 教学方法:采用启发诱导,实例探究,讲练结合,小组合作等方法。 学情分析:这节课是学了三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一定能学好。 课前准备:全等三角形纸片 【教学教程】 一、创设情境,引入新课 1、问题:各组图形的形状与大小有什么特点? 一般学生都能发现这两个图形是完全重合的。 归纳:能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.学生动手操作 ⑴在纸板上任意画一个三角形ABC,并剪下,然后说出三角形的三个角、三条边和每个角的对边、每个边的对角。 ⑵问题:如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF,使它与△ABC全等? 3.板书课题:全等三角形 定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 “全等”用“≌”表示,读着“全等于” 如图中的两个三角形全等,记作:△ABC≌△DEF

二、探究 全等三角形中的对应元素 1. 问题:你手中的两个三角形是全等的,但是如果任意摆放能重合吗?该怎样做它们才能 重合呢? 2.学生讨论、交流、归纳得出: ⑴.两个全等三角形任意摆放时,并不一定能完全重合,只有当把相同的角重合到一起(或 相同的边重合到一起)时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。 ⑵.表示两个全等三角形时,通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上,这样便于确定两 个三角形的对应关系。 全等三角形的性质 1.观察与思考: 寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边 有什么关系?对应角呢? 全等三角形的性质: 全等三角形的对应边相等. 全等三角形的对应角相等. 2.用几何语言表示全等三角形的性质 如图:∵?ABC≌ ?DEF ∴AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形对应边相等) ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全等三角形对应角相等) 探求全等三角形对应元素的找法 1.动画(几何画板)演示 (1)图中的各对三角形是全等三角形,怎样改变其中一个三角形的位置,使它能与另一个三角形完全重合? 归纳:两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻折、旋转的方法.(2)说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角

苏教版全等三角形知识点总结习题单元测试题

第一章 三角形全等 1、全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 理解:①全等三角形形状与大小完全相等,与位置无关; ②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形,与原三角形仍然全等..; ③三角形全等不因位置发生变化而改变。 2、全等三角形的性质: ⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。 理解:①长边对长边,短边对短边;最大角对最大角,最小角对最小角; ②对应角的对边为对应边,对应边对的角为对应角。 ⑵全等三角形的周长相等、面积相等。 ⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定: ①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 ②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 ③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 ④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。 ⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、证明两个三角形全等的基本思路: ⑴已知两边:①找第三边(SSS );②找夹角(SAS );③找是否有直角(HL ). ⑵已知一边一角:①找一角(AAS 或ASA );②找夹边(SAS ). ⑶已知两角:①找夹边(ASA );②找其它边(AAS ). 例题评析 例1 已知:如图,点D 、E 在BC 上,且BD=CE ,AD=AE , 求证:AB=AC . 例2 已知:如图,A 、C 、F 、D 在同一直线上,AF =D C ,AB =DE ,BC =EF ,求证:△ABC ≌△DEF . A D E

人教版八年级上册数学第12章全等三角形讲义知识点+典型例题

B P A a 【变式1】如图,在t R ABC △中,AB AC =,90BAC ∠=?,过点A 的任一直线AN ,BD AN ⊥于D ,BD AN ⊥于E 求证:DE BD CE =- N E D C B A 【变式2】如图,在ABC △中,90ACB ∠=?,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于D ,BE MN ⊥于E , 求证:DE AD BE =+. E D C B A 专题 三角形的尺规作图 知识点解析 作三角形的三种类型: ① 已知两边及夹角作三角形: 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形: 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形: 作图依据------SSS 典型例题 【例1】作一条线段等于已知线段。 已知:如图,线段a . 求作:线段AB ,使AB = a . 【例2】作一个角等于已知角。 已知:如图,∠AOB 。 求作:∠A’O’B’,使A’O’B’=∠AOB

【例3】已知三边作三角形 已知:如图,线段a,b,c. 求作:△ABC,使AB = c,AC = b,BC = a. 作法: 【例4】已知两边及夹角作三角形 已知:如图,线段m,n, ∠α. 求作:△ABC,使∠A=∠α,AB=m,AC=n. 【例5】已知两角及夹边作三角形 已知:如图,∠α,∠β,线段c . 求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c. 随堂练习 1.根据已知条件作符合条件的三角形,在作图过程中主要依据是() A.用尺规作一条线段等于已知线段;B.用尺规作一个角等于已知角 C.用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角;D.不能确定 2.已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形时,第一步骤应为() A.作一条线段等于已知线段B.作一个角等于已知角 C.作两条线段等于已知三角形的边,并使其夹角等于已知角 D.先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3.用尺规作一个直角三角形,使其两条直角边分别等于已知线段时,实际上就是已知的条件是()A.三角形的两条边和它们的夹角B.三角形的三条边 C.三角形的两个角和它们的夹边;D.三角形的三个角 4.已知三边作三角形时,用到所学知识是() A.作一个角等于已知角B.作一个角使它等于已知角的一半 C.在射线上取一线段等于已知线段D.作一条直线的平行线或垂线

