泛函分析+课件+pdf版+浙江大学

泛函分析讲义

第三章赋范空间 3.1. 范数的概念 “线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。 为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢？ 3.1.1. 向量的长度 为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。

图3.1.1. 三维欧氏空间中向量的大小和方向 矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,, ,)n x x x x =的如下三种长度（称为“范数”）： ● 2-范数（也称为欧氏范数） ：2x = ● 1-范数：11 n k k x x ==∑； ● ∞-范数：1max k k n x x ∞ ≤≤=。 图3.1.2. 三种向量范数对应的“单位圆” 图3.1.3. “单位圆”集合的艺术形式 下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。 我们注意到：通常将 2 或 3 中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的 长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此，

博士生入学考试泛函分析考试大纲

博士生入学考试《泛函分析》考试大纲 第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用（最佳逼近问题） 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题 第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理

4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用（Runge） 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理 第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子 参考文献 1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。 2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。

数学专业参考材料书汇总整编推荐

学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的：

1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n 维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。

高职高等数学课件

高职高等数学课件 (二)高职高等数学教育虽重要，但没引起足够重视。 高职教育是高等教育的重要组成部分，《高等数学课程对高职生素质培养的重要性》中阐述了高等职业教育的目标、人才规格决定了高等数学教育不容忽视的重要地位，并针对高职教育现状与高职生特点，结合高等数学特质与素质教育的功能，说明了高等数学课程的重要性，但由于客观与某些人的主观臆断，以高等数学课程为代表的公共课并没有得到足够重视。鉴于此，在此呼吁高等数学日后教育教学的改革方向是增强师资力量、提高教师素养、改革教学方法提高学生学习兴趣等。 (三)高职高等数学的教学有待改革。 虽然高职教育在整体趋势上是积极进取的，是逐渐适应这个社会发展的，但面临社会的发展与生源的紧缺、就业率有待提高的紧迫局势，高职院校仍然在教学上面临着诸多困难。郭倩茹在《浅谈高职院校中高等数学教学的现状及问题解决策略》一文中，认为高职院校中高等数学教育的教材编制不合理，与高职教育不适应;高等数学教学没高职特色，与专业脱轨;评价机制落后，考核体系陈旧。与此同时，在描述高等数学教育现状的同时，提出了诸如规范教材与专业接轨、活跃课堂气氛、构建评价、考核新体系等。最后，强调高职院校一定要以学生的特点作为教育的先决条件，因材施教。这正是教育工作者所要考虑的，也是我国高职院校培养人才的目标与宗旨，一切为了学

生，为了学生的一切。 二、高职高等数学教学中存在问题的成因 (一)高等数学不被重视。 大多数高职院校偏重于职业技能的培养和实践活动的开展，作为专业基础课的高等数学学时时多时少，只是专业教学计划里专业课的替补而已。这在综合性的职业院校不常见，但在专业系别少的管理不严格的小职业院校是家常便饭，这无形中也造成了高等数学可有可无的尴尬境地。 (二)高职教师知识更新跟不上，教学方法与教学手段单一，教学态度不积极、忽略学生的德育教育与职业生涯规划导向等。 有些高职院校是中专合并等形式转轨而成或新成立的，万事在摸索前进。大部分教师还停留在原来的教学步伐上，高职教育的先进理论知识不够，年纪大一点的教师甚至根本不关心高职教育的改革与发展，混退休的大有人在。一些教师虽然胜任课程知识的讲解，但不求创新，教学方法单一，教学手段传统，而且对学生的德育与职业生涯规划引导、管理漠不关心，认为只是班主任与学生管理人员的责任，这在某种程度上疏忽了学生课上的教育与管理，这也是教学质量不高的原因之一。 (三)学生入学的数学基础整体较差，学习动力不足，缺乏学好数学的信心。 随着高职院校的扩大招生，高职学生数学基础整体较差。中学的数学知识点繁多、灵活多变且有很大的连续性，这让中学基础差的学

