初中数学：全等三角形之动点问题(选择题)201605250107
全等三角形之动点问题（一）
1.已知:如图,线段AB的长为18厘米,动点P从点A出发,沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动,动点Q从点B出发,沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动.P,Q两点同时出发,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设点P运动的时间为t秒,用t表示线段PQ的长度为_____;若P,Q两点相距6厘米,则经过的时间t=______.( )
A.当秒时,PQ=18-3t;当秒时,PQ=3t-18.t=4秒
B.当秒时,PQ=18-3t;当秒时,PQ=3t-18.t=8秒
C.当秒时,PQ=18-3t;当秒时,PQ=3t-18.t=4秒或t=8秒
D.当秒时,PQ=18-3t;当秒时,PQ=3t-18.t=4秒或t=8秒
2.已知:如图,线段AB=20厘米.点P自点A沿线段AB以2厘米/秒的速度向点B运动,同时点Q自点B沿线段BA 以3厘米/秒的速度向点A运动,当Q运动到点A时,两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒,用t表示线段PQ 的长度为_____;若P,Q两点相距5厘米,则经过的时间t=______.( )
A.当秒时,PQ=20-5t;当秒时,PQ=5t-20.t=3秒或t=5秒
B.PQ=20-5t.t=3秒
C.PQ=5t-20.t=5秒
D.当秒时,PQ=20-5t;当秒时,PQ=5t-20.t=3秒
3.已知:如图,在等边△ABC中,AB=8,D为边BC上一点,且BD=6.动点P从点C
4.出发沿CA边以每秒2个单位的速度向点A运动,连接AD,BP,设点P运动
的时间为t秒.若△BPA≌△ADB,则t的值为( )
A.6
B.3
C.2
D.1
4.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=6,AD=BC=12,点E为边AD上一点,且AE=10.
动点P从点B出发,沿BC边向终点C以每秒2个单位的速度运动,连接AP,DP,设点P
运动的时间为t秒.若运动到某一时刻,△DCP≌△CDE,则t的值为( )
A.10
B.5
C.2
D.1
5.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上
6.以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点
7.以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等
8.,则t的值与相应的点Q的运动速度a为( )
A.t=1,a=3
B.t=2,a=4.5
C.t=1,a=3或t=2,a=4.5
D.t=1,a=4.5或t=2,a=3
6.已知:如图,在等边△ABC中,AB=10,D为边BC上一点,且BD=8.动点P从点B
出发沿BC-CA方向以每秒2个单位的速度向点A运动,连接AD,AP,BP.
设点P运动的时间为t秒.若△ABP和△ADC全等,则t的值为( )
A.1秒
B.9秒
C.1秒或9秒
D.4秒或9秒
7.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=8,AD=BC=10.延长BC到点E,
使CE=4,连接DE.动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿
BC-CD-DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒.
若△ABP和△DEC全等,则t的值为( )
A.5或11
B.2或12
C.2
D.12
8.已知:如图,等边△ABC的边长为6,动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向
以每秒2个单位的速度运动,再次回到点A时停止运动.连接BP,CP,
设点P运动的时间为t秒.若△BCP的面积是△ABC面积的,则t的值为( )
A.2或7
B.4或14
C.2或14
D.4或7
全等三角形之动点问题（二）
1.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=12,BC=24,动点P从点A
出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动,动点Q从点C出发沿CB向点B
以每秒2个单位的速度运动,P,Q同时出发,当点P停止运动时,点Q也随之停止,
连接PQ,DQ.设点P的运动时间为t秒,当t为( )秒时,△PDQ≌△CQD.
A.4
B.6
C.8
D.12
2.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE.
动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,
设点P的运动时间为t秒.当t的值为( )秒时,△ABP和△DEC全等.
A.1
B.1或3
C.1或7
D.3或7
3.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC
上以每秒2cm的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上由点C向点A运动.
设点P运动时间为t秒,当t的值为( )秒时,△BPD与△CQP全等.
