沪教版本初中八年级的数学下学习知识点总结计划.docx

沪科版八年级数学下知识点总结

沪科版八年级数学下知识点总结

二次根式知识点：

知识点一：二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但

必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知识点二：取值范围

1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是

二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤ 0 时，没有意义。

知识点三：二次根式（）的非负性

（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0 ，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时

应用较多，如若，则 a=0,b=0 ；若，则

a=0,b=0 ；若

，则

a=0,b=0 。

知识点四：二次根式（）的性质

（）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式

也可以反过来应用：若，则，如：，.

知识点五：二次根式的性质

文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：

1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于

a 本身，即；若a是负数，则等于 a 的相反数 -a, 即；

2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；

3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：与的异同点

1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，

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而表示一个实数

a 的平方的算术平方根；中，而中 a 可以是正实数，0，

负实数。但在与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有

差别的，，而

2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而

.

知识点七：二次根式的性质和最简二次根式

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√ 3、√ a（a≥ 0）、

√x+y 等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√ 9、√ a^2 、√（ x+y ） ^2 、√x^2+2xy+y^2 等

（3）最终结果分母不含根号。

知识点八：二次根式的乘法和除法

1.积的算数平方根的性质

√ab= √a·√ b （ a≥ 0， b≥0）

2.乘法法则

√a·√ b= √ ab （ a≥ 0， b ≥0）

二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

3.除法法则

√a÷√ b= √ a÷ b （a≥ 0， b>0 ）

二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。

4.有理化根式。

沪科版八年级数学下知识点总结如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化

根式 , 也称有理化因式。

知识点九：二次根式的加法和减法

1同类二次根式

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就

把这几个二次根式叫做同类二次根式。

2合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。

3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。

知识点十：二次根式的混合运算

1确定运算顺序

2灵活运用运算定律

3正确使用乘法公式

4大多数分母有理化要及时

5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化知识点十一：分母有理化

分母有理化有两种方法

I.分母是单项式

如 : √ a/ √ b= √a×√ b/ √ b ×√ b= √ ab/b

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II.分母是多项式

要利用平方差公式

如1/ √ a＋√ b=√ a－√ b/( √a＋√ b)( √ a－√ b)= √ a－√ b/a － b

如图

注意： 1. 根式中不能含有分母 2.分母中不能含有根式。

一元二次方程知识点：

1.一元二次方程的一般形式 : a ≠0 时， ax2+bx+c=0 叫一元二次方程的一般形式，研究一

元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、

b、 c ；其中 a 、 b, 、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2.一元二次方程的解法 : 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，

但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错

误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.

3.一元二次方程根的判别式 : 当 ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时， =b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式 .

请注意以下等价命题：

＞ 0 <=> 有两个不等的实根；=0 <=> 有两个相等的实根；

沪科版八年级数学下知识点总结＜0 <=> 无实根；Δ≥ 0 <=>有两个实根（等或不等）.

4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，如Δ≥ 0，有下列公式：

(1) x 1, 2bb 2

4ac

； (2 ) x 1x2 b ，x1 x2 c . 2a a a

5.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）

① x2a(a0)解为：x a

② ( x a) 2b(b 0)解为：x a b

③ ( ax b) 2c(c 0)解为：ax b c

④ ( ax b) 2(cx d )2 ( a c )解为：ax b(cx d )

（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如： ax2bx 0(a, b 0)x(ax b) 0此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0

x290 (x 3)( x 3)0x23x 0x( x 3) 0

3x(2 x1) 5(2 x 1) 0(3x5)(2 x 1) 0

x2 6 x 9 4( x 3)244x212x 90 (2 x 3)20

x24x 12 0 ( x 6)( x2) 0 2 x25x 12 0 (2x3)(x 4) 0

（3）配方法

①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于 2 进行配方，如下所

示：

x2Px q 0( x P

)2( P)2q 0

22

3

示例：x23x 1 0(x3)22 1 0

( )