《泛函分析》课程教学大纲-黎永锦

《泛函分析》教学大纲 Functional Analysis 课程编号： 适用专业：数学与应用数学 总学时数：学分： 一、本课程简介 《泛函分析》是现代数学中的的主要数学分支之一,它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法,来研究数学中的许多问题,它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题,形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法.通过这一课程,能使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用,掌握泛函分析中主要的基本概念和重要的基本理论,学会用代数、分析和拓扑综合处理问题的新方法,弄清有限维空间与无穷维空间的差别,学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法,该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础. 二、本课程与其他课程的关系 《泛函分析》、《抽象代数》、《拓扑学》是现代数学的重要课程,它综合了分析、代数和拓扑的研究方法,因此学生最好有数学分析、线性代数、空间解析几何及点集拓扑学的基础. 三、教学内容、学时安排和基本要求 本课程主要是线性泛函分析的基本理论,重点介绍距离空间和赋范空间的基础,Banach空间最重要的定理,如Hahn-Banach保范延拓定理、逆算子定理、一致有界原理和Riesz表示定理等.

本课程学时为54学时. (一)度量空间(12学时) 1、具体内容 度量空间的基本概念,度量空间中开集、闭集、完备性与可分性、连续映照的概念、距离空间中列紧集、紧集上连续映照的性质、不动点定理. 2、基本要求 (1)正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念. (2)理解并掌握度量空间中的内点,极限点,开集闭集,闭包等. (3)理解并掌握列紧集及紧集的概念,紧集、列紧集上的连续映射的性质. (5)熟练掌握压缩映照原理及其应用. 3、重点、难点 重点：度量空间的紧性、不动点定理. 难点：具体度量空间上紧性的判别、压缩映射的构造及不动点定理的具体应用. (二)赋范线性空间(10学时) 1、具体内容 赋范空间的定义,范数的等价性,有限维赋范空间, Schauder基等. 2、基本要求 (1)理解线性空间和范数的概念以及相关的例子. (2)掌握范数的等价性及判别方法. (3)掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质. (4)线性连续泛函与Hahn-Banach保范延扩定理. 3、重点、难点 重点：有限维赋范空间的性质和Hahn-Banach保范延扩定理. 难点：Hahn-Banach保范延扩定理及其推论的应用. (三) 有界线性算子(10学时) 1、具体内容

哲学家Strongart自学数学的非常故事的真实经历

女士们先生们，我是Strongart。记得在我24岁生日那天，曾经写过一段自学数学的小故事。现在又是一年多过去了，就再介绍一点回到家之后的情况吧，顺便把以前的故事精简一下。 其实我从小启蒙教育就比较好，倒不是有什么专门的培训，只是上小学之前都在家里，有意无意地从爷爷那里学了很多东西。到上小学的时候，我就已经能熟练掌握四则运算，可惜后来进了学校就停滞了，对数字的感觉明明已经非常敏锐了，还得跟他们一起背什么乘法口诀表！直到四年级的时候为准备竞赛，数学老师给我们几个数学好的学生开小灶。在不到一个学期的时间里学完了五六年级的数学，一点都不觉得有什么困难。 此后又是一段长期的停滞，直到一天我偶然发现一本书，是讲如何教育孩子成材的，其中有许多天才成长的故事深深打动了我。记得里面有一句大意是这样的：在孩子成熟之前，只要有一个小小的起点，让他体会到自己独特的价值并为之努力，那么他成年后将远远超过其他一般的人。那时我不知是初一还是初二，只是对这样的语句有一种模糊的体验。 后来，在放假前无意间有个顽皮的同学送了我一本高中的《立体几何》，促使我真正走上了自学数学的道路，再结合家里一些已经发黄了的中等数学教辅，到中考前已经完成相当于高中的数学课程。幸好当时能在大学附近的一个临时的小书店里买到了两本《数学分析》，然后就开始为按定义证明极限苦恼，能问老师吗？我不敢，因为直觉告诉我这是犯规的，可能这就是“潜规则”的压力了。 刚开始看《数学分析》真的很困难，手头只有一本教科书，习题只能做开头的几道。特别是极限初论讲完之后直接进入极限绪论，像有限覆盖定理之类的东西直到后来看到拓扑才真正明白。直到后来看到微分学，又在一堆中高考的辅导书里挖掘到一本微积分词典，才算是稍微送了口气。记得当时“违规”用导数做出道难题，反倒没办法讲给别人听，只轻轻说了“导数”两个字（据说现在高中数学讲导数了，很人性啊！那时的标准答案是用了一个BT的不等式的技巧），惹得他们看外星人一样的看我！ 回顾高中以前的经历，运气要占了很大的因素，可后来就没那么巧了。第一年没考上大学，又买不到合适的数学书，就这样看了大半年像什么概率统计、数学物理

