均值不等式习题课【含答案】

均值不等式习题课【含答案】
均值不等式习题课【含答案】

(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)

初一不等式难题,经典题训练(附答案) 1. 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1,2,3,则a 的取值范围是_______ 2. 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解,则a 的取值范围是_________ 3. 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2,则a 的值为( ) A 0 B 2 C 0或2 D -1 4. 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<,则2006()a b +=_________ 5. 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7. 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >,则m 的取值范围是( ) A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时,不等式ax+2<3x+b 的解集是,则b=______ 10.已知a,b 为常数,若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是( ) A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1,2,3,那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有( )对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==,设345x y z ω=++,求的ω最大值与最小值

均值不等式测试题(含详解)

均值不等式测试题 一、选择题 1.已知a 、b ∈(0,1)且a ≠b ,下列各式中最大的是( ) A.a 2+b 2 B.2ab C.2a b D.a +b 2.x ∈R ,下列不等式恒成立的是( ) A .x 2+1≥x B .11 2+x <1 C .lg(x 2+1)≥lg(2x) D .x 2+4>4x 3.已知x+3y-1=0,则关于y x 82+的说法正确的是( ) A.有最大值8 B.有最小值22 C.有最小值8 D.有最大值22 4.A设实数x ,y ,m ,n 满足x 2+y 2=1,m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是( ) A.3 B.2 C.5 D.2 10 5.设a>0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是( ) A.(a+b )(b a 1 1+)≥4 B.a 3+b 3≥2ab 2 C.a 2+b 2+2≥2a+2b D.b a b a -≥- 6.下列结论正确的是( ) A .当x>0且x ≠1时,lgx+x lg 1≥2 B .当x>0时,x +x 1≥2 C .当x ≥2时,x + x 1 ≥2 D .当00且a(a+b+c)+bc=324-,则2a+b+c 的最小值为( ) A .13- B .13+ C .223+ D .223- 二.填空题: 8.设x>0,则函数y=2- x 4 -x 的最大值为 ;此时x 的值是 。 9.若x>1,则log x 2+log 2x 的最小值为 ;此时x 的值是 。 10.函数y=1 4 2-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ;此时x=_________. 11.函数f(x)=2 42 +x x (x ≠0)的最大值是 ;此时的x 值为 _______________.

基本不等式常见题型训练

必修5 基本不等式基本题型训练 一、选择题 1. [2013·常州质检]已知f (x )=x +1x -2(x <0),则f (x )有( ) A. 最大值为0 B. 最小值为0 C. 最大值为-4 D. 最小值为-4 答案:C 解析:∵x <0,∴-x >0, ∴x +1x -2=-(-x +1-x )-2≤-2(-x )·1 -x -2=-4, 当且仅当-x =1 -x ,即x =-1时,等号成立. 2. [2013·长沙质检]若0-1)的图象最低点的坐标为( ) A. (1,2) B. (1,-2) C. (1,1) D. (0,2) 答案:D 解析:y =(x +1)2 +1x +1=x +1+1 x +1≥2, 当x +1=1 x +1,即x =0时,y 最小值为2,故选D 项.

4. 已知m =a +1a -2 (a >2),n =(12)x 2-2(x <0),则m ,n 之间的大小关系是( ) A. m >n B. m 2,x <0, ∴m =(a -2)+1a -2 +2 ≥2(a -2)·1a -2+2=4, n =22-x 2<22=4,∴m >n ,故选A. 5. [2013·商丘模拟]若向量a =(x -1,2),b =(4,y )相互垂直,则9x +3y 的最小值为( ) A. 12 B. 2 3 C. 32 D. 6 答案:D 解析:依题意得4(x -1)+2y =0,即2x +y =2,9x +3y =32x +3y ≥232x ×3y =232x +y =232=6,当且仅当2x =y =1时取等号,因此9x +3y 的最小值是6,选D. 6. 已知a ,b 为正实数且ab =1,若不等式(x +y )(a x +b y )>m 对任意正实数x ,y 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A. [4,+∞) B. (-∞,1] C. (-∞,4] D. (-∞,4) 答案:D 解析:因为(x +y )(a x +b y )=a +b +ay x +bx y ≥a +b +2≥2ab +2=4,当且仅当a =b ,ay x =bx y 时等号成立,即a =b ,x =y 时等号成立,故只要m <4即可,正确选项为D. 二、填空题 7. [2013·金版原创]规定记号“?”表示一种运算,即a ?b =ab +a +b (a ,b 为正实数).若 1?k =3,则k 的值为________,此时函数f (x )=k ?x x 的最小值为________. 答案:1 3 解析:1?k =k +1+k =3, 即k +k -2=0,