A. B.3 C.或3 D.或2
4.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=6cm,点E为AB中点,如果点P在线段BC
上以每秒2cm的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CD上由点C向点D运动.
设点P的运动时间为t秒,若某一时刻△BPE与△CQP全等,则点Q的运动速度是( )
A.cm/s
B.2cm/s
C.2cm/s或4cm/s
D.cm/s或2cm/s
7.如图,在矩形ABCD中,AB=6m,BC=8m,AC=10m,动点P以2m/s的速度从点A出发,
沿AC方向向点C移动,同时动点Q以1m/s的速度从点C出发,沿CB方向向点B移动,
当P,Q两点中其中一点到达终点时则停止运动.设运动时间为t秒,则当t为( )秒时,
△PQC是以PQ为底的等腰三角形.
A.5
B.
C.4
D.
8.如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,动点P以3cm/s的速度从B点出发,沿BA方向向点A移动,同时动点Q以1cm/s的速度,沿CD方向向点D移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s),则当t为( )s时,线段PQ恰好平分矩形ABCD的面积.
A.3
B.4
C.5
D.6
全等三角形之动点问题(综合测试)(人教版)(含答案)
全等三角形之动点问题（综合测试）（人教版） 一、单选题（共10道，每道10分） 1?如图，在长方形ABCD中，BC=8cm, AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿 AC方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P, Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ?设点P的运动时间为t秒， 当t为（）时，△ PQC是以PQ为底的等腰三角形. A D A.5 B.- 10 C.4 D.- 答案：D 解题思路：
点只。速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点间题 的解决方法解抉； ① 研究基本图形，标注： g ② 研究动点运动状态.包括起点、终点、状态转折点、速度、 时间范围， 如图； ③ 表达线段长，建等式. 点P 已走路程AP=2t,则CP=10-2/； 点Q 已走路程CQ=t. ^PQC 是以尸。为底的等腰三角形, 可知CP=CQ r 即 10-2t=t r 故选D. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 2?已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC=18, BC=12,点D 为AB 的中点.点 P 在线段 BC 上以每 秒 3个单位的速度由B 点向C 点运动，同时点 Q 在线段CA 上以每秒a 个单位的速度由C 点向 A 点匀速运动，连接 DP, QP.设点P 的运动时间为t 秒，解答下列问题： 0 t的取值范围为（） —y J C.0W￡W12 D.0W（W18 答案：A 解题思路： 根据题意列动点运动的路线图为乂 （3/s）P\B 45>C F秒 （￡Z/S）O:C----- A 对应的F的取值范围为OGW 4?故选A. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 3.（上接第2题）（2）若某一时刻△ BPD与厶CQP全等，则t的值与相应的 A.t=2，CQ=9 B.t=1, CQ=3或t=2，CQ=9 C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6 D.t=1，CQ=3 答案：B 解题思路： ①要使△ BPD^2ACOP, 则需BD^CP且 .”=1 "：C0 = 3 ②要使△ BPD^i^CPQ, 则需BD^CQ且BP=CP f gp|9 = CG ^3r=12-3r .\t-2 "\CQ = 9 综上z=l?口2=3或戶2, CQ=9. 故选B. 试题难度：三颗星知识点：动点问题 4.(上接第2, 3题)(3)若某一时刻△ BPM A CPQ贝U a=( ) CQ的长为（） （1）根据点P的运动，对应的 学思堂教育个性化辅导授课案 教师： 学生： 时间： 2016 年 月 日 段 授课内容：全等三角形中动点问题的处理 教学目标：培养学生对运动变化、分类讨论思想等的数学综合运用能力 教学重难点：寻找运动规律，分析问题 （1）质点的运动形成全等三角形 通过全等三角形的性质：对应边相等，（对应角相等，面积相等），来确定质点运动的速度或时间，注意分类讨论思想的运用。 （2）几何问题中三角板旋转形成的全等三角形 三角板是学生最常用的学习工具，以三角板为道具，以学生常见、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转等变换手段的问题，能为学生提供动手实践操作设计的空间，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力。这类操作性的题目格调清新，立意新颖，充分体现了课标中提出的“培养学生动手动脑、实践探索的能力”的要求，既注重基础知识，同时又具有很强的综合性，因此受到了各地中考命题专家的青睐。 1．如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ A Q C D B P 三角形全等之动点问题（讲义） ?课前预习 已知：如图，AB=18 cm，动点P从点A出发，沿AB以2 cm/s的速度向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BA以1 cm/s的速度向点A运动．P，Q两点 同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间 为t秒，请解答下列问题： （1）AP=_______，QB=_______（含t的式子表达）； （2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6 cm，则此时t的值为_______． ?知识点睛 由点（___________）的运动产生的几何问题称为动点问题． 动点问题的解决方法： 1.研究_____________； 2.分析_____________，分段； 3.表达_____________，建等式． ?精讲精练 1.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E为边AD上一点，且 AE=7．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC A E D 向点C运动，连接AP，DP．设点P运动时间为t秒． （1）当t=1.5时，△ABP与△CDE是否全等？请说明理由； （2）当t为何值时，△DCP≌△CDE． B C P A E D B C 2. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，AD =12，BC =24，动 点P 从点A 出发以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 运动，动点Q 从点C 出发以每秒2个单位的速度沿CB 向点B 运动，P ，Q 同时出发，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止，连接PQ ，DQ ．设点P 运动时间为x 秒，请求出当x 为何值时，△PDQ ≌△CQD ． Q P D C B A D C B A 全等三角形之动点问题（一） 1、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上 以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点 以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等 ,求t的值与相应的点Q的运动速度a 2、如图，在等边ABC ?的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 3、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证 B A O D C E 图8 4. 