数学教材推荐

数学教材推荐 2008-12-4 19:58:43 | 转载| 固定链接| 评论(4) | 浏览(948) 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经 验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且 是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是 对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大 四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单 的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）

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2019南京师范大学实变函数与泛函分析考研复习讲义.doc

南京师范大学实变函数与泛函分析考研复习讲义 专业课复习资料（最新版）封面 节第一节集合的概念节第二节集合的运算第一章集合 1. 集合的基本概念及运算} : { \ B x A x x B A B A 但或差：Pr.( ) ? A B B A ABcB A B A 注：A S A C s 余：（其中S为全集）,简记为A c交和、并、交（ Vehn 图） 2. 集簇的交和并} : { B x A x x B A 或} , : { A x x A 为指标集， } { } | { A A 或集簇：} {nA 特别当时，称集簇为集列，记为N } : { B x A x x B A 且} , : { A x x A 簇的交 例例注：在本书中我们未把0包含在N内, }, 1 1 : {1 1N n x x An n n 设] 0 , 1 [1nnA) 1 , 2 (1 nnA( ( ] ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 例( ( 用互相包含说明 ) ] [1] [1na fna fE E记设 }, ) ( : { , :] [a x f E x E R E fa f ( [a-1/n a) , ( ) , [11 nna a) (] [11na fnE)) , [ (11nna ( [ ( [ [a-1/ n-1 a-1/n a-1/ n+1 a 例例则记设 }, ) ( : { , :] [a x f E x E R E fa f] [1] [1na fna fE E( [a a+1/n) ) , ( (11nna) (] [11na fnE) , [ ) , (11nna a } , : ) , {( B b A a b a B A } , , , 2 , 1 , : ) , , , , {(2 11 n i A x x x x Ai i nii} , , 2 , 1 , : ) , , , {(2 11n i A x x x x Ai i nnii 3. c cA A ) (De Morgan公式注：通过取余集，使 A与A c c cA A ) ( } , , : {nA x N n N x 使是一个集合序列设 , , , ,2 1 nA A A4. 上、 下极限集( ){ : }{ : }limsuplimn nnnnn nA Ax x Ax A x A 在无限多个 1 N N nnA例：设A 2n =[0,1]A 2n+1 =[1,2];则上极 限集为[0,2］ 下极限集( ){ : }{ : }lim liminfn nnnnnA Ax x Ax n x A