均值不等式习题大全

均值不等式题型汇总 杨社锋 均值不等式是每年高考必考内容,它以形式灵活多变而备受出题人的青睐,下面我们来细数近几年来均值不等式在高考试题中的应用。 类型一:证明题 1. 设*,,1,a b R a b ∈+=求证:1 125()()4 a b a b ++≥ 2. 设,,(0,),a b c ∈+∞)a b c ≥++ 3. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证:222 b c a a b c a b c ++≥++ 4. 设,,(0,),a b c ∈+∞求证:222 a b c ab bc ac ++≥++ 5. 已知实数,,x y z 满足:222 1x y z ++=,求xy yz +得最大值。 6. 已知正实数,,a b c ,且1abc =9≥ 7. (2010辽宁)已知,,a b c 均为正实数,证明:22221 11()a b c a b c +++++≥,并确定,,a b c 为何值时,等号成立。 类型二:求最值: 利用均值不等式求最值是近几年高考中考查频率最高的题型之一。使用均值不等式的核心在于配凑,配凑的精髓在于使得均值不等式取等号的条件成立。 1. 设11,(0,)1x y x y ∈+∞+=且,求x y +的最小值。 2. 设,(0,)1x y x y ∈+∞+=且,求 112x y +的最小值。 3. 已知,a b 为正实数,且1a b +=求1ab ab +的最小值。 4. 求函数11(01)1y x x x =+<<-的最小值。

变式:求函数291(0)122 y x x x =+<<-的最小值。 5. 设,(0,)x y ∈+∞,35x y xy +=,求34x y +的最小值。 6. 设,(0,)x y ∈+∞,6x y xy ++=求x y +的最小值。 7. 设,(0,)x y ∈+∞,6x y xy ++=求xy 的最大值。 8. (2010浙江高考)设,x y 为实数,若22 41x y xy ++=,求2x y +的最大值。 9. 求函数y = 的最大值。 变式:y = 10. 设0x >求函数21x x y x ++=的最小值。 11. 设设1x >-求函数211 x x y x ++=+的最小值。 12. (2010山东高考)若任意0x >,231 x a x x ≤++恒成立,求a 的取值范围. 13. 求函数22233(1)22 x x y x x x -+=>-+的最大值。 类型三、应用题 1.(2009湖北)围建一个面积为2 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需要维修),其它三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45/m 元,新墙的造价为180/m 元,设利用旧墙的长度为x (单位:m )。 (1)将y 表示为x 的函数(y 表示总费用)。 (2)试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最少。并求出最小总费用。 2.(2008广东)某单位用2160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房。经测算,如果将楼房建为x 层(10x ≥),则每平方米的平均建筑费用为56048x +(单位:元)。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,

