Excel中输入等差等比数

高中数学数列公式大全(很齐全哟~!)之欧阳数创编

为首项、ak为已知的第k项， an≠0)5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时， Sn=Sn=三、高中数学中有关等差、等比数列的结论1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{an}中，若 m+n=p+q，则4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-

S3m、……仍为等比数列。5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、、仍为等比数列。7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法： a-3d,a-d,,a+d,a+3d10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个

等差、等比数列公式总结

一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n

前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差和积差商系数指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比项的和：前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分

高中数学数列公式大全很齐全哟

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一、数列基本公式： 1、一般数列的通项a n 与前n项和S n 的关系：a n = 2、等差数列的通项公式：a n =a 1 +(n-1)d a n =a k +(n-k)d (其中a 1 为首项、 a k 为已知的第k项) 当d≠0时，a n 是关于n的一次式；当d=0时，a n 是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n =S n = S n = 当d≠0时，S n 是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1 ≠0）， S n =n a 1 是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式：a n =a 1 q n-1a n =a k q n-k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k项，a n ≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n =S n =

三、高中中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n }中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n }中，若m+n=p+q，则 4、等比数列{a n }的任意连续m项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m -S 3m 、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+ b n }、{a n -b n }仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数组成的数列 {a n b n }、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3 d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,a q；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,a q,a q3(为什么？)

高中数列基本公式大全

一、高中数列基本公式： 1、一般数列的通项a n与前n项和S n的关系：a n= 2、等差数列的通项公式：a n=a1+(n-1)d a n=a k+(n-k)d (其中a1为首项、 a k为已知的第k项) 当d≠0时，a n是关于n的一次式；当d=0时， a n是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：S n= S n= S n= 当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），S n=na1是关于n的正比例式。 4、等比数列的通项公式： a n= a1 q n-1a n= a k q n-k (其中a1为首项、a k为已知的第k项，a n≠0) 5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，S n=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，S n= S n= 三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。 2、等差数列{a n}中，若m+n=p+q，则 3、等比数列{a n}中，若m+n=p+q，则

4、等比数列{a n}的任意连续m项的和构成的数列S m、S2m-S m、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 5、两个等差数列{a n}与{b n}的和差的数列{a n+b n}、{a n-b n}仍为等差数列。 6、两个等比数列{a n}与{b n}的积、商、倒数组成的数列 {a n b n}、、仍为等比数列。 7、等差数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 8、等比数列{a n}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？) 11、{a n}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 12、{b n}（b n>0）是等比数列，则{log c b n} (c>0且c 1) 是等差数列。 13. 在等差数列中：（1）若项数为，则（2）若数为则，， 14. 在等比数列中：

数列公式汇总

10 解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ,,,,,3 2 1 n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：

数列公式汇总

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录 2．1 数列的概念与简单表示法 2．2 等差数列 2．3 等差数列的前n 项和 2．4 等比数列 2．5 等比数列前n 项和【重点】 1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。 4、等差数列n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】 1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 ⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 2 )1(11 +-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N * （或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

等差等比数列的运用公式大全

第六讲：等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； a d a a d -+，， n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>，，由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶奇. 12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

等差、等比数列的公式与方法

第13讲等差、等比数列的公式与方法（一）知识归纳： 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+=3°.前n 项和公式：公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1 1k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质： 1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2 b a A += 2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质：

等比数列和等差数列公式

等比数列：是一种特殊数列。它的特点是：从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数。称为公比，符号为q。公比公式根据等比数列的定义可得：通项公式我们可以任意定义一个等比数列这个等比数列从第一项起分别是，公比为q，则有： a2 = a1q， a3 = a2q = a1q2， a4 = a3q = a1q3，，以此类推可得，等比数列的通项公式为： a n = a n ? 1q = a1q n ? 1，求和公式对于上面我们所定义的等比数列，即数列。我们将所有项进行累加。于是把称为等比数列的和。记为：如果该等比数列的公比为q，则有：（利用等比数列通项公式）(1) 先将两边同乘以公比q，有： (1)式减去该式，有： (q ? 1)S n = a1? a1q n (2) 然后进行一定的讨论当时，