“泛函分析”课程教学大纲

“泛函分析”课程教学大纲 （本教学大纲按适用专业分（A）、（B）两类） “泛函分析”课程教学大纲（A） 课程编号00834250 课程名称泛函分析 英文名称Functional Analysis 课程学分 4 课程学时数64 开课学期春季 适用专业数理学基地班, 数学与应用数学 先修课程数学分析，高等代数，实变函数 一、基本教学目的和任务 泛函分析是20世纪初从变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理等研究中发展起来的数学分支学科，它综合函数论、几何和代数的观点与方法研究解决数学中提出的重要问题。泛函分析是大学数学系的一门重要的专业主干基础课。 本课程主要讲述线性泛函分析。使学生了解和掌握空间、线性算子以及线性算子空间、线性算子谱理论的基本概念和基本理论。本课程的基本目的是使学生把具体的分析、代数、几何中的问题抽象到一种更加纯粹的形式中加以研究，使学会综合运用分析、代数、几何手段处理问题的方法。本课程在数学系的课程体系中具有承上启下的作用，可以使学生从全新的视点审视和处理数学基础课程的内容和问题，为学生进一步学习近代数学、近代物理、从事数学和应用数学研究打下基础。 二、课程内容与建议学时 本课程的内容包括以下几个部分: 绪论、距离空间、赋范空间、内积空间与Hilbert空间、有界线性算子、共轭空间和共轭算子以及线性算子的谱理论。 绪论从有限维空间元素的分解、对称矩阵按照特征值对角化等实例出发，采用类比、归纳等方法引入无穷维空间、线性算子、谱理论这样一些抽象概念；通过数学分析、线性代数、微分方程中一些熟悉的例子，研究和探讨如何类比地建立起无穷维空间框架，把有限维空间的数学方法自然地推广到无穷维空间。

泛函分析讲义

第三章赋范空间 . 范数的概念 “线性空间”强调元素之间的运算关系，“度量空间”则强调元素之间的距离关系，两者的共性在于：只研究元素之间的关系，不研究元素本身的属性。 为了求解算子方程，需要深入地了解函数空间的结构与性质，为此，我们不仅希望了解函数之间的运算关系和距离关系，还希望了解函数本身的属性。那么，究竟需要了解函数的什么属性呢 向量的长度 为了回答上述问题，我们需要从最简单的函数空间——欧氏空间——中寻找灵感。回想一下，三维欧氏空间中的元素被称为“向量”，向量最重要的两大属性是：长度和方向，向量的许多重要性质都是由其长度和方向所决定的。这一章的任务就是将欧氏空间中向量的长度推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义长度，下一章的任务就是将欧氏空间中向量的方向推广为（以函数空间为原型的）一般线性空间中元素的广义方向。可以想象：其元素具有广义长度和广义方向的线性空间必将像欧氏空间那样，呈现出丰富多彩的性质，并且这些性质必将有助于求解算子方程。

图 三维欧氏空间中向量的大小和方向 矩阵论知识告诉我们：可以为欧氏空间中的向量赋予各种各样的长度，并且可以根据问题需要来选择最合适的向量长度。实际上，可以在数域F 上的n 维欧式空间n F 上定义向量12(,,,)n x x x x =L 的如下三种长度（称为“范数”）： ● 2-范数（也称为欧氏范数）：2 21 n k k x x == ∑； ● 1- 范数：11 n k k x x ==∑； ● ∞-范数：1max k k n x x ∞ ≤≤=。 图 三种向量范数对应的“单位圆” 图 “单位圆”集合的艺术形式 下一节将谈到：就分析性质而言，这三种向量范数没有任何区别。 我们注意到：通常将2?或3?中两个向量之间的距离定义为两者的差向量的长度。由此可知：如果有了长度的概念，就可以诱导出距离；反之则不然。因此，

我对泛函分析的认识

我对分析的认识 从大一到大三，我们依次学习了数学分析，复变函数，实变函数，泛函分析。感觉这几门课层层深入，学到最后发现好多还是离不开数学分析。通过大二大三的学习，我发现实变函数和复变函数都是研究函数的数学性质的，虽然只是定义域不同，但两门课的内容大相径庭，实变函数可以看做是数学分析的后继课程，主要是分析（勒贝格积分理论）的内容，而复变函数的研究手段和课程内容对数学三大分支：分析（柯西积分理论），几何（黎曼面理论），代数（魏尔斯特拉斯级数理论）都有涉及，且都占有很重要的位置。 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它的基础是点集论。所谓点集论,就是专门研究点所成的集合的性质的理论，也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。泛函就是定义域是一个函数集,而值域是实数集或者实数集的一个子集。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 通过学习知道了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不是黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数，连续函数必定可积。勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数。逼近理论,如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。实变函数是对于测度来讲，可测函数及其积分，学习重点是Lebesgue 测度展开的一些讨论，泛函分析呢是对于函数空间来讲，主要就是一系列空间