高考不等式经典例题

高考不等式经典例题 【例1】已知a >0,a ≠1,P =log a (a 3-a +1),Q =log a (a 2-a +1),试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3-a +1-(a 2-a +1)=a 2(a -1), 当a >1时,a 3-a +1>a 2-a +1,P >Q ; 当0<a <1时,a 3-a +1<a 2-a +1,P >Q ; 综上所述,a >0,a ≠1时,P >Q . 【变式训练1】已知m =a + 1a -2 (a >2),n =x - 2(x ≥12),则m ,n 之间的大小关系为( ) A.m <n B.m >n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递. m =a + 1a -2=a -2+1a -2 +2≥2+2=4,而n =x - 2≤(12)-2=4. 【变式训练2】已知函数f (x )=ax 2-c ,且-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围. 【解析】由已知-4≤f (1)=a -c ≤-1,-1≤f (2)=4a -c ≤5. 令f (3)=9a -c =γ(a -c )+μ(4a -c ), 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)=-53(a -c )+8 3(4a -c )∈[-1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式:①ab >0;② c a >d b ;③b c >a d .以其中两个作条件,余下的一个作结论,则能组 成多少个正确命题? 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a >d b ?bc -ad ab >0. (1)由ab >0,bc >ad ?bc -ad ab >0,即①③?②; (2)由ab >0, bc -ad ab >0?bc -ad >0?bc >ad ,即①②?③; (3)由bc -ad >0, bc -ad ab >0?ab >0,即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2+(m -2)x -2>0 (m ∈R ). 【解析】当m =0时,原不等式可化为-2x -2>0,即x <-1; 当m ≠0时,可分为两种情况: (1)m >0 时,方程mx 2+(m -2)x -2=0有两个根,x 1=-1,x 2=2 m . 所以不等式的解集为{x |x <-1或x >2 m }; (2)m <0时,原不等式可化为-mx 2+(2-m )x +2<0,

专题:基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题:基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值:一正、二定、三等号. 三个不等式关系: (1)a ,b ∈R ,a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号. (2)a ,b ∈R + ,a +b ≥2ab ,当且仅当a =b 时取等号. (3)a ,b ∈R ,a 2+b 22≤(a +b 2)2 ,当且仅当a =b 时取等号. 上述三个不等关系揭示了a 2+b 2 ,ab ,a +b 三者间的不等关系. 其中,基本不等式及其变形:a ,b ∈R + ,a +b ≥2ab (或ab ≤(a +b 2)2),当且仅当a =b 时取等号,所以当和为定值时,可求积的最值;当积为定值是,可求和的最值. 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1>>b a 且7log 3log 2=+a b b a ,则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习:1.若实数满足,且,则的最小值为 . 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ,则313 x y +-的最小值为 . 3.已知0,0,2a b c >>>,且2a b += ,则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ,y 为正实数,则4x 4x +y +y x +y 的最大值为 . 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式:1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ,822=++xy y x ,则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,,142 2 =++xy y x ,则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ,b 满足 19 5a b +=,则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +-

高考均值不等式经典例题

高考均值不等式经典例题 1.已知正数,,a b c 满足2 15b ab bc ca +++=,则58310a b c +++的最小值为 。 2.设M 是ABC V 内一点,且30AB AC A =∠=?u u u r u u u r g ,定义()(,,)f M m n p =,其中,,m n p 分别是 ,,MBC MCA MAB V V V 的面积,若1()(,,)2 f M x y =,则14x y +的最小值为 . 3.已知实数1,12 m n >>,则224211n m m n +--的最小值为 。 4.设22110,21025() a b c a ac c ab a a b >>>++-+-的最小值为 。 5.设,,a b c R ∈,且222 ,2222a b a b a b c a b c ++++=++=,则c 的最大值为 。 6.已知ABC V 中,142, 10sin sin a b A B +=+=,则ABC V 的外接圆半径R 的最大值为 。 7.已知112,,339 a b ab ≥≥=,则a b +的最大值为 。 8. ,,a b c 均为正数,且222412a ab ac bc +++=,则a b c ++的最小值为 。 9. ,,,()4a b c R a a b c bc +∈+++=-2a b c ++的最小值为 。 10. 函数()f x =的最小值为 。 11.已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值为 。 12.若*3()k k N ≥∈,则(1)log k k +与(1)log k k -的大小: 。 13.设正数,,x y z 满足22340x xy y z -+-=,则当xy z 取最大值时,212x y z +-的最大值为 。 14.若平面向量,a b r r 满足23a b -≤r r ,则a b ?r r 的最小值为 。 15. 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a b +的最大值为 。 16.设{}n a 是等比数列, 公比q =n S 为{}n a 的前n 项和,记*21 17()n n n n S S T n N a +-=∈,设0n T 为数列{}n T 的最大项,则0n = 。