而当q = 1时，由(2)式无法解得通项公式。但我们可以发现，此时： = na1 ?综上所述，等比数列的求和公式为： ?经过推导，可以得到另一个求和公式：当q≠1时（更正：分母为1-q）当时, 等比数列无限项之和由于当及n 的值不断增加时,q n的值便会不断减少而且趋于0,因此无限项之和: （更正：分母为1-q）性质如果数列是等比数列，那么有以下几个性质： ? 证明：当时， ?对于，若，则证明： ∵ ∴

?等比中项：在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。即等比数列中有三项，，，其中，则有 ?在原等比数列中，每隔k项取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列仍为等比数列。 ?也成等比数列。等差数列等差数列是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等。该差值称为公差。例如数列就是一个等差数列。在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之差都等于2，即公差为2。通项公式如果一个等差数列的首项标为，公差标为，那么该等差数列第项的表达式为： . 等差数列的任意两项之间存在关系：等差中项给定任一公差为的等差数列。从第二项开始，前一项加后一项的和的値为该项的两倍。例：证明：设，则 ∵(矛盾) ∴ 证毕

等差等比数列公式总结.doc

一、等差数列 1. 定义： a n 1 a n d(常数 ) 2. 通项公式： a n a 1 ( n 1)d 3. 变式： a n a m (n m) d d a n a m n m 4. 前 n 项和： S n (a 1 a n )n n(n 1) 2 或 S n a 1n d 2 5.几何意义： ① a n a 1 (n 1)d a 1 dn d 即 a n pn q 类似 y px q ② S n d n 2 (a 1 d )n 即 S n An 2 Bn 类似 y Ax 2 Bx 2 2 6. { a n } 等差a n pn q S n An 2 Bna n a n 1 a n 1 a n 1 a n d 2 7. 性质 ① m n p q 则 a m a n a p a q ② m n 2 p 则 a m a n 2a p ③ a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ④ S m 、 S 2 m- m 、 S 3m -2m 等差 ⑤ { a n } 等差 , 有 2n 1项, 则 S 奇 n 1 S 偶 n ⑥ a n S 2n 1 2n 1 二、等比数列 1. 定义： a n 1 q(常数） a n 2. 通项公式： a a q n 1 n1 3. 变式： a n a m q n m a n q n m a m na 1 (q 1) 4. S n a 1 (1 q n ) 1) 1 (q q

前 n 项和：S n a1 n (q 1) 或 a1 (1 q n) S n (q 1) 1 q 5. 变式：S n 1 q n ( q 1) S m 1 q m 6. 性质： ① m n p r 则a m a n a p a r ② m n 2 p 则 a m a n a p2 ③ a1 a n a2 a n 1 a3 a n 2 ④ S m、 S2 m- m、 S3m -2m等比 ⑤ { a n } 等比,有2n 1项 S 奇a 1 a3 a5 a 2n 1 a1 q(a2 a4 a 2 n )a 1 qS 偶三、等差与等比的类比 a n 等差 b n 等差和积差商系数指数 “ 0”“1” 四、数列求和 1.分组求和通项虽不是等差或等比数列，但通项是由等差或等比数列的和的形式，则可进行拆分，分别利用基本数列的和公式求和．如求 { n( n 1)} 前 n项的和： n( n 1) n2 n] S n (12 1) (22 2) (n2 n) (12 22 32 n2 ) (1 2 3 n) 1 1)(2n 1 n(n 1) n(n 1) 6 2 1 n(n 1)(n 2) 3 2．裂项相消法．把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于通项为 1 的前 n项和，其中 { a n} 为等差数列， 1 1 ( 1 1 ). a n a n 1 a n a n 1 d a n a n 1

等差等比数列求和公式

等差等比数列求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-S(n-1)=[n(a1+an)-(n-1)(a1+a(n-1))]/2=[a1+n*an-(n-1)*a(n-1)]/2=an 化简得(n-2)an-(n-1)a(n-1)=a1,这对于任一N均成立当n取n-1时式子变为,(n-3)a(n-1)-(n-2)a(n-2)=a1=(n-2)an-(n-1)a(n-1) 得 2(n-2)a(n-1)=(n-2)*(an+a(n-2)) 当n大于2时得2a(n-1)=an+a(n-2)显然证得他是等差数列和＝（首项＋末项）*项数/2 项数＝（末项-首项）/公差＋1 首项=2和/项数-末项末项=2和/项数-首项末项=首项+（项数-1）*公差等比数列求和公式等比数列：a（n+1）/an=q, n为自然数。通项公式：an=a1*q^（n－1）；推广式： an=am·q^(n－m)；求和公式：Sn=n*a1(q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-anq)/(1-q) （q不等于 1）性质：①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am·an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

