导数与微分习题及答案

第二章导数与微分

(A)

1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量

=?y ( )

A ．()x x f ?+0

B ．()x x f ?+0

C ．()()00x f x x f -?+

D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()

=?-?-→?x

x f x x f x 000

lim

( )

A ．()0x f '-

B ．()0x f -'

C ．()0x f '

D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则

=dx

( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )

A ．左导数存在；

B ．右导数存在；

C ．左右导数都存在

D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在

7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6

8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )

A ．()x f e

B ．

()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}

x f x f e x f ''+'2

9．若()?

??≥+<=0,2sin 0

,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )

A ．2=a ，1=b

B ． 1=a ，2=b

C ．2-=a ，1=b

D ．2=a ，1-=b

10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则

()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )

A ．一定都没有导数

B ．一定都有导数

C ．恰有一个有导数

D ．至少一个有导数

11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，

()()()x g x f x G -=在0x 处( )

A ．一定都没有导数

B ．一定都有导数

C ．至少一个有导数

D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导

C ．()x g 必须可导

D ．()x f 和()x g 都不一定可导

13．x

arctg y 1

=，则='y ( )

A ．211x +-

B ．211

x + C ．221x x +- D ． 221x x +

14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→h

h a f h a f h 0lim ( )

A ．()2

a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()

b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )

A ．()x f 的极限存在，且可导

B ．()x f 的极限存在，但不一定可导

C ．()x f 的极限不存在

D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→h

h a f a f n 0

lim

。

17．函数1+=x y 导数不存在的点。

18．设函数()??? ??+=22sin πx x f ，则=??

??'4πf 。

19．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()=0'y 。

20．曲线x y ln =在点()1,e P 处的切线方程。

21．若()()

???+=+==t y t t x x f 1ln 22，则

==0t dx dy

。 22．若函数()x x e y x sin cos +=，则=dy 。 23．若()x f 可导，()[]{}x f f f y =，则='y 。

24．曲线()()5

31225+=+x y 在点??? ?

?-51,0处的切线方程是。

25．讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性：

(1)x y sin =；(2) ???

=≠=0,

00,1sin x x x

x y 26．已知()???≥<=0,0

,sin x x x x x f ，求()x f '。

27．设1

ln 44+=x x

e e y ，求y '及0='x y 。

28．设()()x f x e e f y =且()x f '存在，求dx

dy 。 29．已知1

111ln

3++-+=x x y ，求y '。

30．已知x x x y +=，求y '。 31．设7777++=x x y ，求2=x dy 。 32．设()

()

132x x x y +-+=

，求y '。

33．设()2

x f y =若()x f '存在，求22dx

d 。

(B)

1．设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→x

x f x 0

lim

( ) A ．()x f ' B ．()0f ' C ．不存在 D ．∞ 2．若()30-='x f ，则()()

=??+-?+→?x

x x f x x f x 3lim

000

( )

A ．-3

B ．6

C ．-9

D ．-12

3．若函数()x f 在点a 可导，则()()=+-→h

h a f a f h 32lim

0( ) A ．()a f '-32 B ．()a f '-23 C ．()a f '32 D ．()a f '2

4．设()?

??≤>+-=1,11

,222x x x x x f 则()x f 在1=x 处( )

A ．不连续

B ．连续，但不可导

C ．连续，且有一阶导数

D ．有任意阶导数

5．函数()???

????=≠-+=0,210,1

1x x x x x f 在0=x 处( ) A ．不连续 B ．连续不可导 C ．连续且仅有一阶导数 D ．连续且有二阶导数

6．要使函数()???

??≠==0,00,1sin x x x

x x f n 在0=x 处的导函数连续，则n 应取何值？ ( )

A ．0=n

B ．1=n

C ．2=n

D ．3≥n

7．设函数()x f 有连续的二阶导数，且()00=f ，()10='f ，()20-=''f ，则极限()2

lim

x f x -→等于( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．-1

8．设()x f 在0=x 的某领域内有定义，()00=f ，且当0→x 时，()x f 与x 为等价无穷小量，则( )

A ．()00='f

B ．()10='f

C ．()0f '不存在

D ．不能断定()0f '的存在性 9．设()x f 为奇函数，且()20='x f ，则()=-'0x f ( ) A ．-2 B ．

21 C ．2 D ．2

1- 10．设函数()()()()()4321----=x x x x x x f ，则()='0f ( ) A ．0 B ．24 C ．36 D ．48

11．已知0→x 时，()()0f x f -是x 的等价无穷小量，则()()=--→h

h f f h 200lim 0

( )