基本不等式经典例题精讲

新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式) 典题精讲 例1(1)已知0<x <3 1,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x >0,因而不能直接使用基本不等式,需分x >0与x <0讨论. (1)解法一:∵0<x <3 1,∴1-3x >0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1[ 2) 31(3x x -+]2= 12 1,当且仅当3x=1-3x ,即x= 6 1时,等号成 立.∴x= 6 1时,函数取得最大值 12 1 . 解法二:∵0<x <3 1,∴ 3 1-x >0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3[ 23 1x x -+ ]2= 12 1,当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时,等号成立. ∴x= 6 1时,函数取得最大值12 1. (2)解:当x >0时,由基本不等式,得y=x+x 1≥2x x 1? =2,当且仅当x=1时,等号成立. 当x <0时,y=x+ x 1=-[(-x)+ ) (1x -]. ∵-x >0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时,等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析:x >-1?x+1>0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.

高中不等式所有知识及典型例题(超全)

一.不等式的性质: 二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式);3.分析法;4.平方法;5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性;7.寻找中间量或放缩法 ;8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 三.重要不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,,则2 22b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”); 若0x <,则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2 (2 22b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求 它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 5.a 3+b 3+c 3≥3abc (a,b,c ∈ R +), a +b +c 3 ≥3abc (当且仅当a =b =c 时取等号); 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…,n),当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号; 变式:a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x

均值不等式的应用(习题+答案)

均值不等式应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2(2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数

基本不等式求值的类型与方法-经典大全

基本不等式求最值的类型与方法-经典大全

————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 2

5 6 专题:基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式: ①,、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时,“=”号成立; ②, 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时,“=”号成立; ③,、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立; ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图: (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质: ①值域:),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ; ②单调递增区间:(,]b a -∞-,[,)b a +∞;单调递减区间:(0, ]b a ,[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析:21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 3 2 111 31222(1) x x x --≥??+-312≥+52=, 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时,“=”号成立,故此函数最小值是5 2 。 评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值: ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析:①30,3202 x x << ->Q ∴, ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=, 当且仅当32x x =-即1x =时,“=”号成立,故此函数最大值是1。 ②0,sin 0,cos 02 x x x π << >>Q ∴,则0y >,欲求y 的最大值,可先求2y 的最 大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=,即tan 2x arc =时 “=”号成立,故 此函数最大值是 23 9 。 评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ,求4 ()f x x x =+ )10(≤、图象及性质知,当(0,1]x ∈时,函数 4 ()f x x x =+是减函数。证明:任取12,(0,1]x x ∈且1201x x <<≤,则 x a b ab 2-ab 2a b - o y

均值不等式求最值的常用技巧及习题

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” );若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”) 2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R + ∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 ________。 解:因为x >0,y>0 ,所以 34x y +≥=当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等 号) 1, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二:配凑项求 例2:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。

高中基本不等式经典例题教案

全方位教学辅导教案

例1:(2)1 2,33 y x x x =+>-。 变式:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值 。 技巧二:凑系数 例1.当 时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此 题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将 (82)y x x =-凑上一个系数即可。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:1、设2 3 0< -+的值域。 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x +1,化简原式在分离求最值。 当 ,即t= 时,4 259y t t ≥? +=(当t=2即x =1时取“=”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)() A y mg x B A B g x =++>>,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 变式 (1)231 ,(0)x x y x x ++= > 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函 数()a f x x x =+的单调性。 例:求函数22 5 4 x y x +=+的值域。 解:令24(2)x t t +=≥,则2 254 x y x +=+221 1 4(2)4 x t t t x =++ =+≥+ 因10,1t t t >?=,但1 t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞,故等号不成立,考虑单调 性。 因为1 y t t =+在区间[)1,+∞单调递增,所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数, 故52 y ≥。

