图论中邻接矩阵的应用

数理与信息工程学院

课程论文

课程名称图论及其应用

题目图论中邻接矩阵的应用

姓名沈海华朱国淼

学号06200123 06200129 专业信息与计算科学06（1）指导老师卜月华

浅谈图论中邻接矩阵的应用

[摘 要] 使用邻接矩阵求解有关实际问题符合数学中数形结合的思想，对于更好地理解问题，思考问题从而求解问题具有现实意义。图论知识的应用是相当广泛的，它是数学的重要分支，使今年来较为活跃的数学分支。这个问题其实也是一个数学游戏问题，是源于生活，高于生活。图论作为组合数学的一分支，与其他数学分支，如矩阵论，概率论，拓扑学数值分析都有着重要的联系。

[关键字] 邻接矩阵、算法、连通性、最小生成树

1、引言

首先介绍图论中邻接矩阵的一个重要定理:

G 是一个图,V (G)为 G 的顶点集, E(G)为 G 的边集。设G 中有 n 个顶点，v 1,v 2,…,v n ;A=(a ij )n ×n 为 G 的邻接距阵, 其中

n j i G E v v G E v v a j i j i ij ,...,2,1,)

(0)(1=??????∈= 定理 1:设 A (G)为图 G 的邻接距阵,则 G 中从顶点 vi 到顶点 vj,长度为 k 的道路的A k 条数为中的 i 行 j 列元素。

证:对 k 用数学归纳法

k =1时,显然结论成立;假设 k 时,定理A l .A= A l+1成立,考虑 k +1的情形。 记 A l 的 i 行 j 列元素为l ≥2,因为所以

nj l in j l i j l i l ij a a a a a a a +++=+...2211)1( (1)

而从v i ,v j 到长 k +1的道路无非是从v i 经 k 步到某顶点v l (1≤l ≤n),再从v l 走一步到v j ; 由归纳假设从v l 到v j 长为 k 的道路共计 而从v l 到v j 长为 1的道路为a ij 条,所以长为k+1的v l 经过k 部到v i 再一步到v j 的道路共有∑-+=n

l lj k il l ij a a a 1)()

1(条故从v i 经 k +1步到v j 的路径共有

1、 邻接矩阵现实问题中的运用

锁具装箱问题

某厂生产一种弹子锁具,每个锁具的钥匙有 5个槽,每个槽的高度从 {1, 2, 3, 4, 5, 6}6个数 (单位略 )中任取一数由于工艺及其他原因,制造锁具时对 5个槽的高度还有两个限制:至少有 3个不同的数,相邻两槽的高度之差不能为 5,满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地取每 60个装一箱出售。问每一批具有多少个,装多少箱。

分析：锁具装箱这个问题是一个排列组合的数学问题,但在这里我们用图论中的邻接矩阵方法来解决这个问题。每把锁都有 5个槽,每个槽有 6个高度,至少有三个不同高度的槽。且相邻槽高差不为 。我们先求出无相邻高5差为 5的锁具数量,再减去仅有一个、两个槽高的锁具数目。

先计算由 1, 2, 3, 4, 5, 6构成无 1, 6相邻的情况的数目。为此,构造一个 6