2013届福建省厦门双十中学高三5月第二次模拟考试文科数学(2013.05)

C 2013届厦门双十中学高三文科数学模拟考试卷-2013.05.31

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的．

1．复数2

1i

i

1i

+

+

-

的对应点所在象限是（）

A.第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2．设集合M＝｛x|x∈A,且x?B｝,若A＝｛1，3，5，7｝，B＝｛2，3，5｝，则集合M的子集个数为

A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知向量

→

→

+b

n

a

m与

→

→

-b

a2共线，且)3,2(

=

→

a，)2,1

(-

=

→

b，则( )

A．0

2=

+n

m B. 0

2=

-n

m

C. 0

2=

+m

n D. 0

2=

-m

n

4．已知双曲线

2

21

y

x

m

-=的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是

A．4B．

1

4

C．

1

4

-D．4-

5．阅读右边的程序框图，该程序输出的结果是（）

A．9 B．81 C．729 D．6561

6.如图，BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点，且2

BF FA

=

，

若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则?的值是（）

A.

3

4

- B.

8

9

- C.

1

4

- D. 不确定

7.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），则这个几何体的体积是（）

A．

4

3

3

cm B

3

cm C．3

cm D.43

cm

8．定义运算

()

()

a a b

a b

b a b

≤

?

?=?

>

?

，则函数x

x

f2

1

)

(?

=具有如下性质（）A．最大值为1B, 最小值为1

C. 在区间()0,∞

-上单调递减 D. 在区间()

+∞

,0上单调递增

9. 已知a b c

，，为ABC

△的三个内角A B C

，，的对边，向量()()1,3

,

sin

,

cos-

=

=A

A．若向量

与向量的夹角是

2

π

，且cos cos sin

a B

b A

c C

+=，则B

A-的大小为（）

A．

6

π

-B．

2

π

C．

6

π

D．0

10. 已知,x y 满足约束条件0,344,0,x x y y ??

+???

≥≥≥则222x y x ++的最小值是（ ）

A ．2

5

B

1

C ．

24

25

D ．1

11.已知函数3

21()1(,)3

f x x ax bx a b R =

+-+∈在区间[]1,3-上是减函数，则a b +的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

12．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不．是．

尖子生的是 A ．甲同学：均值为2，中位数为2 B ．乙同学：均值为2，方差小于1

C ．丙同学：中位数为2，众数为2

D ．丁同学：众数为2，方差大于1 （ ）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. 13．函数f （x ）=ax 2+bx+6满足条件f （-1）=f （3），则f （2）的值为 14．在区间[2,2]-任取一个实数，则该数是不等式2

1x >解的概率为

15．直线l 与圆2

2

(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等，则满足条件的直线l 共有________条. 16．对于实数x ，若整数m 满足2

1

21+<≤-x m x ，则称m 为离x 最近的整数，记为{}m x =，|}{|)(x x x f -=，给出下列四个命题：

①{}25.1=； ②函数)(x f y =的值域是[0，

2

1

]； ③函数)(x f y =的图像关于直线2

k

x =

(k ∈Z )对称； ④函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1； 其中真命题是 __________ ．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数

)2

||,0,0)(sin()(π

?ω?ω<

>>+=A x A x f 的图象的一部分

如下图所示.

（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式;

（Ⅱ）当]3

2,6[--∈x 时,求函数)2()(++=x f x f y 的

最大值与最小值及相应的x 的值.

18．（本小题满分12分）某生产企业对其所生产的甲、乙两种产品进行质量检测，分别各抽查10件

产品，检测其重量的误差，测得数据如下（单位：mg ）： 甲：13 15 14 14 9 14 21 9 10 11 乙：10 14 9 12 15 14 11 19 22 16

（Ⅰ）画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数； （Ⅱ）计算甲种商品重量误差的样本方差；

（Ⅲ）现从重量误差不低于15的乙种商品中随机抽取两件，求重量误差为19的商品被抽中的概率．

19．(本小题满分12分)已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，

且∠DAB ＝60°，a AA AD ==1，F 为棱BB 1的中点. (1)求证：直线BD ∥平面AFC 1； (2)求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；． （3）求三棱锥A 1－AC 1F 的体积.

20．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，125a a +=，37a =，记数列11n n a a +??

?

???

的前n 项和为n S ．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）是否存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列？若存在，求出所有符合

条件的m 、n 的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）已知椭圆C: 0(12222>>=+b a b y a x 短半轴长为半径的圆与直线 02=++y x 相切.A 、B 是椭圆的左右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直，

如图.

(I)求椭圆的标准方程；

(II)设G 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，G H 丄x 轴，H 为垂足，延长HG 到点Q 使得H G=GQ,连接

AQ 并延长交直线l 于点M,点N 为MB 的中点，判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.