如下图，已知正方形ABCD 中，边长为10厘米，点E 在AB 边上，BE=6厘米． （1）如果点P 在线段BC 上以4厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CD 上由C 点向D 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPE 与△CQP 是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPE 与△CQP 全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿正方形 ABCD 四边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在正方形ABCD 边上的何处相遇？ 5、如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ． 求∠AEB 的大小； 6、ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. C B O D 图7 A E 八年级数学全等三角形之动点问题（全等三角形）拔高练习 解答题(本大题共8小题，共120分) 1.(本小题15分)如图，在等边△ABC的顶点A、C处 各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由 A向B和由C向A爬行，经过t分钟后，它们分别爬 行到D、E处，请问（1）在爬行过程中，CD和BE始 终相等吗？ （2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”， 改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件 不变，如图（2）所示，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变．请 利用图（2）情形，求证：∠ CQE =60°； （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行， 连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图（3），则爬行过程中， DF始终等于EF是否正确． 核心考点:运动变化型问题 2.(本小题15分)如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 核心考点:正数和负数 3.(本小题15分)如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 25、.已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系 7如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE 、AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE ；②PQ ∥AE ；③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60°. 恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。 4.如图，D 是等边△ABC 的边AB 上的一动点，以CD 为一边向上作等边△EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由． Q P O B E D C A E D C B A B A C E F Q P D 12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？ 若成立请给予证明；若不成立请说明理由． 3.在直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E 是直线AC 上的两个动点，且AD=EC， AM⊥BD，垂足为M，AM 的延长线交BC 于N，直线BD 直线NE 相交于点F，试判断三角形DEF 的形状，并加以证明。 9.如图1，Rt△ABC 中AB = AC，点D、E 是线段AC 上两动点，且AD = EC，AM⊥BD，垂足为M， AM 的延长线交BC 于点N，直线BD 与直线NE 相交于点F。 试判断△DEF 的形状，并加以证明。 说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3 步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 注意：选取①完成证明得10 分；选取②完成证明得5 分。 ①画出将△BAD 沿BA 方向平移BA 长，然后顺时针旋转90°后图形； ②点K 在线段BD 上，且四边形AKNC 为等腰梯形(AC∥KN，如图2)。 附加题：如图3，若点D、E 是直线AC 上两动点，其他条件不变，试判断△DEF 的形状，并说明理由。 全等三角形培优练习之动点问题 一.选择填空题 1．如图1，已知AD ，BC 相交于O 点，AB AC =，BD CD =，写出图中另一对相等线段______． 2．如图2，AB ∥DE ，AB DE =，AE ，BD 相交于C 点，在BC ，CD 上分别取M ，N 两点，使AM EN =，则AM 和EN 一定平行，这个说法正确吗？答：______． 3．如图3，点D ，E 是BC 上两点，且=AB AC ，=AD AE ，要使ABE ACD △≌△，根据SSS 的判定方法还需要给出的条件是______或______． 4．如图4，宽为50cm 的长方形图案由20个全等的直角三角形拼成，其中一个直角三角形的面积为______． 5．如图5，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______． 6.如图6，在△ABC 中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△AB ′C ′ 的位置, 使得 CC ′∥AB, 则∠B ′AB = _________ 7．如图7，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是ABC △的角平分线，DE AB DF AC ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ．则下列四个结论：①AD 上任意一点到点C ，B 的距离相等；②AD 上任意一点到边AB ，AC 的距离相等；③BD ＝CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE ＝∠CDF ．其中，正确的个数为 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．下列命题中，错误的是（ ） A ．全等三角形对应边上的中线相等 B ．面积相等的两个三角形是全等三角形 C ．全等三角形对应边上的高线相等 D ．全等三角形对应角的平分线相等 二.解答题 1. 如图，在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以相同的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？ A D E C B A D O C B A E C B A D C B A D E C B F 一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题 1.如图,Rt△ABC在直线l上，且∠ABC= 90°，BC=6cm,AC= 10cm. (1)求AB的长; (2)若有一动点P从点B出发，以2cm/s的速度在直线l上运动,则当t为何值时,△ACP为等腰三角形? 二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题 2、如图，射线MB上MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P 从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t. 