A ．-2

B ．-1

C ．2

D ．不存在 12．若()x f 在0x 可导，则()x f 在0x 处( ) A ．必可导 B ．连续但不一定可导 C ．一定不可导 D ．不连续

13．若()u f 可导，且()x e f y -=sin ，则=dy 。

14．设()x y 是由方程x y y =-s in ε(10<<ε，ε常数)所定义的函数，则

=''y 。

15．若()x f 在a x =处可导，则()()=--+→h

mh a f nh a f h 0

lim

。

16．若?为二阶可微函数，则()[]

2ln x y ?=的()=''x y 。 17．已知()??

???=≠=0,00,sin 12

x x x x x f 则()='0f ，=???

??'2πf 。

18．已知()()?

??+=-=t t t a y t t t a x sin cos cos sin ，则==π4

3t dy dx

。==π4

2t dy x d 。

19．若1

x y ，则()=5y 。 20．若()??

??=≠=0,00,12

x x x

arctg x x f ，则()='0f ，()='x f ，

()=+

→x

x f x 0

lim 。 21．已知()??

???=≠-=0,10

,122

x x x e x f x ，求()x f '。

22．设()()()x g a x x f 22-=，其中()x g 在a x =处连续，求()a f '。 23．如果()x f 为偶函数，且()0f '存在，证明()00='f 。

24．设()x f 对任意的实数1x 、2x 有()()()2121x f x f x x f =+，且()10='f ，试证()()x f x f ='。

25．已知21ln x xarctgx y +-=，求y '。 26．已知x x y sin 21sin 2arcsin

++=??? ?

<2πx ，求y '。

27．设()x x x a a a y arccos 12-+=，求dy 。 28．设x e x x y -=

1sin ，求y '。

29．设?

??-==t t t y t x cos sin cos ln ，求dx dy

，3

2π

t dx y d 。

30．函数()x y y =由方程22ln y x x y arctg

+=确定，求

。 (C)

1．可微的周期函数其导数( ) A ．一定仍是周期函数，且周期相同 B ．一定仍是周期函数，但周期不一定相同 C ．一定不是周期函数 D ．不一定是周期函数 2．若()x f 为()l l ,-内的可导奇函数，则()x f '( )

A ．必有()l l ,-内的奇函数

B ．必为()l l ,-内的偶函数

C ．必为()l l ,-内的非奇非偶函数

D ．可能为奇函数，也可能为偶函数

3．设()x

x x f n 1

sin =(0≠x )且()00=f ，则()x f 在0=x 处 ( )

A ．令当()()001

sin

lim lim 0

===→→f x

x x f n x x 时才可微 B ．在任何条件下都可微 C ．当且仅当2>n 时才可微 D ．因为x

sin

在0=x 处无定义，所以不可微 4．设()()()x a x x f ?-=，而()x ?在a x =处连续但不可导，则()x f 在a x =处 ( )

A ．连续但不可导

B ．可能可导，也可能不可导

C ．仅有一阶导数

D ．可能有二阶导数

5．若()x f 为可微分函数，当0→?x 时，则在点x 处的dy y -?是关于x ?的( )

A ．高阶无穷小

B ．等价无穷小

C ．低价无穷小

D ．不可比较 6．函数()x f y =在某点处有增量2.0=?x ，对应的函数增量的主部等于0.8，则()='x f ( )

A ．4

B ．0.16

C ．4

D ．1.6 7．()()()

2121ln cos 1lim

=-+--+-→x

x e d x c x b atgx ，其中022≠+c a ，则必有( )

A ．d b 4=

B ．d b 4-=

C ．c a 4=

D ．c a 4-=

8．设()()

21ln lim 2

0=+-+→x bx ax x x ，则( )

A ．1=a ，25

-=b B ．0=a ，2-=b

C ．0=a ，2

-=b D ．1=a ，2=b

9．设()??