老师推荐数学专业必看的书

[资源]【转帖】数学专业参考书整理推荐 ★★★★★ wuguocheng(金币+5,VIP+0): 很全10-11 09:28 cqsmath:标题高亮2010-11-11 23:24 lovibond:标题高亮2012-01-09 09:46 有增删 学数学要多看书，但是初学者很难知道那些书好，我从网上收集并结合自己的经验进行了整理： 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分。 记住以下几点： 1，对于数学分析的学习，勤奋永远比天分重要。 2，学数学分析不难，难得是长期坚持做题和不遗余力的博览群书。 3，别指望第一遍就能记住和掌握什么，请看第二遍，第三遍，…,第阿列夫遍。 4，看得懂的仔细看，看不懂的硬着头皮看。 5，课本一个字一个字的看完，至少再看一本参考书，尽量做一本习题集。 6，开始前三遍，一本书看三遍效果好于三本书看一遍；第四遍开始相反。 7，经常回头看看自己走过的路 以上几点请在学其他课程时参考。 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链

泛函分析大纲

《泛函分析》教学大纲 数学与应用数学（师范类）专业用 一、说明部分 （一）课程性质、目的和教学任务 泛函分析是数学学科的一门专业限选课程。本课程的目的在于运用泛函分析的理论和方法进一步研究无限维空间的结构。通过教学，使学生了解和掌握这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础。 泛函分析的前期课程是《数学分析》《高等代数》《实变函数》。泛函分析课程主要讲授第一章度量空间和赋泛线性空间，第二章有界线性算子和连续线性泛函，内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间三章内容。通过泛函分析的教学，具体使学生了解和掌握度量空间，赋泛线性空间，有界线性算子，连续线性泛函的基本概念和基本理论，培养学生理论思维能力，为进一步学习数学的有关学科打下扎实的理论基础。 （二）课程的教学原则和方法 本课程的教学原则是逻辑推理和理论分析相结合、讲解法与自学相结合的原则。 教学方法是要在主要采用讲授法为主配合教改，使用讨论

法、练习法等，仔细推敲概念间的相互联系和差异。 （三）课程的主要内容学时分配 本课程为一学期课程，总学时为48学时，其中授课38学时，习题课10学时，各章节安排如下 第一章度量空间和赋范线性空间 32学时第二章有界线性算子和连续线性泛函 10学时第三章内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间 6学时 （四）课程大纲的编写执笔人 执笔人孙丽男黑河学院数学系函数论教研室审定。 二、正文部分 第一章度量空间和赋范线性空间 （一）教学的目的和要求 1.理解泛函分析研究的对象，掌握度量空间的定义及度量空间中极限,稠密集,可分空间的概念，能够对具体的问题进行判断； 2.进一步了解连续映射的概念； 3.掌握完备的度量空间； 4.理解压缩映射原理，掌握压缩映射原理，能够应用压缩映射原理证明实际问题； 5.掌握线性空间、赋范线性空间和Banach空间；