22.（本小题14分）设函数()ln a

f x x x x

=

+，32()3g x x x =--. (1) 当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；

(2) 如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ； (3) 如果对任意的[]2,1,∈t s ，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围.

2013届高三文科数学模拟考试卷-2013.05.31

参考答案：

一、BDCAC CAACD CD

1．2

21i 1i i 1i 11i 1i 1i +++=-=---+（）

（）（）

.故选B. 3解析：()n m n m b n a m 23,2+-=+→→，()1,42-=-→→b a ，因为向量→→+b n a m 与 →

→-b a 2共线，

所以，()(),02342=+---n m n m 得m n 2+。

5．31,19;2,199;3,9,44,729a S a S a S a S ==?==??===≥?=，故选C 6． 解析：法一：向量分解法

()()()()

9

82

2-

=-=-?+=+?+=? 法二： 特殊法：让DE 与BC 重合，则有9

8180cos 3432-=??=

??FE FD 7．由三视图可知，几何体是一个三棱锥，从俯视图得，底面积1

2222

S =??=，

从正视图得，高14

2,33

h V Sh =∴==，故选A

8解析：图象如图，可得

9．解析：,3tan ,0sin cos 3==-=

?A A A 3

π

=

∴A

由cos cos sin a B b A c C +=得，()C B A C A B B A 2

2sin sin ,sin cos sin cos sin =+∴=+ 6

2

,1s i n

π

π

=

∴=∴=∴B C C 故=

-B A 6

π

10．D 解析：()111222

22-=-++=++T y x x y x ，T 为点()0,1-到区域内的点的距离的最小值的平方，画区域知，为到点()1,0的距离，()

222

==

T ，故选D 。

二、13.答案：6 解析: 因为f （-1）=f （3），a b b a b a 26396-=?++=+-∴，

()66242=++=∴b a f

14．答案

21，在区间[2,2]-上，满足条件2

1x >的实数集合为[)(]2,11,2?--，故2

142==P 15答案：4 条：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为1x y

a a

+=，也有

两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同.

16．答案 ②③④

解析：①{}15.1=故错，②{}??

? ??-

∈-21,21x x ，故函数)(x f y =的值域是[0，21

]，

③④画图可知，也可检验，如()()()()6.24.2,8.12.1f f f f ==等

()()()3.03.33.23.1==== f f f

17．17. 解:(1)由图像知A =2, ---------1分 T 2 =4 ? T =8=2πω , ∴ω =π

4 , -------------3分

得f (x )=2sin (π

4 x +? ).

由对应点得当x =1时, π4 ×1+? =π2 ? ? =π

4 .------------------------------------------------4分 ∴f (x )=2sin (π4 x + π

4 );------------------------------------------------------------------------------5分 (2) y =2 sin (π4 x + π4 )+2 sin [π4 (x +2)+ π4 ]=2 sin (π4 x + π4 )+2cos (π4 x + π

4 )

=2 2 sin (π4 x +π2 )=2 2 cos π

4

x , ------------------------------------------------------------8分 ∵x ∈ [－6,－23 ], ∴π4 x ∈ [－3π2 ,－π

6 ] ,

∴当π4 x =－π

6 ,即x =－23 时,y 的最大值为 6 ;-----------------------------------------------10分 当π

4 x =－π,即x =－4时,y 的最小值－2 2 .------------------------------------------------12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）

茎叶图如右图． 甲 乙 9 9 0 9 5 4 4 4 3 1 0 1 0 1 2 4 4 5 6 9 1 2 2 甲，乙两种商品重量误差的中位数分别为13．5，14． 4分 （Ⅱ）131514149142111109

1310

x +++++++++=

=．

∴ 甲种商品重量误差的样本方差为()()()()22222

1[(1313)15131413141391310

-+-+-+-+-

()()()()()22222

1413211311131013913]+-+-+-+-+-＝11．6 8分

（Ⅲ）设重量误差为19的乙种商品被抽中的事件为

A ．

从重量误差不低于15的乙种商品中随机抽取两件共有（15，16），（15，19），（15，22），（16，19），（16，22），（19，22）6个基本事件，其中事件A 含有3个基本事件．

∴()3162

P A =

=．

12分 19(1)证明：延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN .因为F 是BB 1的中点，所以F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点．设M 是线段AC 1的中点，连结MF ，则MF ∥AN . …………………2分 ∵B 为CN 的中点，四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥NB 且AD=NB,

四边形ANCD 是平行四边形，AN ∥BD ， …………………………3分 ∴MF ∥BD 又∵MF ?平面ABCD ， BD ?平面ABCD ，

∴BD ∥平面AFC 1； …………………………4分

(2)证明：(如上图)连结BD ，由直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，可知：A 1A ⊥平面ABCD ，

又∵BD ?平面ABCD ，∴A 1A ⊥B D.

∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥B D. 又∵AC ∩A 1A ＝A ，AC 、A 1A ?平面ACC 1A 1，

∴BD ⊥平面ACC 1A 1. ………………………………7分 而NA ∥BD ，∴NA ⊥平面ACC 1A 1.

又∵NA ?平面AFC 1 ∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1

………………9分

(3)解：由(2)知BD ⊥平面ACC 1A 1，MF ∥BD, ∴MF ⊥平面AC 1A 1. …………10分

∵∠DAB ＝60°，AD ＝AA 1=a ,

∴三棱锥A 1－AC 1F 的体积12

32)321(313

1

111a a a a V V CA A F F AC A =

??==--…………12分 20.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，

因为1235,7.

a a a +=??

=?即1125,

27.a d a d +=??+=?………………………………………………………………2分 解得11,

3.a d =??

=?

………………………………………………………………………………………………3分 所以()()1113132n a a n d n n =+-=+-=-．

所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-*

()n ∈N ． …………………………………………………4分

（2）因为

()()111111323133231n n a a n n n n +??

==- ?-+-+??

， ……………………………………………5分 所以数列11n n a a +??

?

???

的前n 项和

12233411

11111

n n n n n S a a a a a a a a a a -+=

+++++

1111111111111113434737103353233231n n n n ??????????=

-+-+-++-+- ? ? ? ? ?---+??????????

11133131

n

n n ??=-= ?

++??．………………………………………………………………………8分 假设存在正整数m 、n ，且1m n <<，使得1S 、m S 、n S 成等比数列，

则21m n S S S =．……………………………………………………………………………………………8分

即2

1

31431m n m n ??=? ?

++??

．………………………………………………………………………………9分 所以22

4361

m n m m =-++． 因为0n >，所以2

3610m m -++>． 即2

3610m m --<．因为1m >

，所以113m <<<． 因为*

m ∈N ，所以2m =．……………………………………………………………………………11分

此时2

2

416361

m n m m ==-++． 所以存在满足题意的正整数m 、n ，且只有一组解，即2m =，16n =．…………………12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题可得：e

=

c a =

． ∵ 以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x +y +2=0相切，

，解得b =1．

再由 a =b +c ，可解得：a =2．

∴ 椭圆的标准方程：2

214

x y +=．………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A (-2，0)，B (2，0)，直线l 的方程为：x =2． 设G (x 0，y 0)(y 0≠0)，于是Q (x 0，2y 0)，

且有2

20014

x y +=，即4y 02=4-x 02．

∴ 直线AQ 的方程为：0

02(2)2

y y x x =

++， 由002(2)22y y x x x ?=+?+??=?，， 解得：00282x y y x =???=?+?

，

，

即008(2)2y M x +，，

∴ 004(2)2

y

N x +，．

∴ 直线QN 的斜率为：0

000000

220000

422222442QN y y x x y x y x k x x y y -+---====

--， ∴直线QN 的方程为：)2(2240

000--=+-x y x x y y

即

02420

00000=-+-+y x x y y x y x ∴点O 到直线QN 的距离为

244)2(241)2(24020

20

200

00

20202

00

00=++++=

+-+-=y y

x y x x x y y x y x x y d

∴ 直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切． ……………………………12分 22解：.(1)当2a =时,2()ln f x x x x =

+,22

()ln 1f x x x

'=-++,(1)2,(1)1f f '==-…2分 所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为3y x =-+ …………………3分 (2)12,[0,2],x x ?∈使得12()()g x g x M -≥成立，等价于12max [()()]g x g x M -≥…4分 考虑3

2

2

2()3,()323()3g x x x g x x x x x '=--=-=-

由上表可知，min max 285

()(),()(2)1327

g x g g x g ==-

==…………………………7分 12max max min 112

[()()]()()27

g x g x g x g x -=-=

所以满足条件的最大整数4M = …………………………8分

(3)对任意的[

]2,1,∈t s ，都有()()f s g t ≥，等价于：在区间[]2,1上，函数()f x 的最小值不小于()g x 的最大值 …………………………9分 有(2)知，在区间[]2,1上，()g x 的最大值为(2)1g =

()ln 1a

f x x x x

=

+≥，等价于2ln a x x x ≥-恒成立…………………………10分 记[]上恒成立在2,10ln 2)1(ln 21)(,ln )(2≤--=--='-=x x x x x x x h x x x x h ………11分， 即函数2()ln h x x x x =-在区间[]2,1上递减， …………………12分 所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥ …………………14分