???>≤=1,1

,3223

x x x x x f 则()x f 在点1=x 处的( )

A ．左、右导数都存在

B ．左导数存在，但右导数不存在

C ．左导数不存在，但右导数存在

D ．左、右导数都不存在 10．设()x f 在()+∞∞-,内可导，且对任意1x ，2x ，当21x x >时，都有

()()21x f x f >，则( )

A ．对任意x ，()0>'x f

B ．对任意x ，()0≤-'x f

C ．函数()x f -单调增加

D ．函数()x f --单调增加

11．设()x f 可导，()()()x x f x F sin 1+=，若使()x F 在0=x 处可导，则必有( )

A ．()00=f

B ．()00='f

C ．()()000='+f f

D ．()()000='-f f 12．设当0→x 时，()12++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则( )

A ．21

a ，1=

b B ．1=a ，1=b C ．2

=a ，1=b D ．1-=a ，1=b

13．设函数()x f 在区间()δδ,-内有定义，若当()δδ,-∈x 时，恒有()2x x f ≤，则0=x 是()x f 的( )

A ．间断点

B ．连续而不可导点

C ．可导的点，且()00='f

D ．可导的点，且()00≠'f 14．设0→x 时，x tgx e e -与n x 是同阶无穷小，则n 为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

15．函数()()x x x x x f ---=322不可导点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 16．已知函数()x y y =在任意点x 处的增量α++?=?2

y y 且当0→?x 时，α是x ?的高阶无穷小，()π=0y ，则()=1y ( )

A ．π2

B ．π

C ．4π

e D ．4π

πe

17．设()()??

??≤>-=0,0,c

o s 12x x g x x x x f 其中()x g 是有界函数，则()x f 在0=x 处( )

A ．极限不存在

B ．极限存在，但不连续

C ．连续，但不可导

D ．可导

18．在区间()+∞∞-,内，方程0cos 2

141

=-+x x x ( ) A ．无实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有且仅有两个实根 D ．有无穷多个实根

19．?

??==m

t y t x ln ，则==1

t n

n dx y d 。

20．若()x f 是可导函数，且()()[]1sin sin 2+='x x f ，()40=f ，则()x f 的反函数()y x ?=为自变量取4时的导数值为。

21．若()x f 在e x =点处且有连续的一阶导数，且()12--='e e f ，则

(

)='

+→x

x e f dx

d cos 0lim 。

22．设()()()x g x x f 1331-=，其中()x g 在点1=x 处连续，且()61=g ，则

()='1f 。

23．设()()???

??=≠--=1,01,1

1c o s 1x x x x x f a

则当a 的值为时，()x f 在1=x 处连续，当a 的值为时，()x f 在1=x 可导。

24．已知2

2x e x y =则()()=04y ，()()=05y 。

25．若()x x x f 2cos 2=，则()()=010f 。

26．()???

??=≠+=0,0,2sin 2x a x x

e x x

f ax

，在()+∞∞-,上连续，则=a 。 27．()

=+→x

x x sin 2

31lim 。

28．设()x

x y 1

sin cos 2

2=，则='y 。 29．曲线??

???=+=3

1t y t

x 在2=t 处的切线方程为。

30．设82lim =???

??-+∞→x

x a x a x ，则=?????????

?-+='

02x a x a x 。 31．设3

???

+=-x e

x y ，则='=0x y 。 32．设2

11ln

y +-=，则=''=0x y 。 33．=--++→2

11lim

x x x x 。

34．=???

??-→xtgx x x 11lim 20 。 35．曲线?????==t

e y t

e x t

cos 2sin 在点(0,1)处的法线方程为。 36．设函数()x y y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，则

==0

x dx

。

37．=?????

???? ?

?+-??? ??

∞

→x x x x 11ln sin 31ln sin lim 。 38．设()[]x f y ln =且()x f ''存在，求22dx

d 。

39．()x y y =是由方程组?????=+-++=0

1sin 3

232

y t e t t x y 所确定的隐函数，求022=τdx y d 。

40．设()()()???-'='=t f t f t y t f x ，其中()t f 具有二阶导数，且()0≠''t f ，求22dx y

d 。

41．设()y x f y +=，其中f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求22dx

d 。

42．设()x

x f 111+=

，且()()

x f x g 111+

，计算()x f '和()x g '。

43．设()()[]

()

x f x f x g =，求()x g '。

44．若22

=-y x y ，求22dx

d 。

45．验证函数x

e e

y -

+=满足关系式04

21=-'+

''y y y x 。 46．设曲线C 的参数方程是()

???

?+=-=--2

t t

t e

e y e e x ，求曲线C 上对应于2ln =t 的点

的切线方程。

47．设()??

?>+≤=0

02,

x x b ax x x x x f 若若，为了使函数()x f 于点0x x =处连续而且可

微，应当如何选取系数a 和b ？

48．设()()??

?>+≤=0

x x b ax x x x f x F 若若，其中函数()x f 在0x x =为左方可微分的，

应当如何选取系数a 和b ，使函数()x F 在点0x 处连续且可微分。

49．设??