等差、等比数列求和公式

等差数列求和公式 Sn=n(a1+an)/2 或Sn=[2na1+n(n-1)d]/2 注：an=a1+(n-1)d 转换过程：Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n -1)d]/2 应该是对于任一N均成立吧（一定）,那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)] /2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an 化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1 得 2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2) 当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项末项=首项+（项数-1）×公差性质：若m、n、p、q∈N ①若m＋n=p＋q，则am+an=ap+aq ②若m+n=2q，则am+an=2aq 等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)/an=q (n∈N)。 (2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；推广式：an=am×q^(n-m)； (3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) (q为比值，n为项数） (4)性质： ①若m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列. ③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2 (5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab（G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零. 注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等差数列与等比数列高中数学竞赛汇总

等差数列与等比数列基础知识 1．数列的概念定义1. 按照某一法则，给定了第1个数，第2个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。定义2.当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。定义3.对于一个数列，如果从第2项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。定义4.如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。定义5.如果在数列中，项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。

2．等差数列定义6.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。等差数列具有以下几种性质：（1）等差数列的通项公式：或；（2）等差数列的前项和公式：或；（3）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数；（4）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数；（5）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；（6）设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列；

（7）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）；（8）若，则；特别地，当时，；（9）设，，，则有；（10）对于项数为的等差数列，记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，；（11）对于项数为的等差数列，有，；（12）是等差数列的前项和，则；（13）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义：对于一个数列，如果它的后一项减去前一项的差为一个定值，则称这个数列为等差数列，记：d a a n n =--1（d 为公差）（2≥n ，*n N ∈）注：下面所有涉及n ，*n N ∈省略，你懂的。 2、等差数列通项公式： 1(1)n a a n d =+-，1a 为首项，d 为公差推广公式：()n m a a n m d =+- 变形推广：m n a a d m n --= 3、等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1) 2 n n na d -=+ 211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的

中间项 ()()()12121 121212 n n n n a a S n a +++++== +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5、等差数列的判定方法（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列．（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。（4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6、等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、 d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；

等差、等比数列求和公式

1 等差数列求和公式一、等差数列 1、2)(1n n a a n S +=或2 )1(21d n n na S n -+= d n a a n )1(1-+= N n ∈ 推导过程：2)(1n n a a n S +==2))1((11d n n a a n -++=2)1(21d n n na -+ 性质：若 m 、n 、p 、q ∈N ①若m ＋n=p ＋q ，则a m +a n =a p +a q ①若m+n=2q ，则a m +a n =2a q 二、等比数列求和公式 (1) 等比数列： 1-= n n a a q N n ∈ (2) 通项公式：)1(1-?=n n q a a 推广式：)(m n m n q a a -?= (3) 求和公式：)1(1==q na S n )1(11)1(11≠--=--=q q q a a q q a S n n n (q 为比值，n 为项数） (4)性质： ①若 m 、n 、p 、q ∈N ，且m ＋n=p ＋q ，则a m ?a n =a p ?a q ； ②在等比数列中，依次每 k 项之和仍成等比数列. ③若m 、n 、q ∈N ，且m+n=2q ，则a m ?a n =a q 2 (5)G 是a 、b 的等比中项G 2=ab （G ≠ 0）". (6)在等比数列中，首项a 1与公比q 都不为零. 注意：上述公式中a n 表示等比数列的第n 项。求和公式推导：S n =a 1+a 2+a 3+........+a n 公比为qS n =qa 1+qa 2+qa 3+......+qa n =a 2+a 3+a 4+.....a n )(11+-=-n n n a a qS S =)(11n q a a - )1()1(1n n q a q S -=-?q q a S n n -1)1(1-=