均值不等式含答案

课时作业15均值不等式 时间:45分钟满分:100分 课堂训练 5 3 1.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( ) A V 【答案】 当且仅当3x=5y时取等号. 4 2?函数f(x)=x+~+3在(一8,一2]上( ) x A.无最大值,有最小值7 B.无最大值,有最小值一1 C.有最大值7,有最小值一1 D.有最大值一1,无最小值 【答案】D 4 【解析】Vx^-2, :.f(x)=x+~+3 ?V = __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+3 4 =—1,当且仅当一x=—即x=—2时,取等号,

有最大值一1,无最小值.

1 4 3?己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ . 【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数,可把x+1看成一个整体,然后 将函数用x+1来表示,这样转化一下表达形式,可以暴露其内在的 形式特点,从而能用均值定理来处理. 【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0. “ r ?+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1 = 吊 4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)?苗+5=9 4 当且仅当x+l= 勒,即X=1时,等号成立. mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数? 课后作业 一、选择题(每小题5分,共40分)???当x=\时, 工+7x+l° 灯仆-1 — $ 函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9. 【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) — 【解析】 斤胃字E+芥沁+树+2胡畔 4. 求函数y= 以+7卄10 ~x+1 (Q-1)的最小值. mx+n

(完整版)均值不等式常考题型

均值不等式及其应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

第课基本不等式经典例题练习附答案

第9课基本不等式 ◇考纲解读 ①了解基本不等式的证明过程. ②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. ◇知识梳理 1.常用的基本不等式和重要的不等式 ①0,0,2≥≥∈a a R a 当且仅当,②22,______,2a b a b ab ∈+≥则 ③,_____a b ∈,则ab b a 2≥+,④222)2 (2b a b a +≤+ 2.最值定理:设,0,x y x y >+≥由 ①如积(xy P x y =+定值),则积有______②如积2(2S x y S x y += 定值),则积有______() 运用最值定理求最值的三要素: ________________________________________________ ◇基础训练 1.若1a b +=,恒有 () A .41 ≤ab B .41≥ab C .1622≤b a D .以上均不正确

2.当1 2x >时,821 y x x =+-的最小值为. 3.已知01x <<,则(12)y x x =-的最大值为. 4.实数,a b 满足22a b +=,则39a b +的最小值为. ◇典型例题 例1.求函数(5)(2)(1)1x x y x x ++= >-+的最小值. 例2.已知+∈R b a ,,且191,a b +=求a b +最小值. ◇能力提升 1.若+∈R b a ,,1)(=+-b a ab ,则b a +的最小值是() A .222+ B.25+ C.222- D.22 2.下列命题中正确的是() A .x x y 1+=的最小值是2 B .2 322++=x x y 的最小值是2 C .45 22++=x x y 的最小值是25D .x x y 432--=的最大值是342- 3.若+∈R b a ,满足3ab a b =++,则ab 的取值范围是________________. 4.若1x >时,不等式11x a x + ≥-恒成立,则实数a 的取值范围是____________. 5.若(4,1)x ∈-,求2221 x x x -+-的最大值.

均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)

均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析) 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则 2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正 所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。 变式:设2 3 0< -x ∴2922322)23(22)23(42 =?? ? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即?? ? ??∈= 23,043x 时等号成立。 技巧三: 分离 例3. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 解析一:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x +1)的项,再将其分离。 当 ,即 时,4 21)591 y x x ≥+? =+((当且仅当x =1时取“=”号)。 技巧四:换元 解析二:本题看似无法运用均值不等式,可先换元,令t=x +1,化简原式在分离求最值。 22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t -+-++==++) 当,即t=时,4 259y t t ≥?=(当t=2即x =1时取“=”号)。 评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ()(0,0)() A y mg x B A B g x =+ +>>,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。 技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数()a f x x x =+的单调性。 例:求函数22 4 y x = +的值域。 24(2)x t t +=≥,则2 24 y x = +221 4(2)4 x t t t x =+=+≥+

相关文档
最新文档