求：(1)△PAB为等腰三角形的t值; (2)△PAB为直角三角形的t值; (3) 若AB=5且∠ABM=45。，其他条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值 三、全等三角形：因动点产生的全等三角形问题 3.如图，已知△ABC中，∠B=∠C,AB=AC=10 cm,BC=8 cm,D为AB的中点.点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动. (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由; (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等? 四、三角形面积：因动点产生的三角形面积问题 4.△ABC中，AB=6cm,BC=8cm,∠B=90°, P从A沿AB向B以1cm/s的速度移动，Q从B沿BC向C以2cm/s的速度移动。 (1)如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2?; (2)如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到B点后，又继续沿BC向C移动,点Q到达C后，又继续沿CA向A移动,在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q,使△PBQ的面积等于9cm2?若存在，试确定P、Q的位置;若不存在，请说明理由。 A B C D E F 个性化辅导授课案 教师: 学生: 日期: 星期: 时段: 课题 全等三角形的动点问题分析讲解 学情分析 .动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路。动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学目标 考点分析 思路： 1.利用图形想到三角形全等，相似及三角函数 2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动） 3.结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据 4.分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏 5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路 6.动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论 教学 重点 难点 利用熟悉的知识点解决陌生的问题 教学方法 教师引导，自主思考 教学过程 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 3、如图，将边长为1的等边△OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2019次，点P依次落 在点P1，P2，P3，P4，…，P2019的位 置．试写出P1，P3，P50，P2019的坐标．4、如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF． （1）求证：△ADF≌△CEF （2）试证明△DFE是等腰直角三角形 5、如图，在等边ABC ?的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 A B C D E F 三角形与动点问题 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 2、如图，在等边ABC ?的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1个单位的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D,E 处，请问（1）在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB 和CA 的延长线爬行，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中CQE ∠ 的大小不变，求证：?=∠60CQE （3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，则爬行过程中，DF 始终等于EF 是否正确 x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F 3、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，△AMN 是等边三角形． （1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形，为什么？ 4、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC 在第一象限内，E 是边OB 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90 ，使EF 交矩形的外角平分线BF 于点F ，设C （m ，n ）． （1）若m = n 时，如图，求证：EF = AE ； （2）若m ≠n 时，如图，试问边OB 上是否还存在点E ，使得EF = AE ？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 2．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C （不需要证明）； 特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF； 归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF； 拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为 3．正方形ABCD和正方形AEFG有一公共点A，点G．E分别在线段AD、AB上（如图（1）所示），连接DF、BF． （1）求证：DF=BF （2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG、BE（如图（2）所示），在旋转过程中，请猜想线段DG、BE始终有什么数量关系和位置关系并证明你的猜 想． 4．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG． （1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论； （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． 5．如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米． （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD 上由C点向D点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 △BPE与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD边上的何处相遇？ 全等三角形之动点问题（一） 1.已知:如图,线段AB的长为18厘米,动点P从点A出发,沿AB以2厘米/秒的速度向点B运动,动点Q从点B出发,沿BA以1厘米/秒的速度向点A运动.P,Q两点同时出发,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动.设点P运动的时间为t 秒,用t表示线段PQ的长度为_____;若P,Q两点相距6厘米,则经过的时间t=______. 2、已知:如图,在等边△ABC中,AB=8,D为边BC上一点,且BD=6.动点P从点C 出发沿CA边以每秒2个单位的速度向点A运动,连接AD,BP,设点P运动 的时间为t秒.若△BPA≌△ADB,则t的值为 3、已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=6,AD=BC=12,点E为边AD上一点,且AE=10. 