??++=

42ln 21cos 2sin 2

πx tg x x y ，求dy 。 50．设()()

???-==?2

cos 21cos cos t udu u t t y t x ，求dx dy ，2

22π

t dx y d 。

51．求极限x

x x x x x sin 1

14lim

2+++-+-∞

→。

52．设()x f 满足()x

x bf x af =??? ??+1，其中a 、b 、c 都是常数，且b a ≠

(1) 证明()()x f x f --= (2) 求()x f '，()x f ''

53．设函数()?????>-≤<--<-=2 ,161221 , 1,2132x x x x x x x f ，

(1) 写出()x f 的反函数()x g 的表达式；

(2) ()x g 是否有间点、不可导点，若有指出这些点。

第二章导数与微分

(A)

1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量

=?y ( C )

A ．()x x f ?+0

B ．()x x f ?+0

C ．()()00x f x x f -?+

D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()

=?-?-→?x

x f x x f x 000

lim

( A )

A ．()0x f '-

B ．()0x f -'

C ．()0x f '

D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( A ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则

=dx

( C ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( D )

A ．左导数存在；

B ．右导数存在；

C ．左右导数都存在

D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( D ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在

7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( A ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6

8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( D )

A ．()x f e

B ．

()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}

x f x f e x f ''+'2

9．若()???≥+<=0

,2sin 0

,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( A )

A ．2=a ，1=b

B ． 1=a ，2=b

C ．2-=a ，1=b

D ．2=a ，1-=b

10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则

()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( A )

A ．一定都没有导数

B ．一定都有导数

C ．恰有一个有导数

D ．至少一个有导数

11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，

()()()x g x f x G -=在0x 处( D )

A ．一定都没有导数

B ．一定都有导数

C ．至少一个有导数

D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( A ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导

C ．()x g 必须可导

D ．()x f 和()x g 都不一定可导

13．x

arctg y 1

=，则='y ( A )

A ．211x +-

B ．2

x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→h

h a f h a f h 0lim ( A )

A ．()2

a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()

b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( B )

A ．()x f 的极限存在，且可导

B ．()x f 的极限存在，但不一定可导

C ．()x f 的极限不存在

D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→h

h a f a f n 0

lim

()a f '。

17．函数1+=x y 导数不存在的点1-=x 。

18．设函数()??? ??+=22sin πx x f ，则=??

??'4πf 2 。

19．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()=0'y 1 。 20．曲线x y ln =在点()1,e P 处的切线方程()11

-x e

e y 。

21．若()()

???+=+==t y t t x x f 1ln 22，则

==0t dx dy

2 。 22．若函数()x x e y x sin cos +=，则=dy x e x cos 2。

23．若()x f 可导，()[]{}x f f f y =，则='y ()[]{}()[]()x f x f f x f f f ''+'。

24．曲线()()5

31225+=+x y 在点??? ?

?-51,0处的切线方程是()03231-=+x y 。

25．讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性： (1)x y sin =

解：∵0sin 0sin lim 0

==→x x

∴x y sin =在0=x 处连续又()()()1sin lim sin lim 00lim 0000

-=-===--'---

→→→-x

x x x f x f f x x x ()()()1sin lim sin lim 00lim 0000

====--'+++

→→→+x

x x x x f x f f x x x ()()00+-'≠'f f ，故x y sin =在0=x 处不可导。

(2) ???

=≠=0,

00,1sin x x x

x y 解：∵()001

sin

lim 0f x

x x ==→，∴函数在0=x 处连续

又()()x

x x x x x f x f x x x 1sin lim 0

1sin lim 00lim 000→→→=-=--不存在。故()x f 在0=x 处不可导。

26．已知()?

??≥<=0,0

,sin x x x x x f ，求()x f '。

解：0=x 时，()??

?><='1

,10,cos x x x x f 可以求得()10='f

∴()???≥<='0,10

,cos x x x x f 。

27．设1

ln 44+=x x

e e y ，求y '及0='x y 。

解：()[]()[]

'+-='+-=

'???1ln 42

11ln ln 21

x x x e x e e y 1

1421+=???? ??+?-=???x x x e e e 28．设()()x f x e e f y =且()x f '存在，求

。解：()[

]

()()()[]

()()()()()x f e e f e e e f e e f e e f y x f x x f x x x f x x f x '++'='

+'='

()

()()()[]x f e f e e f e x

'++'=

29．已知1

111ln

3++-+=x x y ，求y '。

解：(

)

(

)[]

'--+='?