学习泛函的书籍汇总

《非线性泛函分析引论》 作者:钟承奎范先令陈文原页数:250 出版日期:1998年3月第1版SS号:10192654 《数值分析的泛函方法》 作者:雷晋干陈铭俊匡蛟勋沈祖和页数:412 出版日期:1996年12月第1版SS 号:10069834 《应用泛函分析》 作者:葛显良编著页数:207 出版日期:1996年10月第1版SS号:10307063 《高等学校教材泛函分析》 作者:江泽坚孙善利页数:296 出版日期:1994年5月第1版SS号:10069833 《泛函分析中的反例》 作者:汪林页数:468 出版日期:1994年3月第1版SS号:10236531 《泛函分析与变分法》作者:苏家铎潘杰方毅狄成恩页数:286 出版日期:1993年9月第1版SS号:10069830 《实变函数与泛函分析下册》 作者:薛昌兴页数:278 出版日期:1993年6月第1版SS号:10188588 《实变函数与泛函分析上册》 作者:薛昌兴页数:213 出版日期:1993年5月第1版SS号:10188587 《应用泛函分析》作者:范达页数:293 出版日期:1993年4月第1版SS号:10199933 《勒贝格积分与泛函分析基础》 作者:熊洪允邱忠文陈荣胜页数:403 出版日期:1992年5月第1版SS号:10069597 《函数论与泛函分析初步上册》 作者:[苏]A?H?柯尔莫果洛夫C?B?佛明页数:349 出版日期:1992年5月第1版SS 号:10069826 《函数论与泛函分析初步下册》 作者:[苏]A?H?柯尔莫果洛夫C?B?佛明页数:304 出版日期:1992年5月第1版SS 号:10069827 《泛函分析》 作者:周美珂页数:284 出版日期:1992年3月第1版SS号:10069820 《泛函分析与抽象调和分析引论》 作者:刘登胜齐植兰页数:302 出版日期:1992年2月第1版SS号:10236529 《泛函分析基础》 作者:刘培德页数:231 出版日期:1992年10月第1版SS号:10236524 《泛函分析及其在自动控制中的应用》 作者:韩崇昭胡保生页数:350 出版日期:1991年6月第1版SS号:10069819 《实变与泛函》 作者:厉则治页数:277 出版日期:1991年1月第1版SS号:10236774 《泛函分析》 作者:谢力之姚建武蔡秉衡页数:178 出版日期:1991年12月第1版SS号:10069824 《随机泛函分析及应用》 作者:卢同善页数:196 出版日期:1990年9月第1版SS号:10070057 《实变函数与泛函分析引论》 作者:龚怀云寿纪麟王绵森页数:410 出版日期:1990年5月第1版SS号:10069300 《泛函分析及其应用》 作者:吴绍平页数:265 出版日期:1990年12月第1版SS号:10069817 《泛函分析》 作者:王振鹏页数:289 出版日期:1990年12月第1版SS号:10236526 《北京大学教材泛函分析讲义下册》 作者:张恭庆郭懋正页数:323 出版日期:1990年10月第1版SS号:10069806 《应用泛函分析基础》 作者:葛锁网页数:242 出版日期:1990年10月第1版SS号:10069815 《实变函数与泛函

部分习题解黎永锦《泛函分析讲义》的Word文档

部分习题解答 意义深刻的数学问题从来不是一找出解答就完事了, 好象遵循着的格言,每一代的数学家都重新思考 并重新改造他们前辈所发现的解答,并把这 解答纳入当代流行的概念和符号体系之中 L. Bers （贝尔斯） （1914-1993,美国数学家） 习题一 1.2 设∑=∞≤∈=n i i i i x R x x l 1 1}||, |){(,对任意1)(),(l y y x x i i ∈==,∑∞ =-=1 ||),(i i i y x y x d , ||sup ),(i i y x y x -=ρ, 试证明d 和ρ为X 上的两个度量,且存在序列1}{l x n ?,1l x o ∈, 使得0),(0→x x n ρ,但),(0x x d n 不收敛于0. 1.2证明：（1）只须按度量定义验证即可知道为上的两个度量(,)d x y 和(,)x y ρ为 1 l 上的两个度量. （2）取111(,,,,0,)n x n n n =L L 当i n ≤时,()1n i n x = , 当i n >时() 0n i x =,则1n x l ∈且() 1(,0)sup |0|0n n i n x x ρ=-=→,但()11 1 (,0)|0|1n n n i n i i d x x ∞ ===-==∑∑.因此 (,0)0n x ρ→,但),(0x x d n 不收敛于0.