全等三角形几种类型总结(供参考)

全等三角形与角平分线 全等图形:能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形:能够完全重合的多边形就是全等多边形. 相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角? 全等多边形的对应边、对应角分别相等? 如下图,两个全等的五边形,记作:五边形ABCQE里五边形A'B'C'D'E' . 这里符号徑"表示全等,读作"全等于"? 全等三角形:能够完全重合的三角形就是全等三角形? 全等三角形的对应边相等,对应角分别相等; 反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等? 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等. 全等三角形的概念与表示:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形?能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角?全等符号为“空‘ ? 全尊三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等? 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角? (5)有对顶角的,对顶角常是对应角? 全等三角形的判定方法: (1)边角边走理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等? ⑵角边角走理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等? (3)边边边走理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等? (4)角角边走理(MS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等? (5)斜边、直角边定理(HD :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 判定三角形全等的基本思路: 找夹角TSAS 已知两边找直角THL 找另一边TSSS 边为角的对边一找任意一角一A4S 找这条边上的另一角一ASA 找这条边上的对角一AAS 找该角的另一边一 SAS 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式: 已知一边一角《 边就是角的一条边 已知两角< 找两角的夹边T ASA 找 任意一边T AAS

全等三角形教学反思

《全等三角形》教学反思 桂平市石龙民族中学吴炯 全等三角形是八年级上册数学教材第十三章第一节的教学内容。本节课是“全等三角形”的开篇,也是进一步学习其它图形的基础之一。通过本章的学习,可以丰富和加深学生对已学图形的认识,同时为学习其它图形知识打好基础。因此,在教学过程中,我有意创设诱人的知识情景,增加学生的好奇心、求知欲,产生自觉学习的内在动机,不断提高学生的智慧,发挥其潜力,促进学生的智能发展。并且从央馆资源库,下载了许多有关素材,制作成课件,利用多媒体课件辅助教学,以激发学生课堂的学习兴趣和提高学生的课堂注意力。准备就绪,我和学生们在本学期的公开课中登台亮相。一节课下来感触良多,现在作如下反思: 一、课件辅助,突出重点。 首先,我利用多媒体课件展示教材上的图案以及制作的一些图案,引导学生读图,激发学生兴趣,从图中去发现有形状与大小完全相同的图形。然后我安排学生自己动手随意去做两个形状与大小相同的图形,通过动手实践,合作交流,直观感知全等形和全等三角形的概念。其次,通过阅读法让学生找出全等形和全等三角形的概念。然后,我随即演示一个三角形经平移,翻折,旋转后构成的两个三角形全等。通过课件演示让学生体会对应顶点、对应边、对应角的概念,并以找朋友的形式练习指出对应顶点、对应边、对应角,加强对对应元素的熟练程度。此时给出全等三角形的表示方法,提示对应顶点,写在对应的位置,然后再给出用全等符号表示全等三角形练习,加强对知识的巩固,再给出练习判断哪一种表示全等三角形的方法正确,通过对图形及文字语言的综合阅读,由此去理解“对应顶点写在对应的位置上”的含义。

此外,多媒体应用上,解决了以前在用重合的方法来证明两个三角形全等的时候,只是静态地呈现书本上的例题,虽然当时也用纸板进行折叠,但是现在这节课,我通过用FLASH动画,动态的呈现两个三角形重合,这种直观、形象地演示,学生们很快就弄明白了重合的方法。 二、巧妙运用,突破难点 全等三角形这一章的说理对学生的要求较高,尤其是学生根据图形和间接条件挖掘三角形全等的条件有一些困难,而且不知道究竟选用什么方法进行说理。有一道几何题图形比较复杂,在教学的过程中,我利用课件把不同的线段用不同的颜色来标注,而相等的线段用相同的颜色来标注。比如:AB线段用蓝色,BC线段用红色,而和AB线段相等的CD线段用同样的蓝色,和BC相等的线段AD用同样的红色。在分析的过程中,引导学生根据颜色来找相等的线段。在这过程中,我发现学生逐渐跟上我的思路,而且也可以根据我的提示来寻找下一组相等的线段。此外对于识图有困难的学生还可以引导学生将图形进行分离。 这两个方法有助于学生理解SAS,ASA定理中夹边和夹角的概念。对提高学生学习几何的兴趣有一定的帮助。 这节课,让我深刻体会到了利用远教资源辅助于课堂教学具有许多优越性,它以直观、立体、生动、形象的特点进一步激发了学生的兴趣,提高了学生的积极性。在今后的教学中,我要加强运用远教资源来教学,不断提高课堂教学质量。

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