动点P从点B出发,沿BC边向终点C以每秒2个单位的速度运动,连接AP,DP,设点P 运动的时间为t秒.若运动到某一时刻,△DCP≌△CDE,则t的值为 4、已知:如图,在△ABC中,AB=AC=18,BC=12,点D为AB的中点.点P在线段BC上 以每秒3个单位的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C点向A点 以每秒a个单位的速度匀速运动.设运动时间为t秒,若某一时刻△BPD与△CQP全等 ,求t的值与相应的点Q的运动速度a 5、如图，在等边ABC 的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D,E处，请问 （1）在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q，其他条件不变，如图（2）所示，，求证：? CQE = ∠60 （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确 6、在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E (1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE (3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明 7.如下图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米． （1）如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等，请说明理由； 八年级数学易错题 全等三角形动点问题提高题 1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BP D≌△CQP？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且E F=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接A P，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由. 3.如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置, 使得CC′∥AB, 则∠B′AB = _________ 4. 已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系． [来源学科网] 全等三角形动点问题提高题 1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA 上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BP D≌△CQP？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给 出证明；若不成立，请说明理由. 3.如图，在△ABC中,∠CAB=70°. 在同一平面内, 将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置, 使得CC′∥AB, 则∠B′AB = _________ 4. 已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE 的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE 的关系． 全等三角形动点问题提高题 全等三角形动点问题提高题 1.如图，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC= 9厘米，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒得速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C 点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速 度与点P 的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CQP？ （2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 2.如图，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF 与边AC重合，且EF=FP. (1)请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP 所满足的数量关系和位置关系； (2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，猜想并写出B Q与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若 问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系． 5.在图中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°． （1）如图，若AO = OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系； （2）将图中的MN绕点O顺时针旋转得到下图，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥BD； 6.如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF， （1）求证：△AFC≌△DEB. 全等三角形动点问题 A B C E F 全等三角形动点问题 一）、知识回顾 动态几何题，是指以几何知识和几何 图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而 通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观 察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数 学试题中，考查创新意识、创新能力的重要题型； 解决这类问题，要善于探索图形的运动特点和规 律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静， 以静制动． 热身练习： 1、如图，在等腰△ACB 中，AC ＝BC ＝5，AB ＝8，D 为底边AB 上一动点 （不与点A ，B 重合），DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足 分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝ ． 二）、例题辨析 例1、 如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°， AC=CB ，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分 别在AC 、BC 边上运动，且始终保持 AD=CE ，连接DE 、DF 、EF. （1）、求证：△ADF ≌△CEF. （2）、试证明△DFE 是等腰直角三角形. （3）、在此运动变化的过程中，四边形CDFE 的 面积是否保持不变？试说明理由． （4）、求△CDE面积的最大值． 例2如图，△ABC的边BC在直线上，AC⊥BC，且AC＝BC，△EFP 的边FP也在直线上，边EF与边AC重合，且EF＝FP。 （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想。 全等三角形之动点问题（综合测试）1、如图，在直角三角形ABC 中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点B开始沿BA以1cm／s的速度向点A运动，同时，点Q从点B开始沿BC以2cm／s的速度向点C运动．几秒后，△PBQ的面积为9cm2？ 