????

-+='||ln 311ln 211ln

x x x x y ()

x x x x x x 31133123111

333

3-+-+=-

-+= 30．已知x x x y +=，求y '。

解：()()()1ln 1ln 1ln ln ++='

+='+='x x x x e e x y x x x x x

31．设7777++=x x y ，求2=x dy 。

解：7ln 17717721

767171x x x y x x ?-='???

? ??++='- 32．设()

()

132x x x y +-+=

，求y '。

解：两边取自然对数可得：

()()x x x x

y +--++=

1ln 53ln 4|2|ln 1

ln 两边对x 求导得：

()1

3142211+---++='x x x y y ∴()()()??

???+--+++-+=

'153********

x x x x x x y 33．设()2

x f y =若()x f '存在，求22dx

d 。

解：()

x x f dx dy 22

?'=，()()2222224x f x x f dx

y d '+''=。

(B)

1．设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→x

x f x 0

lim

( B )

A ．()x f '

B ．()0f '

C ．不存在

D ．∞ 2．若()30-='x f ，则()()

=??+-?+→?x

x x f x x f x 3lim

000

( B )

A ．-3

B ．6

C ．-9

D ．-12

3．若函数()x f 在点a 可导，则()()=+-→h

h a f a f h 32lim

0( A ) A ．()a f '-32 B ．()a f '-23 C ．()a f '32 D ．()a f '2

4．设()?

??≤>+-=1,11

,222x x x x x f 则()x f 在1=x 处( A )

A ．不连续

B ．连续，但不可导

C ．连续，且有一阶导数

D ．有任意阶导数

5．函数()???

????=≠-+=0,210,1

1x x x x x f 在0=x 处( B ) A ．不连续 B ．连续不可导 C ．连续且仅有一阶导数 D ．连续且有二阶导数

6．要使函数()???

??≠==0,00,1sin x x x

x x f n

在0=x 处的导函数连续，则n 应取何值？ ( D )

A ．0=n

B ．1=n

C ．2=n

D ．3≥n

7．设函数()x f 有连续的二阶导数，且()00=f ，()10='f ，()20-=''f ，则极限()2

lim

x f x -→等于( D ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．-1

8．设()x f 在0=x 的某领域内有定义，()00=f ，且当0→x 时，()x f 与x 为等价无穷小量，则( B )

A ．()00='f

B ．()10='f

C ．()0f '不存在

D ．不能断定()0f '的存在性 9．设()x f 为奇函数，且()20='x f ，则()=-'0x f ( C ) A ．-2 B ．

21 C ．2 D ．2

- 10．设函数()()()()()4321----=x x x x x x f ，则()='0f ( B ) A ．0 B ．24 C ．36 D ．48

11．已知0→x 时，()()0f x f -是x 的等价无穷小量，则()()=--→h

h f f h 200lim 0

( A )

A ．-2

B ．-1

C ．2

D ．不存在 12．若()x f 在0x 可导，则()x f 在0x 处( B ) A ．必可导 B ．连续但不一定可导 C ．一定不可导 D ．不连续

13．若()u f 可导，且()x e f y -=sin ，则=dy ()()dx e f e f e x x x ---'-cos 。 14．设()x y 是由方程x y y =-s in ε(10<<ε，ε常数)所定义的函数，则

''y ()

cos 1sin y y

εε--。

15．若()x f 在a x =处可导，则()()=--+→h

mh a f nh a f h 0

lim

()()a f n m '+。

16．若?为二阶可微函数，则()[]

2ln x y ?=的()=

''x y ()

()

222

241x x x

??' ()()()()]

22222244x x x x x ???'+''-。

17．已知()??

???=≠=0,00,sin 12

x x x x x f 则()='0f 1 ，=???

??'2πf 24π-。

18．已知()()???+=-=t t t a y t t t a x sin cos cos sin ，则==π

3t dy dx

-1 。=

=π4

2t dy x d π

a 32

8。 19．若1

2-=x y ，则()=5y ()

5111121??????+--x x ()()()()??

????+---?-=

6565`1!5111!5121x x 。 20．若()??

??=≠=0,00,12

x x x

arctg x x f ，则()='0f -1 ， ()?????=-≠+-='0,10,1122

x x x

x x xarctg x f ，()=+→x x f x 0lim 0 。 21．已知()??