22

②二次项的系数不为“ 1 ”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上：

ax 2bx c 0 ( a 0) a( x 2

b

x) c 0a( x

b

)2 a (

b

) 2 c 0 a2a2a

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a( x

b

)2

b 2

c

( x

b )

2

b

2

4ac 2a

4a

2a

4a

2

示例： 1

x 2

2x

1

1 ( x

2

4x)

1 0

1

( x 2)

2

1 2210

2

2

2

2

（4）公式法：

一元二次方程

ax

2

bx

c

0 (a

0) ，用配方法将其变形为：

2

( x

b ) 2 b

4ac

2a

4a

2

① 当

b

2

4ac 0 时 ，右端是正 数 ． 因此，方程 有两个不相等 的实根：

b b

2

4ac

x

1,2

2a

② 当

b

2

4ac

时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根： x 1,2

b

2a

③ 当

b

2

4ac

时，右端是负数．因此，方程没有实根。

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：

ax 2

bx c 0 (a

0) ，并确定出 a 、 b 、

c

②求出

b

2

4ac ，并判断方程解的情况。

③代公式： x 1,2

b

b

2

2a

4ac

（要注意符号）

※ 5 ．当 ax 2

+bx+c=0 (a

≠0)

时，有以下等价命题：

( 以下等价关系要求会用公式

x 1

x 2

b

， x 1x 2

c

； =b 2

-4ac

分析，不要求背记 )

（ 1）两根互为相反数

b

a

a

且 Δ≥ 0

b = 0

且 Δ≥ 0；

a

（ 2）两根互为倒数

c

=1 且

≥0

a = c

且 Δ≥ 0；

a

（ 3）只有一个零根

c

= 0 且

b ≠

c = 0

且

≠ ；

a

a

b 0

（ 4）有两个零根

c

且

；

a = 0 且

a

b

= 0

c = 0

b=0

（ 5）至少有一个零根

c

=0

c=0 ；

（ 6）两根异号

c

＜0

a

a 、c 异号；

a

c

＜0 且

（ 7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值

a

（ 8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值

c

＜0 且

b ＞

、 异号且

、 异号；

a 0

a c a

b

b ＜ 、 异号且

、 同号；

a

a

a c

a

b

（ 9）有两个正根

c

＞0，

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b ＞

且 Δ≥

、

同号，

、

异号且 Δ≥ ；

a a

ac

a b

c

＞0，

b

＜0 且

（ 10）有两个负根

Δ≥ 0

a 、c 同号， a 、

b 同号且 Δ≥ 0.

a

a

6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当

＜ 0

时，二次三项式在实数范围内不能

分解 .

ax 2+bx+c=a(x-x 1 )(x-x 2)或 ax 2

+bx+c= a x

b

b

2

4acx

bb

2

4ac

.

2a

2a

7．求一元二次方程的公式：

x 2

- （x 1+x 2 ）x + x 1x 2 = 0.

注意：所求出方程的系数应化为整数

.

8．平均增长率问题 --------

应用题的类型题之一

（设增长率为

x ）：

(1)

第一年为 a ,

第二年为 a(1+x) , 第三年为 a(1+x) 2

.

（2）常利用以下相等关系列方程：

第三年 =第三年

或

第一年 +第二年 + 第三年

=总和 .

9．分式方程的解法：

(1) 去分母法

两边同乘最简 验增根代入最简公分母 （或原方程的每个分母 ），值0 .

公分母

凑元，设元，

（2）换元法 验增根代入原方程每个 分母，值 0 .

换元 .

10. 二元二次方程组的解法：

（）代入消元

法

方程组 中含有一个二元一次方 程

1

;

（ ）分解降次法

方程组 中含有能分解为

（ （）

）

的方程 ;

2

(1)(2)0

(1) 0

( 2 ) 0

(1)

0 (2) 0

( 3) 注意：

应分组为

.