第1题图第2题图第3题图 2、如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别 沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1m/s，点Q运动的速度是2m/s，当点Q到达点 C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题： （1）填空：△ABC的面积为 （2）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由． （3）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说 明理由． (4)当△BPQ是直角三角形时，求t的值 3、如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速 度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明 理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系； （2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件 不变．设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出 相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 4、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动， 终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3 的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作 PE⊥l于E，QF⊥l于F，问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由。 5、如图,已知三角形ABC中,AB=AC=24厘米, BC=16,点D为 AB的中点，如果点P在线段BC 上 从4厘米/ 秒的速度由B向C运动,同时,点Q在线段CA上由C向A运动,当Q的运动速度为多少厘 米/秒时,能在某一时刻使三角形BPD与三角形CQP全等. 第4题图第5题图第6题图 6、如图，在长方形ABCD中，BC=8cm，AC=10cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC 方向向点C运动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P，Q两点 中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ．设点P的运动时间为t秒，当t为( )时， △PQC是以PQ为底的等腰三角形． 7 、已知：如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，点D为AB的中点．点P在线段BC 上以每 秒3个单位的速度由B点向C 点运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由C点向A 点匀速运动，连接DP，QP．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题： （1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为( ) A. B. C. D. （2）若某一时刻△BPD与△CQP全等，则t的值与相应的CQ的长为( ) A.t=2，CQ=9 B.t=1，CQ=3或t=2，CQ=9 C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6 D.t=1，CQ=3 （3）若某一时刻△BPD≌△CPQ，则a=( ) A. B.2 C.3 D. 全等三角形证明经典50题（含答案） 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 延长AD 到E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE 4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC∵EF//AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=E G ∴EF=AC 5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C 6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ， ∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ， 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B＋∠D＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC（SAS ） 所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 证明:在BC 上截取BF=BA,连接EF.∠ABE=∠FBE,BE=BE,则⊿ABE ≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;AB 平行于CD, 则:∠A+∠D=180°;又∠EFB+∠EFC=180°,则∠EFC=∠D;又∠FCE=∠DCE,CE=CE,故⊿FCE ≌ΔDCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD. 13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F= C D B D E A B A C D F 2 1 E 全等三角形相关模型总结 一、角平分线模型 (一）角平分线的性质模型 辅助线：过点G作GE⊥射线AC A、例题 1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB 的距离是cm. 2、如图，已知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC. B、模型巩固 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A＋∠C＝180°. （二）角平分线＋垂线，等腰三角形必呈现 A、例题 辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB 例1、如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F . 求证： 1 () 2 BE AC AB =-. 例2、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB＝AD，作CM⊥AD交 AD的延长线于M. 求证： 1 () 2 AM AB AC =+. （三）角分线，分两边，对称全等要记全 两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OB＝OA，从而使△OAC≌△OBC . A、例题 1、如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC 交AC于Q，求证：AB＋BP＝BQ＋AQ . 2、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小，并说明理由. B、模型巩固 1、在△ABC中，AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）. 求证：AB－AC＞PB－PC . 2、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D， 求证：AD＋BD＝BC . 3、如图，△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D， 求证：AC＋CD＝AB .全等三角形动点问题分析教案
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