???=≠-=0,10

x x x e x f x ，求()x f '。

解：0≠x 时，()(

)

()

2432

12121

x x e x e e x x e

x f x x x x +-=

-='

' ()()()3202001lim 11lim 00lim 02

x x e x x e x f x f f x x x x x --=--=--='→→→

e x e x x xe t t t

x x x x x 1

lim 232

2lim 322lim 02

02022

--=-=→=→→ 21

lim 20==→t

t e

∴()()

???=≠+-=0,20

,2123

x x x x e x f x 22．设()()()x g a x x f 22-=，其中()x g 在a x =处连续，求()a f '。

解：()()()()()

()a ag a

x x g a x a x a f x f a f a x a x 2lim lim 22=--=--='→→。 23．如果()x f 为偶函数，且()0f '存在，证明()00='f 。证：∵()0f '存在，∴()()()000-+'='='f f f ，而

()()()()()()()()00lim 0lim 00lim 00

+→→-=→-'-=--=-----='--

f t f t f t f t f x f x f f t t t

x x

∴()()00f f '-='，∴()00='f 。

24．设()x f 对任意的实数1x 、2x 有()()()2121x f x f x x f =+，且()10='f ，试证()()x f x f ='。

证：x ?，()()()00f x f x f =+，可得()10=f 。从而

()()()()()()()()x

x f x f x x f x f x f x x f x x f x f x x x ?-?=?-?=?-?+=

='→?→?→?1

lim

lim lim 000 ()()()()()()x f f x f x

f x f x f x ='=?-?=→?00lim 0。 25．已知21ln x xarctgx y +-=，求y '。

解：()

arctgx x x x x arctgx x x xarctgx y =+-++='

???+-='2

22122111ln 1 26．已知x x y sin 21sin 2arcsin

++=??? ?

<2πx ，求y '。

解：'

???

?++?

? ??++-='x x x x y sin 21sin 2sin 21sin 211

2 ()()

()

s i n 21s i n 2c o s s i n 2c o s 2c o s 2s i n 2x x x x x

x ++-+?

()

x s i n 23

s i n 2233+=

27．设()x x x a a a y arccos 12-+=，求dy 。解：[

]dx a

a dy x

x '

-+=arccos 12

dx a a a a a a a a x x x

x x ???

????---+

--+=222211arccos 12ln 2ln dx a a a a x x

x arccos 1ln 22--

28．设x e x x y -=1sin ，求y '。

解：??

???-++=

|1|ln 1|sin |ln ||ln 1ln x

e x x x x y ∴()

???--+='x x e e x x x y y 12sin cos 1211

∴()

???--+?-=

'x x x

e e ctgx x x e xsomx y 12111 29．设?

??-==t t t y t x cos sin cos ln ，求dx dy

，3

2π

t dx y d 。

解：

t t t

t t t t t x y dx dy t t cos cos sin sin cos cos -=-+-='

'= ()()t t t t t t t t t t x t t dx

y d t t

sin cos sin cos cos sin sin cos 1cos 2

2-=-+-=''-= ()

3612

21233213

2-=???? ??-==πππt dx y d 。 30．函数()x y y =由方程22ln y x x y arctg +=确定，求dx

。

解；两边对x 求导得：

关于导数的29个典型习题

关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。解由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。证求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴

高中数学导数及微积分练习题

底面边长为（）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值． 9.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.(1)讨论)1(f 和 )1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线 )(x f y =的切线,求此切线方程.

导数与微分测试题及答案(一)

导数与微分测试题（一）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小；二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的切线与x 轴正向的交角为 4 π 。

5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续，求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一）一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --；三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--；

导数和微分练习试题答案解析

高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]

第二章导数与微分习题汇总

第二章导数与微分【内容提要】 1．导数的概念设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数，记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系定理若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??

第五章微分方程

第五章微分方程第一节微分方程的基本概念一、基本概念微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。例1 课本294页例1 二、独立的任意常数线性相关与线性无关：设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k 成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是 ) () (21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果 ) () (21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关.

