2014年考研数学一真题与答案

2014年考研数学一真题与解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．下列曲线有渐近线的是

（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2

（C ）x

x y 1sin += （D ）x

x y 12

sin += 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以． 【详解】对于x x y 1sin +=，可知1=∞

→x y x lim

且01

==-∞→∞→x

x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =

应该选（C ）

2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）

（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的． 显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，而

())()(x f x x f =+-211λλ，

故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）

【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令

x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）

３．设)(x f 是连续函数，则

=?

?---y y dy y x f dy 1110

2

),(

（Ａ）?

??

?---+2

100

11

010

x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(

（Ｂ）

?

??

?----+0

101

1

10

1

2

x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(

(Ｃ）

?

??

?

+++θθππ

θθπ

θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10

2

10

20

dr r r f d dr r r f d

（Ｄ）

?

??

?

+++θθππ

θθπ

θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10

2

10

20

rdr r r f d rdr r r f d

【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图． 【详解】积分区域如图所示

如果换成直角坐标则应该是

?

??

?

---+x

x dy y x f dx dy y x f dx 10

10

10

1

2

),(),(，

（A ），（B ） 两个选择项都不正确；

如果换成极坐标则为

?

??

?

+++θθππ

θθπ

θθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (10

2

10

20

rdr r r f d rdr r r f d ．

应该选（D ）

４．若函数

{

}

??-∈-

--=--π

π

π

πdx x b x a x dx x b x a x R

b a 22

1

1

)sin cos (min )

sin cos (,，则=+x b x a s in c o s 11

（Ａ）x sin 2 （Ｂ）x cos 2 （Ｃ）x sin π2 （Ｄ）x cos π2 【详解】注意

3232ππ

π=?-dx x ，2

2

2πππππ==??--dx x dx x sin cos ，0==??--dx x x dx x x ππππsin cos cos ， ππ

π2=?-

dx x x sin ，

所以

b b a dx x b x a x ππππ

π

42

322232

-++=--?-)()sin cos ( 所以就相当于求函数b b a 42

2

-+的极小值点，显然可知当20==b a ,时取得最小值，所以应该选（A ）．

５．行列式

d

c d c b

a b a

00000000等于

（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2

2

2

2

c b

d a - （D ）2

2

2

2

c b

d a +- 【详解】

2

00

000000000

0000

0)()()(bc ad bc ad bc bc ad ad d

c b

a bc d c

b a ad

d

c c b

a b d c d b a a d

c d c b

a b a --=-+--=+-=+-=

应该选（B ）．

6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的

（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件 【详解】若向量321ααα,,线性无关，则

（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=???

?

? ??=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等

于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．

而当???

?

?

??=????? ??=????? ??=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但

321ααα,,线性相关；故选择（A ）

． 7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （ ）

（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4

【详解】)(.)(.)()()()()()(.)(A P A P A P B P A P A P AB P A P B A P 505030=-=-=-==-． 所以60.)(=A P ，=-)(A B P 205050.)(..)()(=-=-A P AB P B P ．故选择（B ）．

8．设连续型随机变量21X X ,相互独立，且方差均存在，21X X ,的概率密度分别为)(),(x f x f 21，随机变量1Y 的概率密度为))()(()(y f y f y f Y 21211+=

，随机变量)(2122

1

X X Y +=，则

（A ）2121DY DY EY EY >>, （B ）2121DY DY EY EY ==, （C ） 2121DY DY EY EY <=, （D ）2121DY DY EY EY >=, 【详解】())())()((2212112

1

21Y E EX EX dy y f y f y EY =+=+=

?+∞∞-， 2

221212212

12121EX EX dy y f y f y EY +=+=

?+∞∞-))()((， ()2

212

21212122122

221122114

1414141412

141412121DY X D X D X X E X D X D X E X E X E X E EX EX Y E Y E DY =+≥-++=---+=

-=)()()()()()()()()()(

故应该选择（D ）．

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为 ．

【详解】曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=112

2

在点),,(101处的法向量为()

),,(|,,),,(1121101--=-y x z z ，所以切平面方程为0110112=--+--+-))(())(()(z y x ，即012=---z y x ．

10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=

?

2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即

x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ．

11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为 ．

【详解】方程的标准形式为

x y x y dx dy ln =，这是一个齐次型方程，设x

y

u =，得到通解为1+=Cx xe y ，将初始条件3

1e y =)(代入可得特解为1

2+=x xe

y ．

12．设L 是柱面12

2=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积

分

?

=+L

ydz zdx ．