等差等比数列公式大全

1、 a n = {() 2) 1(11≥-=-n s s n s n n 注意：1--=n n n s s a 不是对一切正整数n 都成立，而是局限于n ≥2 2、等差数列通项公式：n a =1a +（n-1）d = m a +(n-m)d ? d=m n a a m n --(重要) 3、若{n a }是等差数列，m+n=p+q 则m a +n a =p a +q a 4、若{n a }是等比数列，m+n=p+q 则m a .n a =p a .q a 5、 {n a }是等差数列，若m 、n 、p 、q ∈N * 且m ≠n,p ≠q,则m n a a m n --=q p a a q p --=d 6、等差数列{n a }的前n 项和为n s ，则n s = ()2 1n a a n + （已知首项和尾项） =()211d n n na -+ （已知首项和公差） =n d a dn ?? ? ? ?-+212 1 12（可以求最值问题） 7、等差数列部分和性质：m m m m m s s s s s 232,,--…仍成等差数列其公差是原来公差的m 2 8、 n s 的最值问题：若{n a }是等差数列，1a 为首项，d 为公差 ① 首项1a ＞0，d ＜0,n 满足n a ≥0，1+n a ＜0时前n 项和n s 最大 ② 首项1a ＜0，d ＞0,n 满足n a ≤0，1+n a ＞0时前n 项和n s 最小 9、在等差数列{n a }中，奇s 与偶s 的关系： ①当n 为奇数时，n s =2 1+n , 奇s －偶s =a 2 1+n ，偶奇s s ＝ 1 1 -+n n ②当n 为奇数时，n s ＝n. 2 1 2 2++n n a a ，奇s －偶s =d n 2 偶奇s s = 1 2 2 +n n a a 10、若{n a }是等比数列，a,G,b 成等比数列则G 2=ab(等比中项) 11、若{n a }，{}n b （项数相同）是等比数列则{}{}{}? ?? ?? ????????n n n n n n n b a b a a a a ,,,1,2λ仍是等比数列 12、等比数列单调性的问题 ①当1a ≥0时，若0＜q ＜1则{n a }是递减数列; q ＞1则{n a }是递增数列 ②当1a ＜0时，若0＜q ＜1则{n a }是递增数列; q ＞1则{n a }是递减数列

等差等比数列公式大全.doc

1、 a = s 1 (n 1) 注意： a n s n s n 1 不是对一切正整数 n 都成立，而是局限于 ≥ n s n s n 1 n 2 n 2 2、等差数列通项公式：（ n-1 ） d = a m +(n-m)d d= a n a m ( 重要 ) a n =a 1 + n m 3、若{ a n } 是等差数列，则 a a n = a p + a q m+n=p+q m + 4、若{ a n } 是等比数列，则 a m . a n = a p . a q m+n=p+q 5、 { a n } 是等差数列，若、、 p 、 q N 且 m ≠n,p ≠q, 则 a n a m = a p a q =d m n n mp q 6、等差数列 { a n } 的前 n 项和为 s n ，则 s n = a 1 a n n 2 = n n 1 d na 1 2 （已知首项和尾项）（已知首项和公差） = 1 dn 2 a 1 1 d n （可以求最值问题） 2 2 7、等差数列部分和性质： s m , s 2m s m , s 3m s 2m 仍成等差数列其公差是原来公差的 m 2 8、 s n 的最值问题：若 { a n } 是等差数列， a 1 为首项， d 为公差 ① 首项 a 1 ＞0，d ＜0,n 满足 a n ≥0， a n 1 ＜0 时前 n 项和 s n 最大 ② 首项 a 1 ＜0，d ＞0,n 满足 a n ≤0， a n 1 ＞0 时前 n 项和 s n 最小 9、在等差数列 { a n } 中， s 奇与 s 偶的关系： ①当 n 为奇数时， s n = n 1 , s 奇－ s 偶 =a n 1 ， s 奇＝ n 1 2 2 s 偶 n 1 ②当 n 为奇数时， s n ＝n. a n a n 1 s 奇－ s 偶 = n d s 奇 = a n 2 2 ， 2 2 2 s 偶 a n 1 2 10、若 { a n } 是等比数列， a,G,b 成等比数列则 G 2 =ab(等比中项 ) 11、若 { a n } ， b n （项数相同）是等比数列则 a n , 1 , a n 2 , a n ?b n , a n 仍是等比数列 a n b n 12、等比数列单调性的问题 ①当 a 1 ≥0 时，若 0＜q ＜1 则{ a n } 是递减数列 ; q ＞ 1 则{ a n } 是递增数列 ②当 a 1 ＜0 时，若 0＜q ＜1 则{ a n } 是递增数列 ; q ＞ 1 则{ a n } 是递减数列

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