独立的任意常数：在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关. 例2 课本297页例4 第二节可分离变量的微分方程一、定义形如 )()(d d y g x f x y = 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数. 二、求解方法可分离变量的微分方程 )()(d d y g x f x y =的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=，第二步:两边积分 ??= x x f y y g d )(d )(. 【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2 的通解. 解先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1 1 12 -=- 两端积分 ? ? -=-dx x dy y y 111 2得 ||ln |1|ln |1|ln 2 1 12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解

导数与微分习题(基础题)

导数与微分习题（基础题） 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可导，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b

第二章导数与微分(测试题)

第二章导数与微分单元测试题考试时间：120分钟满分：100分试卷代码：M1-2b 一、选择题(每小题2分，共40分) 1．两曲线21y y ax b x = =+，在点1(22 ，处相切，则（） A．13164a b =-=， B．11164 a b ==， C．912a b =-=， D．712a b ==-， 2．设(0)0f =，则()f x 在0x =可导的充要条件为（） A．201lim (1cos )h f h h →-存在 B．01lim (1)h h f e h →-存在 C．201lim (sin )h f h h h →-存在 D．[]01lim (2)()h f h f h h →-存在 3．设函数()f x 在区间()δδ-，内有定义，若当()x δδ∈-，时恒有2()f x x ≤，则0x =必是()f x 的（） A．间断点 B．连续而不可导的点 C．可导的点，且(0)0f '= D．可导的点，且(0)0f '≠ 4．设函数()y f x =在0x 点处可导，x y ，分别为自变量和函数的增量，dy 为其微分且0()0f x '≠，则0lim x dy y y →-= （） A．-1 B．1 C．0 D．∞ 5．设()f x 具有任意阶导数，且[]2 ()()f x f x '=，则()()n f x =（） A．[]1()n n f x + B．[]1!()n n f x + C．[]1(1)()n n f x ++ D．[]1(1)!()n n f x ++ 6．已知函数 0() 0x x f x a b x x x ≤??=?>?? +cos 在0x =处可导，则（） A．22a b =-=， B．22a b ==-， C．11a b =-=， D．11a b ==-， 7．设函数32()3f x x x x =+，则使()(0)n f 不存在的最小正整数n 必为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若()f x 是奇函数且(0)f '存在，则0x =是函数()()f x F x x =的（）

导数与微分练习题

题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导内容一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数

三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用典型例题题型I 利用导数定义解题题型II 导数在几何上的应用题型III 利用导数公式及其求导法则求导题型IV 求高阶导数题型V 可导、连续与极限存在的关系自测题二一．填空题二．选择题三．解答题 4月9日微分练习题基础题：（一）选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a

2. 设 0'()2f x =，则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--＝( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于 2的正整数时， )(x f 的n 阶导数 )()(x f n 是（）。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! （二）填空题 5. 设 2 sin x e y = ，则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =，则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=， '0()2x θ=， 2x x dy dx ==，则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ，则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ； 9. 已知设 cos2x y e = ，则=dy ____ _. 10. sin x y x = ，则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13．2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题：（三）解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的

高中数学导数及微积分练习题

1．求导：（1）函数y= 2cos x x 的导数为-------------------------------------------------------- （2）y ＝ln(x ＋2)-------------------------------------；(3)y ＝(1＋sin x ) 2 ------------------------ ---------------------- (4)y ＝3x 2＋x cos x ------------------------------------ ；(5)y ＝x 2cos(2x －π 3)---------------------------------------- ． (6)已知y ＝ln 3x e x ，则y ′|x ＝1＝________. 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （）． (A)． 54 (B)．52 (C)．51 (D)．5 3 3．已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ，)0,(2x ，且)(x f 在1x =-，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（） (A)．4 (B)．5 (C)．－6 (D)．不确定 34.()34([0,1])1 ()1()()0()1 2f x x x x A B C D =-∈-函数的最大值是( ) 5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为（）． (Ａ)．3V (Ｂ)．32V (Ｃ)．34V (D)．32V 6．由抛物线x y 22 =与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（）． (A)．18 (B)． 3 38 (C)． 3 16 (D)．16 7．曲线3 x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为6 1 ，则=a _________ 。 8．已知抛物线2y x b x c =++在点(1 2)，处的切线与直线20x y ++=垂直，求函数2y x bx c =++的最值．

导数及其应用典型例题

第一章导数及其应用 1.1 变化率与导数【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义：拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一求平均变化率：例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.

题型二实际问题中的瞬时速度例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）（1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??；（3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三求函数的导数及导函数的值例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四曲线的切线问题例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.