135 / 25 1.4 试找出一个度量空间),(d X ,在X 中有两点y x ,,但不存在X z ∈,使得 =),(z x d ),(2 1 ),(y x d z y d = . 1.4 证明：在2R 上取离散度量(,)d x y =0, 1, . x y x y ?=? ≠?当时当时,则对于x y ≠,有(,)1d x y =, 但不存在2 z R ?,使得12(,)(,)(,)d x z d y z d x y ==.1.6 在∞l 中,设F 为的非空子集,G 为开集,试证明G F +为开集. 1.6证明：由(,)sup ||i i d x y x y =-可知,对任意,x y l ∞∈,有(,)(,0)d x y d x y =-,若G 是开集,则对于任意,x F y G ∈∈,有开球(,)U y r G ?.故(,)x U y r x G +?+,因而G x r y x U +?+),(,从而对任意,x F x G ∈+是开集,由()x F F G x G ∈+= +U 可知F G +是开集.1.8 在∞l 中,设|){(i x M =只有限个i x 不为0},试证明M 不是紧集. 1.8证明：取()()n n i x x =,当i n >时,() 0n i x =当i n ≤时,()1n i i x = ,则n x M ∈,且 lim n n x x →= ,这里11 2(1,,,,)n x =L L ,但x M ?,因此M 不是闭集,所以 M 不是紧集.1.10 设),(d X 为度量空间,X F ?,试证明C C F F )(0=. 1.10证明：对于任意0 x F ∈,有0 (,)U x r F ?,故φ=C F r x U I ),(,因而C C F x )(∈,从而 C C F F )(0?.对于任意C C F x )(∈,有()C x F ?,因而存在φ=C F r x U I ),(,故(,)U x r F ?,从而0 x F ∈,故0)(F F C C ?.所以,0()C C F F ?. 1.12 设),(d X 为度量空间,X F ?,试证明}|),(inf{),(F y y x d F x d ∈=为X 到

实变函数与泛函分析第5章

备
课
用
纸
第五章 积 分 论
§5.1 Riemann 积分的局限性和L积分简介 教学目的 本节给出了函数Riemann可积的几个充要条件, 分析了经典积分存在的不足之 处,建立性的积分的必要性. 本节要点 函数
f
Riemann可积当且仅当 f 不连续点及测度为零. Riemann积分关于极限
与积分次序可交换要求 f 一致连续， 应用 L ? N 公式要求 f 导数连续， 这些条件限制 了Riemann积分应用范围，Lebesgue 积分正好克服了这些不足. 本节难点 函数
f
Riemann可积当且仅当 f 不连续点及测度为零的证明.
在介绍Lebesgue 积分之前，我们先将它的前身——Riemann 积分作一回顾，并从测度 观点建立一个可积的充要条件． R 积分通常有两种定义，其一是大家熟知的“极限式”定义（即作为积分和的极限）， 另一是“确界式”定义。
一、Riemann 积分的定义 1、极限式定义 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界，在 [ a , b ] 中任意插入若干个分点
a ? x0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n ?1 ? x n ? b
把区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为 ? xi ? xi ? xi ?1 ，( i ? 1, 2, ? ) ，在各小 区间上任取一点 ? i （ ? i ? ? xi ），作乘积 f (? i ) ? xi ( i ? 1, 2, ? ) 并作和 S ?
?
i ?1
n
f (? i ) ? x i ，
记 ? ? max{? x1 , ? x 2 , ? , ? x n } ，如果不论对 [ a , b ] 怎样的分法，也不论在小区间 [ xi ?1 , xi ] 上点
? i 怎样的取法， 只要当 ? ? 0 时， S 总趋于确定的极限我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在 和
区间 [ a , b ] 上的定积分，记为
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最新泛函历年试题集锦