(3)(4)0

(3) 0 ( 4 ) 0 (4) 0 (3) 0

※ 11．几个常见转化：

2

2

(x 1 x 2 )

(1) x 1 x 2

或 2

1 ( x

1

x

x

2

)

x

2

2

；

2

2

x

；

21

1 2

；

2x 1 x 2

(x 1 x 2 )

( x 1 x 2 )

4x

1

2

x

(x

)

2

x

2

x

；

(x 1

x 2 )

2

(x 1

x 2 ) 2

4x 1 x 2

(x 1 x 2 )

；

2

x 1 x 2

x 2 )

2

( x 1 x 2 )

2

(x 1

4x 1x 2

( x 1

x 2 )

2 2 2

1 1 x 1

x 2

2

2

x 1

x 2

(x 1 x 2 )

2x 1x 2 ，

x 1

x 2

x 1

，

( x 1 x 2 )

( x 1 x 2 )

4x 1 x 2 ，

x 2

| x 1 x 2 | ( x 1 x 2 )

2

4x 1x 2

，

2

2

x 2

x 1x 2 ( x 1 x 2 ) ，

x 1 x 2

x 1

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x2x1x12 x22(x1 x2 )2 4x1x2等

x1x2x1x2x1x2

(2)x 1x 221. 分类为 x 1x 2 2 和 x1x 22

；

2

2. 两边平方为（ x1x 2） 4

x14x12

16(1)分类为

x14

和

x14

)3x 23；

(3)( 或

2x 2

x 23x 29(2)两边平方一般不用, 因为增加次数 .

( 4)如 x 1sin A ,x 2sin B且A B90 时 ,由公式 sin 2

A cos

2

A 1, cos Asin B

可推出 x12x 22 1.注意隐含条件: x 10,x 20.

(5) x 1 , x 2 若为几何图形中线段长时 , 可利用图形中的相等关系(例如几何定理，相似形,面积

等式 ,公式)推导出含有x 1, x2的关系式.注意隐含条件: x 10, x20.

(6)如题目中给出特殊的直角三角形、三角函数、比例式、等积式等条件 , 可把它们转化为某些线段的比，

并且引入“ 辅助未知元 k”.

(7)方程个数等于未知数个数时 ,一般可求出未知数的值 ; 方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未

知数的值 , 但总可求出任何两个未知数的关系 .

勾股定理知识总结：

一．基础知识点：

1：勾股定理

直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边 c 的平方。（即：a2+b2＝c2）要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主

要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，C90 ，则ca b ，b c a ，

2222

ac 2

b

2）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、 b、c，则有关系 a 2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

沪科版八年级数学下知识点总结要点诠释：

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数

转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直

角三角形

（若 c2>a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为钝角的钝角三角形；若c2

角形）。

（定理中 a ，b， c 及 a 2 b 2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边

长 a ，b， c 满足 a 2c2b2，那么以 a ，b， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做

互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：

方法一： 4S S

正方形EFGH S 正方形ABCD， 4

1

ab (b a)

2

c

2，化简可证．

2

方法二：

沪科版八年级数学下知识点总结四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

122 S 4abc2ab c

2

大正方形面积为 S ( a b)2a 2 2ab b 2所以 a 2 b 2 c 2

方法三： S 梯形1 (a b) ( a b) ， S 梯形 2S ADE S ABE2 1ab 1 c2，化简得证

222

6：勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中， a ，b， c 为正整数时，称 a ，b， c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13 ； 7,24,25 等

③用含字母的代数式表示n 组勾股数： n21,2n, n 2 1 （ n2, n 为正整数）；

2n 1,2n 2

2n,2 n

2

2n 1 （ n 为正整数）m 2n2 ,2 mn,m 2n2（m n, m，n为正整数）

二、规律方法指导

1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

b a 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直a

c

b

c

角三角形边边关系的题目。

b c

c

a

a b 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易

犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c 有下列关A a

D

b22

系： a +b c

c

E

a

＝c2，?那么这个三角形是直角三角该形逆；定理给出判定一个B三角bC形是否是直角三角形的判定方法．