高中数学导数、微积分测试题

导数、微积分 1、（2012德州二模）如图，在边长为π的正方形内的正弦曲线sin y x x =与轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往正方形内投一个点P ，则点P 落在区域M 内的概率是 A ．2 1 π B ．2 2 π C ． 2 3 π D ． 2 4 π 答案：B 解析：区域M 的面积为：S M ＝0 sin xdx π ? ＝－cosx 0|π＝2，而正方形的面积为S ＝2 π，所以，所求概率为P ＝ 2 2 π ，选B 。 2、（2012济南三模）已知函数2 ()321f x x x =++，若1 1 ()2()(0)f x dx f a a -=>? 成立，则a ＝________. 答案：1 3 解析：因为??-11f(x)d x ＝??-1 1 (3x 2＋2x ＋1)d x ＝(x 3＋x 2＋x)|1－1＝4，所以2(3a 2 ＋2a ＋1)＝4?a ＝－ 1或a ＝13 . 3、（2012莱芜3月模拟）函数201 ()212x x f x x x ?≤≤=?-≤≤? 的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】5 6 【解析】 6 5)212(3 1)2()(21210 32 1 1 2 2 =- += -+=??? x x x dx x dx x dx x f 4、（2012济南三模）已知α、β是三次函数32 11()2(,)32 f x x ax bx a b R =++∈的两个极值点，且(0,1)α∈，(1,2)β∈，则3 2 b a --的取值范围是（） A ．2(,)5 -∞ B ．2(,1)5 C ．(1,)+∞ D ．2(,)(1,)5 -∞?+∞ 答案：B 解析：因为函数有两个极值，则0)('=x f 有两个不同的

《数学分析》第五章导数与微分

第五章导数与微分 (计划课时:1 2时) §1 导数的概念 ( 2 时) 一．导数的背景与定义： 1．背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2. 导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法. 有限增量公式: .0 ),( )(0→? ?+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2 x x f = 求). 1 (f ' 例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .) 3()(lim 000 h h x f x f h --→ 3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况. 例4 设?? ?<≥-=. 0, ,0, cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数. 二. 导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2 )(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程. 三. 可导与连续的关系: Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续. 例6 证明函数)()(2 x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数. 四导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. .) ()(lim )(0x x f x x f x f x ?-?+='→? (注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n x x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=. 五导函数的介值性:

高等数学导数与微分试题

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

作业习题 1、求下列函数的导数。（1）223)1(-=x x y ；（2）x x y sin = ；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程???-=-=) cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数dx dy 与二阶导数 2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。（1）)0(,>=x x y x ；（2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?????=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。（2）解：2sin cos )sin ( x x x x x x y -='='。（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。

高等数学练习题第二章导数与微分

高等数学练习题第二章导数与微分系专业班学号第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]

导数和微分练习题

第二章导数与微分复习自测题一、选择题： 1、函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '定义为（） A x x f x x f ?-?+)()(00 B x x f x x f x x ?-?+→) ()(lim 000 C x x f x f x x ?-→)()(lim 00 D 0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→ 2、设函数)100)(99()2)(1()(--???--=x x x x x x f ，则=')0(f （） A 100 B 100- C 100! D 100-! 3、曲线x y sin 2 += π 在0=x 处的切线的倾斜角为（） A 2 π B 4 π C 0 D 1 4、函数1ln )(-=x x f 的导数是（） A 11)(-='x x f B 11)(-='x x f C x x f -='11)( D 11 1 ()1 1 1x x f x x x ??-? 5、微分运算 =) (arccos ) (arcsin x d x d （） A x arc cot B 1- C x tan D 1 6、设()f x 在x a =的某个领域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是（） A 1 lim [()()]h h f a f a h →+∞ +-存在 B 0(2)() lim h f a h f a h h →+-+存在 C 0()() lim 2h f a h f a h h →+--存在 D 0 ()() lim h f a f a h h →--存在

微积分典型例题和重点知识点

微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导应用题的是弹性函数和利用函数求最值以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整

高等数学导数与微分练习题

数学分析 §5.1导数的概念

第五章导数与微分 §1 导数的概念【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。【教学难点】导数的概念。一、导数的定义 1．引入（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α，当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→. 2．导数的定义以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0 0()(lim x x x f x f x x --→）存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或 .0 x x dx dy =

导数与微分习题及答案

关于导数的29个典型习题

高中数学导数及微积分练习题

导数与微分测试题及答案(一)

导数和微分练习试题答案解析

第二章 导数与微分习题汇总

第五章 微分方程

导数与微分习题(基础题)

第二章 导数与微分(测试题)

导数与微分练习题

高中数学导数及微积分练习题

导数及其应用典型例题

高中数学导数、微积分测试题

《数学分析》第五章 导数与微分

高等数学导数与微分试题

高等数学练习题第二章导数与微分

导数和微分练习题

微积分典型例题和重点知识点

高等数学导数与微分练习题

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第五章微分方程

第二章导数与微分(测试题)

《数学分析》第五章导数与微分