泛函分析2003试题 1、叙述赋范空间完备性的定义；证明：在Banach 空间中，绝对收敛级数必收敛。 解： （P5定义1.1.4）若赋范空间X 中的序列{}n x 满足如下Cauchy 条件： ,lim ||||0m n m n x x -= 则称{}n x 为Cauchy 列，若X 中所有Cauchy 列均收敛，则称X 为完备赋范空间或Banach 空间。 证明： Banach 空间是完备的赋范空间，令X 为Banach 空间，{}n x X ?，||||n x ∑收敛，即n x ∑绝对收敛。那么，令1 n n i S x = ∑ ： 1 1 1 |||||| ||||||||||m m n m k k k k n k n k n S S x x x ∞ =+=+=+-=≤ ≤ ∑∑∑ 因为||||n x ∑收敛，故余项 1 ||||0k k n x ∞ =+→∑，即 ||||0 ()n m S S n m -→>→∞ 这说明{}n S 是X 中的Cauchy 列，因X 完备，故{}n S 收敛，即n x ∑收敛。 2、设()(1)u x x x =-，分别求u 作为空间[0,1],[0,1][0,1]L C C ⊥ ⊥ 与的元素的范数。（即求 [0,1],[0,1][0,1]u L u C u C ⊥⊥∈∈∈和时的范数||||u ） 解： [0,1]u L ⊥ ∈时，1 1 |||||()|(1)1/6u u x dx x x dx ==-=?? [0,1]u C ∈时，001 ||||max ||||max sup |(1)|1/4x u u x x ≤≤==-= [0,1]u C ⊥∈时，0001 01 ||||max(||||,||'||)max(sup |(1)|,sup |12|)1x x u u u x x x ≤≤≤≤==--=

高职高等数学课件汇编

高职高等数学课件 一、高职高等数学教育教学的现状 (一)高职教育前景广阔，机遇与挑战并存，并逐渐趋向多元化。 高职院校已成为我国高等教育发展、改革的重要力量。高职院校通过不断的自身摸索、改革与国内外借鉴，为国家输送了大量的专业型人才，一定程度上促进了社会的进步。马卓昊在《高职教育现状及发展趋向研究》一文中，通过对我国高职教育的发展现状进行重点分析，对相关的教学理念和高职教育的发展趋向进行了简单的研究和探讨。他从专业设置、办学理念、提高就业率、师资建设等方面进行了逐一分析，认为高职教育在国家的引导与支持下，逐步走向正轨，并呈现多元化。故而，机遇与挑战并存。 (二)高职高等数学教育虽重要，但没引起足够重视。 高职教育是高等教育的重要组成部分，《高等数学课程对高职生素质培养的重要性》中阐述了高等职业教育的目标、人才规格决定了高等数学教育不容忽视的重要地位，并针对高职教育现状与高职生特点，结合高等数学特质与素质教育的功能，说明了高等数学课程的重要性，但由于客观与某些人的主观臆断，以高等数学课程为代表的公共课并没有得到足够重视。鉴于此，在此呼吁高等数学日后教育教学的改革方向是增强师资力量、提高教师素养、改革教学方法提高学生学习兴趣等。

(三)高职高等数学的教学有待改革。 虽然高职教育在整体趋势上是积极进取的，是逐渐适应这个社会发展的，但面临社会的发展与生源的紧缺、就业率有待提高的紧迫局势，高职院校仍然在教学上面临着诸多困难。郭倩茹在《浅谈高职院校中高等数学教学的现状及问题解决策略》一文中，认为高职院校中高等数学教育的教材编制不合理，与高职教育不适应;高等数学教学没高职特色，与专业脱轨;评价机制落后，考核体系陈旧。与此同时，在描述高等数学教育现状的同时，提出了诸如规范教材与专业接轨、活跃课堂气氛、构建评价、考核新体系等。最后，强调高职院校一定要以学生的特点作为教育的先决条件，因材施教。这正是教育工作者所要考虑的，也是我国高职院校培养人才的目标与宗旨，一切为了学生，为了学生的一切。 二、高职高等数学教学中存在问题的成因 (一)高等数学不被重视。 大多数高职院校偏重于职业技能的培养和实践活动的开展，作为专业基础课的高等数学学时时多时少，只是专业教学计划里专业课的替补而已。这在综合性的职业院校不常见，但在专业系别少的管理不严格的小职业院校是家常便饭，这无形中也造成了高等数学可有可无的尴尬境地。 (二)高职教师知识更新跟不上，教学方法与教学手段单一，教学态度不积极、忽略学生的德育教育与职业生涯规划导向等。